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Full text of "Einführung in die Höhere Mathematik"

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EINFÜHRUNG 
IN  DIE  HÖHERE  MATHEMATIK 


VOH 


EMANUEL  CZÜBER 

O.  Ö.  PROP.  AH  DKS  TECHHIKCREH 
H0CH8CHULS  IM  WUUi 


DRITTE  AUFLAGE 

UNVERÄNDERTER  ANASTATISCHER  NACHDRUCK 
DER  ZWEITEN  AUFLAOE 


MIT  114  FIGUREN  IM  TEXT 


VERLAG  Ü.  DRÜCK  VON  B.  G  TEÜBNER  LEIPZIG  •  BERLIN  1922 


37 
C775 


tlCaUTEFOBliXL  VUS  DJX  VEKKIMIGTEN  STAATKN  VOM  AMXBlKAt 
OOPYEIOHT  IMt  BT  B.O.TKUBNKB  IN  I.RIPZIG 


ähhK  RKCHTR,  KiMBCBLIBIiSLIOH  DK8  ÜBBBtBTZUNOSRBOUTS,  VOBBKHALTBK 


Vorwort. 


In  Ausführung  eines  langgehegten  Planes  habe  ich  in  diesem 
Buche  yomehmlich  jene  Materien  zur  Darstellung  gebracht^  die  Aber 
den  Rahmen  des  Inhaltes  meiner  „Vorlesungen  über  Differential-  und 
Integralrechnung'^  hinausgehend  an  unsem  Technischen  Hochschulen 
zum  Vortrage  gebracht  werden.  Ich  habe  aber  die  Anlage  und  Ge- 
staltung so  gewählt,  daß  das  Buch  auch  seine  selbständige  Stellung 
behaupten  könne  als  EinfQhrung  in  das  Studium  der  höheren  Gebiete 
der  Mathematik;  darum  sind  auch  die  Elemente  der  Differentialrechnung 
aufgenommen  worden^  nm  ihre  organische  Verbindung  mit  den  andern 
behandelten  Gebieten  herstellen  zu  können. 

Das  Buch  umfaßt  eine  recht  eingehende  Entwicklung  des  2^hl- 
begriffs,  die  Darstellung  yon  Zahlen  durch  unendliche  arithmetische 
Prozesse,  eine  Einführung  in  die  Fuiiktionentheorie,  im  Anschlüsse 
daran  die  Elemente  der  Differentialrechnung  nebst  den  ersten  An- 
wendungen der  Differentialquotienten,  weiter  die  Determinantentheorie, 
die  zur  Geltung  kommt  in  der  sidh  anschließenden  Gleicbungslehre, 
endlich  die  analytische  Geometrie  der  Ebene  und  des  Raumes  in  jenem 
Ausmaße  and  solcher  Form,  wie  es  namentlich  als  Vorbereitung  auf 
das  Stadium  der  Mechanik  erforderlich  erscheint.  Im  übrigen  habe 
ich  dieselben  Grundsätze  befolgt,  die  mich  bei  der  Abfassung  der  „Vor 
lesungen  über  Differential-  und  Integralrechnang^  geleitet  haben. 

Meinem  Kollegen  Pro!  Dr.  K.Zsigmondy  bin  ich  für  seine  freund- 
liche Unterstützung  beim  Lesen  der  Korrektur  zu  Danke  verpQichtet. 

Wien,  September  1908. 

Der  Verflwser. 


Inhaltsverzeichnis. 


Enter  Abschnitt    Der  Zahlbe^ff. 
§  1.    Reelle  Zahlen. 

Seite  8«lfte 

1.  Einleitend«  Bemerkung     ....     1    10.  Division 10 

2.->&.  N^tArlicbe  Zahlen    .    .       .  S->8    11.  Kationale  Zahlen 12 

6.  Addition 4,1«.  Radizieren 13 

7.  Multiplikation 6*13.-14   Irrationale  Zahlen.         16—1« 

8.  Potentieren 7    15.  Keelle  Zahlen 1» 

9.  Snbtraktion 7    16.  Logarithmieren 20 

§  2.    imagin&re  Zahlen. 

17.  Imagin&r«  und  komplexe  Zahlea  21    22.  Anwendungen 27 

18.  Definitionen.     Eechnungsregeln  28   23.  GeometriBche    Darstelluog    der 

19.  Trigonometrische     Form     einer  komplexen  Zahlen 28 

komplexen  Zahl 84 :  24.  Geometrische    .^nsfilhmng    der 

20   Moivreteh^  Binomialfonn<»l    .    .     25          Kechnunjfsoperationen  mit  kom- 
21.  Raüseran  komplexer  ZahUsn    .    tb  p)ex«n  Zahlen 29 

Zweiter  Ab^tckutt    IJaeB^liche  Keilten  nnd  Produkte. 

§  1.    6ni4l€^B4e  BeghlTe. 

S6.  Uaeiidliobe  Zahlenfolgen    ...    81 !  27.  Folgerungen 3a 

26.  ÜPtadheke  Heiken.   Begriff  der         '  28.  Beispiele 35 

w4  DiTergenz        .     SS  I 


f  S.    Beib«a  ait  p^ntiveii  (iliedern. 

29.  Allgemeines  .       .SR   30.  Konvergenzkriterien 89 

§  8.    Reiben  nii  positiven  nnd  ne«rativeB  Gliedern. 

Sl.  Abaoliit  konvergente  Reihen     .     4H    88    .\ltemierende  R4»ihen 46 

55.  Hiebtabsolut  konvt-rtfi^ni«  Bei-  34.  Beispiele 47 

heu 44 

I  4.    Uieidlieke  Prodokte. 

56.  Begriff  der  Konvergenz  und  Di-  86.  Kouvorgenzkriterien 60 

▼ergtM 4ö   87.  Beispiele 68 


lahaltoveruichois.  V 

Dritter  Absolmftt.    Der  FvttktioBshfpiff. 
§  1.    Fanktiooen  «iii«r  iid  mehr«r«r  Variftblei. 

8«U«  8«ll« 

38.  Grundvontellüiigen,  auf  welchen         )41.  Implizite  Funktionen 68 

der  Fnnktionsbejfriff  beruht .    .     66    42.  Die  elementaren  Funktionen    .     66 

39.  Fonktionen  einer  Variablen    .     66   43.  Einige     beeondere    Arten    des 

40.  Funktionen  zweier  und  mehre-  Funktionsverlaufg.     —    Inverse 

rer  Variablen 61  Funktionen «7 

§  3.    Grrnfwerte  Ten  FanktioBen. 

44.  Grenzwerte  im  Endlichen  ...  71    i8.  Grenzwerte      von     Funktionen 

46.  Beispiele 72  zweier  Variablen «0 

46.  Grenzwerte  im  Unendlichen.  —         \  49.  Das  ünendlichkleine  und   Un- 
Beispiele      T4'        endlichgrofie 82 

47.  Grenzwert  der  Funktionen  f(x) 

=-  (1  +  x)'  fflr  lim  o;  =  0  .    .    .     77 

§  3.    StFti^keit  der  Fnnktioiieii. 

60.  Der  Steti^keit8bf»griff     ....  88    53.  Stetigkeit  Ton  Funktionen  meh- 

61.  Sätse  über  stetige  Funktionen  .  88  rerer  Variablen 91 

62.  VerBchiedene    Arten     der    Ün- 
stetigkeit  (Diskontinuität)     .    .  89  j 

Vierter  AbRChnitt.    Elemente  der  Differentialrechnnng. 

§  1.    Der  Differentialqaotient  ond  das  Differential. 

64.  Begriff  des  Differential quotien  Interpretation    do.s  Differential- 

ten 93  quotienten 06 

66.  Die  abgeleitete  Funktion.  Par-  57.  Stetigkeit  imd  Differentiierbar- 

tiello  Differentialquotienten  .    .  95          keit.  Beispiele  besonderer  FJÜlc    99 

56.  Phoronomische  und  geometrische  58.  Begriff  des  Differentials  ....  101 

$  2.    Allgemeine  Sitze  über  Differentiation. 

59.  Ableitung  einer  Summe     .    .    .  103   62.  Ableitungen  in  verser  Funktionen  lü6 

60.  Ableitung  eine«  Produkte  .    .    .103   63.  Ableitung      zusammengesetzter 

61.  Ableitung  eines  Quotienten   .    .106  Funktionen 107 

§  3.    Differentiatien  der  elementaren  Funktionen. 

64.  Die  Potenz 108  68.  Die      zyklometrischen      Funk- 

65.  Der  Logarithmus 109  tionen     113 

66.  Die  Exponentialfunktion     .    .    .111  69.  Die  Hyperbelfunktionen     .    .    .114 

67.  DietrigonometrischenFunktionen  112  70.  Beispiele 117 

§  4.    Sfttze  ftker  den  Zasammenkani;  einer  Fanktion  mit  ikrer  AMeitani:. 

71.  Vorzeichen     de«     Diffciential-  73.  Der  Mittelwerteatz 123 

quotientoD 120   74.  Der  erweiterte  Mitlehrertsatz  .  126 

72.  Der  Satz  von  Bolle 122 


Yl  (nbAltoreneichnif. 

I  5.    Die  hfhere»  mffer«BUilqn»tieBieB  vn4  Difereotiale. 

gelt«  »«it« 

76.  Der  n-te  Differtntialquotieiit  .  126    78.  Die  Komitanz  dee  Differential» 

76.  Wiederholte  Differentiation  .    .  128  der  unabhängigen  Variablen    .  133 

77.  Daa  «t-te  Diffenotial 131 

Flifler  Abflclmiti    Anwendnn|^«n  der  Differentialqnotienteu. 
%  1.    UnbeKtiiinte  Fornen. 

79.  Die  Form    " 136    8«.  Die  Form  oo  —  od 14» 

80.  Die  Form  * 139   88.  Die  Formen  0»,  »•,!*....  146 

81.  Die  Fonn  0  •  oo 142  ,  84.  Vermischte  Beispiele 146 

§  8.    Maiiaa  ud  Miiina  expliziter  Puktionen  eiier  Vari»hlei. 

86.  Begriff    der     extremen     Werte         ;  87.  Unterscheidung  zwischen  Maxi- 

einer  Funktion  .......  146  !        mum  und  Minimum 148 

86.  Notwendige  Bedingung  bei  Vor-         i  88.  Allgemeines  Kriterium    ....  149 

handensein    eines    eigenUichon         ,  89.  Beispiel« 160 

Differentialquotienten      .    .    .    .147    90.  Außergewöhnliche  Extreme    .  167 

Sechster  Abschnitt.    Determinanten. 

§  1.    Über  Permatationen. 

91.  Inrenionen;  gerade  und  unge-  92.  Satz  von  B<?zout 169 

rade  Fennntatioiieii 168  i  98.  Zyklische  Parmntationeii    ...  160 

§  2     DeiDitioE  der  DeteraiDaate. 

94.  Quadratische   Matrix  \md  ihre         ,  96.  Entwicklung     von    zwei-    und 
Determinante 16t  |        dreizeiligen  Determinanten    .       168 

96.  Straktor  and  Beseichnnng  der         i 
Determinanten 162  | 

§  8.    HMpteigeasebaften  der  DeteraiiDanten. 

97.  Gleichberechtigung  ton   Zeilen         '    99.  Gleich«  parallele  Reihen  .    .       166 
und  Kolonnen 164  •  100.  Multiplikation  u.  Division  einer 

98.  Vertaoschuog  paralleler  fieihen  166  •  Determieante  mit  einer  Zahl .  166 

9  4.    UitordetenitaaBtea. 

101.  Unterdeterminanten    Tenebie-         !  106.  Zweiter  »Hauptsats     ....      172 
dener  Grade 107    107.*  Additionaregel 178 

102.  Ac^ongierto  Unterdetermiaaa-  108.  Verminderung   imd  Erhöhung 

ten 167  des  Grade«  einer  Determinante  178 

108.  Den     Elementen     acytingierte         •  109.  Determinanten  mit  aggregier- 

Unterdeterminanten 168 '  ten  Elementen 174 

104.  Zusammenfassung  der  Glieder         i  ilO  yolldeterminantea 176 

einer    Determinante,    die    ein     '    '  111   Beispiele    der  Transformation 


odejr    mehrere    Elemente    ge-  und  Autrechnong    too   Deter- 

170  minanten 177 


106.  Ester  HaaptMta 171 ; 


luhftltcTMsttchnif. 


vn 


§  5.    AnflHviiD/r  finer  DeterainaBte  ii  Pr*<lBkte  adjiB|:iert«r  UBteH<>t^nBlBBBtci. 


112.  Entwicklung  nach  den  Unt^r- 
detenninanten  einer  Reiben- 
kombination IHO 


113.  Die  S&tze  von  Jacobi 


182 


§  ß.    NBltiplIkatioB  vob  DettraisaBteB. 
114.  Protlukt  »weier  Determinanten  116.  Quadrat    einer    Determinante. 

n-ten  Grades 182  1  Die  Identität  TOn  Lagrange    .  186 

116.  Prodakt  zweier  Determinanten         !  117.  Determinante  der  adjungierten 

ungleichen  Grades 186  t  Matrix 187 

Siebenter  Abschnitt    Gleichungen. 

§  i.  Liaeare  GleiehuB/^en. 

Nichthomogene      Gleichungen         •  120.  Homogene     Gleichungen     mit 
mit   nichtverschwindender  De-  |  nichtverschwindender      Deter- 

terminante 188  |  minaute 190 

Nichihomogene      Gleichungen         1 121.  Homogene  Gleichungen  mit  Ter- 
mit     verschwindender     Deter-         j          schwindender  Determinante     .  190 
minantf> I«9'l22.  Ueispiele  .  198 


118. 


119. 


128. 
124 


126. 


126. 


§  8.  AUgeseiBe  Sitze  iber  höhere 

Hauptsatz  der  Algebra     .    .    .  196  1 127. 
Entwicklung      einer      ganzen 
Funktion    nach    einem   Inkre- 

ment  der  Variablen 197 

Algebraische  Teiler  einer  gan- 
zen    Funktion.      Homerschee 

Dinsionsverfafareu 198 

Anzahl  der  Wurzeln  einer  al- 


128. 
129. 


180. 


ai^braisfhe  (sleicliBBgfB. 

Mehrfache  Wurzeln 201 

Komplexe  Wurzeln 202 

Zusammenhang  zwischen  den 
Wurzeln  und  den  Koeffizien- 
ten  202 

Transformation  der  Unbekann- 
ten  208 


gebraiscfaen  Gleichung 


200 


§  3.  EesBltante  und  DiskriminaBte. 
131.  fi«8nltante     zweier      algebra-  138.  Diskrimiuante 

ischen  Gleichungen 205  ^ 

182.  Satz  von  B^zout 208  i 


einer   algebra- 
ischen Gleichung 209 


%  4.  NBHeriscbe  GleiehBBgM. 

134.  Allgemeines.  Grenzen  der  Wnr-         I  138.  Anwendung  auf  ganze  Funk- 


zeln 211 

135.  Der  Satz  von  Deicartes    .    .    .218 

136.  Aufsuchung  rationalerWiirzeln  215 

137.  Differenzenreihen 218 


tionen 220 

189.  Trennung  der  Wurzeln    ...  221 

140.  K&herungsyerfahren 221 

141.  Beispiele 228 


§  6.  Algebraliieke  ABf  liung  der  eieiehangeB  dritteB  bb4  TiertCB  GrUm. 

142.  Die  kubische  Gleichung  .    .    .  226  1 147.  Lösung  der  reduzierten  biqua- 


143.  Lösung  der  reduzierten  kubi-         ' 
sehen  Gleichung 226  : 

144.  Diskussion    der    CSardanischen 
Formel      228  ; 

146.  Beispiele.  —    Dreiteilung    det         j 

Winkels 280  I 

148.  Die  biquadraiische  Gleichung  282  ' 


dratischen  Gleichung    ....  284 

148.  Diskussion  der  Eulerschen  For- 
mel     286 

149.  Beispiele  .    .    .* 286 

160.  Cnlöi<barkeit  Ton  Gleichungen 

höheren  als  des  vierten  tirades. 
Algebraische  Zahlao SSS 


mi 


InbAliffeneicbni« 


Aehter  Abschnitt. 
♦  1. 


Aualy-tische  (ifometrie  der  Ebene. 
Der  K^trdinateBbe^riC 


Seit« 


8*itc 
242 
248 
243 


161.  An»remeinebegTiffib6fttimmuDg  240  j  154.  PolarkoordinateD     .... 

162.  Der  Puukt  in  der  G«i»d«D  .240   166.  Bipoiave  KoordinateD     . 
163   Der  Tunkt  in  der  Ebene.    F»-          1&6-  Die  Linie 

rallelku(ir<liuateT> 241 

§  2    AMlytiselie  DarMfellung  geometriBch  definierter  LiBiei. 

167.  Kreis 244  162.  Zisaoide 247 

168.  EUipte 244  168.  CMsinisch«  Linien 248 

169.  Hyperbel  .  245  164.  Koncboide 249 

180.  Parabel .  246  166.  RoBette .264) 

161.  SIropboide 246  166    Aateroide 261 

§  3.   KoordinatentraBsformatioB. 

167    Allgemeine  Begriffsbeetimmnng  262    170.  Allgemeine        Transformation 
168.  Translation  eines  Parallelkoor-                   rechtwinkliger  Koordinaten .      2ö4 
dinatensjstems 262(171.  Hechtwinklige  und  Polarkoor- 
dinaten      265 


169.  Kotation  eines  CarteÜBfiben  Sy- 
stenit«  um  den  Ursprung  . 


263 


§  4.   Die  Gerade. 


172.  Die  (rleicbnng  ersten  Grade«  .  266, 

173.  Segmentgleichung 267  < 

174.  Richtungswinkel  der  Geraden  269  1 
IIb.  HeMesche  Normalgleichung  .  .  269  i 
176.  Parametrische  Darstellung  der         1 

Geraden 260  j 

GeradenbOscbel^bestimmt  durch         i 

einen  Punkt 260  | 

Gerade  durch  zwei  Punkte .   .  261 ! 
179.  Teilungsverh&ltnia  in  der  Ge-         | 

raden 262  1 187. 


177 


178. 


180. 

181. 
182. 
183. 
184. 
186. 

186 


Abtitand    eim^g    Punkte«    yon 
einer  Geraden        .....  264 

DreieckaÜÄche 266 

Schnittpunkt  tweier  Geraden  .  267 

Dreiseitfiacbe 268 

Winkel  zweier  Geraden   .    .      269 
Geradenbü«chel, bestimmt  durch 

sirei  Gerade 270 

TeilongsverhiUtiiis  im  Geradea- 

bflschel 272 

Beispiele 278 


I  6.  Der  Kreis. 


188. 


Gleichung  de«  Kreises  in  recht- 
winkligen  Koordinaten  ....  276 
189   Gleichung  des  Kreise«  in  schief- 
winkligen Koordinaten ....  276 

190.  Pnlargleichnng  de«  Kreise«.    .  276 

191.  Krti«  durch  drei  Punkte ...  277 

192.  Der  Kreis  und  die  Gerade  .    .  278 
198.  Die   unendlich   fernen   imagi- 

nftran  Krei«punkte 279 


194.  Tangentenprobleme 280 

196.  Potenz  eine«  Punktes  in  bezug 
auf  einen  Krei« 284 

196   Zwei  Kreise  und  ihre  Radikal- 
achse . 

197.  Drei  Krei«e  und  ihr  Radikal- 
sentrum     

198.  KreisbOsche) 

199.  Pol  und  Polare 291 


286 

286 
288 


»iO. 


101. 


•     f  6.  Dia  LtBiM  iweit«r  OriBVBg. 

Die  aligemeine  Gleichung  zwei-  Fall  I:      Af<0 

Un  Grades 292  Fall  II:     Ar>0 

Krster  Haaptfall:  O^O   .293  Fall  III:    Jf««0 


296 
296 
297 


InhalUverzeichuiu. 


IX 


809.  Zweiter   HauptfuU:    C«0«98 

SOS.  Degenerierte     Linien    zweiter      ' 

Ordnung 291) 

804.  Beispiele 301 

805.  Transformation   dee  Koordina- 
tensystems        803 

806.  Mittelpunkt 303 

807    Beispiele 805 

808.  Dorehmeeser 305 

209.  Paare      konjugierter      Durch- 


810. 
811 


818. 
318. 
814. 


215. 


messer .    .   306  i  816. 


8«it« 

Achsen 807 

Transformation  der  Ellipsen- 
und  Hjperbelgleichung  zu  den 

Achsen 808 

Scheitelglcichung  der  Parabel  310 

Beispiele 811 

Identität  der  Linien  zweiter 
Ordnung  mit  den  Kegelschnitte- 
linien  818 

Tangentenprobleme 816 

Pol  und  Polare 317 


Neanter  Abschnitt.    Analytische  Ofometrie  des  Ranmes. 
§  1.  Der  Koordioatenbegriff. 


817.  Das    rechtwinklige    Koordina- 
tensystem  318 

818.  Abstand    eines    Punktes    Tom 
Ursprung  .    .        819 

819.  Abstand  zweier  Punkte    ...  380 


880.  Richtungswinkel  einer  Geraden  820 
221  Winkel  zweier  Geraden  .  .  .  881 
228.  Räumliche  Polarkoordinatcn  .  388 

823.  Flächen 882 

224.  Linien 384 


§  2.  Koordioatentransformatioii. 


885.  Translation  eines  rechtwink- 
ligen Koordinatensystems     .    .  385 

826.  Rotation  eines  rechtwinkligen 

Koordinatensystems 326 


287.  Allgemeine        Transformation 

rechtwinkliger  Koordinaten .    .  888 

228.  Rechtwinklige  und  Polarkoor- 
dinaten      388 


§  3.   Ebene  and  Gerade. 


889.  Die  Gleichung  ersten  Grades  .  329 

880.  Anzahl  der  Konstanten.  Glei- 
chung der  Ebenen  durch  einen 
Punkt 330 

881.  Gleichung  der  Ebene,  die  durch 
drei  gegebene  Punkte  geht     .  380 

232.  Segmentgleichung  der  Ebene  .  332 
238.  Hessesche  Normalgleichung.    .  333 

284.  Abstand  eines  Punktes  von 
einer  Ebene 334 

285.  Rauminhalt  eines  Tetraeders  .  335 

286.  Winkel  zweier  Ebenen     ...  387 
237.  Senkrechte  und  parallele  Ebe- 
nen     338 

888.  Ebenenbüschel,  bestimmt  durch 

zwei  Ebenen 339 

839.  Teilungsverh&ltnis  im  Ebenen- 
büschel 840 

840.  Ebenenbündel,  bestimmt  durch 
drei  Ebenen 848 

841.  Beispiele      848 


842.  Die  Gerade  als  Schnitt  zweier 

Ebenen 344 

243.  Die  Gerade,  durch  ihre  Projek- 
tionen dargestellt 344 

244.  Gerade  durch  einen  Punkt .    .  346 

245.  Parametrische  Gleichungen  der 
Geraden 346 

24G.  Anzahl  der  Konstanten.  Gerade 

durch  zwei  Punkte 848 

247.  Schnittpunkt     einer    Geraden 
mit  einer  Ebene 348 

248.  Ebene  durch  eine  Gerade  und 
einen  Punkt 849 

249.  Winkel     einer    Geraden     mit 
einer  Ebene 860 

250.  Abstand    eines    Punktet    von 
einer  Geraden 868 

251.  Zwei  Geraden  im  Räume.    .    .  868 
8>2.  Kürzester  Abstand  zweier  Ge- 
raden ''m  Räume 866 


Inh^ltoverteichait. 
I  4.  KriBBe  FUkkei. 


tM.  Mtw&Qgang  voa  Fliehen 
t64.  Ktgeliiehen    ~  Beispiele  . 
365   ZylioderH&dieii    —  Beiepiele 
266.  KoBoide.  —  Beiipiele  .    .    . 


8«IU 

868 
360 
36t 
968 


267    UoUtiousflftchen.  —    Beispiele  367 

268.  Affinität        . 868 

269.  Die  FlAchen  zweiter   Ordnung  S71 
260.  Tangentialebeni    —   Beispiele  874 


Sachregiiter       378 

Nanenaregitter .  382 


L  Abschnitt. 

Der  Zahlbegriff. 

§  1.    Reelle  Zahlen 

1.  Einleitende  Bomerknnsf.  Den  GegeneUnd  der  Arithmetik, 
Algebra  und  Aualysis  bilden  die  Zahlen. 

Der  allgemeine  Zahlbegrilf,  der  die  verschiedenen  Arten  von  Zahlen 
umfaßt,  mit  welchen  aich  die  genannten  Teile  der  Mathematik  be- 
schäftigen, hat  sich  aus  dem  ürbegrifif  der  natürlichen  Zahlen  ent- 
wickelt; den  Anlaß  dazu  gaben  einerseits  das  Bedürfnis  der  Anpassung 
an  die  reale  Wirklichkeit,  anderseits  die  abstrakten  Forderungen  der 
Wissenschaft. 

Bei  der  Darstellung  des  Zahlbegriffs  kann  man,  dem  historischen, 
zugleich  natürlichen  Gange  sich  nähernd,  den  Ausgangspunkt  von  dem 
realen  Ursprung  der  Zahlen  nehmen  oder  aber  auf  den  formedistischen 
Standpunkt  sich  stellen,  der  von  einer  Bezugnahme  auf  die  reale  Welt 
absieht.  Darstellungen  der  letzteren  Art  sind  im  Gefolge  der  in  neuerer 
Zeit  gepflogenen  kritischen  Durchforschung  der  Mathematik  auf  ihre 
logischen  Grundlage;«,  entstanden. 

Handelt  es  sich  um  eine  Einführung  in  die  Mathematik,  bei  der 
wie  hier  die  Anwendungen  in  den  Vordergrund  rücken,  dann  wird  der 
erste  Ausgangspunkt  vorzuziehen  sein. 

2.  Natürliche  SSahleiL  Unter  einer  Menge  versteht  man  einen 
InbegrifT  von  unterscheid  baren  Objekten  irgendwelcher  Art.  Die  einzelnen 
Objekte  werden  Einheiten  (Elemente)  der  Menge  genannt. 

Die  Menge  ist  bestimmty  wenn  in  einer  jeden  Zweifel  ausschließenden 
Weise  die  Zugehörigkeit  der  Objekte  zu  ihr  erkennbar  ist.  Die  Objekte 
können  konkret,  mit  den  Sinnen  wahrnehmbar  sein  oder  nur  in  der 
Vorstellung  existieren. 

Die  Eigenschaften  einer  (konkreten)  Menge,  der  Eindruck,  den  sie 
auf  imsere  Sinne  ausübt,  können  von  den  verschiedensten  Umst'Unden 
abhängen  und  daher  auch  mannigfach  abgeändert  werden.  Eine  Menge 
verschieden  gefärbter  Kugebi  wird  je  nach  der  räumlichen  Anord- 
nung, Konfiguration j  je  nach  der  Gruppierung  der  Farben  einen  ver- 
schiedenen Emdruck  auf  das  Gesicht  machen,  eine  Menge  von  Pauken 

Csnb«t,  H«h«z«  M&them*tik  3  Aufl.  1 


2  Der  Z&hlbegriff.    §  1.   Beeile  Zableo. 

fchlSgen  verschieden  anf  das  Gehör  wirken,  je  nachdem  die  Schläge 
in  längeren  Pausen  unfeinander  folgen  oder  zu  einem  Wirhel  ver- 
einigt sind. 

Die  EigenscfiOf't  einer  Menge^  die  unabhängig  ist  von  der  Natur  der 
Einheiten f  von  ihrer  (räumlichen  odtr  zeiüichen)  Anordnung ^  die  also 
tmverändeti  erhalten  hleihtj  wenn  man  die  Einheiten  einzeln  durch  andere 
unterscheidbare  Objekte  ersetzt  oder  untereinander  vertauscht  {sofern  dies 
möglich) f  n<nnt  man  die  Quantität  der  Menge. 

Alle  anderen  Eigenschaften  machen  die  Qualität  der  Menge  aus. 
So  verschieden  aber  die  Eigenschaften  der  einzelnen  Einheiten  sein 
können,  so  werden  sie  doch  ,;kraft  ihrer  Zugehörigkeit  zur  Menge** 
ab  gleichartig  angesehen.  Neben  dieser  rein  konventionellen  können 
die  Einheiten  auch  eine  wesentliche  Gleichartigkeit  aufweisen,  in- 
dem sie  Spezialisierungen  einer  Gattung  bilden.  —  Ein  Kasten,  ein 
Tisch,  ein  Stuhl,  ein  Mensch,  ein  Hund,  ein  Vogel  und  eine  Pflanze 
bilden  eine  Menge,  sofern  sie  z.  B.  die  in  einem  geschlossf^nen  Räume 
befindlichen  Objekte  ausmachen,  und  nur  insofern  sie  zum  Inhalte  des 
Raumes  geboren,  werden  sie  als  gleicljartig  aufgefaßt.  —  Mehrere  in 
eiiiem  Zimmer  versammelte  Personen  bilden  eine  Menge  von  aach 
wesentlich  gleichartigen  Einheiten  —  Wenn  von  Mengen  gleichartigef- 
Einlmlen  gesprochen  wird,  so  ist  dies  zumeist  im  letztgedachten  Sinne 
geroeint.  Es  ist  hiernach  auch  klar,  was  unter  gleichartigen  Mer$gen 
zu  verstehen  ist. 

8.  um  zwei  Mengen  auf  ihre  Quantität  miteinander  zu  vergleichen, 
bildet  man  sie  aufeinander  ab.  Hienmter  soll  ein  (effektiver  odör  ge- 
danklicher Prozeß)  verstanden  werden,  durch  welchen  die  Einheiten 
der  einen  Me/ige  einzeln  den  Einheiten  der  andern  Menge  zugeordnet, 
anf  sie  bezogen  werden. 

Bei  zwei  Mengen  von  Kugeln  kann  man  diesen  Prozeß  beispiels- 
weise so  ausgeführt  denken,  daß  man  jedesmal  einer  Kugel  der  einen 
Menge  and  gleichzeitig  einer  Kngel  der  andern  Menge  ein  Zeichen 
macht,  wobei  eine  bereits  gezeichnete  Kugel  nicht  wieder  einbezogen 
werden  darf. 

Wenn  bei  dem  Abbilden  zweier  Mengen  aufeinander  beide  erschöpft 
werden,  so  nennt  man  die  Mengen  in  bezug  auf  die  Quantität  gleich. 

Alle  Mengen,  die  sich  in  solcher  Weise  auf  eine  Vergleichsmenge 
abbilden  lasFen,  sind  quantitatsgleich.  Denn  mit  der  Abbildung  auf 
die  Vergleichsmenge  geht  auch  eine  Abbildung  der  Mengen  aufein- 
ander einher,  indem  die  Einheiten  der  einzelnen  Mengen,  die  anf  die 
n&mliche  Einheit  der  Vergleichsmenge  abgebildet  werden,  auch  auf- 
einander abgebildet  sind. 

Wenn  bei  dem  Abbilden  zweier  Mengen  aufeinander  die  eine  er- 
schöpft wird,  während  von  der  andern  noch  Einheiten  verbleiben,  die 
an  der  Abbildung  nicht  teilgenommen  haben,  so  soll  die  Quantität 


Natürliche  Zahlen.  5 

der  zweiten  gröfier  heißen  als  die  der  ersten ,  jene  der  ersten  kleiner 
als  die  der  zweiten. 

Die  Quantität  ist  demnach  eine  Eigenschaft,  die  Terschiedener 
Grade  fähig  ist. 

4.  Zur  liezeichnuug  dieser  Grade  dienen  die  Zahlen. 

Eine  Zahl  ist  hiernach  der  Ausdruck  fQr  den  Quantitätsgrad  einer 
Menge  und  aller  mit  ihr  quantitätsgleichen  Mengen.  Die  Beziehungen 
f,grö&er^\  ^^kleiner^'  übertragt  man  von  den  Mengen  auf  die  zugehörigen 
Zahlen.  Darin,  daß  die  Zahl  sich  nur  auf  die  eine  Eigenschaft  einer 
Menge  bezieht  und  von  allen  andern  absieht,  liegt  der  Grund  ftir  die 
außerordentlich  große  Anwendbarkeit  der  Zahlen. 

TJm  die  Quantitätsgrade  wohlgeordnet  zu  erzeugen,  gehe  man  von 
einer  Einheit  (als  einer  uneigentlichen  Menge)  aus,  fOge  zu  ihr  eine 
weitere  Einheit,  zu  der  so  gebildeten  Menge  eine  neue  Einheit,  und 
fahre  so  fort;  gedanklich  besteht  kein  Hindernis,  dieses  Verfahren 
ohne  Ende  fortzusetzen.  Den  Quantitütsgradea  der  auf  diese  Art  nach 
und  nach  entstandenen  Mengen  ordnet  man  (für  den  mündlichen  Ver- 
kehr) Namett  —  ZaMuikter  — ,  (fQr  die  schriftliche  Mitteilung) 
Zeichen  —  Zahlzeichen  —  zu. 

Die  hierdurch  ausgedrückten  Zahlen  heißen  natürliche  Zahlen  und 
bilden  in  der  eben  beschriebenen  Aufeinanderfolge  die  natürliche 
Zahlenreihe.  In  Worten:  eins,  zwei,  drei,  vier . .  .,  in  Zeichen:  1,  2, 
3,4.... 

Man  kann  mit  den  natürlichen  Zahlen  auch  die  Null  (0)  einführen 
als  Ausdruck  (Zeichen)  für  die  Negation  einer  Menge,  für  das  Nicht- 
Torhandensein  jeglicher  Einheit.  Indessen  ist  es  nicht  gebräuchlich, 
sie  in  die  natürliche  Zahlenreihe  aufzunehmen,  Ton  der  sie  dann  den 
Anfang  zu  bilden  hätte. 

Solange  man  es  nur  mit  Mengen  bis  zu  einer  bestimmten  (mäßigen) 
Größe  zu  tun  hat,  könnten  Zahlwörter  und  Zahlzeichen  willkürlich 
gebildet  werden,  um  dem  beschränkten  Bedürfnis  zu  genügen.  So- 
bald aber  die  Notwendigkeit  oder  das  Verlangen  vorliegt,  beliebig 
große  Mengen  ihrer  Quantität  nach  zu  kennzeichnen,  ist  ein  Büdung»- 
prinzip  für  Namen  und  Zeichen  erforderlich.  Wir  besitzen  hierfür 
jenes  Prinzip,  das  dem  dekadischen  Zahlensystem  zugrunde  liegt. 

6.  Um  die  Quantität  einer  Menge  zu  bestimmen,  sie  zu  zahlen 
(abzuzählen),  bezieht  man  ihre  Einheiten  in  irgendeiner  Anordnung 
auf  die  Glieder  der  natürlichen  Zahlenreihe;  die  zur  letzten  Einheit 
gehörige  Zahl  bestimmt  die  Quantität  der  Menge. 

Statt  von  der  Quantität  Ca^r  Menge  spricht  man  auch  von  der  Amr 
zahl  der  in  ihr  enthaltenen  Einheiten. 

Insofern  die  2^hl  dazu  dient,  die  Anzahl  der  Einheiton  in  einer 
Menge  auszudrücken,  heißt  sie  Kardinalzahl.  Sie  kommt  dann  auf 
die  Frage  „wie  viel?"  zur  Antwort. 


4  Der  ZahlbegrifF.    §  1.   Reelle  ZabUn. 

Die  beim  Zählen  einer  ^^geordneien"^  Menge  auf  eine  bestimmte 
Einheit  treff^de  Zahl  kann  aber  auch  dazu  dienen,  die  Stellung  der 
Einheit  in  der  Menge  zu  kennzeichnen.  In  dieser  Verwendung  heißt 
die  Zahl  eine  Ordinalzahl]  ihr  Name  Toder  ihr  Zeichen)  wird  adjek- 
tivisch gebraucht  und  kommt  in  dieser  Form  auf  die  Frage  ,,der  (die, 
das)  wievielte?'^  zur  Antwort.  Drei  (3)  Glockensohlage  —  der  dritte 
(3.)  Glockenschlag. 

Es  ist  auch  die  Anschauung  ausgesprochen  worden,  der  Begriff 
der  Ordinalzahlen  sei  der  ursprüngliche  und  der  der  Kardinalzahlen 
Ton  ihm  abgeleitet.  Auch  die  Auffassung  ist  in  der  Literatur  ver- 
treten, die  in  der  Zahlenreihe  nur  Zeichen  in  bestimmter  Suksessian, 
ohne  Bezugnahme  auf  Mengen,  erblickt. 

Der  eingangs  beschriebene  primitive  Zählprozeß  erfahrt  für  prak- 
tische Zwecke  eine  weitgehende  Ausgestaltung,  die  schon  in  das  Ge- 
biet der  Arithmetik  fällt. 

Der  unmitielha/ren  Erfassung  der  Quantität  einer  Menge  sind  selbst 
bei  großer  Übung  enge  Schranken  gesetzt;  nur  ganz  kleine  Mengen 
wird  man  auf  den  ersten  Blick  ihrer  Quantität  nach  erkennen,  und 
selbst  da  spielt  die  Konfiguration  eine  große  Rolle.  Man  d^nke  an 
Dominosteine,  an  Kartenblätter,  an  die  regelmäßige  Anordnung  von 
Münzen  u.  dgl.  zum  Zwecke  des  Zählens.  Kommt  es  so  schon  bei 
Mengen  von  fünf,  sechs,  sieben,...  Einheiten  auf  die  Konfiguration 
an,  so  wird  es  bei  größeren  Mengen  auch  trotz  regelmäßiger  Anord- 
nung mit  einem  einfachen  Apperzeptionsakt  nicht  abgehen. 

Um  sich  von  dem  durch  eine  Zahl  ausgedrückten  Quantitätsgrade 
eine  anschauliche  Vorstellung  zu  bilden,  konstruiert  man  auf  dem- 
selben Wege,  auf  welchem  eine  bereits  vorliegende  Menge  gezählt 
wird,  eine  Menge  aus  beliebigen  Einheiten  [Kugeln,  Münzen,  Stabchen, 
Strichen  (1,  Einern)].  Derselbe  Vorgang  wird  befolgt,  wenn  es  sich 
darum  handelt,  eine  gegebene  Zahl  in  vorgeschriebenen  Einheiten  zu 
realisieren  (zuzählen  von  Äpfeln,  Nüssen,  Eiern,  Münzen  u.  dgl.). 

Neben  den  besonderen  Zahlzeichen,  welche  die  natürliche  S^ahlen- 
roihe  zusammensetzen,  benützt  man  in  der  Mathematik  aügetneine  Zahl- 
zeichen in  Form  von  Buchstaben. 

Mit  der  Aussage:  a  sei  eine  natürliche  Zahl,  ist  gemeint,  unter 
a  könne  jede  Zahl  der  natürlichen  Zahlenreihe  verstanden  werden. 

Sind  a,  h  zwei  Zahlen  dieser  Reihe  in  der  Sukzession,  in  welcher 
sie  darin  auftreten,  so  ist  a  kleiner  als  b  (a  <  6),  6  größer  als  a 
(b>a). 

6.  Addition.  Wenn  zwei  bereits  gezählte  Mengen  A,  Bf  denen 
die  Zahlen  a,  h  zukommen,  zu  einer  Menge  zusammengefaßt  werden, 
80  ensteht  die  Frage  nach  der  ihrer  Vereinigung  entsprechenden  ZahL 
Die  Forderung,  diese  zu  finden,  wird  durch  eines  der  Symbole 

a-{-b,        b  -ta  (1) 


Addition.  5 

ausgedrückt;  die  Operation^  durch  welche  die  neue,  stets  existierende 
und  einzige  Zahl  gefunden  wird,  nennt  man  Addition ^  ihr  ReBultat, 
eben  die  neae  Zahl,  Summe,  die  Zahkjn  a,  b  Summanden  oder  Addenden. 
Die  Addition  kann  so  ausgefiihrt  werden,  daß  man  in  der  nattir- 
lichen  Zahlenreihe,  von  der  einen  Zahl  ausgehend,  um  so  viele  Ein- 
heiten weiterzählt,  als  die  zweite  Zahl  angibt;  das  Resultat  ist  eine 
bestimmte  Zahl  Sy  unabhängig  Ton  der  Reihenfolge  der  Addenden. 
Diese  Tatsachen  drQckt  man  in  den  Ansätzen 

a  +  b^8  (2) 

a  -f.  6  -  5  -f  a  (3) 

aus.  Solche  Ansätze  nennt  man  Gleichungen'^  ihr  Sinn  erfordert  in 
jedem  Falle  eine  Erklärung. 

Gleichung  (2)  besagt,  daß  s  so  viele  Einheiten  zählt  als  a  und  h 
zusammen.     Aus  ihr  folgt  a  <$,  &  <  s. 

Gleichung  (3)  besagt,  daß  das  Resultat  der  Addition  unabhängig  ist 
von  der  Ordnung  der  Summanden;  sie  drückt  das  lommutative  Gesetz 
der  Addition  aus. 

Sind  drei  Mengen  Ä,  By  C,  welchen  die  Zahlen  a^byC  entsprechen, 
zusammenzufassen,  so  wird  die  Forderung,  die  ihrer  Vereinigung  ent- 
sprechende Zahl  zu  finden,  durch  das  Symbol  a  -^  b  -{-  c  oder  ein  ana- 
loges ausgedrückt,  das  sich  von  diesem  nur  durch  die  Ordnung  der 
Buchstaben  unterscheidet;  ausgeführt  kann  sie  auch  so  werden,  daß 
man  erst  irgend  zwei  der  Mengen  zusammengefaßt  denkt  und  die  zu- 
gehörige Zahl  bestimmt,  daraufhin  die  dritte  Menge  einbezieht;  die 
Ansätze 

a  -f  2)  4-  c  =  (o  -f  6)  +  c  «  a  -h  (^  +  c)  ^ (4) 

drücken  die  Tatsache  aus,  daß  das  Resultat  bei  jeder  dieser  Aus- 
führungsarten das  nämliche  ist,  sie  formulieren  das  assozicUive  Gesetz 
der  Addition. 

Die  Klammem  dienen  dazu,  die  sukzessive  Summenbildung  anzu- 
deuten. 

Man  kann  auf  diese  Art  zu  beliebig  vielen  Summanden  fortschreiten. 

Die  Arithmetik  hat  mechanische  Regeln  ausgebildet,  mit  deren  Hilfe 
die  Addition  von  beliebig  vielen,  beliebig  großen  Zahlen  mit  einem 
geringen  Wissensvorrat  (die  Summen  je  zweier  der  Zahlen  1^,  •  •  •  9) 
bewerkstelligt  wird. 

Die  beiden  an  der  Addition  erkannten  Gesetze,  das  kommutative 
und  das  assoziative,  machen  ihr  Wesen  aus.  Ihr  Begriff  kann  dahin 
erweitert  werden,  daß  man  jeder  Verknüpfung  von  irgendwelchen  Ob- 
jekten, der  in  bezug  auf  ein  bestimmt  definiertes  Resultat  diese  Ge- 
setze zukommen,  den  Namen  Addition  beilegt.  (Geometrische  Addi- 
tion gerichteter  Strecken.) 


6  Der  Zahlbegriff.    §  1.   Beeile  Zahlen. 

7.  Kttltlplikation«  «Teder  Einheit  der  Menge  B  werde  eine  Menge 
A  zugeordnet;  es  ist  die  Zueamroenfaetmng  dieeer  Mengen  A  zu  zählen. 
Svmholisch  wird  diese  Forderung  durch 

bxa  (1) 

ausgedrückt;  die  Operation,  die  zu  der  neuen  Zahl  führt,  heißt  MtU- 
tiplikaHan,  ihr  stete  einzig  Torhandenes  Resultat  Produkt,  b  der  Mul- 
tipHkatoTy  a  der  Multiplikand. 

Im  Wesen  ist  die  Multiplikation  von  der  Addition  nicht  verschieden; 
denn  auch  sie  entspricht  der  Zusammenfassung  von  Mengen,  nur  sind 
diese  nach  einem  besonderen  Gesetz  gebildet.     Der  Ansatz 

bxa^ä'\-ä^"  +  ä  (2) 

zeigt  die  Zurückfübrung  der  Multiplikation  auf  die  Addition  und  läßt 
daa  Produkt  als  die  Summe  einer  Anzahl  gleicher  Summanden  erkennen. 
Die  aus  den  A  zusammengesetzte  MengOy^kann  man  sich  in  der 
Weise  in  Mengen  B  aufgelöst  denken,  daß  man  je  eine  Einheit  aus 
jeder  Menge  A  entnimmt  und  diese  Einheiten  zusammenfaßt;  es  ent- 
stehen 80  a  Mengen  B,  so  daß 

bxa-^axb  (3) 

ist.  Das  hierin  ausgesprochene  Gesetz  heißt  das  kommutathe  Gesetz 
der  Multiplikation.  Es  hebt  den  bisher  zwischen  Multiplikator  und 
Multiplikand  gemachten  Unterschied  als  für  das  Resultat  unwesent- 
lich auf  und  gestattet,  beiden  Zahlen  einen  gemeinsamen  Namen  zu 
geben;  man  nennt  sie  Faktoren  und  bedient  sich  statt  (1)  der  kürzeren 
Schreibweise  a  •  b  oder  a  h. 

Wegen  des  besonderen  Sachverhalte,  daß  1  •  a  *-  a  •  1  -*  a,  nennt 
man  1  den  Modul  der  Multiplikation. 

Die  Produkte  la,2a,  3a,  •  •  *  heißen  die  Vid fachen  von  a.  Weil 
im  Sinne  von  (2)  i  j  c 

c  (a  -f  6)  -  (a  -f  6)  r  «-  a  +  ?'  +  älr'b  +  •  •  •  -h  a  +  6 

12  eil  <* 

so  ist 

f  (a  4-  5)  -  (a  +  6)  c  «  ra  -f  c6  -  oc  ^bc-,  (4) 

bei  nochmaliger  Anwendung  dieses  Gesetzes  findet  man  auch 

(a  -h  6)  (c  +  (/)  -  oc  4-  a<^  +  ^  -f  W.  (5) 

Das   in   dieser   Verknüpfung   von  Multiplikation    und   Addition   aus- 
gesprochene Gesetz  heißt  das  distributive  Gtaetn  beider  Rechnungsarten, 
das  auf  Summen  beliebig  vieler  Addenden  ausgedehnt  werden  kann. 
Aus  (3)  und  (2)  folgt,  daß 


HuliiplikAtion.    PotenziereTi.  7 

führt  mau  beide  Formen  nach  der  Regel  (4)  aus,  so  ergibt  sich,  daß 

(ab)  e  -  (ac)  b  -.  {be)  a.  (6) 

Das  hierin  liegende  Verhalten  eines  Produktes  Ton  drei  Faktoren  nennt 
man  das  assoziative  Gesetz  der  Multiplikation,  das  die  Anschreibung 
des  Produktes  in  der  Form  abc  zuläßt;  es  kann  auf  beliebig  viele 
Faktoren  ausgedehnt  werden. 

Auch  die  Multiplikation  beliebig  großer  Zahlen  führt  die  Arithmetik 
auf  ein  mechanisches  Verfahren  zurück,  das  nur  die  Kenntnis  der 
Produkte  je  zweier  der  Zahlen  1,  2»  •  •  •  9  voraussetzt. 

Das  kommutative^  assoziative  und  distributive  Gesetz  machen  das 
Wesen  der  Multiplikation  aus  ohne  Rücksicht  auf  das  Substrat,  an 
dem  die  Op^^rat Ionen  ausgeführt  werden. 

8.  Potenzieren.  Aus  der  Monge  A  werde  eine  neue  Menge  nach 
folgendem  Gesetz  erzeugt:  man  ersetzt  jede  Einheit  von  A  durch  eine 
Menge  Ay  in  der  neuen  Menge  wieder  jede  Einheit  durch  eine  Menge  A 
und  führt  diesen  Prozeß  n-mal  nacheinander  aus.  Die  Forderung, 
die  zuletzt  entstandene  Menge  zu  zählen,  soll  durch  das  Symbol 

o"  (1) 

angezeigt  werden;  die  Operation,  welche  dazu  führt,  heißt  das  Poten- 
zieren y  ihr  eindeutiges  Resultat  Fotengy  a  die  Basis^  n  der  Exponent. 
Im  Grunde  genommen  ist  das  Potenzieren  eine  unter  besonderen 
Umstanden  wiederholte  Multiplikation;  der  Ansatz 

1  S  n 

a^  '^  ää  ' '    ä  (2) 

erklärt  diese  Zurückfuhrung  des  Poteuzierens  auf  die  Multiplikation, 
und  da  diese  ihrerseits  auf  die  Addition  zurückleitet,  so  ist  ein  ge- 
meinsamer Ursprung  dieser  drei  Operationen  dargetan. 

Im  Sinne  von  (2)  ist  a^  =  a,  dagegen  1"  =  1,  welche  natürliche 
Zahl  auch  n  sein  möge. 

Die  Zahlen  a*,  o*,  a'  •  •  •  nennt  man  die  Potenzen  von  a.  Ins- 
besondere heißen  die  2..  3.,  4.  Potenz  auch  Quadrat,  Kubus  und  Bi- 
quadrat. 

Es  ist  eine  wesenüicke  Eigenschaft  der  bisJier  vorgeführten  drei 
Operationen y  daß  sie  immer  zu  eitlem^  aber  audi  nur  einein  Resultate 
führen. 

9.  Subtraktion.  Die  Subtraktion  entspringt  aus  der  Forderung, 
von  einer  Menge  A  eine  bestimmte  Teilmenge  B  (effektiv  oder  ideell) 
abzulösen  und  die  zur  verbleibenden  Menge  gehörige  Zahl  zu  finden, 
wenn  die  Zahlen  a,  b  bekannt  sind.  In  arithmetischer  Ausdruoksweise 
heißt  dies,  zu  gegebener  Summe  a  und  einem  Summanden  b  den 
andern  Summanden  bestimmen;  die  Forderung  werde  durch  das  Symbol 

a-b  (1) 


S  Dex  Zahlb«gnff.    I  1.    Reelle  Zahlen. 

AUBgedrückt.  Die  zur  Lösung  führendo  arithmetische  Operation  heißt 
Subiraktiany  ihr  Resultat  Di/ferene,.  a  der  Minuend,  h  der  Subtrdhmd. 
Benützt  man  das  Symbol  (1)  auch  als  Zeichen  für  das  Resultat,  so 
ist  das  Wesen  der  Subtraktion)  das  in  ihrem  Zusammenhang  mit  der 
Addition  liegt,  durch  den  Ansatz 

h  -V  {a  -h)  ^  {a-h)  +  h  '^  a  (2) 

erklart. 

Was  nun  diese  neue  Rechnungsart  Ton  den  vorigen  wesentlich 
unterscheidet;  ist  der  Umstand,  daß  ihre  Ausführbarkeit  an  eine  aus 
der  Natur  der  Addition  hervorgehende  Beschränkung  geknüpft  ist:  da 
nämlich  die  Summ©  zweier  Zahlen  größer  ist  als  jeder  Summand  (6), 
so  ist  die  Subtraktion  nur  möglich,  wenn  der  Minuend  größer  ist  ah 
der  Subtrahend. 

Hier  tritt  nun  ein  in  allen  Teilen  der  Mathematik  befolgtes  Prinzip 
zur  erstmaligen  Anwendung,  darin  bestehend,  daß  man  den  Operationen 
entgegenstehende  Schranken  durch  Begriffserweiterungen  beseitigt,  die 
solcher  Art  sind,  daß  feie  die  früheren  Begriffsbildungen  mit  den  sie  be- 
herrschenden Gesetzen  mit  umfassen.  Man  nennt  dies  Prinzip  nach 
H.  Haukel,  der  es  zuerst  formuliert  hat^),  das  Prinzip  d^.r  Tormanene. 
Es  hat  sich  gezeigt,  daß  den  formalen  Begriffserweiterungen  in  vielen 
Fällen  auoh  eine  reale  Deutung  unterlegt  werden  kann. 

In  dem  vorliegenden  Falle  soll  nun  die  Begriffserweitcrung  darin 
bestehen,  daß  man  das  Symbol  (1)  immer,  also  auch  dann  als  ZM  an* 
sieht,  wenn  a  <,l>  und  a  »»  &  ist;  bei  a  >  ft  hat  man  es  wieder  mit 
den  bisherigen  Zahlen  zu  tun. 

Durch  diese  Festsetzung  wird  dem  Symbol  neben  einem  quanti- 
tativen auch  ein  qualitativer  Inhalt  erteilt;  bezeichnet  man  nämlich 
mit  d  den  IP^schuß  der  größeren  der  beiden  Zahlen  a,  6  über  die 
kleinere,  so  sind  zwei  Qualitäten  möglich:  entweder  liegt  der  Über- 
schuß auf  Seite  des  Minuends  oder  auf  Seite  des  Subtraliends.  Um 
diesen  Qualitätsunterschied  zum  Ausdruck  zu  bringen,  ist  neben  dem 
Zahlzeichen  als  Quantitäts^eichen  noch  ein  Qualitäiszeichen  erforderlich; 
ols  solches  ist  für  den  ersten  Fall  das  Zeichen  -f-  (plus),  für  den  zweiten 
das  Zeichen  —  (minus)  eingeföhrt  worden;  die  mit  diesen  VorBeid^en 
ausgestatteten  Zahlen  werden  positive,  bzw.  negative  Zahlen  genannt 

In  dem  Falle  jedoch,  daß  Minuend  imd  Subtrahend  überein- 
stimmen, gibt  €8  keinen  Überschuß,  es  entfällt  also  auch  die  Unter- 
scheidung seiner  Qualität:  die  quantitäts-  und  qualitätslose  Zahl  wird 
mit  dem  Namen  Null  und  dem  Zeichen  0  eingeführt. 

Af  an  hat  hiemach  ,        .    , .    .      ^   » 

a  —  6  —  -r«beia>6 

d^b-^-d  „    a<h  (8) 

a-a^      0. 

1)  Theorie  der  komplexen  Zahltyiteme,  1867. 


Subtraktion.    Null  und  negatiTe  Ztblen.  9 

Die  aus  dieser  BegriffserweiteruDg  berrorgehenden  Zahlen  bilden 
das  System  der  rdainen  (qualifizierten,  nach  einer  älteren  Nomen- 
klatur, der  aber  heute  eine  ganz  Andere  Bedeutung  unterlegt  wird, 
algebraische)  Zahlen.  In  seinem  Bereiche  ist  jede  Subtraktion  aun- 
fahrbar. 

Die  bloBe  Quantität  einer  relativen  Zahl  nennt  man  ihren  ab- 
soluten Wert.  Bezeichnet  a  eine  relative  Zahl,  so  wird  ihr  absoluter 
Wert  Bjmboliseh  durch  \a\  ausgedrückt.     (1  -f  3  |  --  3,    -  3  ,  —  3). 

Wendet  man  die  unter  (2)  angeführte  wesentliche  Eigcnbchaft 
der  Subtraktion  auf  den  letzten  der  eben  unterschiedenen  Fälle  an,  so 
folgt,  daß 

a  -f  0  -  0  -f  «  -  «;  l4) 

wegen  dieses  Verhaltens  wird  0  der  Modul  der  Addition  genannt. 
Trifft  man  in  dem  erweiterten  Zahlensystem  die  Festsetzung,  daß 

sein  soll,  je  nachdem 

so  ist:  1.  eine  positive  Zahl  um  so  größer,  je  größer  ihr  absoluter 
Wert;  2.  eine  negative  Zahl  um  so  kleiner,  je  größer  ihr  absoluter 
Wert;  3.  die  Null  kleiner  als  jede  positive,  größer  als  jede  negative 
Zahl;  4.  jede  negative  Zahl  kleiner  als  jede  positive  Zahl. 

Die  positiven  Zahlen  zeigen  hier  dasselbe  Verhalten  wie  die  natür- 
lichen, die  negativen  das  entgegengesetzte.  Veimöge  dieses  Gegen- 
satzes passen  sich  die  relativen  Zahlen  vielen  konkreten  Sachverhalten 
naturgemäß  an. 

Definiert  man  die  Addition  relativer  Zahlen  durch  den  Ansatz 

(a  -  5)  -f  (a  ->  V)  =  (a  4-  «')  ~  (6  +  h'\ 

so  ist:  1.  die  Summe  zweier  positiven  Zahlen  die  positive  Summe 
ihrer  absoluten  Werte;  2.  die  Summe  zweier  negativen  Zahlen  die 
negative  Summe  ihrer  absoluten  Werte;  3.  die  Summe  einer  positiven 
und  einer  negativen  Zahl  der  Überschuß  des  größeren  absoluten  Wertes 
über  den  kleineren,  versehen  mit  dem  Vorzeichen  des  größeren. 

Dieser  Sachverhalt  gestattet  die  Auffassung  von  a  —  6  als  Summe 
der  relativen  Zahlen  -f  a  und  —  h,  so  daß  nach  Einführung  der  rela- 
tiven Zahlen  eine  Unterscheidung  zwischen  Addition  und  Subtraktion 
überflüssig  wird. 

Definiert  man  die  Multiplikation  relativer  Zahlen  durch  den  Ansatz 

(a  -  h)  {a  -  V)  -  {aa:  -f  hl')  -  {aV  -f  ah\ 
so  ergibt  sich,  indem  man  der  Reihe  nach 


10  Dtr  Zahlbegriff.    §  1.   Reelle  Z»hitD. 

6  -  a  +  J,  6'  -  a'  +  <^ 

a  -  6  +  (?,  6'  -  a'  +  <f  oder  6  -  a  4-  i,  a'  -  6'  +  / 

6  »  a  oder  V  ■«  a  oder  beides  zugleich 

setzt  und  rechts  die  Regel  7,  (5)  anwendet:  1.  das  Produkt  zweier 
positiven  und  zweier  negativen  Zahlen  ist  das  positive  Produkt  ihrer 
absoluten  Werte;  2.  das  Produkt  einer  positiven  und  einer  negativen 
Zahl  das  negative  Produkt  ihrer  absoluten  Werte ;  3.  das  Produkt  aus 
0  mit  einer  relativen  Zahl  oder  mit  0  selbst  0;  in  anderer  Weise 
kommt  0  als  Produkt  nicht  zustande. 

Man  erkennt^  daß  diesen  Rechengesetzen  gegenüber  die  positiven 
Zahlen  sich  so  verhalten  wie  die  natürlichen  Zahlen. 

10.  Division.  Die  Forderung,  eine  gegebene  Menge  A  in  Mengen 
von  der  Quantität  h  aufzulösen  und  diese  Mengen  zu  zählen,  oder  Ä 
in  h  gleiche  Mengen  zu  teilen  und  die  zu  einer  solchen  Teilmenge 
gehörige  Zahl  zu  bestimmen,  führt  zu  der  arithmetischen  Aufgabe, 
die  (natürliche)  Zahl  a  als  Produkt  zweier  Faktoren  darzustellen, 
deren  einer  h  ist;  die  Operation,  die  zur  Auffindung  des  zweiten  Fak- 
tors führt,  heißt  Division,  das  Resultat  Quotimt,  a  der  Dividend,  b  der 
Divisor',  deutet  man  die  Forderung,  aber  auch  ihr  eventuelles  Resultat, 
durch  das  Svmbol  a:b  oder 

'f  (1) 

«ku,  so  drückt  sich  das  Wesen  der  neuen  Rechnungsart  durch  den 
Ansatz 

hl-lh.a  (2) 

aus,  der. ihren  Znsammenhang  mit  der  Multiplikation  darstellt. 

Die  Ausführbarkeit  der  Division  ist  aber  an  eine  Schranke  ge- 
bunden: nur  dann,  wenn  a  ein  Vielfaches  von  b  ist,  ergibt  «ich  eine 
und  dann  immer  nur  eine  Lösung. 

Das  Prinzip  der  Permanenz  fordert  neuerdings  eine  Begriff- 
erweiterung,  die  zu  einer  ausnahmslosen  Durchführbarkeit  der  Division 
zu  verhelfen  hat,  und  dies  soll  wiederum  darin  bestehen,  da£  man  das 
Symbol  (1)  immer,  also  auch  dann  als  Zahl  ansieht,  wenn  a  kein  Viel- 
faches  von  h  ist 

Durch  diese  Festsetzung  treten  zu  den  bisherigen  (natttrlichen)  Zahlen 
neue  Zahlen,  die  num  gfbrt)chet/ui  Zahlen  oder  Brüche  nennt,  wahrend 
man  den  ersteren  zum  Unterschiede  von  diesen  den  Namen  ganjse 
ZuMen  gibt. 

In  dem  Bruche  ^  heißt  a  Zähler^  b  Nenner, 


Dirision.    Brfiche.  H 

Jede  ganxe  Zahl  a  kann  man  in  der  Form  eines  Bruches  darstellen, 
indem  man  sie  schreibt  ,  da  im  Sinne  der  DiTision  «-  a,  weil 
a .  1  -"  a  ist. 

Trifft  man  bezQglich  der  GröfienTergleichnng  zweier  Brüche  ^  ^  ^« 
die  Festsetzung,  daß 

b  5  i' 

sein  soll;  je  nachdem 

ist,  so  steht  die  Vergleichong  ganzer  Zahlen  hiermit  im  Einklang. 
Es  folgt  aus  dieser  Festsetzung  die  Gleichheit  zweier  Brüche  von 

der  Form^  und  ^r  .  Dieser  Umstand  ermöglicht  einerseits,  einen  Bruch 

auf  die  einfachste,  die  redusitrte  Form  zu  bringen,  bei  der  Zahler  und 
Nenner  keinen  gemeinsamen  Faktor  haben;  anderseits  Brfiche  mit 
Terschiedenen  Nennern  in  solche  mit  einem  und  demselben  Nenner 
umzuwandeln. 

Definiert  man  Addition  und  Subtraktion  von  Brüchen  durch  die 
Ansätze : 

a    .   a        a&'-f  a'6  ,ov 

a       a        «6'  —  ah  ^jx 

h^b' öF~~'  w 

80  passen  diese  Regeln  auch  auf  ganze  Zahlen,  und  hebt  man  bei  der 
Subtraktion  die  Beschränkung   i^  >  ■.'  ^^t  ^o  gelangt    man   xu   dem 

Begriff  der  relativen  (qualifizierten)  Brücke. 

Zwischen  zwei  Brüche  kann  man  immer  wieder  Brüche  einschalten; 

sind  rf  y  zwei  angleiche  Brüche  und  v  >  t?,  so  bringe  man  sie  auf 
die  Form  ^-,,  ^^^ ;  dann  ist 

b^Tb'^F' 
wenn  der  Zähler  i  so  gewählt  wird,  daß  ab'>g>ah  ist*).     Die 
Menge  der  Brfiche  zwischen  j.    und  ,,  ist  hiernach  unbegrenzt. 


b b' 

Für  die  Multiplikation  gelte  die  Regel: 


a  a        aa 
b  b'  "  66' ' 


(5) 


1)  Sollten  ab'  und  a'b  aar  um  eine  Einheit  verschieden  sein,  so  geht  man 

,      _,         kab'    ka'b  ..^  .s 

von  d«  Form  ^.^g  ,  j^^y  »u.   *>l). 


12  Der  Zahlbegriff.    §  1.    Reelle  Zahlen. 

der  sich   auch   die  Multiplikation  ganzer  Zahlen    unterordnet.     Aof 
Grund  dieser   Regel  kann  der  in  8  aufgestellte   Begriff  der  Potenz 
auf  den  Fall  ausgedehnt  werden,  daß  die  Basis  ein  Bruch  ist. 
Die  Division  hat  notwendig  der  Regel 

•ZU  folgen,  wejl  dann  tatsächlich  ^^  ^,  —  ^^,^,  —  ^  ist. 

Eine  be.sondero  Hervorhebung  beanspruchen  die  Fälle,  in  welchen 
die  0,  als  ganze  Zahl  aufgefaßt,  zur  Bruchbildung  (Division)  heran- 
gezogen wird. 

Die  Division  ^  ,  wo  6  eine  von  0  verschiedene  Zahl  ist,  führt  zum 
Quotienten  0,  da  6  •  0  «-»  0  ist. 

Die  Division  ,  wo  a  eine  von  Null  verschiedene  Zahl  ist,  ist  un- 
ausführbar, da  a  aus  keiner  Zahl  durch  Multiplikation  mit  0  her- 
vorgeht. 

Der  Division       kann  jede  beliebige  Zahl  q  als  Quotient  zugeordnet 

werden,  da  0$  -»  0,  welche  Zahl  auch  q  sein  möge;  hier  fehlt  also 
die  eindeutige  Bestimmtheit  des  Resultats,  die  bisher  durchgehenda 
gewahrt  blieb. 

Es  folgt  daraus  die  für  die  Analysia  wichtige  Tntsache,  daß  die 
Null  als  Divisor  (Nenner)  unzulässig  ist. 

Die  Division  (natürlicher)  Zahlen  wird  in  der  Arithmetik  noch  in 
einem  andern  Sinne  definiert,  der  über  die  natürlichen  Zahlen  nicht 
hinausführt.  Ist  a  >  ^,  so  soll  a  als  Summe  aus  einem  Vielfachen 
von  h  und  einer  Zahl  dargestellt  werden,  die  kleiner  als  b  (eventuell 
0)  ist;  mit  andern  Worten,  die  natürlichen  Zahlen  g,  r(<  h)  sollen 
so  bestimmt  werden,  daß 

a-(z6  4-r  (7) 

sei.  In  dieser  Auffassung  stellt  sich  die  Division  als  wiederholte 
Subtraktion  des  Divisors  h  vom  Dividenden  a  dar,  bis  ein  unter  6 
liegender  Best  r  verbleibt;  ist  dieser  0  (wird  a  dadurch  erschöpft), 
so  heißt  a  durch  h  teilbar. 

Schließlich  sei  noch  bemerkt,  daß  die  Einführung  der  Brüche  die 
Unterscheidang  zwischen  Multiplikation  und  Division  entbehrlich  macht; 
denn  die  Division  von  a  durch  b  kann  als  Multiplikation  von  a  mit 

dem  Bruche  ^  aufgefaßt  werden.  Brüche  mit  dem  Zähler  1  nennt 
man  Stammbrüchc. 

XL  Baüoaal«  Zahlen.  Die  relativen  Brüche  im  Verein  mit 
den  relativen  ganzen  Zahlen  bilden  das  System  der  rationalen  Zahlen. 
Innerhalb  dieses  Systems  sind  Addition,  Multiplikation,  Subtraktion 


Rationale  Zahlen.    Radizieren.  13 

und  Diviiion  ohne  Einsclirankang  ausführbar.  Nennt  man  ein  Zahlen- 
system, das  sich  in  bezug  auf  die9^  vier  Rechnungsarten,  die  ,,vier 
Spezies",  in  der  beschriebenen  Weise  verhält,  einen  Zahlkörper^  so  hat 
man  das  System  der  rationalen  Zahlen  als  einen  Zahlkörper  zu  be- 
zeichnen« 

Man  denkt  sich  die  Brüche  zwischen  die  bereits  geordneten  ganzen 
Zahlen  nach  ihrer  Größe  eingeordnet,  so  daß  auch  das  System  der 
rationalen  Zahlen  unter  dem  Bilde  einer  nach  beiden  Seiten  unbe- 
schrankt fortsetzbaren  Reihe  erscheint. 

Mit  der  Schaffung  der  Brüche  ist  ein  bedeutsamer  Schritt  Ton 
der  Mengenlehrt  zur  GrÖßenlehre  getan.  Um  nämlich  einer  exiensiren 
Größe  (das  einfachste  Bild  einer  solchen  ist  eine  Strecke)  eine  2^ahl 
zuzuordnen,  yerwandelt  man  sie  durch  Teilung  in  eine  Menge,  die 
man  zahlt;  die  Teile  werden  einer  gleichartigen,  als  Einheit  gewählten 
Größe  „gleich*^  gemacht.  Bleibt  bei  der  Teilung  ein  Rest  (kleiner 
als  die  Einheit),  so  verfahrt  man  mit  diesem  ebenso  unter  Zugrunde- 
legung eines  bestimmten  aliquoten  Teiles  der  früheren  Einheit  usw. 
In  diesem  Vorgange  ist  der  eigentliche  Ursprung  der  Bräche  zu  er- 
blicken. 

12.  BAdiiieren.  Subtraktion  und  Division  knüpfen  mit  ihrer 
Fragestellung  an  die  Addition  und  Multiplikation  an  und  sind  inso- 
fern als  Umkehrungen  dieser  Rechnungsarten  aufzufassen,  als  eine  vor- 
dem als  gegeben  vorausgesetzte  Zahl  nuumehr  als  zu  bestimmende 
Zahl  erscheint. 

Nimmt  man  das  Potenzieren  zum  Ausgangspunkt  einer  solchen 
Umkehrung,  indem  man  nach  der  Basis  fragt,  die  zu  einem  natür- 
lichen Exponenten  n  erhoben  werden  muß,  damit  eine  gegebene  posi- 
tive rationale  Zahl  a  als  Potenz  hervorgehe,  so  entsteht  eine  neue 
Rechnnngsoperation,  die  man  das  Radijsieren  oder  Wurzelziehen  nennt; 
die  Potenz  a  heißt  nun  Radikand,  der  Exponent  n  der  Wundexponent^), 
und  die  gestellte  Forderung  sowie  ihr  eventuelles  Resultat,  die  Wurzd, 
wird  durch  das  Symbol 

Vi  (1) 

dargestellt ;  das  Wesen  der  neuen  Rechnungsart,  in  ihrer  Zurückführung 
auf  das  Potenzieren  bestehend,  ist  durch  den  Ansatz 

{Va)"-a  (2) 

bestimmt. 

Die  Ausführbarkeit  ist  jedoch  auf  solche  Zahlen  a  beschränkt, 
die  nte  Potenzen  rationaler  Zahlen  sind,  d.  h.  die  sich  als  Produkte 
von  n  gleichen  rationalen  Faktoren  darstellen  lassen.  Will  man  also 
d^  Radizieren  (mit  den  hier  über  die  Natur  der  Zahlen  a,  n  ge- 
troffenen Festsetzungen)  bedingungslos   ausführbar   machen,   so   tritt 

l)  Auch  Grad  der  Wurtel. 


X4  Der  Zablbegriff.    §  1.   Reelle  Zahlen. 

die  Notwendigkeit  einer  nenerlichen  Erweiterung  des  bisherigen  Zahl- 
begrifTs  ein,  und  diese  soll  zunächst  wieder  formal  in  der  Weise  ge- 
schehen, daß  man  das  Symbol  (1)  immer,  also  auch  dann  als  eine 
XM  erklart,  wenn  a  nicht  die  nte  Potenz  einer  (positiTen)  rationalen 
Zahl  ist 

Es  handelt  sich  nun  darum,  die  so  eingeführten  neuen  Zahlen 
mit  den  rationalen  in  eine  Beziehung  zu  bringen.  Der  hierzu  fahrende 
Gedankengang  soll  zunächst  durch  Betrachtung  einer  speziellen  Auf- 
gabe vorbereitet  werden. 

Das  Symbol  ^2  verlangt  die  Bestimmung  einer  Zahl,  die  zum 
Quadrat  erhoben  2  gibt.     Daß  keine  rationale  Zahl  dieser  Forderung 

entsprechen   kunn,   ist  so   zu   erkennen.     Ware       eine  solche   —  sie 

kann  in  der  reduzierten  Form  vorausgesetzt  werden  — ,  so  müßte 
^)*  »29'  sein;  dies  hätte  einerseits  die  Teilbarkeit  von  p*  durch  2, 
anderseits  die  Teilbarkeit  von  2  durch  /)',  also  p^  =»  2  und  ^*  =  1  zur 
Folge;  nun  ist  aber  2  nicht  das  Quadrat  einer  ganzen  Zahl,  somit 
die  obige  Annahme  hinfällig. 

1.  Die  durch  das  Symbol  y^  ausgedrückte  Forderung  bewirkt 
demnach  eine  Scheidung  der  (positiven)  rationalen  Zahlen  in  zwei 
Klassen  A,  B  in  der  Weise,  daß  alle  Zahlen  der  ersten  Klasse  ein 
Quadrat  kleiner  als  2,  alle  Zalilen  der  zweiten  Klasse  ein  Quadrat 
größer  als  2  geben;  infolgedessen  ist  auch  jede  ZaM  der  Klasse  Ä 
kleiner  als  jede  Zahl  aus  B. 

Es  gibt  aber  in  der  Klasse  A  keine  größte  und  in  der  Klasse  B 
keine  kleinste  Zahl. 

Denn  ist  x  eine  Zahl  aus  Af  also  a;'  <  2,  so  läßt  sich  ein  posi- 
tives h  so  bestimmen,  daß  auch  {x  -f  /i)'  <  2  wird;  denn  aas 

2Äa:<2Äa;-f  Ä*<2-a;» 

folgt  h<  -  -     ,   und  jede  rationale  Zahl  zwischen  x  und  x  4-   -•  ♦" 

24-x' 
—    «Ä     gehört  auch  zur  Klasse  A.   Und  ist  y  eine  Zahl  der  Klasse  B, 

also  y*  >  2,  so  läßt  sich  die  positive  Zahl  k  so  bestimmen,  daß  auch 
(y  --  A*)'  >  2  wird;  denn  aus 

2Ä:y<jr'-2-hib«<y«-l 
folgt  k  <  "j^  -,  und  jede  rationale  Zahl  zwischen  y  —  ^     -  —  ^^--~ 
und  y  gehört  auch  zur  Klasse  B. 

Nach  einer  von  R  Dedeki ud')  eingeführten  Ausdrucksweise  be- 
wirkt also  die  Forderung  |/f  einen  Schnitt  im  System  der  rationalen 
Zahlen,  dur^h  welchen  eine  neue,  diesem  System  nicht  angehörige 
Zahl  vullkommen  bestimmt  erscheint,  eben  die  durch  das  Symbol 
yt  definierte  Zahl* 

1)  Stetigkeit  and  irrationale  Zahlen,  1.  Aofl.  1878,  8.  Aufl.  1905. 


Irralionale  Zahlen.  X5 

2.  Das  Verfahren  y  welches  die  Arithmetik  zur  Aasziehung  der 
Quadrabnurzel  lehrt,  auf  den  Yorliegenden  Fall  angewendet,  ist  im 
Grunde  genommen  eine  systematiscBe  Entwicklung  von  Zahlen  der 
Klasse  A,  denen,  wieder  nach  einem  systematischen  Vorgang,  Zahlen 
der  Klasse  B  zugeordnet  werden  können. 

Bezeichnet  nämlich,  in  der  üblichen  Ausdrucksweise  der  Arith- 
metik gesprochen,  a,  die  auf  n  Dezimalen  abgekürzte  |^2,  so  gehören 
die  Zahlen 

«0.  »i»  öj,     ••  ö^;     ••  «3) 

d.i.  1,  1,4,  1,41,  •*•  der  Klasse  Ä  an,  weil  ihre  Quadrate  kleiner 
sind  als  2,  und  die  aus  ihnen  durch  Erhöhung  der  Ziffer  an  der 
niedrigsten  Stelle  um  1  abgeleiteten  Zahlen 

K*  ^>  ^tf '  •,•  K    "  W 

d.  i.  2,  1,5,  1,42,  •  •  der  Klasse  B  an,  weil  ihre  Quadrate  größer 
sind  als  2.  Und  so  wie  das  arithmetische  Verfahren  keinen  Abschluß 
findet,  sind  auch  die  beiden  Zahlenfolgen  (3),  (4)  unbegrenzt  fortsetz 
bar,  d.  h.  ist  man  bei  einem  noch  so  späten  Gliede  angelangt,  so  kann 
man  immer  wieder  nach  dem  erwähnten  Verfahren  das  folgende  ab- 
leiten. 

Jede  Zahl   aus   (3j    ist  kleiner  als  jede  Zahl  aus  ^4);  da  nun 

6,  —  a^  —  -  -    und   aus  dem   oben  angeführten  Grunde  jedes  auf  a^ 

beliebig  später  folgende  Glied  o„  +  ,  zwischen  a,  und  h^  fällt,  so  ist 

mit  anderen  Worten:  zu,  einer  beliebig  klein  festgesetzten  positiven 
rationalen  Zahl  6  läßt  sich  die  Stellzahl  n  so  bestimmen,  daß 

wird  bei  beliebigetn  p.   Ein  ähnliches  Verhalten  zeigt  auch  die  Reihe  (4). 

Der  Sachrerhalt  ist  nun  der,  daß,  wiewohl  keine  der  Zahlen  a,  die 
Forderung,  zum  Quadrat  erhoben  2  zu  geben,  streng  erfiUlt,  sie  dieser  For- 
derung, je  weiter  man  in  ihrer  Reihe  vorschreitet,  immer  näher  kommen 
in  dem  Sinne,  daß  die  Differenz  2  —  aj  bei  beständig  zunehmendem  n 
beständig  kleiner  wird  und  durch  entsprechende  Wahl  des  n  unier 
jede  noch  so  kleine  positive  Zahl  herabgedrQckt  werden  kann. 

In  diesem  Sinne  soll  und  kann  die  unbegrenzte  2^hlenfolge  (S) 
zur  Definition  der  durch  )/2  symbolisch  angedeuteten  Zahl  verwendet 
werden. 

13.  Xrratioiuile  Zahlen.  Die  aus  der  ßctrafhtung  eines  be- 
sonderen Falles  gewonnenen  Gedankenbildungen  sollen  nun  verallge- 
meinert werden. 


16  Der  Zahlbegriff.    §  1    Beeile  Zahlern 

1.  Die  Scheidaag  des  Systems  der  rationalen  Zahlen  in  zwei 
Klassen  Ay  B  derart,  daB  jede  Zahl  a  aus  A  kleiner  ist  als  jede  Zahl 
h  ans  B,  soll  ein  Schmitt  genannt  werden  (Schnitt  {A,B)). 

Der  Schnitt  kann  dnrch  eine  rationale  Zahl  selbst  geschehen;  sie 
kann  dann  nach  Belieben  der  Klasse  Ä  als  größte  oder  der  Klasse  B 
als  kleinste  unter  ihren  Zahlen  zugeschrieben  werden. 

Erfolgt  der  Schnitt  so,  daß  Ä  keine  größte  and  B  keine  kleinste 
Zahl  enthält,  so  bestimmt  er  eine  neue,  außerhalb  des  Systems  der 
rationalen  Zahlen  stehende  Zahl. 

Dnrch  derartige  Schnitte  definierte  Zahlen  nennt  man  irrationale 
ZaJüm.') 

Der  Begriff  der  „einem  Schnitt  zugeordneten  Zahl''  umfaßt  also 
die  rationalen  und  die  irrationalen  Zahlen. 

2.  £ine  unbegrenzt  fortsetzbare  Folge  rationaler  Zahlen 

«0»  «x>  »11  •••«,.•  •  (1) 

der  die  Eigenschaft  zukommt,  daß  sich  bei  beliebig  klein  gegebenem 
positivem  e  der  Zeiger  n  so  bestimmen  läßt,  daß 

!««+,-«.'<«  (2) 

wird,  welche  natürliche  Zahl  man  für  p  auch  nehmen  mag,  soll  eine 
Fundamentalreihe  heißen. 

Läßt  sich  eine  rationale  Zahl  a  solcherart  angeben,  daß  zu  einem 
beliebig  klein  festgesetzten  positiven  d  eine  natürliche  Zahl  m  sich 
bestimmen  läßt,  derart    daß 

\a„-a\<8,  (3) 

solange  ny>m  bleibt,  so  sagt  man,  die  Glieder  der  Reihe  (1)  nahem 
sich  der  Zahl  a  als  Grenze  oder  die  Reihe  konvrrtfiere  gegen  die 
Grenze  a.     Symbolisch  soll  dies  durch  den  Ajisatz 

lim  a,  =-  a  (4) 

ausgedrückt  werden. 

Eine  Reihe,  die  gegen  eine  Grenze  konvergiert,  ist  notwendig  eine 
Fondamentalreihe. 

Man  kann  nämlich  n  so  bestimmen,  daß,  wie  klein  auch  die  po- 
sitive Zahl  €  gewählt  sein  möge,  nicht  nur 

l«,.~«i<y, 
sondern  auch 


^n-i-. 


-«l<T' 


1)  Der  H^gtiS  der  irratioiialeQ  Zahlen  iit  geometritchen  ürspnmg«;  in- 
kommenturable  tStreckenpaare  führen  muf  irrationale  Vethaltniszahlen.  Daher 
erklärt  et  weh,  daB  für  sie  uriprauglich  der  Name  inkomfitensHrQble  Zahlen  öblich 
war.  Das  Wort  „irrational"  kommt  xum  erttenmal  in  einer  lateinischen  Über- 
setzung eine«  arabischeo  Kommentart  zu  Euklid  ant  dem  12.  Jhrh.  vor.  Später, 
bii  ins  10.  Jhrh.,  war  die  Beseichnnng  tmdm  für  irrational  gebr&uchlioh. 


Irratioottle  Zahlen.  X7 

welche  natürliche  Zahl  p  auch  sei;  dann  aber  m 

elao  das  Merkirud  einer  Fündameutalreihe  vorbanden 

ErfOIIi  insbesondere  die  Zahl  0  die  Forderung  (3),  ist  also 

solange  ti  >  m,  so  heißt  die  Fundamentalreihd  insbesondere  eine  £7^- 
fHetUairreihe;  es  ist  dann 

lim  a,  —  0.  (6) 

Läßt  sich  keine  rationale  Zahl  angeben,  die  der  Bedingung  (3) 
genügt^  dann  ordnet  man  der  Fun damen talreihe  eine  neue  Zahl  zu, 
die  man  als  ihre  ideelle  Grenze  auffaßt  und  eine  irrationale  Za/U  nennt. 

Der  Begriff  der  „einer  Fundamentalreihe  zugeordneten  Zahl"  um- 
faßt also  die  rationalen  und  die  irrationalen  2>alilen. 

1       S       S       4 

Beispiele.  1.  Die  Reihe  ^  ,  -,  ^-  ,  .  ,  •  •  ist  eine  Fundamental- 
reihe; denn 

kann  durch  Wahl  von  n  allein  beliebig  klein  gemacht  werden.  Sie 
hat  die  Grenze  1^  weil 

durch  Wahl  Ton  n  beliebig  klein  gemacht  werden  kann.  Die  Reihe 
deßniert  also  die  Zahl  1;  hiermit  ist  der  Sinn  des  symbolischen  An- 
satzes 

erklart  ^ 

2.  Die  Reihe  1,  s-  >  Y'  '  * '  ^**  ®^^^  Fundamentalreihe,  und  zwar 
eine  Elementarreihe,  weil  a  «»  -^  beliebig  klein  gemacht  werden  kanu 
durch  Wahl  von  n.     Man  drückt  «lies  durch  den  Ansatz  aus; 


o-i^^ll-) 


3.  Die  mittels  des  Verfahrens  der  arithmetischen  Quadratwursel- 
aueziehung  unbegrenzt  fortsetzbare  Reihe  1,  1,4,  1,41,  1,414,  •  •  • 
ist  nach  den  unter  12, 2.  angestellten  Betrachtungen  eine  Fundamental- 
reihe  und  die  ihr  zugeordnete  Zahl  ist  Y2f  so  daß  man  schreiben  kann: 

V2- (1,1,4,  1,41,  1.4M,        ). 

14.  Wenn  die  Reihen 

«1,  öj,  <hf     -  CO 

ht  \y  hf  "  '  (^) 

Csnbur,  HOhcT«  M»Uki^matik  ft- Aufl.  2 


18  Der  Zahlbegriff,    fi  1.   Re«Ue  Zahlen. 

gegen  die  Grenzen  a,  h  konvergieren,  so  konvergieren  die  Reihen 

(l^b,,         0,%,         ö,6„       .  •    }  (Ö) 

«t  "»  ''t 

6»'  ft.'  «'.' 

gegen  die  Grenzen  aH-6,  «  —  6,  a6,    .    beziehungsweise-,  die  letzte 
Behauptung  nur  unter  der  Voraussetzung  J -f  0. 

Man  braucht,  um  die  Richtigkeit  dieser  AuBsage  einzusehen,  sich 
nur  klar  zu  machen,  daß  die  Differenzen 

die  sich  umformen  lassen  in 

«•  -  «  -  (^  -  ^) 

beliebig  klein  gemacht  werden  können. 

Dadurch  ist  zugleich  der  Satz  bewiesen:  Sind  die  Reihen  (7)^ 
(8)  Fundamentalreihen,  so  sind  es  auch  alle  unter  (9)  zusammen- 
gefaßten Reihen,  die  letzte  unter  der  Voraussetzung,  daß  (8)  nicht 
eine  Elementarreihe  ist. 

Dehnt  man  die  Resultate  dieser  Beachtung  auch  auf  den  Fall 
ideeller  Grenzen  aus,  so  sind  dadurch  Definitionen  für  die  Summe, 
Differenz,  das  Produkt  uod  den  Quotienten  zweier  irrationalen 
Zahlen  gegeben. 

Zwei  Fundamentalreihen  (7),  (8)  stellen  eine  und  dieselbe  Zahl 
dar  (sind  äquivalent),  wenn  a^  —  h^,  a,  —  &,,  Oj  —  63,  •  •  •  eine  Elementar^ 
reihe  ist. 

Stellt  die  Reihe  a^,  o,,  a^,  •  •  •  die  Zahl  a  dar,  so  ist  der  Reihe 
—  o,,  —  ^,,  —08»  •*•  ^^^  Zahl  — «  zuzuordnen. 

Vqoa  den  Zahlen  a,  b,  die  durch  die  Fundamentalreihen  a,,  a^, 
Oj,  •  •  •  und  6^,  b^f  b^y  •  •  definiert  sind,  sagt  man,  daß  a>  d,  bzw. 
a  <  6  sei,  wenn  die  Fundamentalreihe  Oj  — ■  t,,  a,  —  fe,,  a^  —  b^,  •  •  • 
von  einer  Stelle  ab  lauter  positive  bzw.  lauter  negative  Glieder  hat, 
ohne  eine  Elementarreihe  zu  sein. 

Damit  sind  für  das  Vergleichen  durch  Fundamentalreihen  definierter 
Zahlen  und  für  das  Rechnen  mit  solchen  Zahlen  Regeln  aufgestellt^ 
welche  die  für  rational«^  Zahlen  geltenden  Regeln  mit  umfassen. 


Abbildimg  der  reellen  Zshlen.  19 

15.  Beeile  Zahlen.  Die  positiven  and  nepitiven  rationalen 
und  die  positiven  und  negativen  irrationalen  Zahlen  macheu  zugammen 
das  System  der  reellen  ZaJüm  aus.  Jeder  seiner  Zahlen  ist  durch  die 
Festsetzangen  über  das  ^gröBer,  kleiner"  eine  bestimmte  Stellung 
gegenüber  jeder  andern  angewiesen,  das  System  ist  wohlgeordnet. 

Das  System  der. reellen  Zahlen  bildet  einen  Zahlkörper,  welcher 
den  der  rationalen  Zahlen  als  Teil  umschließt. 

Die  Abbildung  des  Systems  der  reeUen  Zahlen  auf  eine  gerade 
Linie  ist  geeignet,  die  Vorstellung  von  demselben  schärfer  und  klarer 
zu  machen^  aJs  dies  durch  die  arithmetischen  Betrachtungen  allein 
möglich  ist     Sie  besteht  in  folgendem. 

Man  teile  die  unbegrenzt  gedachte  Gerade  durch  einen  Punkt, 
dem  man  die  Zahl  0  zuordnet,  in  zwei  Strahlen  und  bestimme  den 
einen  (den  rechten)  als  Trager  der  positiven,  den  andern  (den  linken) 
als  Träger  der  negativen  Zahlen.  Ferner  wähle  man  ein^  Strecke 
als  Darstellung  der  Einheit. 

Einem  Punkte  Äy  der  in  der  Geraden  angenommen  wird,  läßt 
sich  immer  eine  bestimmte  Zahl  aus  unserem  System  zuordnen. 

Trägt  man  die  Einheitsstrecke  von  0  gegen  A  hin  wiederholt 
ab,  so  kann  es  geschehen,  daß  der  Endpunkt  der  o-ten  Abtragung  in 
den  Punkt  A  fällt:  dann  entspricht  diesem  die  ganze  Zahl  -fa  oder 
—  a,  je  nachdem  er  rechts  oder  links  von  0  liegt 

Tritt  dieser  Fall  nicht  ein,  kann  man  jedoch  eine  natürliche 
Zahl  h  angeben,  derart,  daß  der  6-te  Teil  der  Einheitsstrecke  bei 
a -maligem  Abtragen    von   0   gegen  A   hin   genau   zu   dem    Punkt  A 

führt:   so   entspricht  diesem  der  Bruch  -f-  j-   oder  —  x  J®   nach  der 

Lage  von  A  gegen  0. 

Ereignet  sich  auch  dieser  Fall  nicht,  —  und  daß  es  Punkte  auf 
der  Geraden  gibt,  die  durch  keine  Teilung  der  Einheit  in  gleiche 
Teile  erreicht  werden  können  —  dafür  gibt  die  Geometrie  Beispiele  in 
beliebiger  ZahP)  — ,  so  kann  durch  systematisch  forUfesetzte  Teilung 
(etwa  Dezimalteilung)  eine  Fundamentalreihe  konstruiert  werden,  und 
diese  bestimmt  dann  die  zu  A  gehörige  irrationale  Zahl. 

Daß  auch  umgekehrt  jeder  reellen  Zahl  ein  bestimmter  Punkt 
der  Geraden  entspricht,  läßt  sich  in  bezug  auf  irrationale,  d.  h.  durch 
Fundamentalreiben  allein  darstellbare  Zahlen  nicht  beweisen,  sondern 
wird  axiomatisch  angenommen.*) 

Im  Grunde  dieses  Axioms  ist  aber  dem  System  der  reellen  Zahlen 
dieselbe  Eigenschaft  zuzuschreiben,  die  der  Geraden  in  bezug  auf  ihre 

1;  Das  frühest  erkannte  Beispiel  dürfte  das  der  Qn&dratdiagonale  in  beeng 
anf  die  Quadratseite  sein. 

2}  Auf  die  Notwendigkeit  dieses  Axioms  für  den  Aufbau  der  Theorie  der 
Irrationalen  Zahlen  hat  Q.  Oantor  1878  (Mathem.  Ann.  V)  hingewiesen. 

2' 


20  I>er  Zablb«griff.    §  1.    Reelle  Zahlen. 

Punkte  zukommt  und  die  man  als  SteligkeU  bezeichnet:  ihr  Wesen 
h»t  Dedekind ')  dahin  formuliert,  daß  ein«  Scheidung  der  Punkte 
der  Geraden  in  zwei  Klassen  %y  ^  derart,  daß  jeder  Punkt  der 
Klasse  %  links  von  jedem  Punkte  der  Klasse  9  liegt;  immer  nur 
durch  einen  Punkt  erfolgen  kann. 

Hierdurch  erhält  der  Ausspruch:  Iktö  System  der  reellen  Zahlen 
t>/  stetig  —  einen  bestimmten  Inhalt. 

Der  Gedankengang,  durch  welchen  der  Begri£f  der  reellen  Zahlen 
aufgebaut  worden  ist,  führt  über  das  praktische  Bedürfnis,  ja  über 
die  Grenzen  dessen,  was  praktisch  ausgeübt  werden  kann,  weit  hinaus. 
Das  System  dieser  Zahlen  ist  nach  beiden  Seiten  unendlich:  unsere 
Rechnungen  aber  bewegen  eich  in  einem  verhältnismäßig  engen  Aoe- 
schnitt.  Das  System  ist  lückenlos:  wir  aber  rechnen,  wo  es  sich 
nicht  um  formale,  sondern  um  ziffermäßige  Resultate  handelt,  in  einem 
System  von  rationalen  Zahlen  von  unerheblicher  Dichtigkeit;  denn 
bei  vielen  Rechnungen  wird  man  vernünftigerweise  über  2,  3  Dezimal- 
stellen nicht  hinausgehen,  und  selbst  bei  den  subtilsten  wissenschaft- 
lichen Rechnungen  nicht  viel  weiter.  Das  so  fein  ausgebildete  Instru- 
ment kommt  also,  könnte  man  sagen,  gar  nicht  zu  voller  Anwendung. 

Dazu  ist  zu  bemerken,  daß  erst  durch  die  Schaffuug  der  irrationalen 
Zahlen  der  arithmetische  ZahlbogrifP  dem  geometrischen  GrÖßenb^griff 
adaquöt  wurde,  und  daß  erst  jetzt  die  Aussage  volle  logische  Strenge 
besitzt,  jede  Strecke  (als  das  Bild  einer  aictensiven  Größe  überhaupt) 
lasse  sich  nach  Annahme  einer  Einheit  durch  eine  Zahl  ausdrücken. 
Auf  den  so  ausgebildeten  Zahlbegriflf  erst  lassen  eich  strenge  analy- 
tische Begriffsbildungen  gründen. 

Der  unterschied  zwischen  den  abstrakten  Begriffen  und  ihrer 
praktischen  Anwendung,  auf  den  hier  soeben  hingewiesen  worden,  hat 
Anlaß  gegeben ;  zwischen  Präzisions-  und  Approxim&tionsmathematik 
zu  unterscheiden.  Jede  Approximationsmathematik  wurzelt  aber  in 
dem  Boden  der  strengen  Mathematik. 

16.  LogArlthmieren.  Neben  der  als  Radizieren  bezeichneten 
Umkehrung  des  Potenzierens  gibt  es  noch  eine  zweite,  bei  der  die 
Frage  nach  dem  Exponenten  gerichtet  ist. 

Die  Forderung,  den  Exponenten  zu  finden,  zu  welchem  eine 
positive  reelle  Basin  b  erhoben  werden  muß,  nm  eine  gegebene  posi- 
tive reelle  Zahl  a  zu  geben,  führt  zu  einer  Rechnungsart,  die  man 
daf  Logarithmieren  nennt;  für  b  wird  der  Name  Basis  beibehalten, 
a  der  Numenu  genannt,  die  Forderung  aber  und  zugleich  ihr  eventuell 
vorhandenes  Resultat  durch  das  Symbol 

log,a  (1) 

1)  Stetigkeit  und  irrationele  Zahlen.    8.  Aufl.,  1906,  p    11 


Logarithmieren.  21 

bezeichnet  (zu  lesen:  Logarithmus  von  a  inhezug  auf  5).     DaaWcMQ 
der  neuen  Operation  ist  durch  den  Ansatz 

b       -a  (2) 

gekennzeichnet. 

Das  Eingehen  auf  diese  Frage  setzt  die  VeraUgemeinemng  des 
Potenzbegriffs  auch  in  bezug  auf  den  Exponenten  voraus,  der  bisher 
eine  natürliche  Zahl  war.  Diese  Veiallgerceinerung,  wieder  auf  dem 
Prinzip  der  Permanenz  ruhend,  geht  dahin,  daß 

p 

^^"=1-1  ^      — .  V^P  (p,  j  nAtttriich«  Z«b!*o) 

b^y  =  —    '  (y  pontiT«  rstloBal«  Cakl) 

Gestützt  auf  die  Tatsache,  daß,  sofern  6  >  1  gewählt  wird,  a  <,  ß 
die  Beziehung  fe"  <  6^  zur  Folge  hat,  femer  h^  durch  positive  und 
negative  rationale  Exponenten  beliebig  groß,  aber  auch  beliebig  klein 
gemacht  werden  kann,  läßt  sich  durch  einen  Gedankengang,  der  hier 
nicht  naher  ausgeführt  werden  soll,  zeigen,  daß  der  gestellten  Forde- 
rung entweder  durch  eine  Ratäonalzahl  oder  durch  eine  Fundamental- 
reihe genügt  werden  kann,  kurz,  daß  die  Aufgabe  in  der  beschriebenen 
Einschränkung  immer  ein  und  nur  ein  Resultat  ergibt,  das  dem  Gebiet 
der  reellen  Zahlen  angehört,  daß  sie  also  über  den  Begriff  dieser 
Zahlen  nicht  hinausfuhrt. 

§  2.    Imaginäre  Zahlen. 

17.  Imagin&re  und  komplexe  Zahlen.  Das  Radizieren  als 
erste  ümkehrung  des  Potenzierens  ist  in  12.  mit  der  ausdrücklichen 
Einschränkung  auf  positive  rationale  Radikanden  behandelt  worden; 
es  soll  nun  seine  Erweiterung  auf  negative  rationale^)  Radikanden  in 
Angriff  genommen  werden. 

Ist  der  Wurzelexponent  n  eine  ungerade  Zahl,  n  =  2p-|-l,  *o 
tpMt 
führt  die  Au%abe:  f^,  worin  h  eine  abiolute  rationale  Zahl   be- 

Sp  +  l 

deutet,  auf  die  Forderung  Y^  zurück,   die  immer  durch  eine  reelle 

t^  +  l  Sj»  +  J 

Zahl  erfQllt  wird;  e«  ist  dann  /— 6  -  ->/6  . 

Ist  der  Wurzelexponent  n   eine  gerade  Zahl,  n  »  2|>,  so  stellt 

das  Symbol    y  ~6   eine  durch   reelle  Zahlen  nicht   zu   befriedigende 

1)  Et  könnte  scheinen,  als  ob  die  Frtigvatellung  noch  allgemeiner  würde 
durch  Zalatsnng  aller  reellen,  alio  aach  der  irrationalen  Radikanden;  aber  da« 
Radizieren  solcher  fahrt  auf  das  Radizieren  der  Glieder  der  definierenden  Fonda- 
mentalreihen  znrück,  abo  wieder  auf  rationale  Zahlen. 


22  ^^  ZAhlbegriiF.    §  f.   Imagrinäre  ZsUlen. 

Forderung,  weil  ira  Grunde  der  Multiplikatioosre^eln  für  relative  Zahlen 
weder  eine  positive  noch  eine  negative  Zahl  zu  einer  geraden  Potenz 
erhoben  ein  negatives  Resultat  ergeben  kann.  Läßt  man,  Ton  dem 
Prinzip  der  Permanenz  Gebrauch  machend,  die  Regeln  für  das  Rechnen 
mit  Wurzelgrößen  in  bezug  auf  den  gegenwärtigen  Fall  fortbestehen,  so 

kann  die  gestellte  Fordening  aach  durch  die  andere  r  }/—  b  ersetzt  werden 
und  Y—h  wiederum  durch  ^bY—l;  was  der  erste  Faktor  fordert, 
ist  durch  eine  bestimmte  positive  reelle  Zahl  ß  erfüllbar;  der  zweite 
Faktor  ist  zunächst  ein  bloßes  SjmboL     Führt  man  dieses  Symbol 

Y-i  (1) 

BÖit  dem  Zeichen  i  als  eine  neue  Zahl  ein,   so  stellt  sich  die  Lösung 

von  y~-b  durch 

fli  (2) 

dar. 

um  also  die  Aufgabe,  welche  durch  das  Zeichen  YB^  worin  B 
eine  relative  rationale  Zahl  bedeutet,  immer,  somit  auch  dann  aus- 
führbar zu  machen,  wenn  B  eine  negative  Zahl  ist,  ist  die  Einftlh- 
rung  neuer  Zahlen  von  der  Form  (2)  erforderlich.  Man  nennt  diese 
Zahlen  zum  Unterschiede  von  den  reellen  imaginäre  Zahlen,^)  nennt 
i  die  imaginäre  Einheit,^)  ß  ihren  Koeffizienten. 

Dem  Prinzip  der  Permanenz  zufolge  hat  diese  Einheit  dem  Grund- 
gesetz 

.^--1  (3) 

ZU  gehorchen. 

Bezeichnet  a  eine  zweite  reelle  Zahl,  so  wird  das  Aggregat 

«  +  ßi  (4) 

eine  lomplexe  Zahl^)  genannt. 

Mit  der  Schaffung  des  Begriffs  der  komplexen  Zahlen  hat  der 
Zahlbegriff  einen  gewissen  Abschluß  erlangt.^)  Die  Form  (4)  um&ßt 
die  reellen  2^len,  wenn  ^ » 0,  die  imaginären,  wenn  c;  » 0,  die 
komplexen,   wenn  a  4*  0,  ß  ^0.    Indessen  begreift  man  unter  dem 

1)  To  diesem  Sinne  hat  saent  Des  carte  s  die  Termini  in  seiner  Geometrie, 
1687,  benatzt. 

2)  Der  Gebrauch  des  •  als  Zeichen  fOx  y»  1  ist  znm  erstanmal  in  einer 
aus  dem  Jahre  1777  stammenden  Abbandlnnfc  L.  Ealers  anzatreffen.  Verall- 
gemeinert wurde  er  jedoch  erst  durch  GauO'  Disquisitionee  ariihmeticac,   1801. 

Z)  Diese  Benennung  stanunt  von  6a aß,  der  sie  in  der  Tbeoria  residuonim 
biquadraticoruro  II  (1828—1888)  eiof^fübrt  bat. 

4)  Man  sagt  von  der  komplexen  Zahl  (4),  sie  sei  aas  zwei  Eanheiten,  1  und  • 
(al-f-^t),  zusammengesetzt.  Die  sogenannteu  höheren  komplexen  Zahlen,  die 
sieh  aus  mehr  als  zwei  „Einheiten**  zotammeatfetzen ,  fahren  über  die  Grenzen 
dieses  Buches  hinaus. 


Bechnen  mit  im&ginäreo  and  komplexen  Zahlen.  23 

Worte  imaginäre  Zahlen  auch  die  komplexen  und  nennt  Zahlen  von 
der  Form  (2)  vorzugsweise  rein  imoß^när. 

18.  Dafliiitioneii.    Baohnungaregaln.    1.  Die  Null  ist  in  der 

Form  einer  komplexen  Zahl  nur  auf  die  eiuzige  Art  0  +  ^^  darstellhar. 

2.  Zwei  komplexe  Zahlen  a  -f  ßi^  a  -f  ?^  sind  dann  und  nur 
dann  gleich,  wenn  a  =  «',  /)  «  ^. 

3.  Zwei  komplexe  Zahlen  der  Form  a  -^  ßt,  —  a  —  ßi  heifien 
entgegengesetzt. 

4.  Zwei  komplexe  Zahlen  der  Form  a  i-  ßi,  a  --  ßi  heißen  kon- 
jugiert.^) 

5.  Die  Addition  zweier  komplexen  Zahlen  ist  definiert  durch  den 
Ansatz: 

{a  -f  ^0  -I-  («'  +  /r»)  -  a  -h  «'  +  (^  +  /T)»-  (5) 

Vermöge  dieser  Kegel  bleibt  auch  für  die  Addition  komplexer  Zahlen 
das  kommutative  und  bei  Ausdehnung  auf  mehr  als  zwei  Summanden 
das  assoziative  Gesetz  bestehen. 

Die  Subtraktion  ist  die  Addition  des  entgegengesetzt  genommenen 
Subtrahends  zum  Minuend;  d.  h. 

Folgerungen  hieraus:  Die  Summe  zweier  konjugiert  komplexen 
Zahlen  ist  reell    ihre  Differenz  rein  imaginär: 

(a  -f  ßi)  +  («  -  ^0  -  2« 

{a-\-ßi)-{a~ß%)^2ßi. 

6.  Bei  Aufrechthaltung  des  distributiven  Gesetzes  der  Mnltipli- 
kation  reeller  Zahlen  auch  bei  Binomen  der  Form  (4)  und  unter  Be- 
achtung des  Grundgesetzes  (3)  ergibt  sich  für  die  Multiplikation 
komplexer  Zahlen  die  Regel: 

(a  -f  ßi)  {a  -f  ß'i)  »  «a'  -  ßß'  +  iuß'  4-  a  ß)i .  (7) 

Folgerungen  daraus:  Weil 

{ad -  ßßy  +  {aß'  +  dßy  =  («« -f  ß^  (ä'«  +  /J'»), 

80  kann  das  Produkt  zweier  komplexen  Zahlen  nicht  Null  werden, 
ohne  daß  ein  Faktor  Null  wird. 

Das  Produkt  zweier  konjugiert  komplexen  Zahlen  ist  reell  and 
positiv: 

(a  +  /Ji)(«-/lt)-a»+^».  (8) 

Man  nennt  (t*+  /)*  die  Norm  aller  in  ±  a  ±  /)/  enthalteneu  komplexen 
Zahlen. 


1)  Nach  A.  Canchy,  1821. 


24  I^cr  Zahlbtfgriir.    |  2.   Imaginäre  Zahlen. 

7.  Setzt  maDy  um  zur  DiTisionsrcgel  zu  gelangen,  den  Quotienten 
in  der  Form  einer  komplexen  Zahl  an: 

0o  ist 

«  +  /5i  -  (a  +  /5'i)  (x  -f  yt)  -  ax  -  /3'y  -f  (/5'x  -f  «  y)* 
die  unmittelbare  Folge,  aus  der  sich  auf  Grund  von  2.  zur  Bestimmung 
der  Memente  x,  y  die  Gleichungen 

ax  —  ß'y  —  u 

fix  -f  «  y  —  ^ 
ergeben;  eliminiert  man  einmal  y,  ein  zweiteamal  Xy  so  kommt  man 
zu  den  neuen  Gleichungen 

sofern  also  a'^H-  ^'*-fO,  was  mit  Rücksicht  auf  1.  auch  so  Tiel  heißt 
als  ff'  4-  /)'» -f"  0>  ergibt  sich  für  x,  y  die  einzige  Bestimmung: 

unter  der  soeben  gemachten  Voraussetzung  ist  also 

«'  4.  ir i     a'«  4.  ^'>  -^  „'§  :^^ .  »•  w 

19.  Trigosometrlsohe  Form  einer  komplexen  ZahL    Die 

positire  Quadratwurzel  aus  der  Norm  einer  komplexen  Zahl  a  -^  ßi, 

r-V'^T'ß*,  (10) 

nennt  man  deren  Modul.    Mit  seiner  Benfltzang  schreibt  rieh 

und  da  (")*  -f  (t^*  -  1,  so  ISfit  sich  in  dem  Intervall  (O^ä)  ein  und 
nur  ein  Winkel  fp  bestimmen  derart,  daß 

cosy-*,         ßiny-^.  (11) 

Dann  hat  man 

«  +  />♦■•  r  (cos  y  +  »  sin  9) .  (12) 

Diese  Darstellungsform  ^)   ist  fttr  die  Ausbildung  dea  Rechnens  mit 
komplexen  Zahlen  von  der  größten  Bedeutung  geworden. 

Den  Winkel  f  nennt  man  die  Jmplittuie  oder  Anomalie  von 
«  4-  ßi'  Unter  Benutzung  von  r,  tp  soll  für  die  komplexe  Zahl  «  -f-  /Jt 
•aoh  das  abgekürzte  Zeichen  r    verwendet  werden. 

1)  Ihi  Urheber  itt  L.  Euler. 


Rechnen  mit  konplexen  Zablen.  25 

Multiplikation  und  Diirision  «^^ellen  ^ich  nun  wie  folgt  dar: 
Es  ist 

r^r'^  —  rr  (cos  (f  -{■  i  sin  ^)  (cos  9'  -f  i  sin  y') 

—  rr  [cos  9  C4^  f>'  —  sin  9  sin  97'  -f  t  (sin  9  cos  9'  -f  cos  if  sin  9')] 
d.  i. 

r^/^.  -  rr'  { cos  (y  +  ^pO  +  •  »"» (v"  +  ff') )  -  (*'Oy+^ ;  (13) 

ferner  ^       r   «)fj>  4.  i  »iu  «p 

r   ,       r    cci  qp'  4-  »  «in  9>' 

^  r  /cos  »  cos  y*  -f>  gin  y  sin  y '   ,   lin  qp  cot  y'  —  co«  y  na  y'  .\ 
""  r'  \         cos*  y'  -I-  sin*  y'  "*  cos*  yT^iin^^         */ ' 

d.  i. 

^^-  «  ~  (cos  {if  -  y')  -f  t  sin  (9>  -  <3P'))  -  (!')  (14) 

30.  Moivresche  BinomialformeL  Dehnt  man  die  Formel  (13) 
auf  M  Faktoren  rl^]^,  r^',  .  . .  rlp^  aus,  so  ergibt  sich  fOr  ihr  Produkt 
der  Modul  r<*^f^*> . . .  r<*>,  die  Ainpliüide  ^i  -f  ?>»  -f  •  •  +  <ip,;  werden 
nun  die  Faktoren  sämtlich  gleich  der  Zahl  r  ,  so  geht  ihr  Produkt 
in  die  n-te  Potenz,  sein  Modul  in  r",  die  Amplitude  in  nif  über, 
•0  daß 

{ r  (cos  y  4- 1  sin  y) )  *  =  r"  (cos «y  -f  t  sin nip).  (15) 

Hieraus  geht  der  Ansatz 

(cos  fp  -{-  i  sin  tpy  =  cos  n^  +  1  sin  mp  (16) ' 

hervor,  den  man  als  MoivrescJte  BinomialformeV)  bezeichnet.  Nach 
dem  Gange  der  Herleitung  ist  bei  n  an  eine  natürliche  Zahl  zu  denken. 
Daß  die  Formel  auch  für  ein  negatiTcs  ganzes  n  Geltung  hat,  wenn 
man  die  Permanenz  in  allen  Belangen  wahrt,  ist  so  zu  erkennen. 
Es  ist 

■^■^HH  «i»?  "  ^^^MHh  i^^  --  cos  (-,(.)  +  f  sm  (-  ^) . 
Daher 

(cos  SP  nh  »  sin  o))~"  — .   .  .     ry  -• ,—--' 

^       ^  ^^  'cosy -)-*«™y)  cotny -|- tsinny 

=  cos  (—  ntp)  4-  >  «in  (—  ny) . 

21.  Badisi^ren  komplexer  Zahlen.  Um  das  Wurzelziehen 
an  komplexen  Zahlen  zur  Ausführung  zu  bringen,  gehe  man  von  dem 
Ansätze 

yr  (cos  9  -f-  %  sin  y)  —  ^  (cos  o  +  »  aia  q) 

aus,  dessen  unmittelbare  Folge 

j  Q  (cos  o  +  i  sin  o) } "  —  r  (coe  ^  +  t  liii  f>) 

1)  Dem  Inhalte  nach  1780  von  A.  de  Moivrc  begründet,  in  der  heuÜ^n 
Form  erst  1748  Ton  L.  Eni  er  in  der  Introdnetio  in  aaalynn  iofinitomm  gegeben. 


26  I>er  Zahlbegriff.    §  2.   Imsgin&re  Zahlen. 

ist;  wendet  man  links  die  Formel  (15)  und  hierauf  die  Definition  18,  2. 
an,  80  ergeben  sich  zur  Bestimmung  von  Qy  to  die  Gleichungen: 


P" 

cosncD  — 

r  cos 

<P 

P" 

sin  na  = 

r  sin 

9; 

sie 

liefern 

o" 

-'r', 

somit 

9" 

-=  r  und 

p« 

\Vr\ 

worunter  die  einzige 
positive  Zahl  zu  yerstehen  ist,  die  zur  «ten  Potenz  erhoben  r  gibt, 
die  „arithmetische**  «-te  Wurzel  aus  r;  femer 

ncD  =  9  -f  2kxy 
worin  k  jede  ganze  Zahl,  mit  Einschluß  der  0^  ))edeuten  kann.    Hier 
nach  ergibt  sich  das  anscheinend  unbegrenzt  vieldeutige  Resultat: 

yr  (cos  qp  -I-  »  sin  9)  =»  yr  I  j  cos  - h  «  sm  ^—^ — j  . 

Wenn  man  aber  k  nach  und  nach  die  Werte  0,  1,  2,  ...  n  -—  1  er- 
teilt, so  ergeben  sich  alle  Werte,  deren  die  rechte  Seite  fähig  ist; 
jede  andere  Substitution  führt  nur  zu  einer  Wiederholung.  Bezeichnet 
man  nämlich  eine  Zahl  der  obigen  Reihe  mit  v,  so  lilßt  sich  jede 
Zahl  k  außerhalb  dieser  Reihe  in  der  Form  In  -\-  v  darstellen,  wobei 
/  eine  ganze  Zahl  mit  Ausschluß  der  0  bedeutet;  es  ist  aber 

und  da  2l7t  auf  den  Wert  von  cos  und  sin  ohne  Einfluß  ist,  so  gibt 
tatsächlich  die  Substitution  k  =  ln  -\-  v  dasselbe  Resultat  wie  die 
Substitution  k  »=  v.  Daß  endlich  die  aus  den  Substitutionen  A;  »  0, 
1,  ...  n  —  1    hervorgehenden  Werte  untereinander  verschieden  sind, 

folgt  daraus,  daß  die  zugehörigen  Werte  von  ^~ verschieden  und 

samtlich  in  dem  Intervall  (0,2«)  enthalten  sind,  innerhalb  dessen  es 
keine  zwei  Winkel  gibt,  die  in  Kosinus  und  Sinus  übereinstimmen. 
Es  ist  somit  endgiltig 

yr  (cos  9  +  «  sm  y)  -  \yr\  { cos  ~-~-    +  »  sm  ^--  -  j ,     .^^. 

a-0,1,2,  ...  n-l). 

Hierin  spricht  sich  der  Satz  aus^  daß  die  n-te  WwrMd  aus  jeder 
Zahl  II  van  einander  verschiedene  Werte  hesitgf,  icenn  ntan  reeHe  und 
komplexe  Lösungen  ah  gleichberechtigt  ansieht. 

Nunmehr  kann  gezeigt  werden,  daß  die  Moivresche  Binomial- 
formel  auch  für  gebrochene  Exponenten  gilt. 

Im  Hinblick  auf  die  Multiplikationsregel  (13)  ist  der  zweite 
Faktor  der  rechten  Seite  von  (17)  das  Produkt  aus 

co8^  ^     J  -  4-  f  Bin  ^ -^-  — i—     und    cos— *-  +  i  sm  -  - 


Moivretcbe  Binomiftlformel.  27 

die  zweite  dieser  komplexen  Zahlen  kann  aber,  weil 

cos  2k^x  -f  i  tm  2k^7i  =  1 

ist,  als  n-te  EinheUswurzel  gedeutet  nnd  demgemäß  yT  gesohheben 
werden,  so  daß  aach 

Vr'(<mV+i%rn^)  -  j  Vr  j  (co.  "^l'^-'  +  i  «n  ^'^-}  Vi-  (18) 

Man  erhalt  also  die  verschiedenen  Werte  in  (11),  indem  man  irgend 
einen  bestimmten  davon  mit  den  Einheitswarzeln 

Vi  =-  cos  '^**  -I-  t  sin  ~^,  (^•  -  0,  1,  2,  . . .  n  -^  1)         (19) 
multipliziert. 

22.  Anwendungen.  1 .  Aus  der  Moivreschen  Binomialformel  (16) 
folgt,  wenn  man  deren  linke  Seite  wie  ein  reelles  Binom  entwickelt 
und  dabei  von  dem  Grundgesetz  (3)  Gebrauch  macht: 

cos*  if  —  (j  cos""'  <p  sin*  (f  -j-  (   j  co8*~*  q>  sin*  y  ~  . . . 

H- 1  \r^coH'"^<psm{p  —  \Zj  coÄ^-'^p  sin'g?  +  •  •j  =  co8 n^  +  t  »in n^, 
woraos  sich 

cos ntp  =»  cos" 9  —  (2)  cos*-* 9)  sin* 9)  -}-  (  j  cos""*g>  sin* 9  —  • . . 

siiin^  =  (j  cos"-  *  y  siny  —  u)  cos"-'y  sin'y  -h  •  •  • 

ergibt;   die   Entwicklungen   haben   vermöge    des   Um  Standes,   daß   in 

I2)  h<.n    sein    muß,    einen    bestimmten    Abschluß.      Bei^ielsweise 

ist  also 

cos  2^)  *-  cos*  (p  —  sin*  tp 

sin  2  9  —  2  cos  <p  sin  q) 

cos  3qp  =«  cos*9  —  3  cos  tp  sin*  qp  =  4  cos'  y  —  3  cos  tp 

sin  3g)  =«  3  cos* 9  sin y  —  sin* y  =-  3  sin 9)  —  4  sin* (p , 

usw. 


2.  Die  dritten  Wurzehi  aus  der  positiven  Einheit  sind  durch 
bestimmt: 


cos    -*  -t  t  sin  -  j"  ,  (k  —  0,  1,  2) 


«?,  —  CO»   j    -f  t  «Utt   ,    —  ~  J  +  2  V3 
«;,  -  CO»  -^  +  »  Sin  ^  -  -  -j^  -  Y  VS  » 


28 


Der  Zahlbegriff.    §  2.    Imaginäre  Zahleu. 


aus  ihrer  trigonometrischen  Forni  erkennt  man  unmittelbar,  daß 
tp^  mm  u^l,  aber  aueh,  daß  w^ » tc;|;  bezeichnet  man  also  eine  der 
kmnplexen  Wurzeln  mit  m',  so  können  alle  drei  Wurzeln  durch 


,v\ 


w 


dargestellt  werden. 

3.  Die  Forderung   y  —  6,  von  der  in  17  ausgegangen  worden  war, 
erscheint  jetzt  auf  die  Forderung  yi  zurückgeführt;  da  nun  i  «=  cos 

4-f  sin^  gesetzt  werden  kann,  so  hat  man  nach  (17) 

V,  -  cos'-  -^^ -  +  %  sin       ^-^-,     (Ä  ^-  0,  1,  . . .  i>  -  1) . 


Es  ist  also  beispielsweise 


V»- 


COS  -g  -f  *  sin  ^  — 
COS  --  +  *  WO  -^- 

9«    ...     9« 
COS   --  -f- }  8in  ^ 


|/8  +  t 


D^ a 3 • 


Wf.  1. 


23.  Oeometriftche   Darstellimg    der  komplexen   Zahlen. 

Zwei  zueinander  senkrechte  Gerade  OX,  OT,  Fig.  1,  mit  geraein- 
samem Nullpunkt  sollen  nach  Annahme  einer 
Längeneinheit  1  jede  für  sich  zur  Darstellung 
des  reellen  Zahlensystems  verwendet  werden 
(IS).  Dem  Punkte  ^  auf  OX  entspreche 
die  Zahl  «,  dem  Punkte  5  auf  OF  die 
Zahl  ß\  dann  könnte  das  Punkt^paar  Aj  B 
als  Bild  der  komplexen  Zahl  a  -\-  ßi  ge- 
-►X  uommen  werden.  Vollkommener  wird  die 
Abbildung  durch  den  Punkt  M  erreicht,  der 
a,  ß  zu  rechtwinkligen  Koordinaten  hat'), 
weil  durch  einen  Punkt  dem  einheitlichen  Charakter  der  Zahl  a  -\'  ßi 
besser  Rechnung  getragen  ist,  als  durch  ein  Punktepaar. 

Jedem  Punkte  der  Ebene  entspricht  auf  diese  Art  eine  bestimmte 
Zahl;  diese  ist  reell,  wenn  der  Punkt  in  OX  liegt;  rein  imaginär, 
wenn  er  auf  0  Y  liegt;  komplex,  wenn  er  außerhalb  beider  Geraden  sich 
befindet  In  dieser  Auffassung  heißt  die  Ebene  auch  Zahlenebene 
oder  kompiexe  Zahlenebene. 

l)  Diese  DarstellangsweiBe  iet  zum  erstenmal  von  dem  dftnitcben  Feld- 
aatMer  Katpar  Wettel  in  einer  au«  dem  Jahre  1797  ftammenden  Abhandlung 
angegeben  worden;  Ankl&age  an  den  gleichen  Gedanken  finden  sich  in  der 
Diaeertation  von  Qaufi  (1799);  tuabhäogig  von  beiden  erfand  lie  J.  R.  Argand 
(1806).  Zur  Verbreitung  aber  Terhalf  ihr  erti  Qanü  durch  seine  Theoria  resi- 
daomm  hiqnadraticorum  (1818— I8a9). 


Geometrische  Dartiellung.    Geometritchei  Rechnen. 


29 


Die  durch  die  GleicbongeD  (10)  und  Cll)  eingeführten  6r()ßen 
Ty  g>  sind  anmittelbar  als  Uüdiusvfl&tor  OM  und  als  dessen  Winkel 
mit  OX  zu  erkennen.  Hieran  knüpfen  einige  übliche  Benennungen 
an;  man  hat  die  komplexen  Zahlen  uuch  Richiungszahlen  genannt,  weil 
nicht  blofi  die  Größe  von  OM^  sondern  auch  dessen  Richtung  auf 
die  dargeatellte  Zahl  Einfluß  hat,  als  deren  geometrisches  Bild  statt 
des  Punktes  M  auch  die  geridUek  Strecke  OM  gelten  kann.  Wahrend 
man  weiter  r  als  den  absoluten  Betrag  von  a  -f  ßi  ansieht  und  dem- 
gemäß wie  bei  reellen  Zahlen  \a  -{-  ßi  dafür  schreibt,  nennt  man  das 
Binom  cos  qp  +  i  sin  9  den  Richtungskoeffizienten  dieser  Zahl  Reelle 
Zahlen  eines  bestimmten  absoluten  Betrags  gibt  es  nur  zwei;  kom- 
plexe Zahlen  hingegen  unbeschrankt  viele:  ihre  Bildpunkte  liegen  in 
einem  um  0'  beschriebenen  Kreise. 

24.  OeometrlBche  Ausführung  der  Rechnnngsoperationan 
mit  komplexen  Zahlen.  Den  arithmetischen  Operationen  mit  den 
Zahlen  lassen  sich  gewisse  geometrische  Operationen  mit  den  sie  dar- 
stellenden gerichteten  Strecken  an  die  Seite  stellen;  es  ist  damit  ein 
graphisches  Verfahren  gegeben  ^  das  in  gewissem  Sinne  die  arithme- 
tischen Operationen  zu  ersetzen  vermag. 

Der  Addition  von  a  +  ßi  und  a'-f  ß'i  entspricht  die  geometrische 
Addition  der  darstellenden  Strecken  OM^  0M\  die  darin  besteht,  daß 
man  die  eine  Strecke  nach  Richtung  und  Größe 
an  die  andere  anfügt,  Fig.  2;  S  oder  OS  ent- 
spricht der  Summe,  so  daß  man  symbolisch 
schreiben  kann:  Wenn  0J/=a-f/3t,  OM' 
=  a'  -f  ß'i,  so  ist  OS  -  OM  -f  0M\  Bei 
n  Zahlen  tritt  an  die  Stelle  des  zweiseitigen 
ein  n-seitiger  Linienzug.  Das  kommutative 
und  das  assoziative  Gesetz  der  Addition  treten 
anschaulich  hervor. 

Der  Subtraktion  (a  -f  ßi)  —  (a  -f  /5'i')  ent- 
spricht die  geometrische  Addition    einer  mit 
OM'  entgegengesetzten   Strecke   zu   OM:  es 
ist  dann  OD  =  OM 
-  OM'. 

Die  Multiplika- 
tion erfolgt  dadurch, 
daß  man  OM  um  den 
Winkel  gj'  wtUer- 
dreht  und  aus  OM, 
OM'     und     1     die      ^T  ^    j 

Strecke     0  N    kon-  Fig.  r,. 

struiert,    deren    Maßzahl    rr    ist,   Fig.  3; 
lische  Ansäte:   OF  =-  OM.   0M\ 


♦X 


^JT 


es   gilt    dann 


Fig.  4. 

der   svmbo- 


80 


Der  Zahlbegriif.    §  2.    Imaginäre  Zahlen. 


Zum  Zwecke  der  DiTision  hat  man  OM  um  den  Winkel  (f' 
zuriidcmdrehen  und  aus  OM,  OM'  und  1  die  Strecke  ON  zu  kon- 
struieren,   deren    Maßzahl  -,  ist,  Fig.  4;  es  i«t  dann  OQ"»--^. 

Um  die  Potenzen  von  a  -\'  ßi.  dar- 
zustellen, drehe  man  den  abbildenden 
Strahl  OM  weiter  um  9?,  2qp,...  und 
trage  auf  den  so  erhaltenen  Strahlen  die 
Strecken  OL^,  OL,,  .  . .,  deren  Maßzahlen 
vermöge  der  angewandten,  aus  der  Figur 

ersichtlichen  Konstruktion  r^ff*, sind, 

nach    OP^,    OP^ . . .   ab,  Fig.  5;  darnach 
ist  dann    OP,  =  OM*,  OP^  -  ÖJtf», .  . . 
Die  Darstellung  beispielsweise  der  4.  Wurzeln  aus  a  -^  ßi  toü- 
zieht  sich  in  folgender  Weise     Man   beschreibe  einen  Kreis,  dessen 

liadius  die  Maßzahl  ^r  \  hat,  teile  den 
Bogen  dieses  Kreises,  der  zum  Zentri- 
winkel (p  gehört,  in  vier  gleiche  Teile, 
und  vom  ersten  Teilungspunkte  W^  aus 
den  ganzen  Umfang  ebenfalls  in  vier 
gleiche  Teile;  dann  sind  Oir,,  OTT,, 
^^_^_^^p^  ^1^  ,  >jr  OTFs,  0T|^^,  die  BUder  der  vier  Werte 
^^^\  I  y  von  f^H-  ßi,  Fig.  6.     Denn   die  Ra- 

dienvektoren der  Punkte  IT,,  W^,  TT,, 
W^  sind  alle  gleich  yr  ,  und  ihre 
Amplituden  betragen 

q>     qp -|- 2»     tp-^-An     qp -f  6« 


Dieses  Beispiel  zeigt,  daß  die  geometrische  Darstellung  der  Wurzeln 
eines  bestimmten  Grados  aus  einer  komplexen  Zahl  zusammenhängt 
mit  einer  Kreisteilungsaufgabe,  nainlich  mit  der  Teilung  eine»  Kreis- 
bogens und  des  Kreisumfangs  in  die  entsprechende  Anzahl  gleicher 
Teile.  Man  kann  daran  ferner  die  Tatsache  wahrnehmen,  daß  alle 
Wurzelwerte  aus  einer  Zahl  (ob  reell  oder  komplex)  den  gleichen  ab- 
soluten Wert  besitzen. 


Unendliche  Zahlenfolgen.  31 

IL  Abschnitt. 

Uiiendliche  Beihen  und  Produkte. 

§  1.   Gmiidlf^nde  Begriffe. 

26.  Unendliche  Zahlenfolgen.  Eine  unbegrenzt  fortsetzbere 
oder  unendliche  Folge  reeller  Zahlen 

Ol,  0,,  Oj,  , 

kurz  (a^\  kann  bei  fortschreitender  Verfolgung  ihrer  Glieder  ein  Ter- 
schiedenes  Verhalten  zeigen. 

Nähern  sich  die  Glieder  einer  bestimmten  Zahl  a  der»rt;  daß 
\a^—a\  mit  beständig  zunehmendem  n  schließlich  unter  jeden  noch 
so  klein  festgesetzten  Betrag  sinkt,  so  nennt  man  die  Zahlenfolge 
l'onvergenty  a  ihre  Greme  und  drückt  diesen  Sachverhalt  durch  den 
Ansatz 

lim  rt,  =  rt  (1) 

»  -   X 

aus.  n  =  oo  bedeutet  hier,  daß  n  über  jede  jnovh.  so  große  natürliche 
Zahl  hinauskommt. 

Die  notwetuiige  und  hwreichemk  Ikdingumj  für  die  Existenz  einer 
Grenze,  also  für  die  Konverfjenz  voti  (a^\  besteht  darvij  daß  a,^^—  «,' 
durch  Wahl  von  n  allein,  also  hei  jedem  p,  heliehig  klein  gemacht  werden 
kann.  (Vgl.  hiermit  13,  2.,  wo  die  a^  als  rationale  Zahlen  voraus- 
gesetzt waren.) 

Daß  die  Bedingung  notwendig  ist,  folgt  aus  dem  Begriff  der 
Grenze  (13,  2.).  Daß  sie  auch  hinreicht,  ist  so  zu  erkennen.  Ist 
einmal  |«„+p— a, |<«,  so  liegt  a^^^^  zwischen  a^—t  und  a^+ b\ 
diese  Werte  können  aber  durch  Wahl  von  n  einander  beliebig  nahe 
gebracht  werden,  und  da  alle  späteren  Glieder  der  Folge  zwischen 
ihnen  enthalten  sind,  so  ist  damit  gezeigt,  daß  sich  die  späten  Glieder 
der  Folge  in  beliebig  eng  zu  ziehende  Grenzen  einschließen  lassen, 
daß  sie  also  selbst  eine  Grenze  besitzen. 

Überschreiten  die  Glieder  von  (aj  schließlich  jede  noch  so  groß 
festgesetzte  positive  Zahl  %  oder  sinken  sie  unter  —  /••,  so  sagt  man, 
die  Grenze  von  a„  sei  positiv  unendlich  (-f  oo  oder  kurz  -x)),  bzw. 
negativ  unendlich  (—  oo)  und  drückt  dies  durch  die  Ansätze 

lim  o^  —  oo,         lim  a.  =  —  cx>  (2) 

ans.     Die  Zahlenfolge  heißt  dann  (eigentlich)  divergent. 

£s  kann  schließlich  geschehen,  daß  a^  weder  einer  Grenze  zu- 
strebt noch  unendlich  wird;  man  nennt  dann  die  7*ahlenfolge  (a,)  un- 
eigentlich divergent. 


32  Unendliche  Reihen  nnd  Produkte.    §  1    Grandlegende  Begriffe 

Nwr  eine  konvergente  Zahlenfolf/e  definiert  eine  hesthnmte  Zahl. 

Die  Zahlenfolge  (a,)  soll  monoton  genannt  werdea,  wonn  ilire 
Glieder,  wenigstens  von  einem  bestimmten  angefangen,  niemals  ab- 
nehmen oder  niemals  wachsen. 

Bei  einer  monotonen  Zahlenfolge  kann  nur  zweierlei  stattfinden: 
Ist  sie  zunehmend,  so  kann  das  Wachsen  der  Glieder  ttber  jede  Schranke 
hinausgehen  (lim  a^  *=  <x>)  oder  gegen  eine  bestimmte  Grenze  hin  er- 
folgen; ist  sie  abnehmend,  so  können  die  Glieder  schließlich  unter 
jede  Schranke  fallen  (lim  a^  -»  —  oo)  oder  aber  einer  Grenze  ridi 
nähern.     Für  die  Beurteilung  ist  der  folgende  Satz  von  Nutzen. 

Wenn  die  Glieder  einer  monoton  zunefimendeti  Fdlgp.  unter  einer 
festen  Zahl  G  bleiben^  so  hohen  sie  ywUccndig  eine  Grenze;  gleidhes  giU 
für  die  Glieder  einer  nwnoton  abnehmenden  Folge,  wenn  sie  über  eher 
festen  Zahl  g  bleiber. 

Bliebe  nämlich  immer,  wie  groß  auch  n  genommen  wird, 

««+p  ~  ««  ^  fi. 
so  wäre  auch  ^«+2p  ""  ^n.\'p^  * 


%+kp  ■"  ^«+i-ip 


somit  ««+*p^^«2^  ^^ 

und  «,+ij,^  «„  +  ^4;  »„.-h^f  l^ann  aber  durch,  entsprechende  Wahl 
von  k  größer  als  (r  gemacht  werden;  dann  aber  wäre  a„^i^>6r, 
gegen  die  Voraussetzung.  Es  muß  also  schließlich  a,  ^*^  —  a,  <  f 
werden,  und  damit  ist  die  Konvergenz  bewiesen.  Ahnlich  wäre  der 
Beweiß  für  den  andern  Fall  zu  führen. 

26.  Unendliche  Reihen^).  Begriff  der  Konvergeni  und 
Divergenz.  Es  sei  ötj,  a,,  Og,  . . .  eine  unbegrenzt  fortsetzbare  Folge 
reeller  Zahlen;  man  bilde  .aus  ihr  eine  neue  Folge  Sj,  5,,  5,,  ...  .%..., 
indem  man  aus  den  ersten  1,  2,  3, . . .  n  . . .  Gliedern  die  Summe  nimmt: 

«i  -  «i 

s,  —  «x  4-  a, 

«8  -  «f  +  a,  (1) 


«,«-«,-,  -r  a,  -  aj  4-  Oj  +••  +  «,. 
Ist  die  Zahlenfolge  .<?],  s,,  s^,  . . .,  karz  («J,  konvergent,  so  nennt 
man  auch  die  unendliche  Reihe 

aj  +  rtf  -r  «8  H ,  turz  ^a,,  (2) 

.  1 

1)  Die  EiofühniDg  unendlicher  Reihen  in  dio  Mathematik  reicht  ins  17.  Jabr^ 
hundert  zurück;  ihre  richtige  Bobandlung  lehrte  aber  er«t  dat  vorige  Jahrhundert 


Konvergenz  und  Dirergens.  33 

l'Ofwergent^)  and  bdMichnet  die  durch  (s^)  definierte  Zahl  5: 

liin  s,  —  s  (3) 

N   =   OD 

als  Wert  oder  Summe  oder  als  Grenze  dieser  Reihe. 

Nach  den  Ausführungen  des  Torigen  Artikels  lautet  die  allgemeine 
Bedingung  für  die  Konvergenz  Ton  (2)  dahin ,  dafi  sich  bei  beliebig 
klein  gegebenem  positiven  f  eine  natürliche  Zahl  m  angeben  lassen 
müsse  derart,  duB 

oder  ausgeschrieben: 

I  «.+1  +  Ö-+1  +•••  +  <*•+/!  <  h  (4*) 

80  lange  *i  >  w,  in  Worten:  Soll  eine  Heike  konvergent  sein,  so  muß 
sich  eine  SteUe  bestimmen  lassen ,  von  welcher  ab  jede  beliebig  umfang- 
reiche Gliedergruppe  eine  beliebig  Jcleine  Summe  giht^). 

Wendet  man  die  allgemeine  Bedingung  auf  den  Fall  p  =*  1  an. 
so  besagt  sie,  daß  die  Glieder  einer  Reihe ,  soll  sie  konvergent  sein, 
mit  wachsendem  Zeiger  dem  absoluten  Betrage  nach  notwendig  be- 
liebig klein  werden  müssen,  daß  also,  symbolisch  ausgedrückt, 

lim  a,  =-  0  (5) 

bestehen  müsse.  Es  wird  sich  jedoch  zeigen^  daß  dieses  Verhalten 
zur  Konvergenz  nicht  hinreicht.  Bei  allen  Reihen,  die  wir  weiterhin 
betrachten,  wird  die  Bedingung  (5)  als  erfüllt  vorausgesetzt. 

Die  Reihe  (2)  heißt  divergent^  wenn  die  Zahlenfolge  (sj  eigent- 
lich oder  uneigentJich  divergent  ist.  Im  Falle  der  eigentlichen  Diver- 
genz von  isj  sagt  man  auch,  die  Reihe  habe  eine  unendliche  8umme. 

Eine  konvergente  Jteihe  definiert  eine  bestimmte  Zahl. 

Die  in  (1)  zusammengestellten  Summen  nennt  man  Partialsummen 

00 

von  ^a,. 

27.  Folganmgeii.  1.  Die  Ergänzung  der  Partialsumme  s^  zur 
unendlichen  Reihe,  d.  i. 

nennt  man  den  su  5,  gehörigen  Best.     Auch  er  bildet  eine  unendliche 


1)  Da«  Wort  „Konvergenz'*  kommt,  anf  Umfinge  von  Sehnen-  und  Tan- 
genteupoljgonen  mit  vtrachaender  Seitenanzahl  angewendet,  zum  erstenmal  bei 
dem  ongUichen  Mathematiker  J.  Gregory  (1667)  vor  und  hat  sich  seither  in 
der  ganzen  Mathematik  eingehfirgert. 

2)  Diese  allgemeine  Bedingung  der  Konvergenz  hat  zuerst  B.  Bolz  au  o 
(1817)  angegeben;  doch  ist  sie  erst  durch  Cauchys  Schriften  weit«r  bekannt 
geworden,  dem  aach  meiat  die  Priorität  zugeeprochen  wird. 

8)  Dieies  Wort  in  seiner  Anwendung  auf  JEleihen,  aVer  wahrscheinlich  noch 
nicht  in  dem  heutigen  Siime  gemeint,  kommt  zum  ersteumal  bei  Nik  I.  Ber- 
noulli  (1713)  vor. 

Oavbvr,  HAb«t«  M«th>m»tl>.  Z.  Attfl.  * 


34*         Unendliche  Reibest  ond  Produkte.    |  1.    Onudlegei.de  BegrifEe. 

Reihe,  die  mit  der  ursprünglichen  zugleich  konvergent  oder  divergent 
ist;  denn  die  Partiabumraen  s'iy  St,  Ss,  -  -  yon  (6)  bilden  die  Zahlenr 
folge 

deren  Grenze  8  —  s^  ist^  wenn  die  Reihe  (2)  konvergiert,  dagegen  un- 
endlich oder  unbestimmt,  wenn  (2)  divergiert. 

Dieser  Umstand  gestattet  os,  bei  der  Prüfung  einer  Seihe  «uf 
ihre  Konvergenz  beliebig  viele  Anfangsgbeder  fortzulassen. 

2.  Da  bei  einer  konvergenten  Reihe  die  Bedingung  (ßt*)  durch 
Wahl  von  n  bei  bdiebigem  p  erfüllt  werden  kann,  so  besteht  dann 
^nch  die  Beziehung 


Bei  einer  konvergenten  Reihe  kann  man  also  in  der  Folge  der 
Partialsummen  so  weit  fortschreiten,  daß  der  zugehörige  Rest  dem 
absoluten  Werte  nach  unter  eine  im  voraus  beliebig  klein  festgesetzte 
positive  Zahl  herabsinkt. 

Diese  Zahl  £  bezeichnet  dann  auch  die  Schranke,  unter  welcher 
der  Fehler  liegt,  den  man  begeht,  indem  man  statt  der  unendlichen 
Reihe  deren  Partialsumme  s„  nimmt 

OD 

3.  Besteht  die  Reihe  ^  a^  aus  lauter  positiven  Gliedern,  und  ist 

sie  konvergent,  so  ist  auch  jede  Reihe  konvergent,  die  aus  ihr  durch 
Unterdrückung  einer  durchlaufenden  Folge  von  Gliedern  (k.  B.  jedes, 
zweiten,  dritten  Gliedes  oder  dgl.)  entsteht 
Denn,  ist  die  Bedingung 

erfüllt,  so  bleibt  sie  es  auch  dann^  wenn  auf  der  linken  Seite  Glieder 
ausfällen. 

m 

4.  Besteht  die   Reihe  ]£  a.  aus  lauter  positiven  Gliedern,  und  ist 

1 
sie  konvergent,  so  ist  auch  jede  Reihe  konvergent,  die  aus  ihr  ent- 
steht, indem  man   bei  einer  durchlaufenden  Folge  von  Gliedern,  das 
Zeichen  ändert. 

Denn,  ist  die  Bedingung 

erfüllt,  so  bleibt  auch  nach  Änderung  des  Zeichens  einiger  (oder  aller) 
Glieder 

5.  Ist  die  Reihe  £a,  konvergent  und  s  ihre  (Irenzs^  so  ist  andl 

CO  • 

die  Reihe  ^  ka^  {k  «f  0)  konvergent  und  k$  ihre  Grenze. 


Allgemeine  Kriterl«ii.  85 

Hat  nämlich  .«,  die  (heaze  s,  so  hat  ks^  die  Grenze  ks. 

Divergiert  hingegen  die  erste  Reihe,  so  divergiert  auch  die  zweite. 

Denn  mit  s^  hat  auch  ks^  eine  unendliche  oder  eine  unbetÜmmte 
Grenze. 

6.  Sind  die  Reihen  £a,  und  ^h^  konvergt^nt  gegen  die  Gren- 
zen s  und  if  80  sind  auch  die  Reihen 

1  1 

konvergent  und  haben  die  Grenzen  5  -f  ^  bzw.  ö^  ~t 
Denn  mit  s„  —  5,  ^»  —  ^  werden  gleichzeitig  auch 

beliebig  klein. 

28.  Beispiele.  I.  Es  sei  a^,  a,,  ^tt  - » -  eine  unbegrenzt  fori- 
setzbare  Folge  reeller  Zahlen,  und  man  bilde  aus  ihr  die  neue  Folge 

«1  -  «1  -  «„     a,  -  a,  —  «5,     «8  "=  «j  -  «4»  • .  •; 

ae 

dann  hat  die  Reihe  £a„  die  allgemeine  Partialsumme 

5,  =  a,  -  a^^,; 
ist  also   die   Zahlenfolge  (a„)  konvergent  und  a  ihre  Grenze,   so   ist 
auch  die  Reihe  J^a^  konvergent  und 

«  «»  «1  —  a 
ihre  Grenze;  insbesondere  ist  s  =«  cfj,  wenn  a  «=  lim  «,  =  0  iti 

na» 

Spezielle  Falle.  1.  Aus  der  Zahlenfolge  (1,  ^,  -,  --,  •  •  -j,  die  Null 
zur  Grenze  hat,  entsteht  auf  dem  beschriebenen  Wege  die  Reihe 

die  konvergent  ist  und  ct|  •-  1  zur  Grenze  hat,  so  daß  man  schreiben 
kann:  » 

2.  Die  ebenfalls  gegen  Null  konvergierende  Zahlenfolge 
(ll  1.   1    ,,,) 


ffihrt  zu  der  Reihe 


1$^  3    6^*7  ^ 


deren  Grenze  1  ist,  so  daß  (87t  5.) 

^  <«*-!)  («11  +  1)   ~f  (®^ 


96         Un«ndliche  Beiheii  und  Piodakte.    $  1.    Qnmdlegende  Begriffe. 

3.  Au«  der  Zahlenfolge  (1, 5,  g*,  g*,  •  •  •)  entsteht  auf  dem  be- 
schriebenen Wege 

nun  ist  die  Zahlenfolge  konvergent  und  0  ihre  Grenze,  wenn  |g|<l*), 
80  daß  ftr  diesen  Fall 

1  -  (1  -  (?)  +  (1  -  g)2  -^  (1  -  q)^'  +  •  •  •, 
•Im 

Wenn  hingegen  ^{  >  1,  so  ist  die  Zahlenfolge  eigentlich  diyer- 
gent*)  und  mit  ihr  gleichzeitig  die  Reihe  ^5". 

Bei  <7  —  1  geht  ^q*  in    die   Reihe   1  -f  1  4-  1   H über,  die 

0 
eigentlich  divergent  ist. 

40 

Bei  ^  =-  —  1   wird  aus  ^q^  die  Reihe  1  —  l-}-l  —  IH ,  deren 

Partialsummen  abwechselnd   1  und  0  sind;   die  Reihe  divergiert  un* 
eigentlich,  man  sagt,  sie  oszilliere  zwischen  1  und  0.') 

Als  Ergebnis  dieser  Untersuchung  kann  man  den  Satz  formn- 

00 

lieren,  daß  die  geometrische  Beihe  ^q"*  nur  dann  konvergent  ist,  wenn 

0 
q\<l,  daß  sie  also  in  den  Fällen  | g' !  >  1  divergiert;  im  ersten  FaUe  ist 

-i—  ihre  Greme. 
1  —  g 

IL  Eine  der  ersten  Reihen,  bei  denen  erkannt  wurde,  daß  auch 
bei  Abnahme  der  Glieder  gegen  0  —  was  lange  Zeit  hindurch  als  zur 

1)  Die  fiichtigkeit  der  beiden  Behauptungen  ergibt  sich  aug  folgender  Er- 
wftgnng.    Iit  d  eine  positive  Zahl,  so  i«t  1  -{-*]>  1«  ^  .    >-<i.    Nun  ist 

(1  +  <>)*>  1  4-  2^»   (1  -h  *)•  >  1  +  »<^,  •  •  • 

allgemein  fdr  jedes  natürliche  n 

(»  +  ')'>»  +  »*-Gi-«)"<TT^' 

daraus  sehliefit  man  auf  lim  (1  -f  ^^  «-:  00  und  lim  ( :r-i:'>)  **  ^' 

Somit  ist  iats&chlich  lim  |  g '"  —  oo  oder  «  0,  jenachdem  1 9 1  >  1  oder  |  g  |<  1. 

MB« 

i)  Die  Summenformel  fOr  die  fallende  geometrische  Beihe  ist  schon  1698 
Ton  F.  Vieta  gefanden  worden. 

3)  Bin  Beweis  fOr  die  naive  Auffassung,  der  die  unendlichen  Reihen  an- 
fAnglich  begegneten,  iet  darin  xu  erblicken,  da6  G.  Orandi  1703  fürdiete  lUüie 

in  unbedenklicher  Anwendung   der  Foimel  (10)   die  Summe    -  angab  und  daß 

fiber  die  M(^gUchkeit  dieses  Resultates  ein  ernster  Streit  geführt  wurde. 


Oeonetriiehe  und  harmonische  Reihe.  37 

Konvergenz  hinreichead  gehalten  wurde  -—  DiTwgenz  Torhanden  sein 
kann,  ist  die  harmoniadke  Reifte 

1 +  |+i-+i  +•••,!".«  2"--  (H) 

1 
£i  ist  nämliob 

weil  die  rechte  Seite  aus  der  linken  hervorgeht^  wenn  ujan  in  dieser 
vom  zweiten  Gliede  an  alle  Qlieder  dem  letzten,  dem  kleinsten,  gleich 
macht:  wie  groß  also  auch  n  sein  mÖge^  immer  laßt  sich  eine  Gruppe 
aufeinander  folgender  Glieder 

konstruieren,  deren  Summe  1  übersteigt;  die  allgemeine  Bedingung 
der  Konvergenz  ist  mithin  nicht  erfüllt.^) 

Ein  anderer  Weg,  die  Divergenz  dieser  Reihe  zu  erkennen,  be- 
steht in  folgendem.    Man  kann  die  um  das  erste  Glied  gekürzte  Reihe 

umformen  in 

12  ~  23   ^  S    4  ^ 

und  sodann  zerfallen  in 

1.2"''2.«'^ö-4"^ 

+  JL+   ^_  4.... 

^  2a  ^  3-4  ^ 

Nun  gibt  die  erste  Zeile  nach  (8)  die  Summe  1,  die  zweite  1  —  -  -^  —  2  > 
die  dritte  —  —  -^---^  ""  -r>  *  *  *>  so  daß  man  erhalt 

OD  30  W 

das  Paradoxe  an  diesem  Resultat  verschwindet  sofort,  aber  nur  dann, 
wenn  man  J^—,  also  auch  ^      durch  00  ersetzt*) 


1)  Auf  diesem  Wege  hat  Jak.  B^rnonlli  die  Diwgeax  der  han&oaischen 
Reihe  zuerst  erkannt  (Wende  vom  17.  zom  18.  Jhrh.). 

2)  Bdittels   dieses  Paradoxons   hat  Joh.  BernouUi   die  Diveigeiis  nach- 
gewiesen. 


38     tTcendliebe  Reihen  aod  Produkte.    §  2.  Reihen  mit  positiven  Gliedern. 

§  2.    Reihen  mit  positiven  Gliedern. 

« 

29.  Allgemeines.  1.  Ist  ^a,  eine  Reihe  mit  durchweg  posi- 
tiven Gliedern,  so  bilden  ihre  Partialsummen  Sj,  8^,  s^y  •  •  •  eine  mo- 
noton zunehmende  Zahlenfolge;  eine  solche  hat  entweder  eine  bestimmte 
Grenze  oder  die  Grenze  cx>;  ein  drittes  ist  ausgeschlossen  (25). 

Demnach  ist  eine  Reihe  aus  lauter  positiven  Gliedern  entweder  hon- 
veigentf  oder  divergent  mit  der  Grenze  oo. 

Die  Konvergenz  ist  erwiesen,  wenn  sich  zeigen  laßt,  daß  die  Par- 
tialsummen unter  einer  festen  Zähl  bleiben. 

Ist  s   die  Grenze  der  Reihe  ^a„,  falls   sie  konvergent  ist,   so 

bleibt  die  Summe  jeder  beschränkten  oder  unbeschränkten  Auswahl 
von  Gliedeni  unter  s. 

2.  Nimmt  man  an  einer  konvergenten  Reihe  aus  positiven  Gliedern 
eine  durchgeltende  Umordnnng  vor,  so  bleibt  die  Konvergens  erhalten  UTid 
die  Grenze  unverändert. 

Die  ümordnung  von 

«i  4-  a,  -f  flj,  H (1) 

««,  +  ««.  +  ««.  +  •-  (2) 

ist  eine  durchgehende,  wenn  die  umgeordnete  natürliche  Zahlenreihe 
«1,  ffj,  «3,  •-•  von  keiner  noch  so  späten  Stelle  an  mit  der  geord- 
neten 1,  2,  3,  •  •  •  übereinstimmt.  Bezöge  sich  die  Umorduung  nur  auf 
ein  endliches  Stück  der  Reihe,  so  bedürfte  der  Satz  keines  Beweises. 

Daß  (2)  konvergent  ist,  folgt  daraus,  daß  jede  ihrer  Partial- 
summen unter  6-,  der  Grenze  von  (1),  liegt. 

Man  kann  des  weitem  in  (2)  mit  der  Partialsummenbildung  so- 
weit gehen,  bis  man  die  ersten  n  Glieder  von  (1)  umfaßt  hat;  heißt 
die  so  gebildete  Partialsumme  s„  ,  so  stammen  ihre  übrigen  Glieder 
aus  dem  Rest  r^  zu  s,  -*  a^  -f  «,  -|-  •  •  •  -f  ^„,  so  daß 

mit  unbeschränkt  wachsendem  n  wächst  auch  «^  über  alle  Schranken, 
r,  dagegen  konvergiert  gegen  Null;  somit  ist  tatsächlich 

lim  i»,,  —  lim  s^  -»  s. 

3.  Wenn  man  in  einer  konvergenten  Reihe  ans  positiven  Gliedern 
dureJigelumd  Gruppen  sukzessiver  Glieder  bildet,  so  ist  die  aus  deren 
Summen  gebUdete  Reihe  wieder  konvergent  und  hat  dieselbe  Grente, 

Man  braucht,  um  dies  eintusehen,  nur  zu  beachten,  daß  die  Par- 
tialsummen der  Reihe 

(«1  +  a,  +  •  •  •  -hfl,)  +  (a,^i  +  ••    -f  a,)  -f  (a,  ,j  -f  ...)  +  ••  • 


Spezielle  Konrergeuikriierien.  39 

unter  den  ParÜalsummen  von 

«1  +  0»  -I-  <h  H 

Yorkommen,  daber  gegen  dieselbe  Grenze  kon?ergieren  wie  diese. 

Ditrc^h  die  beiden  letzten  EigenBchaften,  die  dem  koinmutatiTen 
und  dem  assoziativen  Ge.«etz  der  Addition  entsprechen,  ist  der  SummetP- 
Charakter  der  konrergenten  Reihen  ans  positiven  Gliedern  dargetan; 
die  Grenze  einer  solchen  Reihe  darf  daher  auch  als  ihre  Summe  be- 
zeichnet werden. 

30.  Konverganzkriteriwi.  1.  Wenn  die  dardiweg  positiven 
Glieder  der  lieihe  ^6„  kleiner  sind  oder  hödislens  gleichkommen  den 
korrespoHdierenden  Gliedern  einer  als  konvergent  Mannten  Reihe  2«,, 
so  ist  auch  2'^«  konvergent. 

Wegen  der  Konvergenz  von  2^»  kann 

«H  +  i  +Ö.  +  1 +  •••-!-«,  +  , 

durch  Wahl  von  n  allein  unter  die  beliebig  kleine  Größe  e  herab- 
gedrückt werden;  das  gilt  aber  auch  von 

das  nach  Voraussetzung  nicht  größer  sein  kann  als  die  vorige  Summe ; 
damit  ist  aber  die  Konvergenz  von  S^»  «r wiesen. 

Sollte  die  Beziehung  h^  <,  a^  erst  von  einem  Zeigerwert  m  an- 

m  —  \         m  —  \ 

gefangen  bestehen,  so  trenne  man  die  Reihenanfänge  ^a,,  J^h^  ab 

nnd  betrachte  die  gekürzten  Reihen,  anf  welche  die  obigen  Schlüsse 
Anwendung  finden. 

Aus  dem  Satze  ergibt  sich  die  Folgerung:  Sind  die  Glieder  von 
S^«  fff'^fi^f  ^^f'  mindestens  gleich  den  korrespondierenden  Gliedern  einer 
4ÜS  divergent  hekannten  Reihe  J]««»  ^^  ^^^  **<^'<  S^«  divergent. 

Denn,  aus  der  Annahme,  S^n  ^^^  konvergent,  folgte  mit  Not- 
wendigkeit die  Konvergenz  von  2]^«»  ^^  g^gen  die  Voraussetzung  ist 

Als  Beispiel  diene  die  Reihe 

1  H-  2»  "^  3t  "^^  4»  +  •  •  S 

ihre  Glieder  sind,  vom  zweiten  angefangen,  kleiner  als  die  Glieder 
der  konvergenten  Reihe  (HS,  8.) 

-,1,1,1, 

daher  ist  sie  selbst  auch  konvergent  und  ihre  Summe  <  2. 
Die  Glieder  der  Reihe 


40     Unendliche  Reihen  und  Prodakte.     §  2   Reihen  mit  positiven  Gliedern. 

hingegen  sind  vom  zweiten  an  größer  als  die  Glieder  der  divergenten 
harmonischen  Reihe;  sie  ist  also  auch  divergent. 

2.  Ist  das  Bildungsgesetz  der  lleUie  mit  positiven   Gliedern  ^a^ 
ein  solches,  daß  lim  «a„  >  0  isty  so  divergiert  sie 

Angenommen,  es  sei  lim  na^'^  A'^  ist  dann  a  eine  Zahl,  welche 

der  Bedingung  0  <  « <  -4   genügt,   so  muß  es  einen   Zeigerwert  m 
geben,  von  dem  ab  na^  beständig  größer  ist  als  cc,  so  daß 

ma^>a 

(»'  +  l)a^  +  i>a 

iDarans  folgt,  daß  von  n^m  angefangen  die  Glieder  von  ^a^  größer 
sind   als   die  entsprechenden   Glieder  von  ^     ;  nun  ist  ^    ,   also 

auch  J^"    divergent,  daher  divergiert  auch  S^«- 

Auf    Grund    dieses    Kriteriums    erkennt    man,    daß    die    Reihe 
V — I —    /   y^o  cCf  ßy  y  positive  Zahlen  bedeuten,    divergiert;  denn 


na.«« — ^-r-s  hat  die  über  0  liegende  Grenze    -  • 

Ferner  erschließt  man  daraus  die  Divergenz  der  Reihe  ^  für 
0  <jp  <  1;  denn  wa„  —  «*"''  wächst  mit  n  sogar  über  jede  noch  so 
große  Zahl.  Es  sind  also  beispielsweise  die  Reihen^  -  ,  ^^ — ,  ^i~^ 
divergent  ^**  »^        V«* 

3.  Isi  das  BüdungsgesefJf  der  Reihe  mit  positiven  Gliedern  ^a^ 

ein  solehes,  daß  der  Quotient  eines   Gliedes   durch    das    voraus- 

gehende heim  Durchlaufen  der  Reihe  einer  Grenge  X  sich  nähert,  so  ist 
die  Reihe  konvergent^  wenn  A  <  1,  divergent,  wenn  A  >  1. 

Im  Falle  Jl<  1  wähle  man  eine  Zahl  q  derart,  daß  A  <  g  <  1, 

also  zwischen  X  und   1;   es  muß  dann  -^—    von   einem   Zeigerwert 

N  *i  m  ungefangen  notwendig  kleiner  als  q  bleiben,  soll  es  die  unter 
q  liegende  Grenze  X  haben;  ans 

-— -<g,     - — -<g,     a— :<^»  — 

folgt  aber  ' 

«..+i<«-^,     ««.+«<««^,     «m^s  <«««*,; 

1)  Reihen  dieser  allgemeinen  Form  bexeiohnet  L.  Ealer  alt  harmonische 
Reihen;  in  der  Tat  iet  auch  die  gewöhnliche  harmonische  Reihe  darin  enthalten 
(a  —  7  —  1,   ^  —  0).     (1784—1716.) 


8p«tielle  Koovergenzkxiterieii.  41 

miÜiin  sind  die  Glieder  der  Heihe  2]a^  Ton  n  —  f»  +  1   aogefimgen 
kleiner  als  die  mit  a^  multiplizierten^  Glieder  der  geometrischen  Reihe 

]2?";  da  diese  wegen  q<iX  konvergiert^  so  konvergiert  auch  S*n- 

In  dem  Falle  X>  \  wähle  man  q  derart,  daß  il  >  9  >  1 ;  soll 
"^^  die  ttber  q  liegende  Grenze  l  haben^  so  muß  es  ron  einem  2^iger 
m  angefkngen  beständig  über  q  bleiben,  also 


sein;  daraus  folgt  weiter       • 

Da  also   nunmehr  die  Glieder  von  S^n  ^^"  w  =  w  -f  1  angefangen^ 
die  mit  a^  mnltipliziert^Bn  Glieder  der  geometrischen  Reihe  ^q"*  über- 

treffen,  diese  aber   wegen  5?  >  1  divergiert,  so  divergiert  auch  S^«» 

Der  Fall,  dafi     "^-  die  Zahl  1  selbst  zur  Grenze  hat,    bleibt  also 

unentschieden. 

Als  erstes  Beispiel  diene  die  mittels  der  positiven  Zahl  «  ge- 
bildete Reihe 


0 

in  ihr  ist 

»n""^f>       "«  +  1         .nH-3)!'            a,     ""w+l' 

dieser  Quotient  läßt  sich  bei  jedem  a  diurch  Wahl  v^on  n  beliebig  klein 

u 
machen;  es  ist  daher    lim    "^    ««i  0  <  1,  die  Reihe  also  bei  jedem  a 


konvergent 
Die  Reihe 

1 

1 

^-:+-i'+ 

^... 

zeigt  ein  wesentlich  anderes  Verhalten; 

in  ihr  ist 

«.■ 

■    n  ' 

^-+1  -f»4-i» 

er 

und  da  dieser  Quotient  a  zur  Grenze  hat,  so  ist  die  Reihe  nur  dann 
konvergent,  wenn  «  <  1  ist;  bei  a  >  1  divergiert  sie,  aber  auch  schon 
bei  a  ->  1;  wo  sie  zur  harmonischen  Reihe  wird. 


42     unendliche  Reihen  und  Produkte.    §  S.  Reihen  mit  pofitiyen  Gliedern. 

Keine  Entscheidung    ermöglicht   das  Kriterinm    bei    der    Reihe 
2  "    Cp  ^  ^)>  ^*  ^*®^  -  • +  1  «,  /     '•^    \  die  Grenze  1  hat.    An  anderer 

Stelle  ist  aber  bereits  erkannt  worden,  daß  diese  Heihe  bei  p^\ 
diyergiert,  bei  p  =-  2  konverp^ent  ist. 

4.  Die  beiden  Beihen  ^a^  und  2^*^>  ^^  ^^^  der  Voraus- 

1  0 

Setzung,  daß  die  Glieder  der  erden  niemals  zuneJimen,  gleichgeitig  kon- 
vergent^ bjntf,  ditfergent. 

Auß  der  Tatsache,  daß  äj  >  a,  >  o^  >  •  •  •  (statt  >  kann,  jedoch 
nicht  durchwegs,  auch  ^  eintreten),  folgen  einerseits  die  Edationen: 

2a,  >  «j  4-  «8 
4a^>a4  +  a5  +  ««'-f  «t 


aus  denen  sich  durch  Addition 

0  1 

ergibt;  andererseits  die  Relationen: 
a,  <2a^ 
2a^  -=  2«^ 
4a4<2(cs4-«4) 


die,  indem  man  sie  addiert,  zn  der  Ungleichung 

•IN 

;^2'a,,<2^a,  (B) 

0  1 

führen.  Auf  den  beiden  Seiten  von  (A)  und  (B^  stehen  nun  P&rtial- 
summen  der  beiden  za  vergleichenden  Reihen. 

Ist  S<*«  konvergent,  so  folgt  aus  (B)  die  Konvergenz  von  2^*^»» 
und  ist  ^2*0^*  konvergent,  so  schließt  man  aus  (A)  auf  die  Konver- 
genz von  v;«^ 

Ist  2»«  divergent,  so  begründet  (A)  die  Divergenz  von  S^'^h»' 
und  ist  S-*^'*!»  divergent,  so  ist  es  wegen  (B)  auch  2*«- 


Spesielle  KonTergenskriterien.  48 

•    1 
Mit  Hilfe  dieses  Kriteriums  kapn  die  iteihe  J^^   endgiltig  er- 
ledigt werden.     Es  ist  nämlich 

eine  geometrische  Reihe  mit  dem  Quotienten  ^—    ^^yJ  *^^®*®''>****^^> 

wenn  ;>  >  1 :  —=  1,  wenn  j»  »-  1;  >  1,  wenn  /)  <  1.   Demnach  ist  die 

geometrische  Reihe  und  mit  ihr  zugleich  die  Reihe  ^^      konrergent 

bei  j?  >  1,  divergent  bei  j>  ^  1. 

Die  unter  2,  3  und  4  nachgewiefienen  Kriterien  stammen  von 
A.  Cauchy,  dem  Begrüpder  der  allgemeinen  Reihentheorie. 

§  3.    Reihen  mit  positiven  und  negativen  Gliedern. 

31.  Absolut  konvergente  Reihen.  Wenn  von  einer  Reihe 
mit  positiven  und  negativen  Gliedern  gesprochen  wird,  so  ist  damit 
gemeint,  daß  beide  Arten  von  Gliedern  durchgehend  seien,  d.  h.  dafi 
es  keine  noch  so  ferne  Stelle  in  der  Reihe  gibt,  von  der  an  nur  mehr 
Glieder  eines  Zeichens  vorkommen. 

Hebt  man  in  einer  solchen  Reihe  ^a^,  in  welcher  die  a,  nun- 
mehr relative    reelle  Zahlen    sind,    den  Zeichenunterschied  auf,  bildet 

OB 

man  mit  andern  Worten    die  Reihe  ^  a,   aus  den  absoluten  Werten 

1      " 
der  a^y  so  kann  diese  konvergent  oder  divergent  sein. 

Ist  Sl^n  konvergent,  so  ist  es  2^«  notwendig  auch;  denn 
(27,  4)  eine  konvergente  Reihe  aus  positiven  Gliedern  bleibt  konver- 
gent, wenn  man  bei  einer  durchlaufenden  Folge  von  Gliedern  das 
Zeichen  ändert. 

Wie  es  sich  in  diesem  Falle  mit  der  Grenze  der  Reihe  verhälfc, 
darüber  gibt  der  folgende  Satz  Aufschluß. 

Siütjst  sich  die  Konvergenz  der  Eeihe.  ^^  auf  die  Konvergeng  der 
Beihe  2 ;  a„  j,  so  ist  ihre  Grenze  gleich  der  Summe  der  positiven  Glieder 
vermindert  um  die  Summe  der  Absolutwerte  der  negativen  Glieder  und 
unabhängig  von  der  Anordnung  der  Glieder. 

Die  positiven  Glieder  von  ^a^  in  der  Reihenfolge  ihres  Auf- 
tretens seien 

die  absoluten  Werte  der  negativen  Glieder  in  gleicher  Anordnung 


44  Unendliche  Reiben  usw.   §8.  Beiben  mit  positiven  imt)  negativen  Gliedern. 

beide  sind  konvergent ,  denn  jede  besteht  ans  einer  dvrchlanfendeii 
Gliederfolge  der  konvergenten  Reihe  S-^«!  (^}  ^) 

Eine  Partialsumme  s^  von  i]a,  stellt  sich  als  Differenz  einer  be- 
stimmten Partialsnmme  t,  von  fl)  und  einer  bestimmten  Partial- 
summe  «^    von  (2)  dar,  so  daß 

indem  nun  n  unaufhörlich  wächst^  nehmen  anrrh  a^  und  ß^  ohne  Unter- 
laß voLj  and  t^  ,  u^  nähern  sich  den  Summen  (^  n  der  Reihen  (1),  (2) 
als  Grenzen;  mithin  hat  .s^  die  Zahl  t—n  znr  Grenze-  Damit  ist  die 
erste  Aussage  des  Satzes  erwiesen. 

Nimmt  man  in  Va„  eine  durchgehend«  Umordnung  der  Glieder 
vor,  so  erfahren  auch  die  Keihen  (1),  (2;  eine  solche;  da  aber  ihre 
Grenzen  dabei  keine  Änderung  erleiden  (29,  2),  so  behalt  auch  ^a^ 
die  frühere  Grenze  s  «*-  ^  -  u  bei. 

Einer  Reihe  von  der  hier  in  Rede  stehenden  Art  kommt  also  der 
Summencharakter  zu,  indem  ihre  Grenze  von  der  Anordnung  der 
Glieder  unabhängig  ist;  man  spricht  daher  hier  wie  bei  Reihen  aus 
positiven  Gliedern  von  der  Grenze  als  von  der  Summe  der  Reihe. 

Vorläufig  sollen  Reihen  dieses  Verhaltens  als  ahsoltU  konvergerU 
bezeichnet  werden. 

32.  Hichtabsolnt  konvergente  Reihen.  Es  handelt  sich  nun 
um  den  Fall,  daß  eine  Reihe  ^a„  aus  positiven  und  negativen  Gliedern 
nach  Aufhebung  des  Zeichenunterschiedes  divergent  wird.  Die  ur- 
sprüngliche Reihe  selbst  kann,  wie  sich  zeigen  wird,  konvergent  oder 
divergent  sein. 

Zunächst  ist  unmittelbar  einzusehen,  daß  2i]l^iki  ^ch^  divergent 
sein  kann,  ohne  daß  wenigstens  eine  der  Reihen  (1),  (2)  divergent  ist 

Ist  nur  eine  von  ihnen  divergent,  z.  B.  (1),  dann  wird  t^  größer 
als  jede  beliebige  Zahl,  während  u^  eine  Grenze  besitzt;  somit  wird 
auch  8„  beliebig  groß,  die  Reihe  J^  a^  ist  also  in  diesem  Falle  divergent. 

Sind  beide  Reihen,  (1)  und  (2),  divergent,  so  übertreffisn  i„  ,  u^ 
schließlich  jede  noch  so  große  vorgegebene  Zahl;  ihr  allmähliches  An- 
steigen hängt  aber  von  der  relativen  Häufigkeit  ab,  mit  der  positive 
und  negative  Glieder  beim  allmählichen  Durchlaufen  von  S«,  Auf- 
treten; es  ist  ebensowohl  denkbar,  daß  dieses  Auftreten  so  gmgelt 
ist,  daß  die  Differenz  t^  —  Wy  einer  Grenze  sich  nähert,  wie  auch, 
daß  die  Glieder  des  einen  Vorzeichens  den  andern  so  vorauseüen, 
daß  i^   —  u^^  dem  Betrage  nach  größer  wird  als  jede  beliebige  Zahl. 

Ober  alle  diese  Verhältnisse   gibt   der  folgende  Sati  Aufschluß. 

Die  Oreme  einer  Reihe  2]a„  deren  positive  und  negative  Glieder 

je  für  sich  divergente  Meihen  bilden,  hängt  von  der  Anordnung  der 


TJabodiiigie  und  bedingte  Koovergeiu.  45 

Glieder  ab  upui  kann  durch  lUgeUmg  die$er  Anordnung  jeder  bdiebigen 
Zahl  tjlekh  gemacht  werden,  - 

üin  der  lleihe  ^a^  die  (z.  B.  positive)  Grenze  G  lü  geben,  nehm  e 
maa  ron  (1)  eine  solche  Gliedergruppe 

daß  ihre  Summe  G  übertrifft ,  daß  dies  aber  schon  nicht  der  Fall  ist, 
wenn  man  das  letzte  Glied  der  Gruppe  fortläßt,  so  daß 

hieran  schließe  man  eine  solche  Gruppe  aus  (2), 

daß  Sa  —  5y  unter  G  sinkt,  daß  dies  aber  nicht  mehr  zutrifft,  wenn 
man  das  letzte  Glied  fortläßt,  so  daß 

nun  gehe  man  in  der  Reihe  (l)  wieder  weiter  um 

V+i  +  %'+«  +  •  •  •  +  V  ""  *" 
derart,  daß  G  gerade  noch  überschritten  wird,  so  daß 

Sa  —  s^i-s'a  —  G<a^„^ 
und  schließe  daran  so  viel  von  (2): 

l«/»/+iH-|«/#,'+>l  +  '-+ta^,.i-5?, 
daß  gerade  noch 

ö  -  («;  -  s^  -f  «a  -«?)<!  a^^..  I 
u.  8.  f    Auf  diese  Weise  fortfahrend  kommt  man  G  beliebig  nahe,  da 

eine  gegen  Null  konvergierende  Zahlenfolge  bilden  (26). 

Die  Partialmimmen  Sa,  Sa  —  5j/,  sä  —  «^  -f  sä,  s«  —  jj»  -|-  ««—*?,•  • 
oszillieren  um  G. 

Da  man  G  beliebig  groß,  d.  h.  größer  als  jede  noch  so  große 
Zahl  festsetzen  kann,  so  können  aus  ^a^  durch  Giiedemmordnung 
auch  divergiftnte  Reihen  erzeugt  werden. 

Wahrend  also  die  Konvergenz  einer  absolut  konvergenten  Reihe 
eine  unbedingte,  von  der  Anordnung  der  Glieder  unabhängige  ist,  wird 
die  Konvergenz  einer  nichtabsolut  konvergenten  Reihe  durch  die  An- 
ordnung der  Glieder  bedingt  derart,  daß  mit  der  Anordnung  die  Grenze 
sich  ändert  und  unter  Umständen  unendlich  wird.^) 


1)  Bei  einigen  spesiellen  nichtabtolut  konvergenten  Reiben  hatten  tchon 
A.  Canohj  (1883)  nnd  6.  Lejenne-Dirichlet  (1887)  dM  eigentOmliehe  Ver- 
halten erkannt;  den  obigen  «llgeneinen  Satz  hat  aber  ent  B.  Biemann  anf- 
gestellt  und  bewiesen  (.1M7). 


46    unendliche  Reiben  nsw.   1 8.  Reiben  mit  potitiven  und  negfttifen  Glledetn. 

Man  hat  demnach  die  Reihen  mit  positiven  und  negativen  Gliedern 
in  unbedingt  und  bedingt  konvergente  zu  unterscheiden. 

Den  bedingt  konvergenten  Reihen  geht  der  Summencharakter 
ah;  es  ist  daher  korrekter,  hei  ihnen  nur  von  einer  Grenze  statt  von 
einer  Summe  zu  reden. 

33.  Alternierende  Seihen.  Von  den  lieihen  mit  positiven 
und  negativen  Gliedern  heißen  diejenigen,  in  welchen  auf  ein  positives 
immer  ein  negatives  Glied  folgt^  und  umgekehrt,  alternierende  Reihen. 
Bei  diesen  gibt  es  einen  Fall  der  Konvergenz,  der  an  einem  sehr  ein- 
fachen Kriterium  zu  erkennen  ist;  er  ist  durch  den  folgenden  Satz 
gekennzeichnet: 

Wenn  die  Glieder  einer  alternierenden  Heike  dem  Betrage  nach 
beständig  abnehmen  *)  und  überdies  die  unerläßliche  Bedingung  der  Kon- 
vergenz lima^-=0  erfüllen,  so  ist  die  BeUie  konvergent.^) 

J»ss» 

Aus  der  abnehmenden  Folge  positiver  Zahlen  a^,  a,,  o,,  •  •  •  sei 
die  Reihe 

m 

2{-  ir~'«.= «1  -  ^,+ «8-  «4+  •  •  •• 

gebildet. 

Die  Beziehungen 

«ln  +  1  -  («1  -  «j)  +  («3  -«*)  +  •••  4-  (rt,„_i  -  «,,)  H-  (Hn^i 

lehren,  daß  die  ungeraden  Partialsummen  s^,  5,,  s^y  •  •  •  eine  ab- 
nehmende Folge  positiver  Zahlen  bilden,  die  notwendig  eine  Grenze, 
lim6-,,+i,  hat. 

Die  Beziehungen 

zeigen,  daß  die  geraden  Partialsummen  8^,  s^,  s^^  --  -  eine  Bunehmende 
Folge  positiver  Zahlen  bilden,  die  jedoch  unter  der  Zahl  a^  bleiben, 
mithin  notwendig  eine  Grenze,  limS|,,  besitzen. 

Da  aber 

90  sinkt  der  Unterschied  ^s,^.!  —  ^t«**  ^tn-f  i  ™^^  wachBeudem  n  onter 
jede  noch  so  kleine  Zahl,  ^.^|  und  s,^  haben  also  nicht  reraehiedene, 

fiondem  eine  und  dieselbe  Grenze  5,  die  auch  der  Reihe  ^(— 1)""*«, 
angehört 

1)  Oder  wenigtiens  von  einer  Rtelle  ab  niemals  snnebmen. 
t)  Dieses  Kriierium  hat  Leibnis  schon  1714  nachgewiesen. 


Alternieren  de  Reihen.  47 

Zugleich  geht  aus  der  Betrachtung  hervor,  daß 

für  jedee  n;  da  femer  allgemein 

r.  ^  (-  lr(».+i  -  («.+1  -  a.+t) ), 

80  ist  :  r„  I  =  i  ^  —  s^  I  <  I  a,^j  |,  d.  h.  nimmt  man  itatt  8  eine  Partial- 
summe  s^,  so  ist  der  begangene  Fehler  dem  Betrage  nach  kleiner  ala 
dos  dem  letztbehaltenen  folgende  Glied. 

34.  Beispiele.  Die  Ergebnisse  der  Untersuchungen  der  beiden 
letzten  Artikel  mögen  nun  an  einigen  Beispielen  erläutert  werden. 

1.  Die  alternierende  Reihe 

1 
ist  nnbedingt  konvergent,  weil  die  Reihe  der  absoluten  Gliederwerte 
konvergent  ist  (30,  4.). 

2.  Die  alternierende  Reihe 

1 
ist  nach  dem  Kriterium  33  konvergent,  aber  nur  vermöge  der  Glieder- 
anordnung, weil  die  Reihe  aus  den  absoluten  Gliederwerten  divergfiert. 

Ordnet  man  die  Glieder  nach  irgend  einem  Prinzip  um,  so  ist 
die  Konvergenz  schon  fraglich,  und  besteht  sie  noch,  so  ist  die  Grenze 
eine  andere. 

Es  soll  dies  für  die  folgende  Anordnung  gezeigt  werden: 

Die  Partialsumme  von  4n  Gliedern  der  ersten  Anordnung  ist 

•^-(l-T  +  T-T)  +  (i-i-+f-i)  +  - 

.  /    1 L_  +  — ! -i-V 

~V«I»  — S  tH  —  t~iH  —  l  4»/' 

dBe  Partialsumme  von  3»  Gliedern  der  zweiten  Anordnung 
mithin  igt 

*»•-"♦•- (t  -  t)  +  (t  -  t) +  ••■+ (sj^  -  A) 

d.  L  ,  _i^ 


48    Unendliche  Reiben  niw.    §8.  Reihen  mit  pofitiven  und  negativen  Gliedern. 

nun  hat  ^^  ebenso  wie  s^^  die  Gh'enze  s  der  Reihe  iu  der  ersten  An- 
ordnung; folglich  hat  s^n  die  Grenze  -z  s,  und  dies  ist  die  Grenze  der 

Reibe  in  der  zweiten  Anordnung.     Durch   die   Umordnnng,   die   die 
positiven  Glieder  yoraneilen  macht ,  hat  sich  also  die  Grenze  um  die 
Hälfte  ihres  ursprünglichen  Betrages  erhöht. 
3.  Die  Reihe 

1 
erfiillt  bei  jedem  p  >  0  die  Konvergenzbedingung  des  vorigen  Artikels ; 
absolut  und  daher  unbedingt  konvergent  ist  sie  nur  beip>l,  da- 
gegen bei  p  <  1  nur  bedingt  konvergent,  weil  dann  ^  -^  divergiert 

(80,  4). 

Diesen  letzten  Fall   im    Auge   behaltend   werde    die  Reihe   um- 
geordnet in 

3^  2'  6"  7"  4" 

Die  Partialsumme  $^^  der  ersten  Anordnung  und  die  Portialsumme  5«« 
der  zweiten  Anordnung  umfassen  folgende  Glieder: 

«In-  1  -  .^-  +    _-  ~  -    4- ...  4- 


t^         8'         4'  (2n  — 1)'        (Sn;" 

-        J 1^  1 1 1_^ 

^'"  ""      "^8"        jF  "^  '  •  '  +  (4n-.  i)P  "^  (4n  -T)'        (tu)*' 
in  den  negativen  Gliedern  stimmen  sie  überein,  in  den  positiven  gebt 

die  zweite  um  die  Glieder  von bis ,  deren  Anzahl  n 

(2114-1)'  (411-1)'' 

ist,  weiter;  folglich  ist 


(2n+l)'        (2n  +  8)''         ^  (^n-l)'' 

Terkleinert  man  die  rechte  Seite  dadurch,  daß  man  alle  Glieder  einzeln 
dureh  — ^  ersetzt,  so  ergibt  sich,  daß 

wagen  0  <  p  <  1  wächst  aber  «*•'  mit  n  Über  jede  noch  so  große 
Zahl  hinaus,  und  da  s^^  eine  bestimmte  Grenze  hat,  so  wird  $%,  not- 
wendig über  jedes  Maß  groß.   Die  umgeordnet«»  Reihe  ist  also  divergent 

§  4.  Unendliche  Pr#dakte. 
85.   Begriff  d«r  Xonvergens   und  Dlvargeni.     Wie   die 

Addition,  so  kann  auch  die  Multiplikation  wegen  ihres  kommutativen 
Charakters  auf  beliebig  viele,  alfo  aneh  auf  unbeschränkt  viele  Zahlen 


Allgemein«  KonvtcgentbfMiiQgujifea  unendlicher  Produkte.  49 

angeweDilet  werden.     Einem  solchen  miendlichen  Produkt^)  gegenüber 
entsteht  wieder  die  Frage,  wann  BByine  bestimmte  Zahl  darstellt 

Aus  der  unbegrenzt  fortsetzbaren  Folge  positiver  Zahlen  a^,  a^, 
o,,  •  •  •  werde  nach  der  Vorschrift 

Pi  -  «1 


eine  neue  Folge  p^,  |>,,  p,,  ••  •,  kurz  (pj,  gebildet. 

ist  diese  neue  Folge  konvergent ,  ohne  jedoch  eine  Elementar- 
reihe zu  sein,  so  daß  also  ihre  Grenze  eine  von  Null  verschiedene  Zahl  p 
ist,  so  bezeichnet  man  das  unendliche  Produkt 

OB 

aia^rij...,  kurz  //a.,  (2) 

ebenfalls  als  hofivcrgevü  und  p  =»  limp,  als  seine  Grenze,  seinen  Wert. 

In  jedem  andern  Fall  heißt  das  Produkt  divergent. 

Wenn  vorausgesetzt  wurde,  daß  alle  Faktoren  positiy  seien,  so 
hat  dies  in  folgender  Erwägung  seinen  Grund.  Negative  Faktoren 
dürften  nur  in  }>e3chränkter  Anzahl  vorbanden  sein,  weil  nur  dann 
das  Produkt  ein  bestimmtes  Vorzeichen  erhält j  hat  man  dieses  einmal 
bestimmt,  so  kommt  es  nur  mehr  auf  den  absoluten  Wert  des  Pro- 
duktes an. 

Es  kann  aaf  den  ersten  Blick  befremden,  daß  man  die  Grenze 
Null  bei  der  Konvergenz  ausschließt  und  Produkte  mit  dieser  Grenze 
zu  den  divergenten  zählt.  Hält  man  daran  fest,  daß  keiner  der 
Faktoren  a^  Null  sein  soll,  so  weist  ein  gegen  Null  konvergierendes 
Produkt  die  Anomalie  auf,  den  Wert  Null  zu  haben,  ohne  daß  einer 
der  Faktoren  Null  ist.  Dies  der  Grund,  warum  solche  Produkte  zu 
den  divergenten  gezahlt  werden. 

Die  allgemeine  Bedingung  für  die  Konvergenz  des  Produkte^  //a, 
ist  identisch  mit  der  Bedingung  für  die  Konvergenz  der  Zahlenfolge  (pj, 
(2Ä),  mit  dem  Zusätze,  daß  p^  nicht  beliebig  klein  werden  darf;  sie 
läßt  sich  also  durch  die  Ansätze  ausdrücken: 

die   erste   Ungleichung   muß    bei    gegebenem    s   für   ein   hinreichend 
großes  n  bei   jedem   r  stattfinden;    in   der   zweiten   bedeutet  g  eine 

1)  Unendliche  Produkte  sind  fast  gleichseitig  mit  den  unendliehen  Reihen 
in  der  Literatur  aufj^treien;  das  erste  uoendliehe  Produkt  findet  sieh  (169S) 
bei  P.  Vieta. 

Os«b«r,  Höhere  HathtmaiUc.  t.Aiifl  ^ 


50  Unendliche  Reihen  und  Produkte,    f  4.   unendliche  Produlclf . 

positive  Zahl.  ÜDabhängig  von  dieaer  kann  man  (3)  Änrcb  die  einzige 
Forderung 

ersetzen. 

Auf  den  Fall  r  »  1  angewendet  führt  dies  zu  dem  Ansätze 

welcher  besagt,  daß  die  Faktoren  eines  konvergenten  Produkts  schließ- 
lich um  beliebig  wenig  von  der  Einheit,  dem  Modul  der  Multipli- 
kation, verschieden  sind,  analog  wie  sich  die  Glieder  einer  konvergenten 
Reihe  schließlich  beliebig  wenig  von  Null,  dem  Modul  der  Addition, 
unterscheiden. 

Schreibt  man,  von  der  Beziehung  (4)  Gehntuch  machend,  die  Fak- 

toren  a,  in  der  Form  1  +  «„?  das  Produkt  also  in  der  Form  U{1  +  «»)y 

80  drückt  sich  nunmehr  die  zur  Konvergenz  notwendige  Bedingung 
dahin  aus,  daß  die  Zahlenfolge  ctj,  c^,  er,,  •••  eine  Flementarreihe, 
d.  h.  lima,=  0   sein   müsse;   hinreichend    aber   ist   diese   Bedingung 

HS  OB 

nicht.    Die  Bedingung  (3*)  stellt  sich  jetzfc  in  der  Form 

j]7(i  +  «,)-i|<*  (3**) 

dar;  Uil  -r  «,)  nennt  man  eiii  Restprodukt,  für  r  «=  oc  wird  es  zu 
dem  Restprodukt,  das  zum  Patiialprodukt  p^  gehört. 

CO 

Ein  unendliches  Produkt  //(l  +  cf«)  führt  zu  der  unendlichen 

1 

Reihe  ^log(l  +  « J  ^®''  Logarithmen  seiner  Faktoren;  Konvergenz 

oder  Divergenz  des  einen  Gebildes  zieht  notwendig  die  analoge  Eigen- 
schaft des  andern  nach  sich. 

86.  Konverfenikriterien.  Sind  in  dem«  Produkt  /7(1  +  cj 
alle  «^  >  0,  so  sind  ülle  Faktoren  unechte  Brüche,  der  Wert  de« 
Produkts,  wenn  es  konvergiert,  wird  selbst  auch  >  1  sein,  im  andern 
Fall  ist  er  unendlich. 

Sind  alle  a,  <  0,  also  alle  Faktoren  echte  Brüche,  so  wird  bei 
einem  konvergenten  Produkt  dessen  Wert  selbst  auch  <  1  sein;  im 
andern  Falle  ist  er  Null 

Gibt  68  positive  und  negative  a^  in  unbegrenzter  Anzahl,  so  kann 
jeder  der  unterschiedenen  Fälle  eintreten. 


Spesielle  KoovergeiukziterieB.  51 

Näheres  hierüber  lehren  die  folgenden  Sätse: 
1.  Sind  aUe^ «»  >  0,  so  ist  das  Produkt  JJ{\  +  aj  konvergent, 

0» 

wenn  die  Reihe  JS^m  konvergiert^  und  seine  Greme  dann  unabhämgig 

von  der  Anordnung  der  Fcüctoren;  hingegen  divergent  und  sein  Wert  oo, 
wetm  die  Beihe  divergiert. 

Aus  der  Entwicklaug  des  Restprodakts 

77(1  +  «,)  - 1  +  «,+,  +  «,+,  -f  •  •  •  -h «.+,+  Ä, 
«+1 

worin  5  die  Summe  der  Produkte  der  a  zu  zweien ^  dreien,  •  •  •  ver- 
tritty  geht  herror,  daß 
•+ 

77(1  +  «.)  - 1  >  ««+1  +  ««+t  +  •  •  •  +  «•+,; 
«+1 

OD 

ist  nun  die  Reihe  ^  a^  divergent,  so  kann  die  rechtsstehende  Snmme 
i 

durch  Wahl  von  n  und  r  beliebig  groß  gemacht  werden,  die  Be- 
dingung (3**)  ist  also  nicht  erfüllt;  da  femer  p^  mit  n  wächst,  so 
ißt  p  =  oc . 

Ist  hingegen  ^(r,  konvergent,  so  kann  zu  dem  positiven  echten 
Bruch  $  ein  hinreichend  großes  n  derart  bestimmt  werden,  daß  bei 
beliebigem  r 

sei;  das  hat  zur  Folge,  daß  für  die  in  S  enthaltenen  Produktsammen 
Sff  S^y  ' ' '  S^  Ton  2;  3,  •    •  r  Faktoren  folgende  Beziehungen  bestehen. 

^S<  («.  +  !  +  ...  4  «.  +  ,)»<?• 

weil  die  Potenzen  außer  den  gedachten  Produktsummen  noch  andere 
positive  Glieder  umfassen.     Demnach  ist  jetzt 

JJ  (1  +  «,)- 1<3  +  9*+ . . .  +  ?'-  Bf--  <  ,i-,; 

wählt  man  also  q  derart,  daß  j-£-  <  £,  wozu  nötig  ist,  daß  q  <  jq^ 
genommen  werde,  so  wird  auch 

}7(1 +  «,)-!<*; 

die  Konvergenzbedingnng  ist  also  tatsächlich  erfüllt 

4* 


52  Unendliche  Reihen  und  Produkte.    §  4.   Unendliche  Produkte. 

Da  die  konvergente  Reihe  aus  den  Logarithmen  der  Faktoren, 
^log(l  -h  a„),  im  gegenwärtigen  Falle  ans  lauter  positiven  Gliedern 

besteht  und  darum  unbedingt  konvergent  ist,  so  gilt  die  gleiche 
Aussage  fQr  das  Produkt;  es  kommt  ihm  die  kommutative  Eigen- 
schaft des  endlichen  Produkts  zu. 

2.  Sind  alle  u^  >  0,  ao  ist  das  Produkt  IJ(\  —  aj  konvergent, 

wenn  die  Beihe  2^n  konvergiert  ^  und  seine  Grenze  dann  unabhängig 
von  der  Anordnung  der  Faktoren;  hingegen  divergent  und  sein  Werl 
Null,  wenn  die  Reihe  divergiert. 

Wegen   1  ~  «„  -  -j-r-*-  <  j^—  ist  auch 

p„<-f-^ — -, 

divergiert  nun  ^a„,  so  wächst  der  Nenner  rechts  über  jeden  Betrag, 
folglich  wirdjfj,,  mit  wachsendem  n  beliebig  klein,  also  ist  j9  =  lirap„=-0. 

Mit  den  vorhin  benutzten  Bezeichnungen  ist  jetzt  das  entwickelte 
Restprodukt 

«  +  i 

und    wenn    ^cc^    konvergiert^    kann    n    so    gewählt    werden,    daß 

<^ii+i  H"  ^n-^i  -f  . . .  H-  cc^+r  <  </  <  1  ist;  dann  wird  aber 

1- 17(1  ~^^)<^  +  «'  +  - ••  +  «'•  =-S<r^^<^' 
«+1  ^         ^ 

wenn    q  <  t-t—    genommen    wird.      Die    Konvergenzbedingung    fQr 

/7(1  —  aJ  ist  also  erfüllt;  die  Unabhängigkeit  des  Wertes  von  der 
Anordnung  der  Faktoren  ergibt  sich  durch  denselben  Schluß  wie  vorhin. 

3.  Sind  dir.  a^  teils  positiv,  teils  negativ,  beides  in  unbescJiränkier 

30 

uiniahl,  so  ist  das  Produkt  //  (1  +  « J  konvergent  und  sein  Wert  un- 
abhängig  von  der  Anordnung  der  Faktoren,  wenn  die  Reihe  2^%  **** 

bedingt,  d.  h.  vermöge  der  Konvergeng  von  ^ !««',  konvergiert 

Das  Portialprodukt  p^  wird  jetzt  rum  Teil  aus  Faktoren  von  der 
Form  1  -f  a^,  zum  Teil  aus  Faktoren  der  Form  \  —  a^  bestehen;  ihre 
Anzalilen  seien  n,  n\  ihre  Produkte  p^,,  p]^..;  dann  ist 

p.'K-pi- 


Spezielle  KonxtrgentkriierieB.  58 

Weil  nun  bei  der  vorausgesetzten  Konvergenz  von  ^  u^  \  die  beiden 
^tf,  und^of^  konvergent  sind  (31),  so  streben  i>«',  p»*  bestimmten 
von  der  Faktorenanordnung  unabhängigen  Grenzen  p\  p"  zu,  daher 
besitzt  auch  p^  eine  von  der  Reihenfolge  der  Faktoren  unabhängige 
Grenze  p,  nämlich  p    ^  p  p". 

Anmerkunff.  Bei  bloß  bedingter  Konvergenz  der  Reihe  ^ä, 
kann  das  Produkt  //O  +  a,.)  konvergent  oder  divergent  sein;  doch 
ist  Konvergenz  aus  der  bloßen  Konvergenz  von  ^ft.  nicht  zu  er- 
schließen; findet  sie  aber  wirklich  statt,  so  ist  sie  auch  eine  bedingte 
in  dem  Sinne,  daß  der  Wert  des  Produktes  von  der  Anordnung  der 
Faktoren  abhängt  und  durch  deren  entsprechende  Regelung  jeder  be- 
liebig angenommenen  Zahl  gleich  gemacht  werden  kann.  Auf  solche 
Produkte  soll  hier  nicht  eingegangen  werden. 

37.  Beispiele,     l.  Das  Produkt 

^a  +  ^'^)  -=  (1  +  *)  (l  +  /:»)  (1  +  **) . .  • 

0 

ist  konvergent,  wenn  die  Reihe 

konvergiert:  vergleicht  man  si«  mit  der  geometrischen  Reibe  k-^J^ 
-f  Ä:'  +  A^  -f  . . .,   die    bei    fc  |  <  1    konvergent   ist,   so   erkennt    maa 

(30,  1.),  daß  unter  der  gleichen  Voraussetzung  auch  2^**     "^*^  ^^ 
mit  auch  das  vorgelegte  Produkt  konvergiert. 
Das  Partialprodukt^j 

p.^t  =  (1  +  fö  (1  +  ^^)  (1  +  **)•••  (1  +  ^•*") 

=  1  4  ^-  +  Ä^  +  •  •  •  +  A-»  ^  -  > »  VlTT— 

konvergiert  denn  auch  tatsächK^h,  wenn  |  ^   <  1,  gfegen  die  Grenze 
1 

2.  Die  Produkte 

17  (^-»^-(^-^^^-^(^-i)- 


1)  Von  der  Richtigkeit  d«r  Entwicklang  überzeagt  m*n  sieb  durch  die 
Erwägung,  daß  «  -|-  1  Binome  tatsächlich  ein  Produkt  rub  «*+*  Gliedern  gebeo, 
wenn,  wie  hier,  Rednkttonen  anegesohloMett  iiDd. 


54  Unendliche  Reiben  and  Prodnkte.    §  4.    Unendliche  Produkte. 


L^l 


sind  divergent,  weil  es  die  Reihe  ^  -  ist;  das  erste  divergiert  gegen 

CO,  dtts  zwwte  gegen  0  (voranegesetzt,  daß  k  >  0). 
Das  Produkt 


»-1, 


hingegen   ist  konvergent;    die   Aussage    kann  aber   nicht   durch   den 

Hinwei»  auf  die  Konvergeuz  der  Reihe  ^^---^ begründet  werden, 

weil  diese  zu  konvergieren  aufhört,  wenn  man  den  Zeichenwechsel 
aufhebt.  Faßt  man  aber  die  Faktoren  zusammen,  so  kommt  man  zu 
dem  Produkt 

(i+-*r:f)(i+-\-^*)(i+\^n-. 

das  konvergent  iit,  weil  die  Reihe  r-;-;  +  .-  -^  +  .^  ^  .  .  .  konrer- 
giert  (30;  27,  3). 

*t    H    ß    R    7    T 

3.  Da«  Produkt    -  v  -  «  ^  ^  •  •  •  '1  lautet  in   der  normalen  Form 

2   4   4    o    0    o  ' 

Die  Reihe  ^  —  v  +  v  —  ^^  +  •  •  •  ist  wohl  konvergent  nach  33,  hört 
aber  auf  es  zu  sein,  wenn  man  den  Zeichenwechsel  aufhebt,  denn  die 
Divergenz  von  1  +  ^  +  «  -f  •  •  •  hat  auch  die  Divergenz  von  «  -h  j 

1  12         3 

-f-  _  -j.  .  .  .  und  von  •  +  4  +  g  +  •  zur  Folge.  Faßt  man  jedoch 
die  Faktoren  paarweise  zusammen,  so  entsteht  das  gleichwertige  Produkt 

und  dieses  konrergiert,  weil  die  Reihe  .-  z  -f*  ^Tä  +  j~  4  +  •  •  •  kon- 
vergent ist  (28,  I,  1.);  erst  hieraus  ergibt  sich  die  Konvergenz  des 
obigen  Produkts. 

4.  Das  Produkt  ~  »  *  ^J^-J  •  ^  t  ^  •  •  läßt  sich  auf  die  Form  bringen: 

in  der  man  seine  Divergenz  sogleich  erkennt  aus  der  bekannten  Di- 
vergenz von  2  6--J:h  (^'  2)- 

1)  Dietet  Produkt,  denen  Wert  die  Zahl  i-  ist,  hat  J.  Wallis  (1666)  aU 
«nter  aufgestellt  und  anch  sehon  seine  Konvergenx  bewiesen. 


Gnmdvontoliangen  des  Fanktionsbeghff«.  55 

5.  Das  Produkt 

(■-/4)('+vi)(i-Vi)(j+n)- 

ist  divergent,  wiewohl  die  lieihe  -  }/]-  +  j/^  -  ]/[  4  |/ * 

konvergiert  (bedingt);  man  erkennt  dies  nach  paarweiser  Zusammen- 
fassung der  Faktoren  an  der  Divergenz  der  Reihe    ^  -f-  -L  -f  *  -f.  . . . 

2  8  4 


in.  Abschnitt. 

Der  Funktionsbegriff. 

§  1.  Funktioiien  einer  nnd  mehrerer  Variablen. 

38.  Grandvorstelluiigen,  auf  welchen  der  Fnnktioiuh 
begriir  beruht.  Mit  der  Einführung  der  Buchbiahen  als  Zvirhen  für 
Zahlet!,  war  einer  der  bedeutsamsten  Schritte  in  der  Entwicklung  der 
Mathematik  getan. 

Bei  einem  arithiüetischen  Ausdruck,  dessen  Elemente  besondere 
Zahlen  sind,  ist  das  Interesse  auf  die  Ausführung  der  vorgeschriebenen 
Rechenoperationen  gerichtet  und  mit  der  Auffindung  des  Resultates 
erschöpft. 

Sind  hingegen  die  Rechenelemente  durch  Buchstaben  vertreten, 
dann  wendet  sich  das  Interesse  der  Zusammensetzung  des  Ausdrucks 
durch  Rechenoperationen  zu,  und  es  treten  neue  Vorstellungen  auf: 
die  Vorstellungen  der  Veränderlichkeit,  der  Abhängigkeit,  der  Zu- 
ordnung. 

Indem  man  sich  denkt ^  daß  einzelnen  oder  allen  durch  Buch- 
staben vertretenen  Rechenelementen  andere  und  wieder  andere  Weite 
erteilt  werden,  kommt  man  von  dem  Begriff  der  festen  Zahl  zur  Vor- 
stellung der  veränderlichen  Gfröße  oder  der   Variablen. 

Das  Resultat,  der  Wert  des  Ausdrucks,  wird  dabei  im  allgemeinen 
auch  jedesmal  ein  anderes,  es  erhält  auch  den  Charakter  der  Variabilität. 

Es  ist  erst  dann  bestimmt,  wenn  man  den  variabel  gedachten 
Rechenelementen  bestimmte  Werte  beigelegt  hat,  es  ist  also  von 
diesen  Werten  abhängig. 

Der  Ausdruck  wird  mit  einem  Male  zu  einem  Gegenstand  der 
Untersuchung,  indem  mau  der  Zuordnung  zwischen  den  Werten  der 
variablen  Rechenelemente  und  dem  Werte  des  Ausdrucks  seine  Auf- 
merksamkeit zuwendet. 

Die  Vorstellungen  der  Variabilität,  der  Abhängigkeit  und  der 
Zuordnung  bilden  die  Grundlage  des  Funktionsbet^ffs,  dar  die  ganze 
Mathematik  beherrscht.    Durch  seine  Schaffung  ist  sie  fähig  geworden, 


^JC 


50    Der  FunktionsbegrifT.    |  1.   FnnktioxieQ  einer  und  mehrerer  Variablen. 

dem  Wechsel  der  Erscheinongen,  die  ans  umgeben,  au  folgen.  War, 
80  lauge  man  nur  mit  festen  Zahlen  operierte,  nur  die  mathematische 
Beschreibung  einzelrier  Zustände  möglich,  so  setzt  uns  der  Funktions- 
begriff in  den  Staiul,  den  ganzen  Verlauf  einer  Erscheinung  mathe- 
mathisch  zu  fassen. 

In  seiner  einfachsten  Form  trat  der  Funktionsbegriff  auf,  als 
Fermat  und  Descartes  die  Methode  der  arithmetischen  Behandlung 

geometrischer  Linien  einführten.  Durch  die 
Beziehung  einer  gesetzmüßig  erzeugten  Linie 
auf  ein  rechtwinkliges  Koordinatensystem 
XOY,  Fig.  7,  ist  jedem  ihrer  Punkte,  wie  3f, 
ein  Zahlenpaar  x,  y  zugeordnet,  x  die  Maßzahl 
der  Abszisse  OP,  y  die  Maßzahl  der  Ordinate 
OQ  bezüglich  einer  festgesetzten  Längenein- 
heit OE. 

^«^  '•  Sobald  X  als  veränderlich  angesehen  wird, 

nimmt  auch  y  den  Charakter  der  Variabilität  an,  und  der  Wert  von  y 
ist  abhängig  von  dem  Werte  des  x;  die  Kurve  vermittelt  die  Zu- 
ordnung der  Werte  von  x  und  y. 

Was  die  Linie  geometrisch  leistet,  kann  eine  Gleickwig  zwischen 
X  und  y  arithmetisch  bewirken;  erteilt  mau  in  ihr  dem  x  nach  und 
nach  verschiedene  Werte,  so  liefert  die  Auflösung  der  Gleichung  die 
zugeordneten  Werte  von  y. 

Dem  Anscheine  nacli  wäre  die  geometrische  Darstellung  des 
Zusammenhangs  der  arithmetischen  überlegen,  weil  sie  sozusagen 
mit  einem  Schlag  den  ganzen  Verlauf  der  Zuordnung  überblicken 
läßt.  Aber  selbst  abgesehen  davon,  daß  alles  Anschauliclie  nur  ein 
angenähertes  Bild  des  innerlich  Gedachten  zu  geben  imstande  ist,  wird 
•ich  bald  die  Überlegenheit  der  arithmetischen  Darstellung  in  allen 
Belangen  herausstellen. 

39.  Funktionen  einer  Variablen.  L  Es  sei  f{x)  ein  durch 
arithmetische  Operationen  gebildeter  Ausdruck,  der  außer  festen  oder 
festzusetzenden  Zahlen  —  Konstanten  —  die  Variable  x  enthält;  sein 
von  X  abhängiger  Wert  heiße  y\  dann  drückt  der  Ansatz 

V-fis)  (1) 

die  Zuordnung  zwischen  x  und  y  aus.     Man  nennt  y  eine  FunViUfm^ 

1)  Dm  ertie  Auftreten  dea  Wortes  fwM:iio  in  der  Bedeutung  der  Abhängig- 
keit,  »Uerdingf  noch  in  geometriichem  Sinne,  ist  bei  Leibnis  (1692)  nach- 
gfwioeen.  Die  erste  Definition  im  heutigen  Sinne  gab  (1718.  Johaon  Bernoulli, 
£r  erkannte  auoh  schon  die  Notwendigkeit  allgemeiner  Funktionsbeseichnungen, 
und  vor  Mitte  des  18.  Jahrhunderte  wurden  »olche  fast  gleicbxeitig  (1786)  von 
Clairaut  und  (1740)  von  L.  Ealer  vorgeschlagen;  von  letzterem  stammt  die 
typisch  gewordene  Schreibweise  /(«). 


Funktionen  einer  Variablen.  57 

TOB  Xy  und  insbesondere  eine  Funktion  der  redien  VeuriaNf^  x,  wenn 
man  dieser  nur  reelle  Werte  anzunelu^ien  getitattet;  weiten  eine  redh 
Function  dieser  Variablen,  wenn  sie  nor  reelle  Werte  annimmt,  oder 
wenn  man  nur  solche  zuläßt;  femer  eine  eindeuHge  FunItHony  wenn 
nur  eindeutige  Operationen  in  dem  Ausdruck  vertreten  sind  oder  im 
andern  Fülle  eine  solche  Festsetzung  getrofifen  ist^  daß  zu  jedem  (oder 
jfcilein  zulässigen)  Werte  von  x  nur  ein  Wert  von  y  gehört. 

Den  Inbegriff  der  Werte,  welche  der  Variftblen  x  anzunehmen 
gestattet  sind,  nennt  man  ihren  Bereich  oder  ihr  Gelnet.  Sind  es  aUe 
reellen  Werte  von  a  angefangen  bis  zu  dem  größeren  6,  so  nennt 
man  x  steHg  mriabcl  in  dem  abgescldossenen  Iniervall  (o,  h\  in  Zeichen: 
a  <^x  <ih;  bei  Ausschluß  der  Werte  a,  b  schreibt  man  a  <ix  <b  und 
nennt  das  Intervall  ein  nicht  abgeschlossenes.  Gibt  es  fQr  x  einen 
kleinsten  Wert  a,  aber  keinen  größten,  so  deutet  man  das  Interval] 
durch  {q,  oc)  an;  gibt  es  einen  größten  Wert  ^>,  aber  keinen  (alge- 
braisch) kleinsten,  so  achreibt  mau  das  Intervall  (—  oo,  ^);  gibt  es 
weder  einen  größten,  noch  einen  kleinsten  Wert,  so  nennt  man  x 
unbeschränkt  variabel  und  notiert  das  Intervall  mit  (—  «x.,  ot/). 

Ist  X  nicht  aller,  sondern  nur  bestimmt  qualifizierter  Werte 
fähig,  so  heißt  es  eine  unstetige  Variable.  Durch  die  Aussage,  n  be- 
deute eine  ganze  Zahl,  ist  n  als  unstetige  Variable  definiert,  deren 
Bereich  die  Reihe  der  positiven  und  negativen  ganzen  Zahlen  ist; 
ebenso  ist  x  eine  unstetige  Variable,  wenn  vorgeschrieben  ist,  daß  es 
etwa  nur  alle  rationalen  oder  alle  irrationalen  Zahlen  innerhalb  ge- 
wisser Grenzen  oder  ohne  weitere  Beschränkung  als  Wert  annehmen 

dÜTfe  - 

Die  folgenden  Beispiele  werden  zur  Klarung  und  Festigung  der 
verstehenden  Begriffe  beitragen. 

1.  y  ===  3x*~  2x -{- l  ist  eine  von  Natur  aus  eindeutige  reeDe 
Funktion  der  reellen  Variablen  x  i»  dem  Bereich  (—  cx>,  oo). 

2.  y  ^  yi  —  x^  ist  mit  der  Festsetzung,  daß  der  positive  Wert 
der  Wurzel  zu  nehmen  sei,  eine  eindeutige  Funktion,  eine  reelle  nur 
dann,  wenn  man  die  Variable  x  auf  das  abgeschlossene  Intervall  ( —  1,1) 
beschrankt;  außerhalb  desselben  wird  y  imaginär. 

3.  y  = ist  bei  derselben  Festsetzung  eine  eindeutige  Funk- 
tion; aber  die  Variable  muß  hier  auf  das  nicht  abgeschlossene  Inter- 
vall —  1  <  ir  <  1  beschrankt  werden,  weil  0  als  Divisor  nicht  zu- 
lässig ist. 

4.  y  ^y^x  ist  bei  Beschränkung  auf  positive  Werte  der  Wurzel 
eindeutige  reelle  Funktion  in  dem  Intervall  0  <  ar  <  c». 

5.  y  SS  —  ist  bei  der  gleichen  Beschraukung  eine  ebensolche 
Funktion,  aber  nur  in  dem  Bereich  0  <  x  <  oo. 


58    ^^  FunktioDsbegriff.    §  1.    Funktionen  einer  und  mehrerer  Variftbleu. 

6.  P  ^  n]  ist  eine  Funktion  der  unstetigen  Variablen  n,  deren 
Gebiet  die  Reibe  der  natürlichen  Zahlen  ist. 

II.  Der  Funktionsbegriif  in  der  eben  erörterten  Form,  geknüpft 
an  das  Vorbandensein  eines  arithmetischen,  die  Variable  x  enthaltenden 
Ausdrucks,  war  lange  Zeit  hindurch  herrschend,  nachdem  ihn  Euler 
zur  Grundlage  einer  Funktionentheorie  gemacht  hatte.  Die  weitere 
Entwicklung  der  Mathematik  und  ihre  fortschreitende  Anwendung  auf 
die  Darstellung  der  Naturerscheinungen  yeranlaßte  aber  eine  Er- 
weiterung, die  von  der  Existenz  eines  arithmetischen  Ausdrucks  ab- 
sieht und  das  Hauptgewicht  legt  auf  den  Gedanken  der  Zuordnung. 
So  hat  denn  Dirichlet  in  der  allgemeinsten  Weise  y  als  eine  Funktion 
von  X  in  dem  Intervall  (a,h)  definiert yUcenn  jedem  Werte  von  x  aus 
diesem  Intervall  ein  und  nur  ein  bestimmter  Wert  von  y  zugeordnet  ist. 

Benutzt  man  als  symbolischen  Ausdruck  dieser  Definition  auch 
wieder  den  Ansatz  (1),  so  besteht  der  Unterschied  in  der  Deutung 
dieses  Ansatzes  in  folgendem:  Früher  vertrat  das  Funktiotiszeichen / 
einen  bestimmten  Komplex  von  Rechenoperationen,  die  unter  Einbe- 
ziehung von  X  ausgeführt  werden,  jetzt  vertritt  es  ein  Zuordnung^- 
gesetz'^  denn  nur  ein  Gesetz  ist  imstande,  die  Gesamtheit  der  Zuord- 
nungen zu  regeln. 

Unter  diesen  allgemeinen  Funktionsbegriff  fallen  nicht  bloß  die 
arithmetisch  definierten  Funktionen  unter  I,  sondern  auch  Funktionen, 
die  abteilungsweise  durch  verschiedene  arithmetische  Ausdrücke  ge- 
geben sind;  es  fallen  darunter  ferner  die  trigonometrischen  Funktionen 
auf  Grund  ihrer  geometrischen  Erklärung,  wiewohl  diese  noch  keine 
Rechenvorscbrift  an  die  Hand  gibt,  nach  der  zu  einem  beli^igen 
Winkel  der  Sinus,  Kosinus  usw.  berechnet  werden  kann. 

Die  Frage,  ob  jedem  Zuordnungsgesetz  auch  eine  arithmetische 
oder  allgemeiner  eine  analytische  Darstellung  entspricht,  läßt  eine  ab- 
schließende Antwort  nicht  zu;  man  kann  nur  darauf  hinweisen,  daß 
es  gelungen  ist,  auch  sehr  komplizierte  Zuordnungen  analytisch  aus- 
zudrücken. 

Während  bei  einer  durch  einen  Ausdruck  gegebenen  Funktion 
der  Bereich  der  Variablen  x  aus  dem  Bau  dieses  Ausdrucks  zu  er- 
schließen ist,  wird  bei  allgemeineren  Definitionen  zumeist  der  Bereich 
vorher  bezeichnet,  für  den  die  Definition  gelten  soll. 

Zur  näheren  Erläuterung  folgen  wieder  einige  Beispiele. 

1.  In  dem  Intervall  —  1  <  ^  ^  1  sei  fix)  durch  folgende  Fest- 
setzungen definiert: 

/•(a:)-|i.l,  80  lange  -l<a;;gO 

f(x)  -  —  ^  +  1,  so  lange  0  <  «  <  1. 
Wir  haben  es  hier  mit  einer  abschnittweise  arithmetisch  definierten 


Diriohlets  Fanktionsbegrlff.  59 

Funktion  za  ton,  die  außerhalb  des  InteiralU  (—  1,1)  nicht  existiert; 
Fig.  8.  ; 

2.  Unter  sj^n  x  üies  „signum  Tf'')  soll  jene  Funktion  Terstanden 
werden,  die  für  jedes  negative  x^)  den  Wert  —  1,  für  jedes  positire 
X  den  Wert  1,  ftlr  ic  =  0  den  Wert  0  hat,  so  daß  also 

-  1  für  -  00  <  a-  <  0 
sgn  x=-         0    „    X  =-  0 

1    „    0<a:<oo 
r 


« 
/ 

fi . 

— / 


Fig.  "d. 


Ihr  Bild,  Fig.  9,  besteht  aus  zwei  zu  X'X  parallelen  Geraden, 
die  beliebig  nahe,  aber  nicht  bis  an  YY'  herantreten,  und  aus  dfin 
Punkte  0. 

Die  Funktion  gestattet  eine  analytische  Darstellung,  sobald  man 
den  Grenzbegriff  in  einer  Funktionserklärung  zuläßt;  so  ist  z.  B. 


sgn  X 


lim  -~z=z 


n=xVl  + 


wenn  die  Wurzel  mit  ihrem  absoluten  Wert  genommen  wird:  in  der 
Tat,  mit  beständig   wachsendem  n   ttöhert  sich  der  Nenner  der  Zahl 
nx\y  der  Bruch  also  der  Zahl  —  1  oder  1,  je  nachdem  der  Wert  von 
X  negativ  oder  positiv  ist;  für  a;  =  0  wird  aber  der  Ausdruck  0. 

3.  In  dem  unbeschränkten  Gebiet  der  reellen  Zahlen  sei  f(x)  der- 
art festgesetzt,  daß  es  für  jeden  rationalen  Wert  von  x  Null  und  für 
jeden  irrationalen  Wert  1  sein  soll.  Von  dieser  Funktion  läßt  sidi 
ein  völlig  zutreffendes  anschauliches  Bild  nicht  geben,  weil  sich  nicht 
überblicken  läßt,  zu  welchen  Punkten  einer  Geraden  nach  Annahme 
des  Nullpunktes  und  der  Einheitsstrecke  rationale,  zu  welchen  irratio- 
nale  Zahlen  gehören;  das  augenfällige  Bild  besteht  aus  der  Achse  X'X 
und  aus  einer  zu  ihr  parallelen  Geraden  im  Abstände  1.  Hingegen 
läßt  sich  die  Funktion  trotz  ihrer  komplizierten  Natar  bei  Zuziehung 
des  Grenzbegriffs  analytisch  darstellen,  so  beispielsweise  durch 

f  (x)  *-  lim  sgn(sin*Ä:!3ra:); 


k=:» 


denn,  ist  x  rational,  so  wird  kl  in  seinem  Wachstum  schließlich  immer 
so  groß  werden,  daß  k\x  eine  ganze  Zahl,  k\nx  also  ein  Vielfaches 


1)  Abgekürzte  Ausdnicksweise  für  Jeden  negaÜTen  Wert  von  x"'. 


60    l)er  FunktionsbegrüF.    |  1.  Funktionen  einer  und  mehrerer  Variablen. 

von  ff  wird  und  bleibt,  wenn  li  noch  weiter  zunimmt;  sgn  0  ist  aber 
0;  bei  irrationalem  x  tritt  aber  dieser  Fall  nie  ein,  sin  k\xx  behält 
immer  einen  von  Null  verschiedenen,  das  Quadrat  einen  positiven 
Wert,  dessen  sgn- Wert  1  ist. 

4.    In    dem    Intervall   —  1  <  ^  ^  1    wi 

f{x)   durch   I X  \   definiert.     Das   geometrische 

/i  Bild  dieser  Funktion  besteht  in  den  begrenzten 

/      \f         Schenkeln  eines  rechten  Winkels,  Fig.  10.  Mit 

^         I  Hilfe  von  sgn  x  kann  diese  Funktion  auch  durch 

*  fix)  =--  X  sgn  X,         —  1  <  o:  <  1 

xiy.  xO. 

dargestellt  werden. 

5.  Die  durch  das  Potenzsymbol  a*  ausgedrückte  Zahl  kann  nur 
dann  eine  durchwegs  reelle  Funktion  darstellen,  wenn  a  >  0  ist.  Für 
ganze  Werte  von  x  ergibt  sich  die  Eindeutigkeit  aus  dem  primären 
Potenzbegriff;  für  gebrochene  x  ist  a'  durch  den  erweiterten  Potenz- 
begriff (16)  bestimmt  und  eindeutig,  sofern  man  den  einzigen  posi- 
tiven Wert  der  Wurzel  meint.  Ist  endlich  x  eine  irrationale  Zahl 
und  {x^^  x^f  x^j ' '  ')  eine  sie  definierende  Fundamentalreihe,  so  ist 
auch  (a*o,  a*i,  «*>,  . . .)  eine  Fundamentalreihe  ^),  und  unter  a*  soll  die 
ihr  zugeordnete  Zahl  verstanden  sein. 

Mit  diesen  Festsetzungen  ist  also  f(x)  —  a'  eine  eindeutige  reelle 
Funktion  von  x  und  wird  Exponentialfunktion  genannt. 

UI.  Die  angewandten  Gebiete  führen  zu  empiriscJien  Funktions- 
bestimmungen, die  aber  nicht  als  Funktionsdefinitionen  in  dem  bis- 
herigen strengen  Sinne  gelten  können.  So  fehlt  es-  einer  graphisch, 
durch  einen  Liuienzug  gegebenen  Funktion  an  der  notwendigen  Be- 
stimmtheity  indem  die  zu  einer  scharf  bestimmten  Abszisse  gehörige 
Ordinate  innerhalb  gewisser  Grenzen  unbestimmt  bleibt;  statt  einer 
Funktion  ist  ein  Funktionsstreifen  gegeben.  Einer  tabellarisch,  durch 
eine  Auswahl  zugeordneter  Wertepaare,  dargestellten  Funktion  mangelt 

1)  Um  dies  zu  erweisen,  machen  wir  die  bestimmte  Annahme,  ee  nei  a  >>  1 
und  die^  Fnndamentalreihe  U  )  monoton  znnebmend.    Abdann  läfit  sieh  n  ohne 

Rflcksicht  axit'  p  HO  wühlen,  daO  x       — x  <  *-,  wobei  v   eine   beliebig  grofte 

natürliche  Zahl  bedeutet;  daraas  foli^t  fnr  solche  n  die  Beziehung 

a'"  +'  -  a"  -  a^ia"  +'"•*  --  1)  <  «'*(a^  - 1). 
Au«  der  fflr  positi?e  d  geltenden  Relation  (28)  (1  -f  ^*'>'l  4- tr  Vergibt  sieh  aber 
(1  -f-  v^^  <<  1  -f  ^;  ersetzt  man  hier  l-\-  vS  durch  a,  so  kommt  man  zu  der  Be- 
ziehung a '  —  l  <  •  r"  ^,  mit  welcher  sohliefllich  a*"'*''—  a^'^<a''*  ^^^^^  wird; 

daraus  geht  aber  herror,  daß  tats&chlioh  o^"*"'  —  a'"  durch  Wahl  von  n  beliebig 
klein  gemacht  werden  kann. 


Fünkiio]i6B  sweier  und  mehrerer  VariAblen. 


61 


die  Voüstündigheitf  indem  fQr  andere  als  die  in  der  Tafel  Torkommenden 
X  eine  Angabe  nicht  vorliegt. 

Wenn  hingegen  von  einer  analytisch  erklärten  Fonktion  ein 
graphisches  Bild  angefertigt  wird,  so  geschieht  es^  um  Ton  ihrem 
ganzen  Verlauf  eine  Vorstellung  zu  geben.  Und  wird  Ton  einer  arith- 
metiscli  definierten  Funktion  eine  TabeUe  entworfen,  so  hat  dies  den 
Zweck,  häutig  auftretende  Rechnungen  mit  speziellen  Werten  der 
Funktion  zu  erleichtem;  eine  solche  Tabelle  euthalt  übrigens  zumeist 
nicht  strenge,  sondern  innerhalb  vorgezeichneter  Grenzen  angenäherte 
Fun  ktionfl  werte. 

40.  Funktionen  zweier  und  mehrerer  Variablen.  I.  Es  seien 
Xf  y  zwei  von  einander  unabhängige  reelle  stetige  Variablen;  durch 
das  Wort  ,,unabhängig''  soll  gesagt  sein,  daß  der  einzelne  Wert,  den 
man  einer  von  ihnen  beilegt,  nicht  beeinflußt  ist  von  dem  Wert,  den 
man  der  andern  erteilt  hat  Der  Inbegriff  aller  Wertverbindungen, 
deren  a:,  y  fähig  sein  sollen,  bildet  den  Bereich  oder  das  Gebiet  dieser 
beiden  Variablen;  eine  einzelne  dieser  Wertverbindungen,  x  yy  soll  als 
Tunkt  oder  Stelle  des  Bereiches  bezeichnet  werden. 

Diese  Ausdrucksweise  erhält  eine  anschauliche  Grundlage,  wenn 
man  x^  y  als  Abszisse  und  Ordinate  eines  Punktes  M,  bezogen  auf 
ein  rechtwinkliges  Koordinatensystem  XOF,  Fig.  11,  auffaßt.  Der 
Bereich  ist  dann  durch  einea  bestimmt  umschriebenen  Teil  der  Ebeue 
oder  auch  durch  die  unbegrenzte  Ebene  selbst  dargestellt;  in  letzterem 
FaUe  heißen  die  Variablen  Xy  y  unbeschränkt  veränderlich.  Man  be- 
achte, daß  bei  einem  endlichen  Bereich,  der 
beispielsweise  durch  eine  stets  nach  außen 
gewölbte  Linie  F  begrenzt  ist,  wohl  da3  hv- 
tervaU  der  Werte  x  ^bzw.  y)  abhängt  von  dem 
jeweiligen  Werte  von  y  (bzw.  ä"),  nicht  aber 
der  einzelne  AVert.  Ist  insbesondere  das  Ge- 
biet durch  ein  nach  den  Achsen  orientiert-es 
Rechteck  AB  CD  dargestellt,  so  sind  die  Werte 
von  X  und  von  y  je  an  ein  festes  Intervall  ge- 
bunden. Das  durch  F  begrenzte  Gebiet  umschließt  das  Gebiet  ABCDy 
wenn  kein  Punkt  des  letzteren  außerhalb  des  ersteren  liegt.  Das 
Gebiet  heißt  ein  abgeschlossenes,  wenn  der  Rand  zum  Gebiet  gehört, 
dagegen  ein  nicht  abgeschlossenes,  wenn  man  ihm  nur  beliebig  nahe 
kommen  kann. 

Wenn  jedem  Punkte  eines  Bereichs  von  x,  y  eine  bestimmte  reelle 
Zahl  z  nach  irgend  einem  Gesetze  zugeordnet  ist,  so  nennt  man  §  eme 
reelle  Funktion  der  Variablen  x,  y  und  drückt  diesen  Sachverhalt  sym- 
bolisch durch  den  Ansatz  aus: 


•►X 


Fi«.  IL 


»-r(^y)- 


(2) 


62    Der  FonktioDsbegriff.    S  1.   Funktionen  einer  nnd  mehrezer  Yariablen. 

Die  wichtigste  Definitionsform  besteht  wie  bei  Funktionen  einer 
Variablen  darin,  daß  z  durch  einen  arithmetischen  Ausdruck  mit  ^, 
y  als  Rechenelementen  gegeben  ist,  der  entweder  nur  eindeutige  Ope- 
rationen umfaßt,  oder,  wenn  anders,  durch  entsprechende  Festsetzungen 
zu  einem  eindeutigen  gestempelt  ist. 

Wie  bei  Funktionen  einer  Variablen  gibt  es  auch  hier  eine  ^eo- 
metrische  Zuordnung  der  Werte  von  z  zu  den  Wertpaaren  a;,y,  und 
zwar  durch  eine  gesetzmäßig  erzeugte  Fläche\  indem  man  von  einem 
Punkte  dieser  Fläche  ein  Lot  zur  Ebene  XOY  fällt,  hat  man  in  der 
relativen  Größe  dieses  Lotes  die  Darstellung  von  z  und  in  seinem 
Fußpunkte  die  Darstellung  von  x\y. 

Zur  Illustration  mögen  die  folgenden  Beispiele  dienen. 

1.  ^  =  2a;-f3j/  —  1  ist  von  Natur  aus  eine  eindeutige  Funktion 
der  unbeschränkten  Variablen  x^y. 

2.  z  ^yi  —  x^—  y^  ist,  sobald  man  die  Wurzel  als  positiv  fest- 
setzt, eine  eindeutige  reelle  Funktion,  jedoch  nur  in  dem  abgeschlossenen 
Bereich  o?*  -f  y^  ^  1,  d.  h.  im  Innern  und  am  Eande  einer  Kreisfläche 
vom  Eadins  1  um  den  Ursprung  als  Mittelpunkt. 

3.  ;2r «»    ist  bei  derselben  Festsetzung  eine  eindeutige 

reelle  Funktion  in  dem  nicht  abgeschlossenen  Bereich  x*-^  y^  <  1 ; 
denn  am  Rande  wäre  der  Nenner  Null. 

IL  Es  unterliegt  keiner  prinzipiellen  Schwierigkeit,  den  Funktions- 
begriff auf  drei  und  mehr  imabhängige  Variablen  auszudehnen. 

Bei  drei  solchen  Variablen,  x,  y,  z,  ist  noch  die  geometrische 
Veranschaulichung  des  Bereiches  möglich,  indem  man  x,  y,  g  als 
rechtwinklige  Koordinaten  eines  Punktes  M  im  Räume  gelten  läßt; 
der  Bereich,  d.  i.  der  Inbegriff  der  Punkte,  für  welche  u  als  Funktion 
von  X,  y,  z  definiert  ist,  in  Zeichen 

U'-fix^y^z),  (3) 

hat  dann  den  ganzen  Raum  odef  einen  begrenzten  Teil  desselben  zum 
Repräsentanten.  So  ist  u  —  2a:  -|-  3y  -f  4jer  -|-  1  im  ganzen  Räume 
definiert,  anders  gesagt,  fQr  'die  unbeschränkten  Variablen  x,  y,  g\ 
u  >-  |/l  —  p  ~  i/  —  z*  dagegen  als  reelle  Funktion  nur  für  solche 
Punkte  des  Raumes  oder  solche  Wertverbindungen,  für  die  «*  +  Jf* 
-f  j»'  ^  1,  als  eindeutige  Funktion  durch  die  Festsetzung,  die  Wurzel 

sei  positiv  zu  nehmen;  u  —  -7-^-rrrr-- -  hat  die  genannten  Eigen- 

'  }/l  — «•  — y«  — I»  ^  ^ 

Schäften  in  dem  nicht  abgeschlossenen  Bereich  jr* -|- y*  +  j*  <  L 

Bei  n  >  3  Variablen  a^j,  x^,  . , .  x^  hört  die   Möglichkeit  einer 

geometrischen  Veranscbaulichung  des  Bereiches  auf.    Es  hat  sich  aber 

als  vorteilhaft  fOr  die  Formulierung  der  Sätse  erwiesen,  die  geomänscke 

Ausdrucksweise  beizubehalten,  von  einer  Wertverbindung  i«?,  |«t|...  j«. 


Ezplitite  nnd  implitite  FnnktioiMB.  65 

der  Variablen  als  von  einem  Punkie  im  n-dimensionalen  Räume  R^ 
EU  sprechen  und  zu  sagen,  w  sei  fQr  diesen  ganien  itanin  oder  einen 
Teil  desselben  als  Funktion  von  Xj,  x^, . . .  x^  definiert,  in  Zeichen: 

*<^-A^i>«i,  •••apj,  (4) 

wenn  jedem  Punkte  ein  bestimmter  Wert  von  w  zugeordnet  ist 
Hiernach  ist  beispielsweise  u?  »>  X|  4-  2z,  +  3  a:,  +  ^x^  +  5  im  ganzen 
B4;  fc—  V^i— a;f  —  ij  —  a^— -xj,  die  Wurzel  positiv  genommen,  nur 
in  jenem  Teil  definiert,  in  welchem  rf-fxj-fa:} -j-jj^l   ist. 

41.  Implizite  Funktionen.  I.  An  einer  früheren  Stelle  ist  der 
geometrischen  Zuordnung  der  Werte  zweier  Variablen  x,  y  durch  eine 
Kurve  die  arithmetische  Zuordnung  durch  eine  Gleichung  gegenQber- 
gdstellt  worden.  Auf  diesen  letzteren  Modus  soll  nun  etwas  näher 
eingegangen  werden. 

Es  sei  F{Xyy)  ein  durch  eindeutige  arithmetische  Operationen  txk% 
X,  y  gebildeter  Ausdruck;  durch  ihn  ist  auf  der  ganzen  Ebene  oder 
einem  Teile  derselben  eine  Funktion  der  Variablen  .r,  y  definiert;  der 
Ansatz 

F(x,y)^(i  (6) 

kann  als  Forderung  aufgefaßt  werden,  jene  Stellen  der  Ebene  zu  be- 
stimmen^  an  welchen  die  genannte  Funktion  den  Wert  Null  hat  Diese 
Bestimmung  kann  in  der  Weise  erfolgen,  daß  man  der  einen  Variablen, 
z,  B.  Xf  einen  bdiebigen  Wert  erteilt  und  prüft,  welcher  Wert  von  y 
ihm  auf  Grund  der  Gleichung  (5)  zugeordnet  ist. 

Findet  man,  daß  zu  jedem  Werte  x  aus  einem  Intervall  a<x^b 
(oder  auch  nur  a  <  a:  <  t)  ein  bestimmter  reeller  Wert  von  y  gehört, 
80  ist  durch  (5)  y  in  dem  bezeichneten  Intervall  als  Funktion  von  x 
definiert.  Eine  derart  gegebene  Funktion  nennt  man  eine  implijnte 
Funktion  zum  Unterschiede  von  der  expliziten,  wie  sie  in  39  an  erster 
Stelle  erklärt  worden  ist. 

Ist  die  Gleichung  (5)  in  bezug  auf  y  allgemein  ^  d.  h.  ohne  Spe- 
zialisierung des  X  auflösbar,  so  kann  von  der  impliziten  Definitions- 
form F(Xy  y)  =»  0  zur  expliziten  y  —  f(x)  übergegangen  und  unmittel- 
bar entschieden  werden,  ob  und  in  welchem  Bereiche  y  als  reelle 
Funktion  existiert. 

Formal  steht  nichts  im  Wege,  den  Wert  von  y  beliebig  anzu- 
nehmen und  auf  Grund  von  (5)  nach  dem  zugeordneten  Werte  von 
X  zu  fragen.  Doch  brauchen  nicht  beide  Auffassungen  zn  wohl- 
definierten Funktionen  zu  führen. 

Die  Variable,  deren  Werte  man  beliebig  (eventuell  unter  Be- 
schränkung auf  ein  Intervall)  annimmt,  nennt  man  die  unabhängige, 
die  andere  die  abhängige.  Abhängige  Variable  und  Funktion  sind 
also  adäquate  Begriffe. 

Zur  Erläuterung  mögen  folgende  Beispide  dienen. 


64    "^^^  FunktioDibegrifT.    §  1.   Fanktiouen  einer  und  mehrerer  Variablen. 

1.  Aus  der  Gleichong 

ay  -f  bx^  -\-  ex  -\-  d  ^0 

ergibt  sich  durcb  Auflösung  nach  y: 

hx*4-ex4-d 

y^  __  ^ • •_  . 
a 

wodurch  y  als  Funktion  der  unbeschränkten  Variablen  x  besiimtat 
ist.     Die  Auflösung  nach  x  hingegen  gibt: 

^^  25       ■ 

und  dies  ist  zweideutig,  indem  im  allgemeinen  zu  jedem  Werte  von 
y  zwei  verschiedene  Werte  von  x  gehören;  doch  sind  die  beiden  Lö- 
sungen deutlich  von  einander  unterschieden  durch  das  Vorzeichen  der 

Wurzel;  ihre  llealität  erfordert,  daß  4h (ay  -f  d)  ^  c^  oder  y  <C  -  t-i^ —  sei. 
Während  also  die  an  die  Spitze  gestellte  Gleichung  y  als  Funktion 
der   unbeschränkten  Variablen  x  definiert,   bestimmt  sie   x  in   zwei- 
facher Weise  als  Funktion  von  y  in  dem  beschränkten  Gebiet  y  <   -j— c  -  • 

Insofern  aber  diese  zwei  Bestimmungen  aus  einer  Gleichung  hervor- 
gehen, bezeichnet  man  sie  als  Zivei<je  einer  zweideiäigen  Funktion, 

2.  Durch  die  Gleichung 

in  der  a  eine  reelle  Zahl  bedeuten  soll,  ist  weder  y  nocli  x  als  Funktion 
definiert,  da  sie  keine  reelle  Wertverbindung  dieser  Variablen  zuläßt. 

3.  Die  Gleichung  a;*-f  y*«»  0,  die  nur  durch  .r  «  0,  y  =^0  be- 
friedigt wird,  bestimmt  allerdings  die  eine  der  beiden  Zahlen  als 
Funktion  der  andern,  aber  jedesmal  für  einen  Bereich,  der  nur  aus 
einem  einzigen  Wert  besteht. 

IL  Eine  Gleichung  zwischen  drei  Variablen  X,  y,  r  bestimmt  im 
allgemeinen  eine  derselben  als  implizite  Funktion  der  beiden  andern; 
2^0  wird  aus 

F{x,y,z)^0,  (6) 

wenn  man  x,  y  innerhalb  eines  entsprechenden  Gebiets  als  un Abhängig 
veränderlich  ansieht  z  als  Funktion  dieser  beiden  hervorgehen. 

Allgemein,  durch  eine  Gleidiung  zwischen  n  -f-  1  Variablen  ist  im 
allgemeinen  eine  jede  derselben  als  Funktion  der  n  übrigen  definiert, 
z.  B.  durch 

F(.x„T,...-x„u)~0  (7) 

u  als  Funktion  von  x„  x^^"  x^.  Ist  die  Bestimmung  eine  mehr- 
deutige, so  wird  vorausgesetzt,  daß  es  möglich  sei,  sie  in  mehrere  ein- 
deutige Zweige  aufzulösen. 


üie  elementMrtii  Fonktionen.  05 

42.  Die  elementaren  Funktionen.  Die  Ausdnicksform«!!  der 
elementaren  Mathematik  führen  zu  einer  Reihe  tob  Funktionen,  mit 
denen  sich  schon  ein  weitet  Gebiet  der  reinen  und  der  Angewandten 
Mathematik  beherrschen  läßt; man  bezeichnet  sie  tAaelementare  Funktianem. 

Es  ist  üblich,  die  analytisch  definierten  Funktionen  in  zwei  Klatsen 
zu  sondern:  in  die  algebraischen  und  die  transzendenten. 

I.  Bei  expliziter  Darstellung  versteht  man  unter  einer  algebraischen 
Funktion  eine  solche,  deren  Ausdruck  durch  eine  begrenzte  Anzahl 
auf  die  Variable  angewendeter  algebraischer  Operationen  entstanden 
ist;  unter  algebraischen  Operationen  werden  die  vier  Spezies  und  daa 
Wurzelziehen  verstanden. 

Sind  nur  Addition  (mit  Einschluß  der  Subtraktion)  und  Multipli- 
kation (mit  Einschluß  des  Potenzierens)  im  Spiele ,  so  spricht  man 
Ton  einer  ganzen  Funktion.  Ihr  Tjpos  ist  ein  nach  positiven  Potenzen 
der  Variablen  x  geordnetes  Polynom  mit  reellen  Koeffizienten: 

F(x)  =-  a^x^  -f  a,x^-'  4. . . .  -|.  a,;  (8) 

die  Zahl  n  nennt  man  den  Grad  der  Funktion. 

Tritt  noch  die  Division  hinzu  derart,  daß  die  Variable  an  der 
Bildung  des  Divisors  teilnimmt,  so  heißt  die  Funktion  eine  gebrocftene. 
Der  Typus  einer  solchen  besteht  in  einem  Bruche,  dessen  Zähler  und 
Nenner  ganze  Funktionen  sind: 

^(*)-^$±f^St-    i^";  (9) 

sie  heißt  echt  gebrochen,  wenn  m  >  w,  unedif  gebrochen,  wenn  m  ^  «. 

Zwischen  diesen  beiden  Funktionsgattungen  besteht  ein  tiefgehen- 
der Unterschied;  während  die  ganzen  Funktionen  für  die  unbeschränkte 
Variable  definiert  sind,  versagt  bei  den  gebrochenen  Funktionen  die 
Definition  an  allen  jenen  Stellen  des  reellen  Zahlengebiets,  aber  auch 
nur  an  diesen,  an  welchen  der  Nenner  Null  wird. 

Ganze  und  gebrochene  Funktionen  werden  unter  dem  Namen  der 
rationalen  Funktionen  zusammengefaßt. 

Erstreckt  sich  auf  die  Variable  auch  die  Operation  der  Wurzel- 
ausziehung,  so  heißt  die  Funktion  irrational.  Eine  typische  Form 
dieser  Funktionen  gibt  es  nicht.  Die  Forderung  der  Realität  reicht 
nicht  immer  aus,  die  Eindeutigkeit  der  Funktion  herbeizuführen,  unter 
Umständen  sind  noch  besondere  Festsetzungen  dazu  notwendig.  Der 
Bereich  der  Variablen  muß  aus  dem  Bau  der  Funktion  erschlossen 
werden. 

Die  Funktion  1/  -"x  i  beispielsweise  ist  eindeutig,  wenn  man  das 
Vorzeichen  der  W^urzel  festsetzt;  sie  ist  definiert  für  das  ganie  Gebiet 
der  reellen  Zahlen  mit  Ausschluß  des  Intervalls  —  1  <  «  <C  ^>  inner- 
halb dessen  ihr  Wert  imaginär  ist. 

Oiuber,  HAker«  )Utbein»tik    I.^Aafl.  6 


^    Der  Funktiocabcf^riff.     §  1.   Funktionen  einer  nud  uehrerer  TariablexL 

Setzt  man  bei  der  Funktion  yx  —  Yx  die  Quadratwurzeln  als 
positiv  festy  so  ist  sie  eindeutig  und  bestinjmt  in  dem  Intervall 
1  <  ic  <  oo. 

Bei  dem  Ausdruck  IZ-ri^Ti  reicht  die  Forderung  der  Realität 

allein  aus,  um  ihn  als  einwertige  Funktion  erscheinen   zu  lassen,  die 
für  alle  Werte  Ton  x  mit  Ausschluß  von  —  a  und  a  bestimmt  ist 

Eine  zweite  Definition  der  algdt7'aischeji  Funktionen  greift  über 
das  Gebiet  der  elementaren  Funktionen  hinaus.  Ihr  zufolge  wird  y 
als  algebraische  Funktion  von  x  erklärt,  wenn  zugeordnete  Werte  bei- 
der Variablen  einer  algebraischen  Glcichun/f  genügen.  Die  typische 
Form  einer  solchen  Gleichung  besteht  darin,  daß  eine  Summe  von 
Gliedern  der  Form  a^^^.x"iff  worin  /t,  v  natürliche  und  a^  ^  reelle 
Zahlen  bedeuten,  der  Null  gleichgesetzt  ist.  Die  größte  Zahl  fi  be- 
deutet den  Grad  der  Gleichung  in  Bezug  auf  Xy  die  größte  Zahl  v  den 
Grad  in  Bezug  auf  y,  die  größte  Summe  /*  -h  »'  den  Grad  der  Gleichung 
überhaupt.  Ordnet  man  eine  solche  Gleichung  nach  Potenzen  von  y, 
so   sind  die  Koeffizienten  ganze  Funktionen   von  x  (und  umgekehrt). 

Diese  Definition  umfaßt  alle  Funktionen,  die  in  der  vorigen  ent- 
halten waren,  außerdem  aber  auch  noch  höhere  Funktionen.  Ist  i'  =  I 
und  der  Koeffizient  von  y  eine  Konstante,  so  geht  die  ganze  Funktion 
hervor;  hängt  der  Koeffizient  von  x  ab,  so  ergibt  sich  y  als  gebrochene 
Funktion.  Von  da  ab,  d.  i.  von  v  =  2  ab,  wird  y,  sofern  es  über- 
haupt reelle  Bestimmungen  zuläßt,  im  allgemeinen  eine  irrationale 
Funktion,  läßt  sich  aber,  sobald  v  die  Zahl  4  überschreitet,  von  be- 
besonderen B'alien  abgesehen,  nicht  mehr  durch  Wurzelgrößen  allein 
darstellen. 

Es  definiert  beispielsweise  die  algebraische  Gleichung 

4x*  -f-  3x  -  2y  -f  i  -  0 

8  1 

die  ganze  Funktion  y  —  2u."*  -f  ^  ic  +  g  ;  d\Q  Gleichung 


a?«  -♦-  2xy  -f  x  -f  Cy  -f  3  -  0 

ne  Funktion  y  « ^j  aT-l-  6  " 

ax^  -h  2bxy  +  cy»  -f-  2/a?  -f  2yy  +  Ä  -  0 


die  unecht  gebrochene  Funktion  y  •»  —    ~i^~4.  e  "»  ^^^  Gleichung 


die  zweideutige  Funktion  j,  -  -^■U>^mE±J^Z^J^^±ir»:^]^ , 

die  sich  durch  Sonderung  der  Vorzeichen  in  zwei  eindeutige  Zweige 
auflöst;  ihr  Definitionsbereich  ergibt  sich  aus  der  Bedingung 
{bx  -f.  y)«  'S  <^(o^*  +  "^fx  -f  A). 

IL  Alle  Funktionen,  die  nicht  unter  die  Definition  der  algebra- 
ischen fallen,  heißen  transMemhnte  Funktmien. 


IiiTene  Funktionen.  67 

Zu  dieser  Klafse,  die  sich  durch  Angabe  poeitiTer  Merkmale 
nicht  umschreiben  läßt,  liefert  die  ElemeDtarmathematik  nar  wenige, 
dafür  aber  außerordentlich  wichtige  FnnktionaformeiL  Et  find  das 
die  aus  geometrischen  DefinitioneQ  hervorgehenden  Kreis-,  Winkel- 
oder  trigoiiontetriichen  Funktionen  sin  x,  cos  x,  tg  ar,  cotg  x^  sec  z, 
('osec  Xf  die  beiden  ersten  Itür  die  anbeschränkte  Variable,  die  dritte 
und  fünfte  mit  Ausschluß  der  Stellen  (21* -f  1)  ^ »  che  Tierte  tmd 
sechste  mit  Ausschluß  der  Stellen  kx  definiert,  unter  k  eine  beliebige 
positive  oder  negative  ganze  Zahl  (Null  eingeschlossen)  Terstanden; 
(laiin  die  logarithmische  Funktion  log^or  und  die  mit  ihr  im  Zusammen- 
liang  stehende  Exponentialfunktion  a*(39,  II,  5),  beide  unter  ^r  Vor- 
aussetzung a  >  ü,  die  erste  in  dem  Interrall  0  <  a?  <  oo,  die  zweite 
ffir  die  unbeschrankte  Variable  definiert.  Eine  weitere  Grmppe  Ton 
Funktionen  wird  alsbald  hinzukommen. 

43.  Einige  besondere  Arten  des  PunktionsverUnHk  tu- 
▼erse  Funktionen.  Einige  Erscheinungen  im  Verlaufe  Ton  Fonk- 
tioneu,  auf  die  hiiufig  wird  hinzuweisen  sein,  sollen  schon  hier  ver- 
merkt werden. 

1.  Die  Funktion  /{x)  heißt  in  dem  Intervall  (a,  6)  konstanty  wenn 
für  jede  zwei  Werte  x  4=  ^"  aus  demselben  /{x)  — /(x")  ist;  es  ist 
dann  notwendig,  für  jeden  Wert  x  aus  (a,  h)  /(x)  —  it,  wo  k  eine  be- 
stimmte Zahl  bedeutet. 

2.  Eine  in  dem  Intervall  (a,  b)  definierte  Funktion  heißt  manotan, 
wenn  mit  x  <  x"  stets  f(x)  <  fixj  oder  stets  f(x)  >  /"(/')  verbunden 
ist.  Im  ersten  Falle  heißt  die  Funktion  zunehmend,  im  zweiten  Falle 
abnehmend. 

Die  Beziehung  zwischen  x  und  y  ->  /{x)  ist  bei  einer  solchen 
Fauktiwi  ein-eindetUlgy  d.  h.  zu  einem  Wert  von  x  gehört  nur  ein 
W^ert  von  y  und  zu  einem  entsprechend  gewählten  Werte  von  y  nur 
ein  Wert  von  x.  Hiernach  bildet  auch  x  eine  Funktion  Ton  y,  in 
Zeichen:  a;  =  qp(y). 

Zwei  Funktionen,  die  aus  einer  solchen  ein-eindeutigen  Zuord- 
nung zwischen  Xy  y  hervorgehen,  indem  man  einmal  x,  ein  zweitesmal 
y  als  die  unabhängige  Variable  wählt,  heißen  inverse  Fufiktionem. 
Schreibt  man  diesen  Sachvl^rhalt  in  der  Form  an: 

y^/(x\    :r-.y(y),  (10) 

80  geht  daraus  hervor,  daß  /[g>(y)l  —  y  und  (p[/(x)]  —  a:  fÄr  jedes 
zulässige  y,  bezw.  x  sein  müsse;  es  kann  also  als  analytisches  Merk- 
mal dafür,  daß  die  dur«^h  /,  ip  angezeigten  Funktionen  invers  seien, 
der  Umstand  angesehen  werden,  daß /[y(()]  und  fp[/(()]  gieichbe- 
deuteiid  sind  mit  t. 

Will  man  in  der  zu  y  — /(a;)  inversen  Funktion  x  ^  tp(j/)  die  un- 
abhängige  Variable   wieder«^  mit  x,  die  abhängige  mit  y  bezeichnen 


$8     ^^^  FtinktionBbegriff.    §  1.    Funktionen  einer  und  mehrerer  Van*blen. 

und  das  geometrisclie  Bild  in  dem8elh«n  Koordinatensystem  zur  Dar- 
stellung bringen  wie  das  Bild  ÄBy  Fig.  12,  von  /,   so   braucht  man 

AB  nur  durch  Spiegelung  an  der  Lin\e  OH, 
welche  den  Winkel  XOY  halbiert,  zu  trans- 
formieren; die  neue  Linie  A^B^  ist  das  Bild 
yon  y  *=  ^(^)- 

3.  Eine  in  dem  Intervall  {—  a,a)  oder 
aach  (—00,00)  definierte  Funktion  heißt 
eine  gerade  Funktion,  wenn  /(—  x)  '^/{x)\ 
hingegen  eine  ungerade  Funktion,  wenn 

Die  erste  Eigenschaft  kommt  einer  geraden  Potenz  ?on  x  zu,  weil 
(— a:)^=-'  x*';  die  zweite  einer  ungeraden  Potenz,  weil  (-^  x)**"^  1  —  —  a^+ *; 
daher  stammen  die  Benennungen. 

Ans  der  Goniometrie  ist  bekannt,  daß  cos  x  eine  gerade,  sin  x 
eine  ungerade  Funktion  ist;  denn  cos  (—  x)  — =  cos  x,  sin  (—  a?)  — —  sino?. 

4.  Eine  Funktion  f{x)  der  unbeschränkten  Variablen,  welche  für 
jede  zwei  Werte  von  x,  die  sich  dem  Betrage  nach  um  p  von  einander 
unterscheiden,  gleiche  Werte  annimmt,  heißt  eine  periodische  Funktion, 
p  ihre  Periode.  In  Zeichen  drückt  sich  die  Eigenschaft  in  dem 
Ansatz 

;\X  -\-p)  =/<X;  <'11> 

aus,  der  fttr  jedes  x  gilt.    Eine  unmittelbare  Folge  davon  ist,  daß  auch 

/{x  +  kp)  ^f{x\ 

wo  k  jede  (positive  und  negative)  ganze  Zahl  bedeuten  kann. 

Unter  den  elementaren  Funktionen  sind  es  die  trigonometrischen, 
die  die  Eigenschaft  der  Periodizität  besitzen,  und  zwar  haben  sin  und 
cos  (ebenso  sec  und  cosec)  die  Periode  2  3t  (360®),  tg  und  cotg  die 
Periode  «(180®);  denn  es  ist 

sin  \x  -!-  2Änr)  «  sin  ar,     cot  {x  4*  2ik3r)  =  cos  r, 

tg  {x  +  **)-.  tg  X,     cotg  («  -f  Jf 31^  -»  cotg  X, 

*^  Eine  periodische  Funktion  ist  zur  Ümkehrung  nicht  unmittelbar 
geeignet,  weil  die  Zuordnung,  in  welcher  x,  y  stehen,  nicht  ein-ein- 
deutig,  sondern  in  dem  einen  Sinn  ein-,  in  dem  andern  unendlich 
vieldeutig  ist;  die  Umkehrung  wäre  demnach  eine  unendXick  ffiddetUtpe 
F\*nkiion.  Durch  entsprechende  Einschränkung  kann  man  aber  die 
Eindeutigkeit  herbeiführen.  Dies  wird  am  besten  an  der  ümkekntng 
der  trigonometrischen  Funktionen  zu  zeigen  sein,  die  uns  zu  der  bereits 
erwähnten  weiteren  Gruppe  elementarer  Funktionen  fuhren  wird. 

5.  Man  nennt  die  Umkehmngen  der  trigonometrischen  Funktionen 
MyUcmetrische  Funktiontn. 


ZTklometritcbe  FHuiktioneB. 


89 


a)  nn;r  ist  in  dem  Interrall  ^\^^'^  |-eilie  monoton  zunehmende 

Funktion,  weil  hier  mit  x'  <  x"  cngleicb  sin  x  <  sin  x"  stattfindet, 
ond  nimmt  daselbst  alle  Werte  an,  deren  der  Sinus  fähig  ist 

Die  ans   der   Umkehrang   dieses  monotonen    Abschnitts    herror- 
gehende  Funktion  wird 

»rc  sin  j  (\2) 

geschrieben;  ihre  Werte  liegen  hiernach  zwischen  —  -j  und  x-,     mit 

Einschluß  der  Grenzen,  daa  Gebiet  von  jl  ist  (—  l,  1). 
Die  TolLständige  Umkehrung  Ton  sin  z  soU 

Are  sin  x  1 13) 

geschrieben  und  (12)  ihr  Hauptteert  genannt  werden. 
Aus  den  Beziehungen 

sin  j  =«  sin  (2*  -f- 1  «  —  x)  -=  sin  {2k :i  +  x) 

folgt: 

Are  sin  jr  ==  vji  if  arc  sin  j  { 14> 

wo  das  obere  Zeichen  für  ein  ungerades, 
das  untere  fflr  ein  gerades  v  gilt 

Fig.  13  bringt  beide  Funktionen  in  dem 
unter  2.  erläuterten  Sinne  zur  Anschauung; 
die  schwach  gezogene  Linie  stellt  den  Ver- 
lauf von  sin  x,  die  stark  gezogene  den  Ver- 
lauf Ton  arc  sin  x  dar. 

Es  ist  sin  (arc  sin  t)  =  arc  sin  ^sin  /)  =»  t. 

b)  cos  X  ist  in  dem  Interrall'  0  <  x  <.n 
eine  monoton  abnehmende  Funktion,  weil 
hier  z  <  x"  immer  cos  x'  >  cos  r"  nach 
sich  zieht,  und  nimmt  daselbst  alle  Werte 
an,  deren  der  Kosinus  überhaupt  fähig  ist. 
Aus  der  ümkehrung  dieses  monotonen  Ab- 
schnitts geht  die  Funktion 

arc  cos  x  (Ib) 

herTor,  deren  Werte  somit  dem  Intervall  (0,  x)  angehören,  wahrend 
x  auf  das  Interrall  (—  1,  1)  angewiesen  ist.  Man  nennt  sie  anch  den 
Hauptwert  der  unendlich  vieldeutigen  Urokehrung  des  vollständigen  cos: 

Arccosx:  <'16) 

in  Folge  der  Beziehung:  cos  j;  =-  cos  {2k7r  ±  x)  ist 

Arc  cos  X  «  2kn  ±  arc  <*c?  ar  (17) 

Vgl.  Fig.  14. 
«•^  tgj"  ist  in  dem  nicht  abgeschlossenen  Intervall  —  *  <  x  <  -s-  «ua« 


r- 


Fl«.   U 


<'<T 


70    ^<^^  Funktionsbegritf.    f  1.   Fanktionen  einer  and  mebierer  VtirUblen. 


monoton  zunehmende  Funktion  und  nimmt  hier  alle  Werte  an,  deren 
sie  überhaupt  fähig  ist.  Durch  Umkebrung  dieses  monotonen  Ab- 
schnitts entsteht  di    Funktion 

arc  tg  a:,  (18) 

der  Hauptwert  der  yollstandigen  Umkehrung 

Arc  tg  jt;  (19) 

zwischen  beiden  besteht  wegen  der  Periodizität  von  tg  x  die  Be- 
ziehung: 

Are  tg  rc  —  arc  tg  a;  +  hx,  (20) 

Vgl.  Fig.  15. 
r 


Fl«.  14. 


1^1«.  15. 


Im  Anschlüsse  an  die  Einführung  der  zyklometrischen  Funktionen 
sollen  einige  wichtige  Relationen  zwischen  ihnen  festgehalten  werden. 

Aus  der  Beziehung  sin  x  —  cos  ( ,. —  x\  folgt 


arc  sin  x  -h  arc  cos  a?  •-  ^  ; 


(21) 


da  femer   tga;«"Cotg(^  —  x\,  cotg  a?  "^  {jr^  ^^^  ^®i<*«  Funktionen 
nngerad  sind,  so  ist 

arc  tg  a:  -h  arc  cotg  «  —  arc  tg  x  -f  arc  tg  —  —  -^  *8^  *>  (^^) 

woraus  sich  eine  neue  analytische  Darstellung  der  Funktion   sgn  x 
(89,  U,  2.)  ergibt: 

sgnar-  ^  (an?  tg  x  +  arc  tg -). 

Den  Beziehungen  sin  {x±y)^%mx cos y  ±  cos  x  sm y, cos  (jc ±  Jf)  '- 
€08  a?  cos  y  q:  sin  a:  sin  y,  tg  {x.±y)^  ^"te^y  zwi.«ichen  den trigono- 


ZyKlometritcbe  Fanktioneo.     Grenzwerte.  71 

metriBchen  Fanktionen  entsprechen  die  folgenden  Relationen  xwtscbeo 
den  zyklometrischen : 

arc  sin  a:  i  arc  sin  y  —  arc  sin  (x  1^1  ~  y'  ±  y  Vi  — ^) 

arc  siii^  ±  nro  cxm  ff  ^  arc  cos  (xy  :f  ]/l  —  i*  yi  —  y^; 

arc  tg  ar  ±  arc  tg  y  -  arc  tg  ^^J-f 
die  Wurzeln  in  den  beiden  ersten  Formeln  positiv  genommen. 

§  2.  Grenzwerte  von  Fuoktionei. 

44.  Grenzwerte  im  Bndlichen.  Ist  die  B^nnktion  /(z)  in 
dem  ganzen  Intervall  («,  ß)  definiert,  ^o  gehört  zu  jeder  Stelle  a  des 
Intervalls  ein  bestimmter  Funktiouswert  /{a)f  den  wir  den  Deßnitions- 
wert  der  Funktion  an  dieser  Stelle  nennen  wollen.  Er  wird  durch 
die  Substitution  x  ^  a  in  f{x)  und  Ausführung  der  vorgeschriebenen 
Rechenoperationen  gefunden. 

Wesentlich  verschieden  hiervon  ist  die  Frage  nach  dem  Grenz- 
ttert  der  Funktion  bei  dem  Grmt Übergänge  lim  a:  =»  a,  d.  h.  die  Frage, 
ob  /{x\  wenn  sich  x  unaufhörlich  der  Stelle  a  nähert,  gegen  eine 
Grenze  konvergiert,  und  welches  diese  Grenze  ist. 

Während  es  im  ersten  Falle  nur  auf  den  Funktionswert  an  der 
Stelle  a  ankommt,  bleibt  bei  der  zweiten  Frage  gerade  dieser  außer 
Betracht,  und  nur  um  die  Nachbar  werte  handelt  es  sich.  Es  hat  also 
die  zweite  Frage  auch  dann  Berechtigung,  wenn  /(x)  an  der  Stelle  a 
nicht  definiert  ist. 

Im  folgenden  werde,  wenn  nichts  anderes  bemerkt  wird,  voraus- 
gesetzt, a  befinde  sich  im  Innern  von  (a,  ß). 

Man  sagt,  /{x)  habe  bei  dem  Grenzübergange  lim  x  ===  a  einen 
€h*enzwert,  und  dieser  sei  6,  wenn  die  DiflPerenz  b  — /(x)  dem  Betrage 
nach  beliebig  klein  wird,  während  x  sich  dem  a  fortwährend  nähert; 
es  läßt  sich  dann  zu  einem  beliebig  klein  festgesetzten  positiven  t  ein 
hinreicJtetid  kleines  positives  d  angeben,  derart,  daß 

wenn  und  solange  0  <  \x  —  a\  <d. 

In  kurzer  Weise  drückt  man  diesen  Sachverhalt  durch  den  Ansatz 

lim/(a;)-6  (2) 

araea 

ans. 

Es  ist  wichtig,  daß  man  sich  den  Inhalt  dieser  Definition  zu 
Tölliger  Klarheit  bringe,  was  wohl  am  besten  an  einer  geometrischen 
Verbildlichung  gelingen  wird.  Zu  einem  beliebig  engen  Horixontal- 
«treifen  der  Ebene  des  Koordinatensystems  (Fig.  16),  des§en  Mittel- 
linie 1/  »  6  ist,  laßt  sich  ein  hinreichend  enger  Vertikalstreifen  mit 


72 


Der  Funktionsbegriff,    f  S.   Grenzwerte  ^on  ]<\uiktionett. 


(4) 


der   Mitieliinie  4;  <«-  a   angeben   derart ,    daß   der    ganze    Verlauf  der 
Funktion,  soweit  er  dem  zweiten  Streifen  angehört^  anch  in  dem  ersten 

Streifen,  also  in  dem  beiden  Streifen  ge- 
meinsamen Rechteck  verbleibt;  die  Stelle  a 
kommt  dabei  nicht  in  Betracht. 

Man  sagt,  /(x)  habe  bei  dem  Grenz- 
übergange lim  X  ^  a  den  Grenzwert  00, 
bexw.  —00,  in  Zeichen: 

lim/u)  =-  00,    lim/{x)  *  —  00,     (3) 

wenn  f{x)  beliebig  groß,  bezw,  algebraisch 
beliebig  klein  wird,  während  z  sich  dem  a 
fortwährend  nähert,  derart,  daß  zu  der  beliebig  groß  angenommenen 
positiven  Zahl  k  eine  hinreichend  kleine  d  sich  angeben  läßt^  so  daß 

/(»)>*,      b«8W,     /{x)<--k, 

wenn  und  solange  0  <   x  —  a   <  d. 

Mitunter  ist  es  notwendig,  den  Grenzübergang  näher  su  quali- 
fißieren,  insbesondere  dahin^  daß  man  zwischen  einem  rechten  (x  >  a) 
und  linken  (x  <  a)  Grenzübergang  unterscheidet.  Man  bedient  sich 
für  diese  Unterscheidung  der  Schreibweise 

lim/(a:),  lim/(a?);  ('6) 

im  übrigen  bleiben  die  früheren  Eridänmgen  aufrecht. 

An  den  Elndpunkten  des  Definitionsbereichs  i^t  schon  durch  die 
Natur  der  Sache  nur  ein  einseitiger  Grenzübergang  möglich,  und  zwar, 
wenn  a  <  ß,  bei  a  nur  ein  rechter,  bei  ß  nur  ein  linker. 

45.   Beispiele.     1.   Die  Funktion  /(x)-=8in—  ist  für  x  » 0 

nicht  definiert;  sie  besitzt  aber  auch  keinen  Grenzwert  bei  Um  x  —  0, 

weil  sie,  wie  nahe  an  Null  man  auch 
X  annimmt,  bei  dem  weiteren  Ab- 
nehmen noch  unbegrenzt  oft  zwischen 
den  Werten  -  1  und  1  schwankt; 
sie  nimmt  diese  Werte  abwechselnd 
an  den  Stellen  an,  welche  durch  die 
Glieder  der  gegen  Null  konvergie- 
renden Zahlenfolgen 

^  ^.  bezeichnet  sind.    Man  hat  es  hier  mit 

einer  Funktion  zu  tun,  die  in  der  un- 
mittelbaren Umgebung  von  Null  geometrisch  nicht  darstdlbar  ist; 
Fig.  17  deutet  die  Erscheinung,  die  sie  hier  darbietet,  nur  an. 


>jr 


Spesielle  Grenswerie. 


7S 


2.  Für  jeden  Wert  von  x  +  0  8ei/(x)— «  cos  -    und  /{Q)  sei  —  0. 
Wie  klein  auch  x  dem  Betrage  nach  angenommen  wird,  hört  cot  — 

nicht    auf,    zwischen    —  1    und    1,   /(x)   also   zwiachen  —x  und   x 
zu    schwanken,    wird    mit    x    selbst    be- 
liebig  klein,    lim/(«)-'0,   so   daß   bei 
»=• 

der  obigen  Festsetzung  der  Grenzwert 
mit  dem  Substitutionswert  übereinstimmt. 
Fig.  18  kann  das  nicht  darstellbare  Ver- 
halten in  der  Umgebung  Ton  0  nur  an- 
deuten. 


1.1.. 
---sin    -  ist 

X  X 


3.  Die  Funktion  /(x) 

für  jr  =-  0  nicht  definiert,  hat  aber  auch 
keinen  Grenzwert  für  lim  jt  —  0;  denn  si« 
hört,  wie  sehr  man  sich   der  Null  auch 

schon   genähert  hat,  nicht  auf,  zwischen  —  -  und  ~  zu  schwanken, 

das  dem  Betrage  nach  beliebig  groß  wird;  sie  hört  aber  auch  nicht 
au^  immer  wieder  0  zu  werden;  es  sind  also  weder  die  Merkmale 
eines  endlichen  noch  die  eines  un- 
endlichen Grenzwertes    vorhanden. 

Da   die   Werte   von    -    durch  die 

X 

Ordinaten  einer  gleichseitigen  Hy- 
perbel dargestellt  sind,  so  bietet 
die  Funktion  ein  Bild  dar,  wie  es 
durch  Fig.  19  angedeutet  ist;  in 
der  nächsten  Umgebung  von  0  ist 
sie  überhaupt  nicht  darstellbar. 

4.  Bei  der  Funktion 


•►X 


Fi«,  la 


/(,.) -*.^(a>l,  x  +  0), 

l+a- 

die  an  der  Stelle  x  ^0  nicht  erklärt  ist,  kann  auch  von  einem  Grenz- 
werte bei  dem  gewöhnlichen  Grenzübergang  lim  x  »  0  nicht  die  Rede 
•ein;  erst  wenn  man  den  Grenzübergang  qualifiziert,  ergeben  sich  be- 
stimmte Resultate,  und  zwar 

1 


lim/(x)-0 


weil 


*«+o 


lim  a*  —  30, 


und  lim/(x)  —  1, 


weil  lim  a*  —  0  ist 


74 


Der  Funktiousbegriff.    §  *J.   Grenzwerte  von  Funktionen. 


fij;-f  S 


5.  Die  Funktion  /{x)  —  liai  --f^r?  *>i®^^*  «"*  Beispiel  för  den 
Unterschied  zwis<'hen  Substitutions    und  Grenzwert.    Die  Subetitution 


»+1 


a:  —  0  gibt  /(O) »-  2.     Bringt  man  den  Bruch  auf  die  Form    j 

80  erkennt  man  unmittelbar,  daß  f(x)  —  ^   ist  für  x  +  0;  folglich  ist 


sin;t' 


ist  für  a?  «-  0  nicht  erklärt,  hat  aber 


lim  /  (a?)  —  ±  oc  . 

f>.  Die  Funktion  /(x) 

bei    dem  Grenzübergang  lim  a?  —  0   einen  Grenzwert,   der,    weil    die 
Funktion  gerad  ist,  ebensowohl  als  rechter  wie  als  linker  Grenzwert 

gerechnet  und  durch  folgende  geometrische 
Betrachtung  gefunden  werden  kann. 

Wenn  man  den  Radius  des  in  Fig.  20 
aus  0  beschriebenen  Kreises  als  Längenein- 
\\  heit  benutzt,  so  ist 

"k^      ^-^     liC^%mXy     OC^cosx,    BD-^tgx, 

und  es  drücken  sich  die  in  steigender  Größe 
geordneten    Flächen    der    Figuren   dOCB, 

Sektor   GAB,  JOBB  durch  '^^^^-^^   ^  ,  ^^'^  aus;  folglich  ist 


Fig.  20. 


cos  X  sin  rr  <  a:  < 


sinjc 

C03X 


cos  a?  <  % —  < 

Bin  a;       cob  x 


l-co8a;>l-,j^-->l--j-; 


1  —  cos  X  und  1 


cosar 


werden  mit  abnehmendem  r  beliebig  klein, 


weil  cos  X  der  Einheit  beliebig  nahe  kommt,  daher  wird  auch  1  —  ^|j^ 
beliebig  klein;  infolgedessen  ist 


,.       X         ,.     •in« 
hm   .      <-"  lim 


Xr.0 


nnx 


1. 


46.  Ch^nxwerta  im  VnendlioheB.  Wenn  eine  Funktion  für 
ein  einseitig  unbegrenztes  Intervall,  (a,  oo)  oder  (—  oo,  a),  oder  für 
die  unbeschrankte  Variable  definiert  ist,  so  entsteht  die  Frage  nach 
ihrem  Vorhai t<?n  bei  unbegrenzt  wachsendem  oder  abnehmendem  Werte 
der  Variableu  oder,  wie  man  dies  auch  auszudrücken  pflegt,  nach 
ihrem  „Verhalten  im  Unendlichen''  oder  nach  ihrem  „End verlauf*. 


Grenzwerte  im  Unendlichen. 


75 


Man  sagt  von  einer  Funktion  /(a*;,  daß  sie  bei  dem  Grenzüber- 
gange lim  X  ^  oo  den  Grenzwert  h  \uhe,  in  Zeichen: 

lim/(y)=^6,  (6) 

wenn  die  Differenz  h  —/(x)  dem  Betrage  nach  beliebig  klein  wird, 
während  x  beständig  wächst;  präziser  und  fÖr  die  arithmetische  Ver- 
wertung geeigneter  ausgedrückt,  wenn  zu  ^inem  beliebig  klein  fest- 
gesetzten positiven  s  eine  hinreichend  große  positive  Zahl  K  angegeben 
werden  kann  derart,  daß  ^ 

b-^/{x)\<t,  ^^^ 

wenn  und  so  lange  x>  K.  b^t 

In  geometrischer  Darstellung,  Fig.  21,  h 
heißt  dies,  es  lasse  sich  zu  einem  beliebig  ^.^ 
«^ngen  Horizontalstreifen  der  Kbene,  dessen 
Mittellinie  y^^h  ist,  eine  Uegrenzungs- 
linie  x  -=  A'  derart  festsetzen,  daß  rechts 
Ton  ihr  die  Bildkurve  der  l'unktion  jenen 
Streifen  nicht  mehr  verläßt. 

In  analoger  Weise  ist  der  Inhalt  des  Ansatzes 

lim  /  {x\  =  h 

durch  die  Ungleichungen 

h-/{x)\<i 

x<-'  K 

erklärt. 

Man  sagt,  die  Funktion  habe  bei  dem  Grenzübergänge  lim  a;  —  oo 
den  Grenzwert  c»,  beziehungsweise  —  oo,  in  Zeichen: 


-JC 


(8) 


(9) 


lim/(»  =-  oü,  bzw.  lim/(a;)  =  —  oo 


(10) 


wenn  sieb  zu  einer  beliebig  groß  festgesetzten  positiven  Zahl  G  eine 
hinreichend  große  positive  Zahl  K  angeben  läßt  derart,  daß 

/{'X)>G,    bzw.    /(x)<-G, 
wenn  und  so  lange  x>  K. 

In  bezng  auf  das  geometrische  Bild 
besagt  der  erste  Fall,  es  lasse  sich  zu  einer 
beliebig  weit  über  der  a-Achse  liegenden 
Geraden  y  =»  G  eine  hinreichend  weit  von 
der  y -Achse  nach  rechts  hin  entfernte  Ge- 
rade X  ^  K  angeben  solcherart,  daß  die  Bild- 
kurve rechts  von  der  zweiten  Geraden  voll- 
ständig   über   der   ersten   Geraden   verläuft,  -t^ ^__^X 

Fig.  22. 


76  I)ex  Fanktionabegriff     9  %    G^renswerte  von  Punktionen. 

In  ähnlicher  Weise  sind  die  AnsStee  lini/(a:) — oo  und  lim/ (a;) — — oo 

zu  Teratehen  und  zu  erklären. 

Es  kann  indessen  geschehen,  daß  die  Funktion  bei  dem  Grenz- 
ühergange  lim  a;  -*  oo  oder  lim  x  »  —  oo  weder  einen  endlichen  noch 
einen  unendlichen  Grenzwert  in  dem  eben  erklärten  Sinne  besitzt, 
indem  sie  nie  aufhört,  zwischen  zwei  bestimmten  oder  zwischen  be- 
liebig weit  werdenden  Gbrenzen  zu  schwanken. 

Beispiele.     1.  Der   Quotient   ^^nr^    stellt,   wenn    £  "■  4^ ,    «»ne 

Konstante,  hingegen  wenn  t  +  -j  ^  ^ui^  ^^^  ^  veränderliche  Funktion 
dar;  diese  hat  für  die  Grenzflbergange  lim  x  ==  oo  und  lim  x  ^  —  oo 

den  Grenzwert  — .     Denn 

c 

a        ax-rb       ad  —  be^ 

kann  durch  Wahl  eines  entsprechend  großen,  gleichgiltig  ob  positiven 
oder  negativen  x  dem  Betrage  nach  beliebig  klein  gemacht  werden; 
angenommen   beispielsweise,  a,  b,  c,  d  seien   so   beschaffen,  daß   die 

Differenz  für  positive  x  positiv  ist,   so  genügt  es,  a:> i-~ 

zu  wählen,  um  jene  Differenz  unter  das  beliebig  klein  festgesetzte  e 
zu  bringen. 

2.  Die  Funktion  /(x)  «  -~^^^rj^  l&ß*  ^ich  durch  Ausführung 

c 
der  Division  auf  die  Form  Äx  -f-  J?  -f     -7-3  ^ni^gen;  infolgedessen  ist 

lim/(x)  —  <x  sgn -4,    \im/(x)  ^  —  <x>  wgn  A. 

Daraus  folgt,  daß  die  reziproke  Funktion  y^xj  —  ^^x  Zi.  ^^ 
den  beiden  Grenzübergängen  gegen  0  konvergiert. 

3.  Die  Funktion  /{£)  —  o;  sin  -  hat  für  die  beiden  Grenzüber- 
gänge lim  X  »  4-  oc  den  Grenzwert  1.     Um  dies  einzusehen,  braucht 

.    1 
•la  — 

man  sie  nur  in  der  Form  — r—  zn  schreiben  und  auf  4S,  6    Bezug 

zu  nehmen. 

4  Der  Endverlauf  der  Funktion  /(x)*^  xoo^x  gestaltet  sich 
derart,  daß  sie  weder  einen  endlichen  noch  den  Grenzwart  00  (oder 
—  00)  besitzt;  je  größer  x  wird,  zwischen  um  so  weiteren  GreniMi 
schwankt  sie,  ohne  jemals  an&uhören,  auch  den  Wert  0  anzunehmen; 
wenn  sich  also  auch  hesUmnUe  Stellen   bezeichnen  lassen,  an  denen 


Grent werte  im  tsendHoben,    Die  Zahl  e 


77 


die  Fonktion  die  beliebig  große  positive  Zahl  G  flbertchrettet  (bzw. 
unter  —  G  fällt),  so  läßt  »ich  dooli  keine  Stelle  angeben,  Ton  der 
an  dies  dauernd  stattfindet.  Man  sehe 
Fig.  23  und  vergleiche  sie  mit  den  Fig.  18 
and  19. 

47.    Orenswert    d«r  Ptmktion 


►  X 


pif  tt. 


1-^ 


/(ap)  =  (l  +  a;)'  ftr  linijrsO.     Die 

Torgelegte  Funktion  ist  für  alle  jr>  —  1 
wohl  definiert  [39, 11,  5],  mit  Ausnahme 
des  Wertes  x  «»  0.  Besitzt  sie  bei 
lim  :r  =  +  0  einen  Grenzwert,  so  hat  sie 
denselben  Grenzwert  auch  bei  lim  rr  -»  —  0. 
Denn,  ersetzt  man  x  durch  —  £,  so  wird 

/(-«-0-ö"^-(ri|)^-(^  +  riirO  +  r^i)-- 

nun  konvergiert  Y~t  ""  '^  ™^^  ^  zugleich  gegen  +  0,  folglich  ist 

lim/(~  l)  =  lim  (1  +  yy  (1  -h  y)  -  lim/(y)  • 

Es  bedarf  daher  nur  der  Prüfung  des  rechten  Grenzübergangs. 
Zu  diesem  Zwecke  lasse  man  x  zunächst  die  Zahlenfolge  (  ~\  wo  n 
eine  natürliche  Zahl  bedeutet,  durchlaufen;  es  handelt  sich  dann  um 

_u./(i) -;,„(,.!.)■. 

Nun  ist 


»(n  — 1)    1      ,     »(« 


h   -I-   M"-  1  4-  **    1  4-  *y?.~-  r_  4. 


-i  +  l  +  W+^ 


1    18  "*" 


(._A)(,_l)...(._-_^) 


If. 


vom  dritten  angefangen  nimmt  mit  wachsendem  n  jedes  Glied  dieser 
Entwicklung  zu,  und  da  zugleich  d»e  Anzahl  der  durchwegs  positiren 
Glieder  wächst,  so  wächst  auch  (l  ^  ^y  Ton  n  —  1  angefangen,  ist 
aber  bei  jedem  n^  2  kleiner  als 


i+i+iS  +  rr-, 


+  r.T 


—  rt. 


78  ^^'^  FunktionMbegriff.    §  2.   Grenzwerte  von  Funktionen. 

Die  Zahlen  o,»  ^s»  *  *  bilden  eine  monoton  zunehmende  Zahlen- 
folge, deren  Glieder  aber  sämtlich  unter  einer  festen  Zahl  bleiben; 
denn  es  ist,  Hobald  n  mindestens  3, 

«.  <  1  +  Y  +  a  +  2.  +  •  •  •  +  isri  -  2  +  --f -2  + 1  -^-i<3. 

Folglich  haben  die  Zahlen  der  Folge  iaj  eine  Grenze,  die  zwischen 
2  nnd  3  liegt  und  fortan   mit  6  bezeichnet  werden  soll;  es  ist  also 

lim  «,==<?,  (12) 

HS« 

und  gleiclizeitig  ergibt  sich  för  e  die  Definition  durch  eine  Reihe: 

von  der  schon  die   «rsten  zehn  Glieder  sieben  festbleibende  Dezimal- 
stellen geben,  so  daß  mit  diesem  Genauigkeitsgrade*) 

6  =  2,7182818.. 

gesetzt  werden  kann. 

Gegen  die  nämliche  Grenze  e  konvergiert  aber  auch  (l  ^ )  • 

Denn  es  ist') 


(1- ■)(■-!)>>-', 


•  3 
2n 


3    4 

3m 


0-:^)(i-i)-(i-'*-7')>i      ..  . 


(H-l)« 

folglich 


1)  Auf  18  DezimaUtelleu  frcnau  iat  e«- S,71828182846U0i5S86. . . 
S)  Sind  nftmlich  a,, «,,  •  •  u^  i>oBitive  echte  Brücho,  so  folgt  mii  (1  --fl(^)(l — «|]^ 
-■1  —  («j  •+■  "t)  H"  *^i  **!  «un&chst,  daß 

(i~«,}(i-«.)>i-(«i4-«,); 

muUipIixiert  man  beideneits  mit  dtr  positiven  Zahl  1  —  er,  und  wendet  recht« 
dieselbe  Relation  an,  lo  entsteht 

so  daß  fflr  jedes  beliebige  n 


Die  Zahl  e.  79 

und  weiter 

duher  tatsächlich 

lim  \l  -f  ^  j  —  lim  o,  —  e- 

Um  dt-n  Übergang  zu  einem  stetigen  x  zu  Tollziehen,  genOgt  ei, 
rationale  x  in  Betracht  zu  ziehen^  die  nicht  der  Zahlenfolge  (  -)  an- 
gehören. Ist  s  eine  solche  Zahl,  so  fallt  sie  zwischen  zwei  aufeinander 
folgende  Glieder  — ,     ■ .      dieser  Folge,  so  daß 

also 

und  in  erhöhtem  Maße 

(i  +  ;;r>(,+.r>(i+„;-,)"^ 

es  ist  aber 

und  konvergiert  daher  gegen  e,  femer 

und  ]<onvergiert  daher  aoch   gegen  f,  folglich  ist  für  jedes  ratiamUe 

ir :  lim  (1  i-gy^e  und  nach  den  Ausführungen  toq  39,  II,  5)  auch 

«  =  o 
für  ein  reeiles  x 

I 

lim(l4-x)'-e.  (14) 

Die  Zahl  e^)  hat  in  der  Analjsis  eine  außerordentliche  Bedeutung 
erlangt:   als  Basis    einer  ExpimcfitialfunkHon  ^,    die   man   auch   als 

1)  Die  Beseichnung  stammt  ?on  L.  £11 1er. 


80  I^er  FoDktioiisbegriff.    %  8.   QreiiEwerie  voo  Funktionen. 

naiürliche  Poteng  bezeichnet;  und  als  Basis  eines  Ijogariihmensystems, 
welches  man  das  natürliche  nennt  Die  Logarithmen  dieses  Systems 
sollen  fortan  durch  l  bezeichnet  werden  im  Gegensatze  zu  den  ge- 
meinen, für  welche  die  Abkürzung  log  gebräuchlich  ist;  dagegen 
sollen  auf  eine  unbestimmte  Basis  a  (>  0)  bezOgliche  Logarithmen 
mit  log^  angeschrieben  werden ;  all  dies  drückt  sich  in  dem  Ansätze 

ans. 

48.  Chrenxwerte  von  Funktionen  zweier  Variablen.     Die 

Funktion  /{x,  y)  sei  für  den  Bereich  P  definiert,  der  durch  die  Rand- 
kurve   C  begrenzt   ist,  Fig.   24.     Der   Wert  /(a,  6),   der   durch   die 

Substitution  x  "^  Gy  y  '^  h  in  den  Funk- 

y^ --.  tionsausdruck    erhalten   wird,    heiße    der 

/^]         \^^\^  Definitionswert  der  Funktion  an  der  Stelle 

/        ju^         \  ^{^t^)y  von  der  vorausgesetzt  wird,  daß 

/j  \  sie  sich   im  Innern   des  Bereichs  befinde. 

\jfi\     W   n  I  Davon   zu   unterscheiden    ist   der   Grettä- 

\il     i     ^  wert   der  Funktion    bei   dem    Grenzüber- 

ir>  j     1     j  ^  Y    gange  lim  j:  =  a,  lim  y  -=  h,  der  von  dem 

«    w  i  «-^  Werte   an   der  SteUe  M{a,  b)   gar  nicht 

'*'*  **■  abhängt,  daher  auch  dann  existieren  kann, 

wenn  die  Funktion  an  dieser  Stelle  gar  nicht  definiert  ist,  und  der 
von  dem  Substitutionswert  /(a,  h)  verschieden  sein  kann,  falls  dieser 
vorhanden  ist. 

Wir  wollen  sagen,  die  Funktion  besitze  bei  dem  Grenzübergange 
lim  X  '^  a,  lim  y  "h  den  Grenzwert  c,  und  dies  in  dem  Ansätze 

lim/(rc,y)-c  (16) 

zum  Ausdruck  bringen,  wenn  sich  zu  einem  beliebig  klein  festgesetzten 
positiven  (  ein  hinreichend  kleines  positives  d  bestimmen  läßt  der- 
art, daß 

l<^-/(«,y)l<«, 

wenn  und  so  lange    \x  —  a\Kd,     j y  —  I» |  <  d  (16) 

der  letzte  Ansatz  drückt  aus,  daß  x  \  y  nicht  mit  a  6  zusammenfallen 
dürfe. 

Bei  geometrischer  Deutung  ist  hiermit  folgendes  gesagt.  Denkt 
man  sich  eine  Ranmschichte,  die  von  den  Ebenen  f  —  e  ^  s  und 
#  —  c  -f  «  (parallel  zor  xy-Ebene)  begrenzt  ist,  so  läßt  sich  eine  Um- 
gtbung  aßyd  des  Punktes  M  angeben  derart,  daß  der  über  ihr  liegende 
Teil  der  die  Funktion  darstellenden  Fläche  ganz  in  jener  Raumschiebie 
enthalten  ist. 


Oreozwerte  von  Funktionen  zweier  Variablen.  81 

Zeigt  die  Funktion  ein  solches  Verhalten,  wie  es  durch  die  An- 
sätse 

/(ar,  y)  >  Ky    bzw.         '    /   <  -  JT, 

wenn  und  so  lange      x  —  a   <d,      y  —  h\<d  (17) 

beschrieben  ist,  die  nach  dem  Voransgescbickten  keiner  näheren  Er- 
klärung mehr  bedürfen,  so  sagt  man,  es  sei 

lim/(x,  y)  —  cx>,    bezw.    lim/(  jr,  y)  —  —  oo  (18) 

In  einem  Punkte  am  Rande  des  Gebiets  muß  die  Umgebung  so 
gehalten  werden,  daß  sie  bestandig  dem  Bereich  angehört 

Die  folgende  AasfQhrung  soll  noch  auf  gewisse  Feinheiten  des 
GrenzQbergangs  bei  Funktionen  zweier  (und  mehrerer)  Variablen  auf- 
merksam machen. 

Wenn  fQr  die  Funktion  /{x,  y)  ein  Grenzwert  im  Sinne  der  An- 
sätze (15)  und  (16)  existiert,  so  ist  es  evident,  daß  man  ihn  finden 
luÜBse,  auf  welcher  Bahn  auch  man  sich  dem  Punkte  M  unbegrenzt 
nähert.  Dies  könnte  auf  den  Gedanken  bringen,  den  Grenzwert  in 
der  Weise  zu  suchen,  daß  man  durch  M  eine  passend  gewählte  Bahn, 
z.  B.  LMy  fQhrt  und  auf  dieser  dem  Punkte  M  sich  nähert.  Daa 
Zustandekommen  eines  solchen  Grenzwertes  gestattet  keineswegs  den 
Schluß,  daß  man  damit  einen  Grenzwert  im  obigen  Sinne  gefunden 
habe:  dieser  Schluß  wäre  erst  dann  legitim,  wenn  man  düe  durch  M 
führenden  Bahnen  verfolgt  hätte  und  auf  allen  zu  dem  nämlichen 
Grenzwerte  gelangt  wäre^  denn  es  ist  denkbar,  daß  man  auf  Ter^ 
schiedenen  Bahnen  yerschiedene  Grenzwerte  findet,  dann  aber  existiert 
ein  Grenzwert  im  Sinne  von  (15)  nicht.  Ein  Beispiel  dieser  Art  bietet 
die  Funktion  2:rv 

die  für  alle  Wertepaare  von  x,  y  definiert  ist  mit  Ausschluß  von  0,0. 
Nähert  man  sich  dieser  Stelle  0  längs  eines  Strahls,  der  mit  der 
a^Achse  den  Winkel  (p  einschließt  (s.  die  Fig.),  so  ist  in  einem  Punkte 
dieses  Strahls,  der  um  r  >  0  von  0  entfernt  ist,  a;  —  r  cos  g>,  y  =-  r  sin  y, 

^*^^"  /(;r,y)-8in29, 

und  dieser  Wert  bleibt  erhalten,  wie  klein  auch  r  wird,  so  daß  bei 

Verfolgung  dieses  Strahls 

lim/(a:,y)  —  sin29. 
Da  nun  tp  von  Strahl  zu  Strahl  sich  ändert,  so  ändert  sieh  auch 
lim/(a;,  y)  von  Strahl  zu  Strahl  und  nimmt,  während  tp  das  Intervall 
(0,  %)  durchläuft,  alle  Werte  von  0  bis  1,  1  bis  —  1  und  —  1  bis  0 
an.     Es  existiert  daher  lim/(a:,  y)  nicht. 

S  ae  0,  W  s  S 

Csober.  Höhtre  M*th«iD»tik.  %.  KmA.  ^ 


82  I)^'  FonktioDsbegrifl;.     §  2.    Grenzwerte  von  Fanktioneo. 

49.  Da«  I7nendliohkl«lne  und  UnendliohgroBe.  Es  empfiehlt 
Bich,  einige  häufig  wiederkehrende  Vorstellungen  und  Prozesse  durch 
Einführung  kurzer  Bezeichnungen  zu  formaliBieren,  um  von  ihnen  im 
weiteren  Verlaufe  bequemer  Gehrauch  machen  zu  können. 

Bei  der  Definition  des  Grenzwertes  6  einer  Funktion  f(x)  bei 
einem  Grenzübergange  lim  x  «»  a  sind  die  variablen  Differenzen/(a:)  — 6 
und  X  —  a  aufgetreten ,  von  welchen  die  erste  beliebig  klein  gemacht 
werden  kann,  indem  man  die  zweite  hinreichend  klein  werden  läßt 

Wir  werden  von  einer  variablen  Größe,  von  der  wir  uns  vor- 
ßtelleu,  daß  sie  im  Verlaufe  ihrer  Änderung  dem  Betrage  nach  unter 
jede  noch  so  kleine  Zahl  herabsinkt,  sagen^  sie  werde  unendlich  klein 
oder  sei  ein  Unendlichkleines.  Mit  Benutzung  früherer  Ausdrucks- 
weisen  kann  man  auch  sagen,  ein  ünendliehkleines  sei  eine  Variable, 
die  der  Grenze  0  zustrebt.  Das  Unendlichkleinwerdeu  bezeichnet  also 
nicht  einen  Denkprozeß,  der  eines  Abschlusses  fähig  ist,  sondern,  wie 
schon  der  Name  andeutet,  einen  Vorgang,  der,  wie  weit  er  schon  ge- 
führt sein  mag,  immer  noch  eine  Fortsetzung  zuläßt. 

Die  Tatsache,  eine  Veränderliche  y  werde  unendlich  klein,  kann 
demnach  symbolisch  durch  den  Ansatz 

lim  y  =  0 
ausgedrückt  werden. 

Bei  der  Betrachtung  des  Endverlaufs  einer  Funktion  /(x)  ist 
unter  andern  auch  der  Fall  erwähnt  worden,  daß  /{x)  dem  Betrage 
nach  belielng  groß  gemacht  werden  könne,  indem  man  x  hinreichend 
groß  (oder  algebraisch  klein)  werden  läßt. 

Von  einer  variablen  Größe,  von  der  wir  uns  vorstellen,  daß  sie 
im  Verlaufe  ihrer  Änderung  über  jede  noch  so  große  (oder  unter  eine 
algebraisch  noch  so  kleine)  Zahl  hinauskommt,  soll  gesagt  werden^ 
sie  iverde  (positiv,  negativ)  unendlich  großy  oder  sie  sei  ein  Unendlich- 
großes.  Durch  Anwendung  früher  eingeführter  Schreibweisen  kann 
man  diesen  Sachverhalt  durch  die  Ansätze 

lim  y  —  oc,  bzw.  lim  y  -=  —  oc 
zum  Ausdruck  bringen.     Wiederum  handelt  es  sich  nicht  um  einen 
abgeschlossenen,  sondern  um  einen  stets  fortsetzbaren,  also  um  einen 
Werdeprozeß,  der,  soweit  wir  ihn  verfolgen  mögen,  immer  im  End- 
liehen  verläuft*). 

1)  Man  hat  das   Unendlichgroße  im  Sinne  dieser  Definition   uHeigetUUche» 

Unendlich  genannt  und  ihm  ein  eigentliches 
VnendJtch  gegenüber  gestellt.  Die  Vorstel- 
lungen, die  dieser  Unterscheidung  xagrund* 
liegen,  werden  sich  am  besten  geometrisch 
deutlich  machen  lassen. 

Als  Axiom  angenommen,  dafi  zu  einer 

Geraden  g  durch  einen  Punkt  A  eine  Paral- 

rtv  ».  lele  g'  gelegt  werden  kCntie,   Fig.  26.   tcird 


Dm  Unendlichkleine  und  Uncadlichgrofte.  S8 

Dm  Unendlichkleine  und  ünendl ichgroße  ist  einer  Graduierung 
fähig.  Man  hat  es  nämlich  nie  mit  einer  solchen  Größe  allein ,  Son- 
dern ßtet«  mit  zwei  oder  mehreren  voneinander  abhängigen  in  tun; 
und  dann  kann  bei  irgend  zweien  das  ünendlichklein-  oder  ünendiich- 
großwerden  in  gleich  raschem  (starken)  Maße  vor  sich  gehen  oder  bei 
einer  von  beiden  rascher  (starker)  als  bei  der  andern.  So  wird  man 
bei  dem  Grenzübergänge 

lim  /(x)  —  6    für  lim  X  —  a 
die  Differenzen  /(x)  ~  h  und  x  —  a  auf  den  Grad   ihres  Unendlich- 
klein  werdens  vergleichen  können.    Die  Graduierung  soll  sich  auf  den 
Quotienten 

x  —  a 
stützen:  hat  dieser  Quotient  einen  Grenzwert,  so  soll,  je  nachdem  der- 
selbe 0,  eine  endliche  Zahl  k  oder  oo  ist,  .gesagt  werden , /(j)  —  6 
werde  in  höherem,  gleichen    oder  niedrigeren  Maße    unendlich   klein 
als  x  —  a. 

In  gleicher  Weise  kann   man,  wenn 

lim  /(x)  =»  oo     für  lim  rt  ««  oo, 
über  den  Grad  des  Unendlichwerdens  nach  dem  Verhalten  des  Quotienten 

X 

urteilen;  hat  dieser  Quotient  den  Grenzwert  0,  beziehungsweise  k  oder 
oo,  so  erklart  man,  /{x)  werde  in  niedrigerem,  gleichen  oder  höheren 
Maße  unendlich  groß  als  x. 

In  vielen  Fällen  ist  es  möglich,  die  Graduierung  ziffermäßig  aus- 
zudrücken. Man  stützt  sich  dabei  auf  folgende  Erwägung.  Ist  y  eine 
unendlich  klein  werdende  Größe,  so  nimmt,  sobald  y  einmal  in  das 
Gebiet  der  echten  Brüche  gekommen,  y"  im  Vergleich  zu  y  umso 
rascher  ab,  je  größer  (das  positiv  gedachte)  n;  wird  y  unendlich  groß, 

die  Strecke  OB  bei  unaufhörlicher  Annäbenmg  von  AB  vi  g*  w^tndh^x  der 
Gegensatz  in  der  Lage  von  B  gegen  O  kommt  im  Yorseichen  det  Unendlicb- 
werilens  zum  AuBdruck. 

BezOglich  der  Parallelen  g  »elbtit  kOnnte  man  sich  der  AuidruckiweiBe  be- 
dienen, Punkt  B  und  Strecke  OB  haben  zu  existieren  aufgehört.  Es  hat  sich 
jedoch  als  zweckmäßig  erwiesen,  zu  sagen,  der  Punkt  B  sei  nun  im  Unendlichen, 
und  die  Strecke  OB  sei  (qualitätalos)  unendlich,  und  die«  iat  ein  Fall  des  aigeDi- 
lich  oder  aktual  Unendlichen. 

In  die  Sprache  der  Arithmetik  übertragen,  wobei  man  sich  an  die  Gerade 
g  als  Bild  des  Systems  der  reellen  Zahlen  hlüt,  heißt  dies:  Man  fügt  zu  den 
reellen  Zahlen  eine  neue  Zahl  oo  hinzu,  die  ebenso  qnalitätalo«  iat  wie  die 
Zahl  0.  Sowie  nun  eine  Variable,  die  sieh  der  0  altf  Grenze  oihert,  uneniUch 
klein  wird,  so  kann  auch  von  einer  wnendkdt  groß  werdenden  Variablen  getagt 
werden,  sie  nähere  sich  der  fiktiven  Zahl  oc  als  Grenze  von  der  einen  oder 
andern  Seite. 


34  ^^^  FuQktionabefipri£f.     f  2.    Qrenzwerie  von  Fanktionea. 

SO  wächst,  sobald  y  die  Einheit  übersohritten,  y*   amso  rascher  im 
Vergleich  zu  y,  je  größer  n  ist. 

Sind  Py  Y  zwei  voneinander  abhängige  Variable,  die  gleichzeitig 
unendlich  klein,  bzw.  unendlich  groß   werden,   und  hat  der  Quotient 


einen  von  Null  yerschiedenen  endlichen  Grenzwert  A*,  so  sagt  man; 
T  werde  in  hexug  auf  y  unendlich  Mein,  bzw.  unendlich  groß  von  der 
Ordnung  n.  Die  Worte  ,yin  bezug  auf  ^^  können  auch  noch  unter- 
drückt werden,  wenn  man  y  von  Anfang  an  als  Vergleichsgröße  von 
der  ernten  Ordnung  festgesetzt  hat 
Setzt  man 

y 

so  bedeutet  t;  eine  mit  y,  Y  gleichzeitig  gegen  Null  konvergierende 
Größe,  das  Produkt  y*i?  —  b  wird  also  in  bezug  auf  i?  von  höherer 
Ordnung  unendlich  klein  als  y";  die  typische  Form  einer  infitniesi^ 
malen  Größe,  die  in  bezug  auf  y  yon  der  Ordnung  n  ist,  lautet  sonach: 

Y^kyr^B-,  (19) 

man  nennt  ky"  den  Hauptteilf  b  den  sekundären  Teil  von    F. 
Ist 

Y,^k,y*-^B, 

eine  zweite  infinitesimale  Größe  derselben  Ordnung,  so  konvergiert 
der  Quotient 

*+  - 

gegen  die  Grenze  ^,  in  Worten  auegedröckt:  Der  (Quotient  zweier  von 

einander  abhängiger  Infinitesimalgrößen  gleicher  Ordnung  hat  den  Otto- 
tienten  ihrer  Hauptteile  eur  Grenae. 

Zur  Illustration  dienen  die  folgenden  Beispide. 

1.  sin  a?  und  x  werden  zugleich  unendlich  klein,  und  da  45,  6. 

gezeigt  wurde,  daß  lim  ^^  »  1  ist,  so  werden  beide  Größen  unend- 

lieb  klein  von  gleicher  Ordnung.  Sie  streben  im  vorliegenden  Falle 
der  Gleichheit  zu,  weil  die  Grenze  ihres  Quotienten  1  ist  Wie  rasch 
das  vor  sich  geht,  möge  daraus  entnommen  werden,  daß  der  Quotient 

■chon  bei  3«  (- ^)  gleichkommt   0,9995427,   und   daß   er  bei    KK 

/_  ^J\  den  von  1  ganz  unerheblich  abweichenden  Wert  0,9999940 

besitzt. 


Ordnuogvn  de«  UnftndhVhkleinen.  — -  s^t«tigkrit 


86 


2.   F—  1  —  cos  J7  und  y^x  werden  gleichseitig  unendlich  klein ;  d* 


y 


aber  nicht  -    ,  hingegen 


einen  endlichen  yon  Nnll  Ter- 


schiedeneTi  Grenzwert  hat,  uämlich       ,  so  ist  Y  unendlich  klein  von 

zweiter  Ordnung  in  bezog  auf  y. 

3.  Man  zeige,  daß  Y  "^  tgx  —  sin  x  in  bezug  auf  jf  —  x  unendlich 
klein  von  dritter  Ordnung  ist 

§  3.  Stetigkeit  der  FnnktieoeR. 

50.  Der  Steügkeitabes^rilt  Von  der  stetigen  Variablen  x 
t»agt  man,  sie  durchlaufe  das  abgeschlossene  Intenrall  a  <  x  <  /3  stetig^ 
wenn  sie  jedin  Wert  aus  diesem  Intervall  und  jeden  nur  einmal  anr 
nimmt.  £&  kaiin  dies  in  zwei  Richtungen ,  von  a  oder  von  ß  aus- 
gehend, geschehen;  wo  nichts  anderes  bemerkt  wird,  stellen  wir  uns 
vor,  daß  x  sich  wachsend  ändert. 

Wenn  eine  andere,  dem  x  zugeordnete  Variable  y  während  dieses 
Vorgangs  auch  ein  abgeschlossenes  Intervall  (Ä,  Jff^  fdetig  duichlänft 
so  heißt  y  =  /{x)  eine  in  dem     y  T 

Intervall  (a,/3)  monoUrne  Funk- 


tion,  und  zwar  eine  wachsende     . 
oder  eine  abnehmende,  je  nach-    \. . 
dem  A'^y^B  oder  A^y 
^  B.    Das  geometrische  Bild 
einer    solchen   Funktion    ist  ^ 
ein    von   links    nach    rechts 


"30=^ 


-^X 


-VC 


ß 


\ 


Fi«.  Wa.  Fig.  Mb. 

aufsteigender,  beziehungsweise   abfaUender  Bogen,  Fig.  26a,  26b. 

Besteht  der  Bereich  von  y  aus  mehreren  (beliebig  vielen)  anein- 
ander gereihten  Intervallen  {A,  C),  {C,  D),  (D,  E),  (E,  B),  welche  stetig 
und  in  abwechselnder  Richtung  durchlaufen  werden,  während  x  sein 
Intervall  stetig  durchläuft,  so  ist  y  eine  aus  mehreren  aneinander  sich 
anschließenden  monotonen  Abschnitten  zusammengesetzte  Funktion, 
die  abwechselnd  zu-  und  abnimmt;  ihr  Bild  setzt  sich  aus  miteinander 
zusammenhängenden,  abwechselnd  auf-  und  absteigenden  Bogen  wol- 
siimmen. 

Funktionen  von  der  beschriebenen  Art  bezeichnet  man  als  in  dem 
abgeschlossenen  Intervall  a  <  x  <  /3  stetige  oder  Icontinuierliche  Funktionen, 

Ist  y  in  dem  nicht  abgeschlossenen  Intervall  a  <x  <ß  eindeutig 
definiert,  und  besitzt  es  die  eben  angeführten  Eigenschaften  in  jedem 
Intervall,  das  innerhcUb  (a,  ß)  liegt,  so  heißt  /{x)  eine  in  dem  Inter- 
vall cc<x  <  ß  stetige  Funktion. 

51.  Uti«  über  stetige  Funktionell.  Um  die  im  vorstehenden 
anschaulich  entwickelte  Eigenschaft  der  Stetigkeit  arithmetisch  nuta- 


g((  Der  FunktioDsbegriif.     §  8.    SU%tigkeit  der  Funktionen. 

bar  zu  machen,  sollen  einige  Folgerungen  dieser  Eigenschaft  in  Sätze 
gefaßt  werden. 

1,  Wenn  die  Funktion  /{x)  in  dem  Intervall  (a,  ß)  stetig  iaty  so 
Ifißt  sicJt  zu  einem  beliebig  klein  festgesetzten  positiven  €  an  jeder  Stelle 
a;  —  a  im  Innern  des  Intervalls  ein  hinreichend  kleines  positives  d  be- 
stimmen derart,  daß 

l/W -/(«)!<*,  (1) 

solange  \x  —  a\  <Cd. 

Der  Wert  /(a)  gehöre  dem  Intervall  {A,  B)  an,  und  b  sei  so  klein 
festgesetzt,  daß  auch  /(a)  —  e  und  /(a)  -f  s  ihm  angehören:  diesen 
letzteren  entsprechen  Werte  von  x  aus  (a,  ß\  die  sich  in  einer  der 
Formen  a  —  h,  a^K  oder  a-^h,  a.—  h'  darstellen  lassen,  je  nachdem 
A  <i  B  oder  A>  B  ist;  versteht  man  unter  ä  die  kleinere  der  beiden 
positiven  Zahlen  A,  h',  so  genügt  jedes  6,  für  das  0  <  <J  <  ä  besteht, 
der  obigen  Forderung. 

Ist  das  Intervall  («,  ß)  ein  abgeschlossenes,  so  gilt  der  Ansatz  (1) 
an. der  Stelle  a  nur  für  eine  rechte,  an  der  Stelle  ß  nur  für  eine 
Unke  Umgebung.  Bei  einem  nicht  abgeschlossenen  Intervall  sind  a,  ß 
auszuschließen. 

Der  Ansatz  (1)  ist  aber  gleichbedeutend  mit  der  Aussage^): 

lim/Ca;)  =/(a),  (2) 

x  =  a 

80  daß  man  auch  diese  als  Merkmal  der  „Stetigkeit  an  der  Stelle  a** 
ansehen  kann. 

Man  nimmt  vielfach  diesen  Satz  zum  Ausgangspunkt  des  Stetig- 
keitsbegriffs und  erklärt  dann  eine  Funktion  als  stetig  in  dem  Inter- 
vall (a,ß),  wenn  sie  die  Eigenschaft  (1)  oder  (2)  in  jedem  Punkte 
des  Intprvalb  besitzt,  wenn  also 

Um/(a:)-/(Iima:) 
80  lange  ^'^^^ß     ^^^^    a<x<ß. 

Sind  x',  x'  zwei  verschiedene  Punkte  aus  der  Umgebung  (a  —  d, 
a  -f  ($)  von  a,  so  daß 

|/(aO-/(a)|<* 

80  folgt  daraus 

____  l/(0-/(=r')l<2*- 

1)  E«  lei  darauf  hingewiesen,  dafi  AnsäUe  irie 
lim/(x)-/-(a) 

«  s  a 

die  aaf  den  enten  Blick  nalbstverstAndlieb  scheinen,  Stetigkeit  voraassetcra. 


SteUgkeiUt&tze.  87 

Es  läßt  81  ob  also  bei  einer  stetigeu  Funktion  zu  jeder  Stelle  eine  hin- 
reicbend  enge  Umgebung  konstruieren,  derart,  daß  irgend  zwei  Funktioni- 
werte  aus  dieser  Umgebung  sieb  beliebig  wenig  yoneinander  unter- 
scheiden. 

2.  Eine  im  ahgesMossenm  IntervaU  a  ^x  ^ß  stetige  Funktiom 
f(x)  ist  dast'ibst  endlich  und  nimmt  wenigstens  einmal  einen  kleinsten 

Wert  m  und  einen  größteti   Wert  M  an. 

Die  erste  Behauptung  ist  implizite  in  dem  SO.  entwickelten 
Stetigkeitsbegrifi*  enthalten,  da  ja  zu  jedem  a  ^  a:  ^  ^  ein  bestimmtet, 
also  ein  endlicher  Wert  von  /{x)  gehören  maß. 

Sind  (A^  C),  (C,  D),  . . .  {K,  E)  die  Intervalle,  welche  /(x)  nach- 
einander  stetig  durchläuft,  so  ist  die  kleinste  der  Zahlen  A^B,Cf...K,Ii 
das  m,  die  größte  das  M. 

Eine  im  nicht  abgeschlossenen  Intervall  «<x</5  stetige  Funktion 
braucht  daselbst  nicht  endlich  zu  sein;  existieren  lim  /{x)  und  lim/(2;), 

so  ist  sie  endlich,  und  bei  der  Aufsuchung  der  äußersten  Funktions- 
werte kommen  diese  Grenzwerte,  die  die  Funktion  innerhalb  des  Inter- 
valls nicht  anzunehmen  braucht,  mit  in  Betracht;  es  kann  unter  solchen 
Umständen  die  Funktion  statt  eines  kleinsten  und  größten  Werte« 
auch  blos  eine  untere  Grenze  g  und  eine  obere  Grenze  G  besitzen,  die 
sie  wirklich  nicht  erreicht. 

Den  Unterschied  M—m,  bzw.  G  —  g,  bezeichnet  man  als  die 
Schwankung  der  Funktion  /(x)  im  Intervall  (a,  ß). 

Einige  kleine  Beispiele  werden  diese  AusfQhrung  besser  beleuchten. 

/{x)  «»3a:— 5  für  l<a;<2ist  eine  stetige  und  endliche  Punk- 
tion mit  w  =  —  2  und  itf  =  1  und  mit  der  Schwankung  Jlf  —  w—  3. 

y  (jc)  =  3a  —  5  für  1  <^x  <  2  ist  eine  stetige  und  endliche  Funk- 
tion mit  der  unteren  Grenze  ^  =»  —  2  und  der  oberen  Cr  —  1,  die 
beide  nicht  erreicht  werden,  und  mit  der  Schwankung  G  —  /7  —  3. 

/(^x)  —  ~  für  0  <ic<  1  hat  keine  obere  Grenze,  weil  lim  /(x)  —  oo 

ist,  wohl  aber  einen  kleinsten  Wert  m  =-  1 ;  von  einer  Schwankung 
kann  hier  nicht  gesprochen  werden. 

3.  Wenn  die  Funktion  /(x)  in  dem  abgeschossenen  Intervall 
a^x-^ß  stetig  und  wenn  /(«)  +/(/?)  ist,  so  gibt  es  su  jeder  Zahl  fi 
zwischen  /(«)  und  f\ß)   mindestens  eine   Stelle  g   in  (c,  /J),   an  der 

/(i)^iiist: 

Ist  die  Funktion  monoton,  so  ist  (A,B)  ihr  Bereich,  und  da  sie 
jeden  Wert  aus  diesem  Bereiche  und  jeden  nur  einmal  annimmt,  so 
gilt  dies  auch  für  fi. 

Besteht  sie  aus  abwechselnd  zu-  und  abnehmenden  monotonen 
Abschnitten  und  sind  {A,  C),  (C,  D), . . .  (K,  B)  die  Intervalle,  die  eie 
der  Reihe  nach  durchlauft,  so  muß  fi  in  mindestens  einem  derselben 


88  D«!  Fonktionsbegriff.    §  3    Stetigkeit  der  Funktioneo 

Torkommen;  denn  die  Annahme,  daß  ee  außerhalb  aller  Interyalle 
liege,  stünde  entweder  mit  /(«)  <  fi  oder  mit  (a  </{ß)  im  Wider- 
spruch. 

£b  ist  eine  Folge  des  obigen  Satzes,  daß  die  Funktion  auch  jeden 
Wert  zwischen  m  und  M  annimmt;  denn  die  Stellen ,  an  welchen 
/{x)  gleich  m,  bzw.  gleich  M  ist,  gehören  dem  Intervall  (a,  ß)  an. 

Eine  weitere  wichtige  Folge  spricht  der  folgende  Satz  ans: 

Wepin  die  Funktion /(x)  in  dem  abgescMossenen  Intervall  a^x  <iß 
stetig  ist  und  an  seinen  Enden  entgegengesettfi  bezeichnete  Werte  hesÜH, 
so  existiert  uenigstens  eine  Stelle  |  in  (ay  ß)y  an  der  /(|)  —  0  ist. 

Da  nämlich  /{x)  jeden  Wert  zwischen  /{a)  und  /{ß)  innerhalb 
(«,  ß)  mindestens  einmal  annimmt,  so  gilt  dies  auch  Ton  0,  das  nun 
zwischen  /{a)  und  /{ß)  liegt. 

4.  Hat  eine  in  dem  Interyall  (a,  ß)  stetige  Funktion  /{x)  die 
Eigenschaft,  daß  zu  einem  beliebig  klein  festgesetzten  positiven  «  ein 
hinreichend   kleines   positives  ö  bestimmt   werden    kann    derart,   daß 

|/(0-/(OI<^  ,4. 

solange  x'  -  x'\<dy 

so  nennt  man  sie  gleichmäßig  stetig  in  dem  Interrall.  Der  Sinn  dieser 
Definition  ist  also  der,  daß,  wo  man  auch  zwei  Stellen  in  (a,  ß)  be- 
zeichnet, deren  Abstand  unter  d  liegt,  der  Unterschied  der  zugehörigen 
Funktionswerte  jedesmal  dem  Betrage  nach  kleiner  als  b  ist. 

Bei  dieser  Eigenschaft  muß  zwischen  abgeschlossenen  und  nicht 
abgeschlossenen  Intervallen  wohl  unterschieden  werden;  bezüglich  der 
ersteren  gilt  der  wichtige  Satz: 

Eine  im  abgeschlossenen  Intervall  (a,  ß)  stäige  Funktion  ist  daselbst 
gleichmäßig  stetig. 

Es  werde  zunäclist  vorausgesetzt,  die  Funktion  sei  monotoB 
wachsend   und   (Af  B)   ihr  Intervall;   man   teile   dieses   in   soviel  (m) 

gleiche  Teile,  daß  — ^^^  —  ifc  <  ^   sei.     Zn  den  Funktionswerten 


/(«),  /(«)  +  *,  /(«)  +  2*,  ..•/(«)  +  »•- 1  *,  Aß) 

sollen  die  (gleichfalls  steigend  geordneten)  Argumentiverte 

^0  —  «»  ^if  ^t  •••  ^«-w  /*-*• 
gehören;  je  zwei  benachbarte  bestimmen  ein  Intervall,  und  das  kleinste 
unter  diesen  n  Intervallen  habe  die  Größe  ^;  dann  genügt  jedes  d,  für 
das  0  <  d  ^  A  besteht,  der  obigen  Forderung.  Nimmt  man  nämlich 
irgend  »wei  Werte  x\  x"  an,  für  die  «"—ic'^Ä,  so  fallen  sie  ent- 
weder in  ein  und  dasselbe  Intervall  {x^f  x^^^\  oder  sie  verteilen  sich 
auf  zwei  benachbarte  Intervalle  («|.i^  x^f  {x^,  Xf^j).  Im  ersten  Falle 
ist  unmittelbar 

|/(0-/(*')l<-i<*; 


Gleichm&fiige  Stetigkeit.  —  Unftetigkeiten  $0 

im  zweiten  Falle  hat  man  sowohl 

/M~/(^.<; 

als  auch  '/(«")~/(«i)    <f 

daher  wieder  /(0~/W!<« 

Besteht  die  Funktion  aus  mehreren  monotonen  Abschnitten^  so 
führe  man  die  beschriebene  Operation  fQr  jeden  Abschnitt  gesondert 
aus;  das  kleinste  unter  den  gefundenen  h  genügt  dann  für  den  ganzen 
Verlauf. 

In  einem  nicht  abgeschlossenen  Intervall  besteht  gleichmäßige 
Stetigkeit  nur  dann,  wenn  die  Funktion  g^en  die  Enden  hin  be- 
stimmten Grenzen  sich  nähert.  So  ist  die  Funktion  /(x)  -«  Sx  —  5 
anch  in  dem  Intervall  1  <  x  <  2  gleichmäßig  stetig;  nicht  so  jedoch 

die  Funktion  /(x)  —  -  in  0<ar^  1,  weil  lim/(x)  =-  (X>;  hier  wird 

*=.  +  o 
dj  je   mehr  man  sich  der  Anfangsstelle  0  nähert,    bei  gegebenem  s 
immer  kleiner,  und  es  gibt  kein  genügend  kleines  d,  das  durchwegs 
entsprechen  würde. 

62.  Versohledene  Arten  der  Unstetigkeit  (DiakontinlütAt). 
Wenn  eine  Funktion  /{x)  in  der  (ein-  oder  beiderseitigen)  Umgebung 
einer  Stelle  x  =  a  definiert  ist,  die  Stetigkeitsbedingung  (1)  aber  nicht 
erfüllt,  so  heißt  sie  an  dieser  Stelle  unstetig  oder  diskontinuierlich.  An 
der  Stelle  selbst  kann  die  Funktion  vermöge  ihres  analytischen  Aus- 
drucks auch  definiert  sein,  oder  es  versagt  dieser  Ausdruck  hier;  in 
letzterem  Falle  kann  die  Definition  durch  eine  Festsetzung  ergänzt 
werden.  Immer  kommt  es  darauf  an,  das  Verhalten  der  Funktion  bei 
unbegrenzter  Annäherung  an  die  Stelle  a  zu  prüfen,  zu  untersuchen^ 
ob  die  Funktion  Grenzwerte  besitzt,  und  welcher  Art  diese  sind  Auf 
eine  Klassifikation  der  mannigfaltigen  Möglichkeiten  soll  hier  nicht 
eingegangen  werden;  es  möge  genügen,  einige  charakteristische  Falle 
vorzuführen  und  durch  Beispiele  zu  belegen. 

1.  Es  sei  lim/(a:)  —  lim/(x)  «=  h  eine  endliche  Größe,  /(a)  ent- 

»  =  a  — 0  asa-f-i 

weder  nicht  definiert  oder  von  h  verschieden.  Ergänzt  oder  ändert 
man  die  Definition  dahin,  daß  /{a)  -«  h  sei,  so  verhält  sich  die  Funk- 
tion an  der  Stelle  a  wie  eine  stetige,  man  spricht  daher  von  einer 
\dharen  Cnstetigkeit 

Die  Funktion /(a:)  -  x  cos  -  (46,  2.)  verhält  sich  an  der  Stelle 

x  -"  0  wie  eine  stetige  Funktion,  wenn  man  /(O)  —  0  feeisetit;  bei 
jeder  andern  Festsetzung  ist  sie  wesentlich  unstetig. 

Die  Funktion /(ic)  —  limV?  (»  ^^^  natürliche  Zahl)  iet  für  jeden 

Wert  von  x  definiert,  und  zwar  ist  1  ihr  Wert,  so  lange  x  +  0,  und 


90  ^^^  FunktioDsbegriff.    §  S.    Stetigkeit  der  Funktiooen. 

0  fttr  iP  =-  0.    Man  hat  also  lim  /  (a;)  —  lim/(a?)  =  1,  hingegen  /(O)  —  0. 

Ändert  man  die  Definition  dahin  ab,  daß  /(O)  »  1  sein  solle,  so  ver- 
schwindet die  Unstetigkeit. 

2.  Es  sei  lim  /(x)  ^  lim  /{x)  und  beide  endlich ;  ohne  Rücksicht 

xtsa  —  Q  xsa-fO 

darauf,  ob  /(a)  vorhanden  und  wie  groß  es  ist,  besteht  Unstetig- 
keit, weil  sich  keine  Umgebung  von  a  angeben  läßt,  io  welcher 
|/(0  '^ /i^l  \^  *  ^^^  ^^^  beliebige  x\  x"  und  ein  beliebig  klein 
gewähltes  f. 

Man  spricht  hier  von  einem  endlichen  Sprufig. 


Die  Funktion  y"(a;)  — -^ ist  für  a:  =  0  nicht  definiert;  es   ist 

aber  lim  /(a;)  =  —  1   uud  lim  /{x)  =  1 ;    bei  Überschreitung   von   0 

findet  also  ein  Sprung  von  —  1  auf  1  statt,  während  sich  die  Funktion 
im  übrigen  stetig  verhält. 

Die  Funktion  /(x)  =  lim  -  — ^  (**  =  h^y-")  ^a*  den  Wert  0, 

solange  !  a;  |  >  1;  den  Wert  1,  solange  |  a?  |  <  1 ;  hingegen  ist  /(—  1)  =- 

/(l)«—;  wenn  also  x  wachsend  die  Stelle  —  1  durchschreitet,  springt 

der  Funktionswert  von  0   auf  y  und  unmittelbar  darauf  auf  1,  und 

das  umgekehrte  findet  beim  Passieren  der  Stelle  1  statt. 

Die   Funktion  /(x)  «-  a:  —  [x], 

worin  [2:]  die  algebraisch  größte  in 

.     .....^.....y..         ^   enthaltene   ganze   Zahl    bedeutet 

_J^/j^/__|  und  deren  Bild  in  Fig.  27  angedeutet 

ist,  bietet  ein  Beispiel  von  unendlich 

vielen  endlichen  Sprüngen  dar.    Aus 

,  dem    Bilde    wären     eigentlich    die 

Punkte  in  den  Linien  y  =  —  1  und 
y  ^  \  auszuscheiden.  Ist  n  eine  positive  ganze  Zahl  und  d  ein  po- 
sitifer  echter  Bruch,  so  ist 

/(n  -  ^)  -  w  -  (J  -  (w  -  1)  -  1  -  d, 

/(n  o.  d)  -  «  +  d  -  n  -  d, 

während  /(n)         —  n  —  n  —  0  ist; 

ähnlich  f{lr  negative  n. 

3.  Wenigstens  einer  der  Grenzwerte  lim  /(x\  lim  /{x)  existiert 

gma^Q  »■•4-0 

nicht;  es  findet  eine  Unstetigkeit  statt,  was  auch  bezüglich  /(a)  selbst 
gelten  möge. 


Cnttetiirkeiieo.  —  UnendliebkeitMtelleB.  91 

Ein  Beispiel  hierzu  bietet  t(x)  «-.sin  ~  an  der   Stelle  x  —  0  dar 

(45,1.);  denn  lim  sin  ~  existieren  nicht,  weil  die  Funktion,  wie  klein 

auch  {x|  werden  möge,  niemals  aufhört,  zwischen  —  1  und  l  za 
schwanken. 

4.  Wenigstens  einer  der  Grenzwerte  lim/(a;),  lim  /(x),  ist  unend- 

lieb.     Man  nennt  dann  a  eine  UnendlichkeiUtsteUe  der  Funktion. 

Bei  der  Exponentialfunktion/(a;)  —  c  *  ist  lim/(a:)  —0,  lim/(a:)—  00 ; 

setzt  man  also  /(O)  —  0  fest,  so  rerhält  sich  /(x)  links  ron  0  stetig; 
wegen  des  rechtsseitigen  Verhaltens  ist  aber  x  =—  0  ein  Unendlich- 
keitspunkt. 

Die  Funktion /(x)  —  ~  hat  0  zur  ünendlichkeitsstelle,  und  zwar 

ist  lim/(x)  —  —  00,  lim  /(x)  —  oc. 

X»— 0  x=+0 

Auch  /(x)  —  p  hat  die  ünendlichkeitsstelle  x  —  0,  hier  aber  sind 
\iwi/{x)  beide  -f  cx>. 

Die  Funktion  /(x)  =»  /x  hat  lim  /(x)  —  —  00,  existiert  aber  links 
yoii  0  nicht  (als  reelle  Funktion). 

Die  Funktion  /(x)  «-  tg  x  hat  in  x  =-  y  einQ  Unendlichkeitsstelle, 
indem   lim  .tg  x  «-  00,  lim  tg  x  «=  —  00.     Man   prüfe  das  Verhalten 

an  den  Stellen  x  =  -  -+-  n»,  wo  »  eine  (positive  oder  negative)  ganze 
Zahl  bedeutet. 

Ein  eigenartiges  Verhalten  zeigty"(x)  -» tg  j.- ;  die  Stellen  x  — 

sind  Unendlichkeitspunkte  und  auch  x  =-  0  ist  ein  Unstetigkeitspunkt, 
indem /(x)  in  einer  beliebig  engen  Umgebung  unendlich  oft  das  ganze 
Gebiet  der  reellen  2^hlen  durchläuft. 

63.  Stetigkeit  von  Funktionen  mehrerer  Variablen.  Die 
Funktion  y  (x,y)  der  unabhängigen  stetigen  Variablen  x,  y,  ^definiert 
für  einen  abgeschlossenen  Bereich  P  mit  der  Randlinie  C  (40,  48), 
heißt  an  der  Stelle  x  =•  a,  y  —  6  im  Innern  dieses  Bereichs  sieiigt  wenn 
sich  zu  einem  beliebig  kleinen  positiven  e  ein  hinreichend  kleines 
positives  d  bestimmen  läßt  derart,  daß 

l/(^,y) -/(«,&)  l<«, 

solange  |  X  —  a   <  d,  |  y  —  6  |  <  d,  (6) 

|«~a|-f  y~6|>0 


92  ^^  FonküoDtbegriil.    §  2.   Stetigkeit  der  Funktiooeu. 

ist;  mit  Worten,  wenn  sich  zu  der  Stelle  a  b  eine  (quadratfönnige) 
Umgebung  von  so  kleiner  Ausdehnung  2  Ö  konstruieren  läßt,  daß  jeder 
Funktionswert  aus  dieser  Umgebung  sich  von  jenem  an  der  Stelle  a  h 
dem  Betrage  nach  um  weniger  unterscheidet  als  e. 

Nach  den  Ausführungen  in  48  ist  diese  Definition  gleichbedeutend 
mit  der  Erklärung  des  Ansatzes 

hm /(x,y)  ^ /(a,h\  6) 

jr«:a,y  =  « 

ßeiindet  sich  der  Punkt  a  \  h  auf  der  Randlinie  C,  so  ist  die  Um- 
gebung auf  jenen  Teil  einzuschränken,  der  dem  Bereiche  P  angehört. 

Die  Funktion  /(x,y)  heißt  stetig  im  Bereiche  P,  wenn  sie  den  Be- 
dingungen (5)  in  allen  Punkten  von  P  genügt. 

Verfolgt  man  eine  in  diesem  Sinne  stetige  Funktion  längs 
einer  in  P  verlaufenden  Linie,  so  verhält  sie  sich  als  stetig;  insbe- 
sondere auch  dann,  wenn  man  sie  längs  einer  Parallelen  zu  einer  der 
Achsen  OX,  OY  verfolgt.  Das  zu  48  beigebrachte  Beispiel  allein 
genügt  aber,  um  die  Umkehrbarkeit  dieses  Sachverhaltes  auszuschließezL 
die  Funktion  /[x^y)  braucht  an  einer  Stelle  a ;  h  nicht  stetig  zu  sein, 
wenn  /{x,h)  als  Funktion  von  x  stetig  ist  bei  x  «—  a  und  /{a,y)  stetig* 

ist  bei  y  '=-  h.  Die  Funktion  /{x,y)  —  ^4~i  ^^  ^em  zitierten  Bei- 
spiel ist  längs  jeder  durch  die  Stelle  0  0  gezogenen  Geraden  stetige 
weil  konstant,  sie  ist  aber  nicht  stetig  an  der  genannten  Stelle  selbsi^ 
weil  sie  hier  nicht  definiert  ist. 

Wichtig  ist  es,  die  gleichmäßige  Stetigkeit  hervorzuheben,  die  wie 
bei  Funktionen  einer  Variablen  eine  notwendige  Folge  der  Stetigkeit 
im  abgeschlossenen  Bereich  ist;  sie  besteht  darin,  daß  sich  zu  einem  $ 
ein  d  bestimmen  läßt  derart,  daß 

solange  \x''-x'  <d,      y"-y    <ä,  (7) 

\x"^x'\+  y''-y'>0. 

Die  Definition  der  punktuellen  Stetigkeit  einer  Funktion  sweier 
Variablen  ist  wörtlich  auf  eine  Funktion  f(x^,  ^  *  *  ^J  fibertragbar, 
die  von  n  Variablen  abhängt;  man  wird  sie  in  dem  „Punkte^ ai  |  «j  i  *  *  *  i  *• 
ihres  „Definitiousbereichs^^  R^  stetig  nennen,  wenn  zu  einem  festge- 
setzten i  ein  hinreichend  kleines  d  bestimmbar  ist  derart,  daß 

solange  «i  -  «i  |<^,  !«i  -  «il<  ^,   ••  |«.~a»i  <  *,  (8) 

ift;  und  stetig  im  Bereich  R^  wenn  sie  diese  Eigenschaft  in  jedem 
Punkte  des  Bereichs  anfweiit. 


Stetigkeit  vod  Funktionen  xweier  VMiableB.  ~  I>er  Differenti^qootient    93 

IV.  Absctnitt. 

Elemente  der  Differentialrechnung. 

§  1.   Der  DifferentialqnotifDt  und  das  DiffereBtial. 

54.  Begriff  des  Differentialquotienten.  Unter  den  Prsgen, 
die  sich  beim  Operieren  mit  Funktionen  einstellen,  ist  eine  der 
wichtigsten  auf  die  Ärtderungen  gerichtet,  welche  die  Funktion  bei 
bestimmten  Änderungen  der  Variablen  erf&hrt,  und  zwar  auf  die 
Änderungen  im  großen  und  kleinen;  denn  sie  machen  das  aus,  was 
man  den  Verlauf'  der  FunkUon  nennt 

Es  sind  also  Denkprozesse  von  fundamentaler  Bedeutung  filr  die 
Analysis,  an  deren  Erklärung  jetzt  geschritten  werden  soll.  In  erster 
Linie  wird  dabei  an  Funktionen  einer  Variablen  gedacht  werden. 

Es  sei  y  =*  /{x)  eine  in  dem  Intervall  {a,ß)  eindeutig  definierte 
und  stetige  Funktion;  unter  x  möge  jetzt  ein  bestimmt^'  Wert  im 
Innern  des  Intervalls  verstanden  werden.  Bei  dem  Übergange  von  x 
zu  dem  ebenfalls  in  (a,  /3)  liegenden  Werte  Jf  +  Ä,  wobei  also  die 
Variable  die  Änderung 

Jx^h 

erfahrt,  geht  der  Wert  der  Funktion  in  /(x  -h  K)  über  und  erleidet 
die  Änderung 

dy  =  d/{x)  -/(*  +  *)  -/(«). 

Je  größer  bei  einem  festgesetzten  dx  das  z/y,  oder  je  kleiner 
bei  einem  angenommenen  Jy  das  zugehörige  dx  ausfällt,  umso 
stärker,  wird  man  sagen  dürfen,  hat  sich  die  Funktion  bei  dem  be- 
schriebenen Übergang  von  der  einen  Stelle  ihres  Bereichs  zu  der 
andern  geändert,  so  daß  in  dem  Quotienten 

ein  geeignetes  Maß  für  dtP  Stärke  dieser  Änderung  zn  erblicken  ist 
Da  Jx,  dy  Differenzen  zwischen  zwei  Werten  von  x,  biw.  y  darstellen, 
80  bezeichnet  man  sie  als  Differenä  der  Vahdblenf  bzw.  Differenz  der 
Funktion  und  nennt  (1)  den  Differensenquotientenj  gebüdet  an  der 
Stelle  X  mit  der  Dififerent  dx  '^h. 

Der  Differenzenquotient  erfordert  also  zu  seiner  Bildung  zwei 
Stellen  des  Bereichs ;  läßt  man  die  zweite  der  ersten  unbegrenzt  sich 
nähern,  h  also  gegen  die  Grenze  0  konvergieren,  so  strebt  wegen  der 
vorausgesetzten  Stetigkeit  von  /(x^  auch  der  Zahler  von  (1)  der  Null 
als  Grenze  zu.  Man  hat  es  also  mit  dem  Quotienten  zweier  unend- 
lich kleinen  Größen  zu  tun,  der  je  nach  der  Ordnung  dieser  Größen 
einer  bestimmten  endlichen  Grenze  oder  der  Grenze  0  oder  der  Grenze  oo 


94     Elemente  der  Difrerentialrechnang.    §  1.   Der  Differentialqaotient  ntw. 

Cmit  bestimmten  Vorzeichen)  zustreben  oder  unbestimmt  bleiben  kann.  In 
den  drei  ei*stgedachten  Fällen,  wo  ein  Grenzwert  (im  weitesten  Sinne) 
existiert,  nennt  man  eben  diesen  Grenzwert  den  Di/ferentialquciiefUen, 
die  Derivicrte  oder  die  Ableitung  der  Funktion  /(z)  an  der  Steile  x; 
er  ist  ein  Maß  für  die  Stärke  der  Änderung  der  Fnnktion  an  dieser 
Stelle. 

Dieser  Grundgedanke  bedarf  aber  noch  einer  genaueren  Ausführung. 
Bei  der  Allgemeinheit,  welche  wir  dem  FunktionsbegriflP  unterlegen 
müssen,  können  selbst  bei  der  Einschränkung,  die  in  der  geforderten 
Stetigkeit  liegt,  so  mannigfache  Erscheinungen  auftreten,  daß  wir  ge- 
nötigt sind  zu  unterscheiden,  ob  h  von  rechts  oder  links  sich  der  Null 
nähert.     Existiert 

so  soll  er  als  rechter  Differentialquotient,  und  existiert 

so  soll  er  als  Unker  Differentialquotient  an  der  Stelle  x  bezeichnet 
werden;  existieren  aber  beide  und  stimmen  sie  miteinander  überein, 
so  daß  man  sie  gemeinsam  unter  das  Symbol 

hm  /J£±4z=ZW  (2) 

stellen  kann,  so  spricht  man  von  einem  Differentialquotienten  schlecht- 
weg, auch  von  einem  vollständigen  oder  eigentlichen. 

Es  liegt  in  der  Natur  der  Sache-,  daß  es  an  der  Stelle  «  nur 
einen  rechten,  an  der  Stelle  ß  nur  einen  linken  Differentialquotienten 
geben  kann. 

Bei  den  Funktionen,  welche  wir  hier  zu  betrachten  haben  werden, 
ist  der  Fall  eines  eigetiüichen  und  endlichen  Differentialquotienten 
typisch;  die  Fälle  eines  bloß  rechten  oder  bloß  linken,  beiderseits  ver- 
schiedener, eines  unendlichen  und  der  Nichtexistenz  eines  Differential- 
quotienten bilden  Ausnahmen. 

Wenn  daher  in  der  Folge  von  der  Existenz  eines  Differential- 
quotienten oder  von  der  Differensierha/rkeit  einer  Funktion  an  einer 
(inneren)  Stelle  x  wird  gesprochen  werden,  so  soll  darunter  immer 
ein  endlichfT  Differentialquotient  von  der  Bildungsweise  (2)  gemeint 
sein.     Mit  diesen  Festsetzungen  kann  man  sagen: 

Der  Differentialquotient  einer  Funktim  /(%)  an  einer  Stdle  x  ist 
der  Gremivertf  gegen  den  der  an  dieser  Steile  gebildete  Di/fereHgen- 
quoUeni  konvergiert^  wenn  die  Änderung  h  der  Variahlen^  sei  es  durch 
positicCy  sei  es  durch  negative  Werte,  der  Orense  Null  sich  nähert. 

Es  ist  oben  bemerkt  worden,  daß  der  Differentialquotient  ein 
Maß  für  die  Starke  der  Änderung  der  Funktion  an  der  betreffenden 


Diffeieatiftlquotient  und  abgeleitete  PunkÜoii.  95 

Stelle  sei  Wie  jedes  Maß  erfordert  auch  dieses  eine  Einheii;  diste 
ist  in  der  Stärke   der  Änderung   der   v'ariablen   selbst  gegeben.     Ist 

uämüch  /(x)  ••  r,  so  ist  der  EHflferenzenquotient  ^^^r-— *,  also  auch 

der  Difterentialquotient,  und  zwar  an  jeder  Stelle,  —  1.  An  einer 
Stelle  also,  an  welcher  der  Differenzeiiquotient  großer  (kleiner)  i^t 
als  1,  ändert  sich  die  Funktion  stärker  (schwäcber)  als  die  Variable; 
dabei  kommt  zunächst  nur  der  absolute  Wert  des  Differentialquotienten 
in  Betracht. 

55.  Die  abgeleitete  Fnnktioti.  Partielle  DüTerentiiü* 
quotienten.  Besitzt  die  Funktion  /(x)  an  jeder  Stelle  des  Inter- 
valls («,  ß)  einen  Differentialquotienten,  so  heißt  sie  in  diesem  Inter- 
vall differenzierbar.  Die  Werte  des  Differentialquotienten  mit  den  zu- 
gehörigen Stellen  konstituieren  dann  eine  neue  Funktion  von  ar,  die 
rv.m  als  abgeleitete,  derivierte  FutMon.  auch  kurz  als  Ableitung  von 
x),  aber  auch  als  den  Differentialquotienten  von  /{x)  benennt;  zu 
ihrer  Bezeichnung  bedient  man  sich  der  Symbole*) 

'^,  /'<*),  DJi.') 

lalytische  Bed< 
den  Ansatz 


Die  analytische  Bedeutung  der  neuen  Funktion  ist   also  durch 


gegeben,  der  Grenzübergang  bei  unbestimmt  gelassenem  x  ausgeführt. 
Im  allgemeinen  gehören  zu  verschiedenen  Werten  von  x  auch 
verschiedene  Werte  von/'(x);  nur  bei  einer  einzigen  Funktion,  näm- 
lich bei  der  rationalen  ganzen  Funktion  ersten  Grades,  die  man  kurz- 
weg als  lineare  Funktion  bezeichnet,  ist  /\x)  konstant.  Ist  nämlich 
/ix)  =  ax  -\-hy  so  ist  der  Differenzenquotient 

h "'*' 

folglich  auch 

DJax  -f-  2*)  —  a; 

das  geometrische  Bild  dieser  Funktion  —  eine  Gerade  —  spricht  es 
inz  deutlich  aus,  daß  die  Stärke  der  Änderung  überall  die  gleiche  ist 
Setzt  man  in  der  letzten  Formel  a  —  0,  So  geht  sie  über  in 

D,h  -  0  (4) 


1)  Die  drei  Bezeichnungen  stammen  der  Reibe  nach  von  0.  W.  Leibnix 
(in  einem  Manuskript  von  1676),  J.  J.  Lagrange  (Theorie  das  fonctiona  wialj- 
tiqnea,  1797)  und  Arbogaat  (Calcul  des  Därivationa,  1800). 


96     Elemente  der  DifFerentittlrechnung     §  1.    Der  Differentialquoiient  arvr 

und  besagt  nuu,  daß  die  Ableitung  einer  lonsianf^n  FutflUon  oder  kurz 
einer  Konstanten  NtUl  ist 

Mit  a  »  1  und  b  '^  0  ergibt  sich  die  schon  früher  festgestellte 
Tatsache 

D^x^l,  (b) 

daß  die  ÄbUUung  der   Variablen  selbst  glticii  1  ist. 

Der  Begriff  der  Differentialquotienten,  der  hier  ausdrücklich  für 
eine  Funktion  einer  Variablen  entwickelt  worden  ist,  laßt  sich  durch 
folgenden  Gedankengang  auf  eine  Funktion  mehrerer  Variablen  über- 
tragen: Man  erteilt  allen  Variablen,  bis  auf  eine,  feste  Werte,  be- 
trachtet die  Funktion  als  von  dieser  einen  allein  abhängig  und  führt  an 
ihr  den  durch  (3)  angezeigten  Grenzprozeß  aus.  Unter  diesem  Gesichts- 
punkte gebildete  Differentialquotienten  nennt  man  partieüe  Differential- 
quotienten oder  Ableitungen  in  bezug  auf  die  betreffende  Variable. 
Bei  einer  Funktion  z  ^ /{x^  y)  zweier  Variablen  hat  man  deren  zwei 
zu  unterscheiden  und  gebraucht  dafür  eines  der  Zeichen:^) 

Allgemein:  Ist  ?i  '^/(^i^  ^a  '    '  ^J»  ^^  definiert 

lim  /<^*>.±  *?i^  '„;  .^.z:Z(^-»3„»  ':j3s}  (6) 

den  partiellen   Differentialquotienten   von  u  in  bezug  auf  x^ ,  der   mit 
Ä-    bezeichnet  wird. 

56.  Phoronomisohe  nnd  geometrische  Interpretation  des 
Bürerentialqnotienten.  Sobald  man  das  Gebiet  der  Anwendungen 
der  Analysis  betritt,  sind  x  und  /(z)  die  Maßzahlen  für  irgendwelche 
Toneinander  abhängige  Größen,  und  je  nach  der  Bedeutung  dieser 
letzteren  erlangt  auch  der  Differentialquotient  eine  spezielle  Bedentang. 
An  dieser  Stelle  sollen  jene  zwei  Fälle  besprochen  werden,  von  welchen 
die  Differentialrechnung  ihren  Ausgang  genommen,  und  die  für  zwei 
große  Gebiete  von  grundlegender  Bedeutung  sind:  für  die  Bewegungs- 
lehre (Phoronomie)  und  die  Geometrie. 

1.  Es  sei  X  die  von  einem  bestimmten  Augenblicke  an  gezahlte 
Zeit,  die  ein  in  gerader  Linie  sich  bewegender  Punkt  gebraucht  hat, 
um  den  Weg  /(rc)  zurückxulegen;  dann  ist  /{x  -f  h)  der  in  der  Zeit 
X  -^  k  vollendete,  somit  /(x  +  Ä)  —  /{x)  der  in  dem  Zeitintervall 
(Xf  X  i-h)  zurückgelegte  Weg.  Wäre  die  Bewegung  eine  gleichmäßigey 
d.  h.   eine   solche,  bei   welcher  in    beliebig   großen    gleichen  2^itab- 

1)  Die  Anwendung  dei  d  neben  dem  Lei bn istchen  d  ttammt  von  C  G. 
J  Jacob i  (Joarnal  Ton  CroUe,  Bd.  22)  und  iit  jetst  faet  allgemein  gebrftnohlioh. 
Daneben  gehen  noch  andere  Beteiohnungen,  so  s.  B.  fu-,j\\  fy  (««y), /t(^Sf)  u-  *• 


PboroQomiscbd  Bedeotang  dei  DifferentUlqnotienleo.  97 

schnitten  gleiche  Wege  zniückgelegt  werden,  so  stellte  der  Qaotient 

h 

die  Geschwindigkeit,  d.  i.  den  in  einer  Ton  den  Zeiteinheiten,  in  welchen 
X  und  h  ausgedrückt  sind,  beschriebenem  Weg  diur. 

Auf  eine  uvyleichmäßUje  Bewegung  laßt  sich  dieser  Begriff  der  Ge- 
schwindigkeit nicht  unmittelbar  übertragen ;  der  angeschriebene  Quotient 
bedeutet  nunmehr  die  während  des  Zeitintervalls  (x,  x  -^-h)  auf  die 
Zeiteinheit  durchschnittlich  entfallende  Weglange;  je  kürzer  das  Zeit- 
intenrall,  umso  geringer  die  Veränderlichkeit  der  Bewegung  während 
desselben,  umso  näher  rückt  die  Bedeutung  des  Quotienten  der  einer 
Geschwindigkeit;  und  nähert  sich  der  Quotient  bei  stetig  gegen  Null 
»bnehn\endem  h  einer  Grenze,  so  wird  diese, 

als  die  im  Attgenhlicke  x  herrschende  Geschtcindigkeit  erklärt 

Wefm  also  /(x)  Jen  bei  geradliniger  Betcegung  in  der  Zeit  x  MUr 
riickgdegten  Weg  ausdrückt,  8o  hat  der  Di/ferentialquotient  /{x)  die  Be- 
deuiung  der  am  Ende  dieser  Zeit  herrschenden  Geschwindigkeit. 

Mit  Hilfe  des  Bewegungsbegriffs  kann  dem  Differentialquotienten 
eine  bemerkenswerte  Deutung  gegeben  werden.  Stellt  man  sich  Tor 
die  Variable  x  durchlaufe  ihr  Intervall  (a,  /3)  gleichmäßig,  so  durch- 
läuft die  Funktion  ihren  Bereich  im  allgemeinen  ungleichmäßig;  bis 
zu  dem  Zeitpunkte,  in  welchem  die  Variable  den  Wert  ar,  die  Fxmktioii 
den  zugeordneten  Wert  /(x)  angenommen,  sei  die  S^eit  i  verflosseii, 
und   in    dem    weiteren   Zeitintervall  r    mögen    die    Werte  j?  4-  A  und 

/{x  +  Ä)  zustande  kommen;  dann  ist       -»  c  die  Geschwindigkeit,  mit 

welcher  x  sein  Intervall  durchläuft,  und  der  Grenzwert  von  -^tillöS 

für  lim  r  •-«  0  die  Geschwindigkeit,  mit  der  sich  /{x)  am  Schlueee 
der  Zeit  t  \h  seinem  Bereich  bewegt;  da  nun 

/{x  +  h)-^Ax)  t       _  ^  t 

h  V^  e 

und  h  mÜT  gleichzeitig  gegen  Null  konvergiert,  so  ist  der  Differential- 
quotient das   Verhältnis   der  Geschwindigkeiten,  mit  welchen  x  und 

/{x).  sich  im  gegebenen  Augenblicke  in  ihren  Bereichen  ändern.  Mtn 
kann  eomit  den  Satz  aufstellen:  Der  DifferentialqitcH&U  einer  FumkÜm 

/{x)  art  einer  SteUe  x  ist  die  Geschtcindigkeit,  mit  der  sich  die  Funktüm 

Oivber,  HOhtr*  MAthematik.  8.  A«IL  7 


98    Elemente  der  DififereBtialrechDung.    |  1.   Der  DiffertoUalqaotient  naw. 

an  dieser  Stelle  ändert,  tcenn  sich  die  Variable  x  gleichmäßig  mit  der 

Geschwindigkeit  1  ändert^). 

2.  Man  betrachte  x  als  Abszisse  und  /{x)  «  y  als  Ordinate  eines 
Punktes  M  in  einem  rechtwinkligen  Koordi- 
natensystem; während  x  das  Intervall  («,  ß) 
durchläuft,  beschreibt  M  eine  Kurve  AB, 
Fig.  28.  Die  den  Abszissen  OP^x  und  OF 
^  X  -^  h  entsprechenden  Punkte  haben  die 
Ordinaten  PM  ^  f{x\  FM  ^  f{x  +  h)  und 
bestimmen  eine  Sekante,  deren  Richtung  durch 
den  Winkel  QMS-^cp  festgelegt  werden  möge; 
**•  •••  dann  ist 

Konvergiert  h  gegen  die  Grenze  Null,  so  nähert  sich  Jf  längs  der 
Kurve  dem  Punkte  My  und  die  Gerade  MS  dreht  sich  dabei  um  den 
Punkt  M.  Die  Aussage,  der  Differenzenquotient  konvergiere  dabei 
gegen  eine  bestimmte  Grenze,  ist  gleichbedeutend  mit  der  Aussage, 
die  Sekante  nähere  sich  einer  Grenzlage;  die  Grenzgerade  MT  nennt 
man  die  Tangente  der  Kurve  im  Punkte  M]  wird  ihre  Richtung  durch 
Angabe  des  Winkels  QMT'^a  beschrieben,  so  hat  man  fQr  diesen 

lim-^— -^  . -~-^  —  tg«. 
A  =  o  '• 

Ist  also  y  -=  /{x)  die  auf  ein  rechtwinkliges  KoardincUensysteyn  he- 
eogerie  Gleichung  einer  Kurve ,  so  hat  der  £u  einer  Stelle  x  gehörigt 
JJifferefitialquotient /\x)  die  Bedeutung  der  trigonometrischen  Tangente 
jenes  WinkelSf  den  die  Tangente  der  Kurve  in  dem  gur  ÄbsMtsse  x  ge- 
hörigen  Punjcte  mit  der  positiven  Richtung  der  Ahszissenachse  einschließt^). 

Die  Existenz  eines  eigentlichen  Differontialquotienten  an  der  Stelle 
Xf  oder,  was  dasselbe  besagt,  die  Übereinstimmung  des  rechten  und 
linken  Differontialquotienten  hat  die  geometrische  Bedeutung,  daß  sich 
Sekanten,  welche  die  Kurve  rechts  von  M  schneiden,  derselben  Grenz- 

1)  Von  Betrachtungen  dieser  Art  ist  J.  Newton  \a\  der  Begründnn/?  der 
InfiintesimalrechnnDg  (erste  Pu1jlisieningl687  in  den  Principia  mathematica  yhiloBO- 
phiac  naturahs)  ausgegangen;  an  die  Vorstellung  des  Verfließens  der  Zeit  an- 
knüpfend nannte  er  die  Variablen  Huenten  und  die  Änderungsgescbwindigkeiten 
Fluxionen,  die  Infiniteiimalrecbnung  Fluxionskaünil   NewtontBezeicbnung  fSr 

dfn  Ditrerentialquütieuten  von  y  ■->/(^)  iet  ;-  nnd  erklärt    lich   aus   obiger  Dar- 

•goug 

i)  Das  ProlMem  der  Tangentenbeitiznmung  einer  ebenen  Kurve  bildete  bei 
Leibniz  den  Auf  Rangspunkt  fOr  die  Erfindung  der  Diflferentialrechnung  (erste 
Publiaierung  1684  :u  deu  Leip7.iger  Acta  (Tuditorum)^  der  er  auch  den  Namen 
gegeben. 


Geometrische  Bedeutung  dea  DiflRer«ntiaiqootienU'ii.  99 

läge  oahern  wie  die  liuks  von  M  schneidenden ,  daß  aleo  die  Karre 
im  Punkte  M  nur  eine  Tangente  beeitzt. 

Auf  die  eben  ausgeführte  Betrachtung  gründet  sich  die  Aussage, 
eine  Tangente  habe  mit  der  Kurve  zwei  vereinigt  liegende  Punkte 
gemein,  die  zusammen  den  Beruhrungsfmmkt  auemachen. 

57.  Stetigkeit  tmd  Bifferenxierbarkeit.  Beispiele  beson- 
derer F&Ue.  Die  Existenz  eines  endlichen  Differentialquotienten  an 
einer  SteUo  x  setzt  Stetigkeit  der  Funktion  in  der  Umgehung  dieser 
Stelle  foraus;  denn,  soll  der  Difierenzenquotieut  (1)  bei  gegen  Null 
konvergierendem  Nenner  einer  bestimmten  endlichen  Grenze  (oder  der 
Grenze  0)  sich  nahem,  so  muß  auch  sein  Zähler  gegtoi  Null  abnehmen; 
das  aber  erfordert  die  Stetigkeit  der  Funktion.  Umgekehrt  folgt  aus 
der  Existenz  eines  endlichen  Differentialquotienten  die  Stetigkeit  der 
Punktion  an  der  betreffenden  Stelle. 

Daß  aber  die  Stetigkeit  keine  zureichende  Bedingung  für  das 
Vorhandensein  eines  Differentialquotienten  überhaupt  ist  und  auch 
nicht  bindern  kann,  daß  der  rechte  und  linke  Diflerentialquotient  ver- 
schieden ausfallen,  wird  aus  den  folgenden  Beispielen  hervorgehen,  die 
im  Grunde  genommen  recht  einfach  definierte  Funktionen  betreffen. 
Durch  Heranziehung  komplizierterer  analytischer  Hilfsmittel  ist  es  ge- 
lungen, Funktionen  zu  konstruieren,  die  trotz  Stetigkeit  an  unzählig 
vielen,  ja  selbst  an  allen  Stellen  eines  Differentialquotienten  entbehren 
und  daher  auch  die  Möglichkeit  einer  geometrischen  Darstellung  ans- 
chließen. Indessen  genüge  hier  die  bloße  Anführung  der  Tatsache, 
da  derlei  Funktionen  doch  nur  rein  theoretisches  Interesse  besitzen.*) 

1.  Ist  /{x)  •=  — ^  ,  solange  a:  +  0  und  /(O)  —  0,  so  ist  die  so 

definierte  Funktion  an  der  Stelle  x  —  0  stetig  und  ihr  Differenzen- 
quotient daselbst: 


da  nun 


/(?0-/(0)       _JL_. 
Ä  1' 

lim ^  -=  1       und       lim ^  —  0, 


so  sind  linker  und  rechter  Differentialquotient  verschieden.  An  dem 
Bilde  der  Punktion  äußert  es  sich  derart,  daß  im  Ursprung,  durch 
den  die  Kurve  vermöge  der  Definition  von  /(x)  geht,  nicht  eine, 
sondern  zwei  Tangenten  existieren,  oder  daß  dort  die  Tangente  eine 


1)  Literaturangftben  über  golrh  besonder«  Funktionen  findet  man  in  E.  Pate  sU 
Repertorium  der  höheren  Mathematik»  dentach  von  A.  Schepp.  I.  T.,  1»00, 
S   110—111. 


100    Elemente  der  Differentialreohnuog.    §  1.   Dei  DiffereaÜAlqaotient  naw. 

plötzliche   Richtungtänderüng    erfährt,    die  £urre    selhtt  eine   Edce 
aufweist. 

2.  Es  sei  /(x)  «-  iP  arc  tg  ^ ,  solange  a:  +  0,  und  /(O)  —  0.  Der 
Differenzenquotient  an  der  Stelle  j;  —  0: 

koDTergiert  bei  lim  ä  =»  -h  0  gegen  —,  bei  lim  ä  —  —  0  gegen  —  y  5 

/(x)  zeigt  also  bei  a;  —  0  ein  analoge«  Verhalten  wie  im  vorigen  Falle. 

3.  Die  in  52,  2.  eingeführte  Funktion  /(x)  «  a;  —  [x]  hat,  wie 
ihr  Bild,  Fig.  29,  »eigt,  im  allgemeinen  den  Differentialquotienten  1 ; 
ausgenommen  sind  aber  die  ganzxahligen  Stellen;  an  diesen  existiert, 
wenn  sie  positiv  sind,  nur  der  rechte,  wenn  sie  negativ  sind,  nur  der 
linke  Differentialquotient;  an  der  Stelle  0  ist  ein  eigentlicher  Diffe- 
rentialquotient vorhanden.  Wollte  man  an  einer  positiven  ganzzahligen 
Stelle  den  linken  Differentialquotienten  bilden,  so  ergäl)e  sich  —  <x> 
als  Grenze  eines  Quotienten,  dessen  Zähler  der  1,  dessen  negativer 
Nenner  der  0  als  (Frenze  zustrebt.  Das  Unendlichwerden  des  Diffe- 
rentialquotienten kann  also  ein  Zeichen  für  die  Unstetigkeit  der  Fimk- 
tion  an  der  betreffenden  Stelle  sein. 

4.  Ein  interessantes  Verhalten  zeigt  die  Funktion  /(x)  —  rr]  — J, 
worin  1-1  die  algebraisch  größte  in  -  enthaltene  ganze  Zahl  be- 
deutet.^)   Bewegt  sich  x  zwischen  >   .  ^  und  — ,  ao  liegt  -—  zwischen 

'  H  -7-  1  H  * 

M  und  n  -f  1 ;  in  diesem  Intervall  ist  also       1  »=  n  und  /(x)  —  nx,  /{x) 

also  durch  ein  Stück  einer  Geraden  dargestellt,  dessen  Endpunkte  die 

Koordinaten      .-  ;■  /"  r  t»  — /l  haben:    somit   besteht  zwischen  den 

I      Koordinaten   x  \  y   des   ersten   Punktes   die   von    »   unab- 
1      hängige  Beziehung  x  +  y  =  1.    Sobald  a;  >  1  wird,  bleibt 

'«  /W  "=  ^»   ^®i^   ^^^^^   r  -1  —  0.     Ähnlich   für  negative  x, 

I        /    /!  Fig.  29  zeigt   das   Bild   für   positive  x   und   deutet   seine 

/  /    1  Konstruktion  an.     Die  Punkte  in  der  Geraden  y  -«  1  ge- 

J/  '      j  hören   streng   genommen   nicht   zum  Bilde;  der  Punkt  A 

ffj    jr\  aber  ist  ihm  zuzuzählen,  wiewohl  e«  geometrisch  unmöglich 

?/'  K    •  ^^^»  ^^  ^  erreichen;   in  diesem  Punkte  ist  die  Funktion 

'/       ..  i  übrigens  stetig.    Es  gibt  wieder  unendlich  viele 

i  ^^    Stollen,  an  denen  w^en  Unstetigkeit  nur  ei» 

**«•  *•  einseitiger  Differentialquotient  vorhanden  ist 

1)  B.  Cesiiro,   Lehrbuch   der  algebraischen   Analytii   mw.,   deutsch   von 
6.  Kowalewski,  Iieipzig  l^i,  S.  938. 


DiffezeBsierbarkeit.  —  Differeotuü.  \Ql 

5.  Die  in  4a,  2.  eiogefflbrte  and  62,  1.  neuerdiDgs  beirickteie 
Funktion 

/{x)  -  X  CÖ8  ^  bei  jr  -f  0,      /(O)  -.  0 
iet  an  der  Stelle  a?  —  0  stetig  und  htt  hier  den  Difforenzeoqnotienten 

der  mit  lim  Ä  —  0  keiner  beötimmten  (}renze  sich  nähert,  sondern  un- 
aufhörlich zwischen  —  1  und  1  schwankt.  Geometrisch  bedeutet  diät, 
daß  die  aus  dem  Ursprung  auslaufende  Sekante,  indem  der  zweite 
Punkt  immer  naher  an  den  ersten  heranrückt,  keiner  bestimmten 
Grrenzlage  zustrebt,  sondern  fortwährend  zwischen  zwei  Lagen  pendelt 
(vgl  Fig.  19). 

58.   Begriff  des   DifferentUls.     Der  begriffliche  Inhalt  der 
Gleichung 

durch  die  der  Differentialquotient  an  der  Stelle  x  definiert  wird,  ist 
der,  daß  die  Differenz 

durch  entsprechende  Einschränkung  von  h  unter  einen  beliebig  kleinen 
Betrag  gebracht  werden  kann;  bezeichnet  man  sie  mit  i,  so  ist  hier- 
nach £  eine  mit  h  zugleich  unendlich  klein  werdende  Größe  und 

/(x  -f  h)  -/(x)  -  h/'(x)  +  th 

oder  in  andern,  früher  eingeführten  Stichen  geschrieben: 

J/(x)  -  /\x)  Jx-^-B  Jx.  (7) 

Von  den  beiden  Teilen  der  rechten  Seite  wird  der  zweite  unendlich 
klein  yon  höherer  Ordnung  als  der  erste,  sobald  f'(x)  einen  bestimmten, 
von  Null  rerschiedenen  Wert  hat,  weil 

lim  -jj-,  c^    —  lim  -^rr\  ■■  0; 

das  erste  Glied  stellt  also  den  Hauptteil  der  Änderung  ^/{x)  dar 
und  wurde  von  Leibniz  unter  dem  Namen  Differential  der  Funktion 
mit  dem  2^ichen  d/(x)  eingeführt.     Damach  ist  zunächst 

d/(x)  ^/'{x)JX',  (8) 

wendet  man  diese  Formel  auf  die  Funktion  /{£)  -•  x  an,  eo  folgt 

dx  -  JXy  (9) 

so    daß    bei   dieser   speziellen   Funktion   die  Begriffe  j^Differenz''  und 


102    Elemente  der  DiffereniUIrecbanng.    §  1.    Der  DiffereDtialquotieni  tiew. 

„Differential"  sich  decken,  wie  ja  für  sie  auch  Differenzen-  nnd  Diffe- 
rentialqnotient  übereinstimmen;  nach  dieser  Bemerkung  kann  also 

df(x)^f(x)dx  (10^ 

geschrieben  werden. 

Formell  ist  also  das  Differential  d/(x)  einer  Funktion  das  Produkt 
aus  ihrem  Differeiüidlquotienten  mit  dem  Differential  der  Variablen; 
begrifflich  stellt  es  eine  Größe  dar,  deren  Unterschied  gegen  die  Ände- 
rung ^/(x)  der  Funlction  durch  gehörige  Einschränkung  van  dx  im 
Verluütnis  zur  letzteren  Größe  dem  Betrage  nach  hdi^ig  klein  gemacht 
werden  kann,  indem  zufolge  (7),  (8)  und  (9) 

dx=o  dx 

Die  aus  der  Definitionsgleichung  (10)  gezogene  Folgerung 

/'(^-^ 

hat  nur  die   Bedeutung,  es   sei  /'(x)   der  Grenzwert  Ton  -^   -   bei 

unendlicher  Abnahme  von  Jx.  Auf  ihr  beruht  der  Name  JDifferen- 
tialquotient"  (Quotient  aus  dem  Differential  der  Funktion  durch  das 
Differential   der  Variablen)   und    die  von  Leibniz  dafür  eingeführte 

Bezeichnung    -j^-  • 

Aus  der  Gleichung  (10)  erklärt  sich  auch  die  von  Lacroix*) 
für  den  Differentialquotienten  eingeführte  Benennung  „Differential- 
koeffizient** (Koeffizient  des  Differentials  dx),  der  heute  noch  in  engli- 
schen Schriften  üblich  ist. 

Die  Bestimmung  des  Differentialquotienten  einer  Funktion  und 
ihres  Differentials  laufen  hiernach  im  Wesen  auf  dasselbe  hinaus;  die 
.primäre  Operation  ist  die  Bestimmung  des  Differentialquotienten,  man 
bezeichnet  sie  vorzugsweise  als  Differentiation.  Wenn  man  trotzdem 
die  Differentiale  neben  den  Differentialquotienten  weiterführt,  so  liegt 
der  Grund  darin,  daß  bei  den  Anwendungen  auf  Geometrie,  Mechanik  u.a. 
häufig  die  Aufstellung  einer  Relation  zwischen  den  Änderungen  mehrerer 
Funktionen  einer  Variablen  den  Ausgangspunkt  bildet;  ersetzt  man 
die  Änderungen  durch  die  Differentiale,  so  kommt  man  zu  einer  Re- 
lation, die,  wie  man  sagt,  „für  den  Grenzzustand*'  richtig  ist;  analytisch 
heiBl  dies,  daß  sie  richtig  wird,  nachdem  man  sie  durch  das  Differential 
der  unabhängigen  Variablen  dividiert  hat  und  zur  G^nse  überge- 
gangen ist. 

In  den  beiden  Fällen  von  56  hat  das  Differential  folgende  Be- 
deutung. 

1)  Trait^  dn  Calcul  diffi^rentiel  et  du  Calonl  integral,  1.  Band,  (1810),  p.  240. 


Diffeiential-Ableittiiig  einer  Summe.  108 

Ist  f(x)  der  in  der  Zeit  x  snrflckgelegte  Weg,  algo  f*(x)  die  »m 
Ende  dieser  Zeit  herrschende  Geschwindigkeit,  so  stellt  das  Differential 
rf/(a?)  wmf\%)dx  den  in  dem  Zeitinterrall  (x,  x  -\-  dx)  betchrisbenen 
Weg  umso  genauer  dar,  je  kleiner  dx^  und  man  kann  dx  so  klein 
wählen,  daß  der  Unterschied  zwischen  dem  wirklich  zurückgelegten 
Weg  ^/{x)  und  diesem  d/{x)  im  Verhältnis  zu  dx  beliebig  klein  wird. 

Wird  /(x)  in  den  Ordinaten  einer  Kurve  zur  Darstellung  ge- 
bracht, so  ist  d/(x)  ^f{x)dx  '^(ixiga^  QR  (Fig.  2S)  die  Ände- 
rung, weiche  die  Ordinate  der  Tangente  bei  dem  Übergange  von  x  lu 
X  -^  dx  erfahrt;  dies  unterscheidet  sich  von  der  Änderung  der  Ordi- 
naie  der  Kurve,  Ton  ^/(x)  —  QM\  umso  weniger,  je  kleiner  dx^  and 
wiederum    kann    dx    so   eingeschränkt   werden,   daß   das   Verhältnis 

^/M-JA^. «  ^^'  dem  Betrage  nach  beliebig  klein  wird. 

§  2.    Allgemeine  Sätze  ttber  Differentiation. 

59.  Ableitung  einer  Snmme.  Sind  /{x),g{x)  zwei  in  dem 
Interrall  (a,  ß)  stetige  und  differenzier  bare  Funktionen,  so  hat  auch 
deren  Summe  /(x)  +  g{x)  einen  Differentialquotienten;  denu  der  Diffe- 
renzenquotient 

h  h  "^  h  ~ 

konvergiert  unter  den  obigen  Voraussetzungen  mit  gegen  Null  ab- 
nehmendem h  gegen  eine  bestimmte  Grenze: 

Die  Formel  kann  leicht  auf  Summen  aus  einer  beliebigen  endliehen 
Anzahl  von  Summanden  ausgedehnt  werden;  sie  spricht  den  Beta  aas: 
Die  Ableitung  einer  Summe  kommt  gleich  der  Summe  der  Äbleiämgem 
der  einzelnen  Summanden. 

Ist  die  Funktion  g{x)  konstant  —  c,  so  ist  ihr  Differentialquotient 
Null,  Formel  (1)  gibt  dann 

D[Ax)  +  c]^D/(x).  (2) 

Hiemach  verschwindet  ein  konstanter  Summand  heim  Di/ferentieren, 
mit  andern  Worten:  Zwei  Funktionen^  die  sich  nur  um  eine  additive 
Konst4inte  voneinander  unterscheiden,  haben  gleiche  Ableitungen. 

60.  Ableitung  eines  Prodoktes.  Sind  die  Funktionen 
u  =  /(x),  V'-gix)  in  einem  Interv^l  stetig  und  differenaierbar,  to 
gilt  dies  auch  von  ihrem  Produkt.^)  Der  auf  dieses  bezügliche  Diffe- 
renzenquotient läßt  folgende  Umformung  zu: 

1)  Den  Nachweis  der  Stetig^keit  flberiaMen  vir  dem  Lesar. 


104  Elemente  der  DifferentialrechcQDg.  §  2.  Allgemeine  Sätze  über  DiiferentiatioB. 

h 

_  /(« -f  fc)g(x  H-  A)  -nx)9iß  4-  h)  ^nx)g{x  -f  h)  -/(g)p(a;) 

und  konvergiert  bei  gegen  Null  abnehmendem  h  auf  Qrund  der  ge- 
machten Voraussetzungen  gegen 

B{uv)  -  UV  4-  u?/.  (3) 

Kommt  zn  uv  noch  ein  dritter  von  x  abhängiger  Faktor  w  hinzu, 
der  dieselben  Eigenechaften  besitzt  wie  u  und  t\  so  ist  zimächst 

B{{uv)w\  «.  uB(uv)  -f  uvw\ 
daher  nach  Benützung  von  (3): 

D{uvtv)  =  w'vu?  -f  Mv'w  -|-  MVtr'.  (4) 

Die  Formel  läßt  sich  auf  dem  angedeuteten  Wege  auf  jede  end- 
liche Anzahl  von  Faktoren  ausdehnen,  so  daß  man  allgemein  sagen 
kann:  Die  Ahleitwig  eines  Frodukies  von  n  Funktionen  einer  Variablen 
wird  gebildet,  indem  man  je  einen  Faktor  des  Produktes  durch  seine 
AbleiUmg  ersetzt  und  die  so  gd)ildäen  n  Produkte  zu  einer  Summe  ver^ 
einigt. 

Ist  in  (3)  einer  der  Faktoren  konstant,  etwa  v  —  c,  so  ist  v  —  0, 
folglich 

D(ctt)  -  cu\  (6) 

Hiemach  ge^U  ein  konstanter  Faktor  unverändert  als  Faktor  in  die 
Ableitung  über. 

Wird  die  Formel  (4)  auf  n  Funktionen /j(j?),/,(a:),  •  •  '/^(x)  aus- 
gedehnt und  sodann  durch  deren  Produkt  dividiert^),  so  ergibt  sich 
die  Formel: 

A  («)/«(«)  •  •  •/«(*)        7i  (*)  "^  /.(*)  '^'"^  A(x) '  ^""^ 

ans  ihr  folgt  weiter,  wenn  alle  Faktoren  ein  und  dieselbe  Funktion 
/(x)  bedeuten,  der  Ansatz: 

woraus  sich  ergibt: 

D[/(«)"] -•./(*)->/(«)•  (7) 

FOr  /{x)  —  X  hat  man  also 

2>Ä»-wjr"-».  (8) 

1)  Wm  nur  fKr  iolche  Werte  von  x  geichehen  darf,  fnr  die  keiner  der 
Faktoren  yenchwindet 


Ableitung  von  Produkt  und  Quotient  105 

Hierdurch  ersdteini  die  Ableitung  der  Potetut  bestimmt,  nach  dem  Quage 
der  Herleiiimg  vorläufig  nur  für  eineii  posHivm  gmisen  Exponenten. 

61.  Ableitang  eines  Quotienten.  Der  Quotient  zweier  in 
einem  Intervall  stetigen  und  diiTerenzierbaren  Funktionen  u^/(x\ 
v^g{x)  ist  da8eibst  ebenfalls  stetig  und  differenzierbar^  sofern  der 
Nenner  v  au  keiner  Stelle  des  Intervalls  verschwindet.  Findet  ietztezee 
ein  oder  mehreremale  statt,  so  hört  der  Quotient  an  solchen  Stellen 
aufy  definiert  und  im  allgemeinen  auch  stetig  zu  sein;  es  gelten  daher 
die  nachfolgenden  Formein  mit  Ausschluß  solcher  singulären  Stellen. 

Transformiert  man  den  DifFerenzenquotienten  wie  folgt: 

h 

"^  hg{x)  (fix  -4-  Ä) 


so  führt  der  Grenzübergang  limÄ-«0  zu  der  Regel: 

Es  ist  diso  die  Ahleiiung  eines  Bruches  gleich  dem  Produkt  des  Nenners 
mit  der  Ableitung  des  ZäJders,  vermindert  um  das  Produli  des  Zählers 
mU  der  Ableitung  des  Nenners y  die  hifferem  dividiert  durch  das 
Quadrat  des  Nenners. 

Man  hätte  zu  dieser  Regel  auch  von  der  Identität 

u 

ausgehend  gelangen  können;  denn  aus  ihr  folgt  nach  der  Produktregel 

woraus   sich  för  D  (  - )  wieder  der  frühere  Ausdruck  ergibt 

Eine  erhebliche  Vereinfachung,  die  man  sich  oft  zunutze  machen 
kann,  erfährt  die  Formel  (9),  wenn  der  Zahler  konstant«  t«  —  c  ist; 
alsdann  hat  man 

i>^---S-  (10) 

Setzt  man  hier  c  <^  1  und  v  ^  af*  mit  positivem  ganzen  Exponen- 
ten, so  ergibt  sich  imter  Benützung  von  (8): 

i)^-„«.J!^«_i,^-i,  (11) 


106  Elemente  der  Differeatialrechnung.  §  2.  Allgemeine  S&Ue  aber  Differentiation. 

wodurch  die  Qiltigkoit  der  Regel  (8)  auch  för  ganze  nejative  Exponen- 
ten erwiesen  ist. 

62.  Ableitnngeii  inverser  Fnnktloneii.  Ist  {A,  B)  das  Wert- 
gebiet einer  in  dem  Intervall  a^x^ß  monotonen  stetigen  Funktion 
y— /(a:),  so  gehört  zu  jedem  Werte  y  aus  {A,  B)  ein  und  nur  ein 
Wert  X  aus  (a,  ß)j  so  daß  zugleich  x  als  Funktion  Ton  y  bestimmt 
ist:  X'^tp(y),  und  zwar  ebenfalls  als  monotone  stetige  Funktion. 
Wie  schon  in  43,  2.  erklärt  worden,  heißen  derart  bestimmte  Funk- 
tionen inverse  Funktionen;  nun  soll  die  einfache  Beziehung  aufgezeigt 
werden,  die  zwischen  ihren  Ableitungen  besteht. 

Sind  nämlich  Xy  y  und  ebenso  x  -f-  ^x,  y  -\-  Jy  zusammen- 
gehörige Werte,   so  ist  J^    der   Differenzenquotient    yon  /(x)f  ~- 

der  Differenzenquotient  von  ^(y);  beide  Differenzenquotienten  stehen 
im  Verhältnis  der  Reziprozität  zueinander  und  bleiben  es,  wie  klein 
auch  /ix  und  /iy  werden  mögen;  folglich  sind  auch  ihre  Grrenz- 
werte,  falls  solche  vorhanden  und  bestimmte  von  NuU  verschiedene 
Werte  sind,  also  die  Differentialquotienten  von  fix)  und  ^>\^i\  rezi- 
prok, d.  h. 

D,/(x)D,9>(j,)-l.  (12) 


Die  Ableitungen  eweier  inversen  Funktionen  sind  also  für  jedes  Paar 
susammengehöriger  Werte  der  Variablen  ar,  y  reziprok. 

Konvergiert   --   gegen  die  Grenze  Null,  so  hat  gleichzeitig  2~ 

den  Grenzwert  oo  und  umgekehrt;  ist  also  an  einer  Stelle  I)^{x)  —  0, 
80  hat  q>{y)  an  der  entsprechenden  Stelle  eine  unendliche  Ableitung 
und  umgekehrt. 

Die  Ergebnisse  erlangen  anschauliche  Bedeutung,  wenn  man 
y— /(a?)  als  Gleichung  einer  Kurve,  Fig.  30,  auffaßt;  die  Kurve  ist 
auch  durch  die  Gleichung  x  —  fp{y)  dargestellt 
und  der  Unterschied  beider  Darstellungen  liegt 
lediglich  darin,  daß  das  erstemal  x^  das  zweite- 
mal y  als  unabhängige  Variable  aufgefaßt  wird« 
Die  Ableitung  D^f\x)  bestimmt  die  trigono- 
metrische Tangeute  des  Winkels  a,  den  die 
Tangente  MT  mit  der  positiven  Richtung  der 
Abszissenachse  bildet,  D^q>{y)  die  trigonome- 
trische Tangente  des  Winkels  5,  den  dieselbe  Tan- 
gente mit  der  positiven  Richtung  der  Ordinatenachse  einschließt,  und 

da  a  -f  6  —  ~ ,  so  ist  tga  tg5  —  1;  dies  also  ist  der  geometiische  In- 
halt der  Formel  (12).     Wird  in  einem  Punkte,  etwa  E,  D/{x)  -  0, 


Fig..  80. 


Ableitung  invener  und  saMmmengeMtster  Funktionen.  ]07 

8o  ist  dort  die  Tangente  parallel  der  Abszissenaehse,  alio  normal  zur 
Ordinatenachse,  folglich  Dtp(j^)  ^  oo  an  dieser  Stelle. 

1 

Wendet  man  die  Formel  (12)  auf  den  Fall  y «-  ä"*,  x^y^  an^ 

I 

wo  unter  m  eine  positive  ganze  Zahl,  unter  a:*  der  positive  reelle 
Wert  von  Yx  verstanden  wird,  und  x  auf  positive  Werte  beechrankt 
bleiben  muß,  wenn  m  eine  gerade  Zahl  bedeutet,  so  findet  sich  mit  Be- 
nutzung von  (8): 

1 

my'^-^Dx'^'^1, 

woraus 

mar    *" 

1 

und  trägt  man  weiter  in  die  Formel  (7)  /(x)  —  «**  ein,  so  kommt 

n  11-1  1      .        .  fi 


1         ^       1 


Hz»**      *.i»'*    ^*."»  *^  — 

JJX    'i^  nx      — X        =*     X        ; 


(18) 


dadurch  ist  die  Giltigkeit  der  Formel  (8)  auch  für  positive  ffebroehei%e 
Exponenten   dargetan.     Wird   schließlich   in   der  Formel  (10)  c  —  1 

n 

und  v^  x^  gesetzt,  so  gibt  sie  mit  Beachtung  von  (13): 

wodurch  Formel  (8)  auch  auf  negative  gebrochene  Exponenten  erweitert 
erscheint.    Sie  gilt  also  für  jeden  rationalen  Exponenten. 

63.  Ableitung  zusammengesetster  Funktionen.     Es   sei 

u^(f{x)  eine  eindeutige  stetige  Funktion  von  x,  y^/it*)  eine 
eindeutige  stetige  Funktion  von  u,  so  ist  mittelbar  y  auch  eine  ein- 
deutige stetige  Funktion  von  ^ »  y  *' /[<p{n^)]]  man  nennt  in  solchem 
Falle  y  eine  eusammengesetete  Funktion  von  x  oder  auch  eine  Funk- 
Hon  von  einer  Funktion  von  x. 

Ein  bestimmter  Wert  von  x  hat  einen  bestimmten  Wert  von  u 
und  dieser  einen  bestimmten  Wert  von  y  zur  Folge,  und  besitzt  (p{x) 
an  der  Stelle  a:  und  /(u)  an  der  Stelle  t«  eine  Ableitung,  so  hat  auch 
/[^(a?)]  an  der  Stelle  x  eine  Ableitung.  (Jeht  man  nämlich  von  x 
zxx  X  •{-  Jx  über,  so  erfahren  auch  u,  y  gewisse  Änderungen  z/h,  dy, 
die  wegen  der  vorausgesetzten  Stetigkeit  mit  Jx  zugleich  gegen  XuU 
konvergieren,  und  es  ist 


108  Elemente  der  Differentialrechnuxig.  §  2.  AUgexDeine  S&tze  Aber  Differentiation, 
der  Düferenzenquotient  Yon  u  in  bezug  auf  z, 

V  n  *y     y    if        J>  yt     **> 

W  »  n       y     99  19  V       ^1 


Au 
Jx 

Ju 

Jy 

Jx 


zwischeu  diesen  drei  Differenzen quotienten  besteht  aber  die  BeziebnDg: 

Jy       Jy  J^u 

Jx        Ju  Jx 

und  bleibt  in  Geltung,  wie  klein  auch  ^x  werden  möge;  somit  be- 
steht auch  zwischen  den  Grenzwerten  die  Relation: 

D,y-^D,yD,u.  (15) 

Wäre  t;  =  ^(a?),  m  =»  9?(t?),  y  «=/ (m),  y  also  durch  zweifache  Ver- 
mittlung eine  Funktion  von  x,  so  ergäbe  sich  durch  ähnliche  Schlüsse 

D.y^D^yD^uD^v.  (16) 

Um  also  eine  Variable  y,  die  durch  mehrfache  eindeutige  VermitÜung 
von  u,  Vj  Wf  •  •  3  mit  der  Variablen  x  zusammenhängt  j  nach  dieser 
letzteren  zu  diffei'onzieren,  bilde  man  der  BeiJie  nach  die  Ableitungen  von 
y  nach  u,  von  u  nach  v,  von  v  nadh  «?,•••  schließich  von  z  nach  x, 
die  sämtlich  als  vorhanden  vorausgesetzt  werden;  dann  ist  die  Ableitung 
von  y  nach  x  gleich  dem  Produkte  aller  dieser  Ableitungen, 

Die  Formel  (7)  erweist  sich  als  ein  besonderer  Fall  der  Formel 
(15),  wenn  man  hier  u  -^/(x),  y  ^  u"  setzt. 

Nimmt  man  in  (15)  w  «=  aa:  -f  6,  y  =  u",  wo  n  nun  jede  rationale 
Zahl  bedeuten  kann,  so  ergibt  sich: 

D(ax  -f-  6)"—  na(aa;  +  6)"-*. 

§  3.    Differentiation  der  elementaren  Funktionen. 

64.  Die  Potens.  Im  Verlaufe  des  letzten  Paragraphen  wurde 
für  die  Differentiation  der  Potenz  y  —  a;"  die  fUr  jeden  ratiooftlen 
Exponenten  giltige  Formel: 

Du^'^nx''-^  (1) 

abgeleitet.  Bei  negativem  n  ist  der  Wert  ar  •-  0  als  Unstetigkeita* 
punkt  auszuschliefien. 

Diese  Formel  in  Verbindung  mit  den  Sätzen  des  vorigen  Para- 
graphen setzt  uns  in  den  Stand,  alle  expliziten  algebraischen  Funk- 
tionen zu  differenzieren. 

1.  Für  die  ganze  Funktion 

y-aoa:*+aia:— «  +  •  •  • +«,-i«  +  «« 
hat  man  unmittelbar  (69,  (1),  (2);  60,  (5)) 

Dy  —  wö^«"-^  +  (ti  —  l)ajx"-'  H h  o«. 


1  f 


Differentiation  der  Potenz  und  dee  Logariihmnf  109 

68  ist  hiernach  die  Ableitung  einer  ganzen  Funktion  eine  ebensolche 
Funktion  von  nächst  niedrigerem  Grvade. 

2.  Die  gebroobf'ne  Fnnktion 

läßt  Differentiation  za  an  allen  Stellen,  an  welchen  der  Nenner  nicht 
yerscli windet,  and  zwar  ist  dann  (jSl,  (9)) 

y  -  -^y  

So    besitzt   beispielsweise  y  —  'r'ri    ^^  jeder   Stelle   eine  Ab- 

X  -f-  * 
leitung,  weil  der  Nenner  ftir  keinen  reellen  Wert  von  z  verschwindet, 
lind  zwar  ist 

^  "  (x«4-i)«  » 

X*  -4-  1 
Hingegen  wird  y  —  ^4  _  {  unstetig  an  den  Stellen  a?  —  ~  1  und  ar  —  1, 

für   welche   die   Definition   ihre    Geltung    verliert;    so    lange  jedoch 
X<  —  \y  — l<a;<l  und  1  <  a-  ist,  hat  man 

8x'_ 

y  ""       (X*  -  !)•  • 

3.  Die  Differentiation  einer  Wurzel  aas  einer  rationalen  Funktion  er- 
ledigt sich  durch  Yerbinduiig  von  63,  (15)  mit    den   vorangehenden 

-i  /x*  {~~T 
Fällen.     Ist  z.  B.  y  =  j/  -r~i  7  so  beachte  man  zunächst,  daß  x  auf 

«*  4-  1 
das  Intervall  1  <a'<  00  beschrankt  werden  muß;  setzt  man  ••"^riri» 

so  ist 

folglich 

^  It/x»  — ix*-f  8x«H-Jaf 

65.  Der  Logarithmiis.  Der  von  der  Funktion  y  — log.or, 
wo  a  >  0  und  x  >  0  vorauszusetzen  ist,  gebildete  Differenzenquotieut 
lautet: 

setzt  man  darin       —  f ,    so    vollftihrt  s  zugleich  mit  k  den   Grens- 
Qbergang  zur  Null;  somit  ist 

J51og.x-ilog.[lim(l+«v]. 


110  Elemente  der  Ditferentiftlrecbnuug.    §  8.   DitTerentiation  der  elem.  Funktion. 

Der  hier  auftreUmde  Grenzwert  hat  in  47  den  Gegenstand  einer 
besonderen  Untersuchung  gebildet;  und  es  ist  doii  unter  (14)  die 
2>ahl  e  für  ihn  gefunden  worden.     Man  hat  also  endgiltig 

Dlog.r^'"«/.  (2) 

Bei  dem  Anlasse  ist  auch  schon  erwähnt  worden ,  daß  das 
Logarithmensystem  mit  der  Basis  e  das  natürliche  genannt  wird;  jetzt 
sei  hinzugefügt;  daß  dieses  System  in  der  reinen  Analysis  das  allein 
gebräuchliche  ist;  während  sich  das  praktische  Rechnen  des  gemeinen 
Logarithmensystems  mit  der  Basir    10  bedient 

Aus  dem  Ansätze 

folgt^  wenn  man  ihn  im  natürlichen  System  logarithmiert, 

lx=^\oq,^xla',  (A) 

auf  X  ^  e  angewendet  gibt  dies  1  =-  log^e  •  la,  woraus  log^e  ■«  |— , 
so  daß  statt  (2)  auch 

^log.*-J„-  (2*) 

geschrieben  werden  kann. 

Die  Gleichung  (A)  drückt  den  Zusammenhang  zwischen  den 
natürlichen  Logarithmen  und  den  Logarithmen  irgend  eines  künst- 
lichen Systems  aus;  auf  das  gemeine  System  angewendet  führt  sie 
zu  den  Gleichungen: 

Ix^nO'lo^x,        \o^x^^\^lx.  (B) 

Die  Zahl  M -  ^i  "=  0-434294481 903  • .,  durch  welche  die  natür- 
lichen Logarithmen  in  gemeine  übergeführt  werden^  nennt  man  den  Modul 
des  gemeinen,  ihren  reziproken  Wert  ^«Z10=- 2*302 585 092 994-.., 

der  das  entgegengesetzte  leistet,  den  Modul  des  natürlichen  Systems. 
Durch  die  Wahl  d  —  e  geht  die  Formel  (2*)  über  in 

Dlx-^^y  (3) 

X  '  ' 

eine  Formel;  die  durch  ihre  Einfachheit  diese  Walil  der  Basis  recht- 
fertigt. 

Die  Formel  (3)  in  Verbindung  mit  63  gestattet;  die  Ableitung 
des  Logarithmus  einer  jeden  expUziten  algebraischen  Funktion  zu 
bestimmen.     Ist  z.  B. 

00  setze  man  jr-f-Vl  -^^^u  und  hat  nun 


DiffereatiatioD  de«  Logaritbmu»  und  der  ExponeoiuilfD&ktioo         Hl 

folglich 

Hat  man  weiter  den  DifferentialqiiotieDteii  Ton 

zu  bilden,  einer  Fonktion,  welche  für  alle  Werte  Ton  z  mit  Ansschiiiß 
n  —  1  und  1   definiert  ist,  so  setze  man  u  —  ~^,  v  —  Vi;  ab- 

am  ist 


mithin 

Sind  yi,  y,,  •  •  y„  Funktionen  von  x,  deren  keine  an  der  be- 
trachteten Stelle  X  Null  ist,  so  ist  auch  y  »  ^i  y^  **  *  y,  nicht  Null  und 

h-^iyt  +  hi+'-'  +  hn; 

durch  Differentiation  dieser  Gleichung  ergibt  sich 

il «  y»  4.  y«  4...  j.!«. 

y      Vi      yt  "^  y, ' 

die  rechte  Seite  wird  die  logariihmische  Ableitung  des  Produkts  y  ge- 
nannt: ihre  Multiplikation  mit  y  fQhrt  zum  Diffeientialquotienten  des 
Produkts  selbst  (60,  (6)). 

66.  Die  Bxponentiall^lction.  Die  in  89,  II,  5.  entwickelte 
Definition  der  Exponentialfunktion  y  •-  o*  setzt  a  >  0  Toraos;  aus 
ihr  folgt  durch  Umkehrung  o:  — log^y.  Dem  Satze  in  62  zufolge 
idt  also 

^x«'^.log.y-l 

und  mit  Benutzung  von  (2*)  folgt  daraus 

Dcf^a^la.  (4) 

Insbesondere  hat  man  fQr  die  Exponentialfunktion  y^i^,  die 
iu  47  unter  dem  Namen  der  natürlichen  Potenz  eirgcfDhrt  worden  ist, 

De'^e'  (ö) 

Die  natürliche  Potenz  ist  die  einzige  Funktion,  die  sich  beim  Differemr 
zieren  unverändert  reproduziert. 

Ist  der  Exponent  einer  Exponentialfunktion  eine  explizite  alge- 
braische Funktion  von  x,  so  kann  die  Differentiation  auf  Grund  das 

J„ 
Satzes  63  ausgeführt  werden.    Ist  z.  B.  y  —  e'"*,  so  gilt  bei  Ans- 


112    Elemente  der  Differenüalrecbnaiig.  §  8.  Differentiation  der  elem.  Funktionen. 
Schluß  der  Stelle  ä  —  a 


1 


^y--(^i^.'""' 


Während  bei  der  Potenz  der  Exponent,  bei  der  Exponential- 
funktion die  Basis  konstant  ist,  könnte  es  als  wesentliche  Erweiterung 
des  Potenz begriffs  erscheinen,  wenn  man  Basis  und  Exponenten  als 
variabel  voraussetzt.  Sind  aber  m,  v  Funktionen  von  x  und  y  =»  w* 
(Voraussetzung:  i*  >  0),  so  kann  dafür  y  =»  e*'"  geschrieben,  also  die 
Eiponentialform  hergestellt  werden;  von  dieser  aus  aber  ergibt  sich 

In  dem  einfachsten  Falle  u  =^  x,  t;  »  a;  hat  man 

67.   Die  trigonometrisohen  Funktionen.    In  43,  4.  ist  die 

Periodizität  als  eine  wesentliche  Eigenschaft  der  trigonometrischen 
Funktionen  hervorgehoben  worden.  Da  nun  periodische  Funktionen 
an  Stellen,  die  sich  um  ein  Vielfaches  der  Periode  unterscheiden,  in 
allen  Belangen  gleiches  Verhalten  zeigen,  so  weisen  sie  dsiselbst  auch 
gleiche  Ableitungen  auf;  das  heißt  aber  nichts  anderes  als,  daß  die 
Ableitungen  der  trigonometrischen  Funktionen  selbst  wieder  periodische 
Funktionen  mit  der  gleichen  Periode  sind. 

Wegen  der  Beziehungen,  die  zwischen  den  trigonometrischen 
Funktionen  eines  Bogens  bestehen,  lassen  sich  aus  der  Ableitung  einer 
von  ihnen  die  Ableitungen  aller  andern  gewinnen.  Wir  wählen  als 
Ausgangspunkt 

y  =  sin^;. 
Der  Differenzenquotient 

/    .   h\   .    h 

iin-r- 


konvergiert  wegen  der  Stetigkeit  von  cos  x,  und  weil  hm  —v-—  —  1  ist 

t 
{44,  6.)  gegen  cos  2:;  mithin  ist 

/)  sin  ic  —  cos  X .  (6) 

Da  nun  cos  a;  —  sin  ( ^  —  xf   und  ^  —  x  die  Ableitung  —  1  hat^ 
80  folgt  mit  Anwendung  von  (6) 

Doos«  — Diin  (--  —  «)  — —  cof/y  —  «) 

D  cos  «  —  —  sin  * .  (7) 


Ditfereotiation  der  trii^o.  n.  dtr  lyklom.  Punktioneo.  It3 

Für  y  —  tga?  —  *^|  and  y  —  co^gx  —  ^^  erhalt  man  aaf  Orund 

der  Regel  für  die  Differentiation  eines  Quotienten  und  mit  Benfltzung 
▼on  (6)  und  (7): 

T\L^^      co§««-fiin««       j.      .            —  lin'«  — cot'« 
Dtgx säJi—  ,    Dcotgx aiii— , 

also  endgiltig 

Dtga;  — sec'jT  (8) 

D  cotg  x  —  —  cosec*  r .  (9) 

Diese  Forrooln  gelten  jedoch  nur  unter  Ausschluß  der  Unstetigkeita- 
stellen, bei  tg:<;  also  mit  AuschluB  der  Stellen  (2n  -f-  ^)  f*»  ^^  cotgx 

mit  Ausschluß   der  Stellen  nxy  wobei  n  jede  positive   und  negatire 
ganze  2jahl,  die  Null  inbegriffen,  bedeuten  kann. 

Schließlich  erhalt  man  nach  der  Vorschrift  61,  (10)  und  mit  Be- 
nätzung von  (6),  (7)  fftr  y  -•  seGx  -• und  y  —  cosecor  «  -: — .- 

Dsecx-^^-secxtgx  (10) 

Dcosecr  —  — .-|- —  —  cosecjc  cotg«;  (11) 

auszuschließen  sind  dieselben  Stellen  wie  bei  tgx,  bzw.  ootgx. 

68.  Bie  lyklometrlBOheii  Fnnktioiien.  Bei  der  Differentia- 
tion dieser  Fuaktioaeu  kann  man  sich  auf  jenen  Abschnitt  beschränken, 
der  die  Haaptwerte  der  jeweiligen  Funktion  zusammenfaßt;  denn  jeder 
andere  Abschnitt  setzt  sich  aas  dem  Hauptwert  und  einer  Konstanten 
additiv  zusammen  (43,  5.). 

1.  Ans  y  =-  aresin  ar,    wobei   —  1  ^  *  ^  1    ^uid  —  y  ^  y  ^  y , 

folgt  durch  Umkehrung  a;=»siny;   daher  ist  nach  der  in  62  abge- 
leiteten Regel: 

D  arcsin  o;  D  sin  y  »>  1 , 
woraiis 

D  arcsin  J5  —  — — -  — -7=^ ;  (12) 

die  Wurzel  ist  positiv  zu  nehmen,  weil  cos  y  in  dem  bezeichneten 
Intervall  positiv  ist 

2.  Ans  y  »■  arccosx,  wobei  —  1  <  J?^<  1  and  0  <[  y  ^  jr,  ergibt 
sich  X  »  cos  y   und  hiermit  weiter 

Darccos  jj  /> cos  y  —  1 , 
woraus 

Z)arco<«a: ^- ^^,;  (18) 

Oa«ber,  Hi>kM»  lUthem«tik.  t.  AalL  8 


1 14    Kiemente  der  Differ«ntiAlrechQQog.  §  ft.  DiffereiatiAttoB  der  elem.  Fanktionen. 

die  Wurzel  ist  wieder  positiv  zu  nehmen,  weil  &iny  in  dem  bezeich- 
neten Intervall  von  y  positiv  ist. 

3.  Kehrt  man  y  —  arctgx^  wo  bei  unbeschrankt  vamblem  «  das 

y   un    das   Intervall    -  5  <  y  <  «    g«^^«^*^^'^   »8*1    >*»/  ^   entsteht 

X  ^tg  y.  nnd  die  Beziehung 

Darctga:  Digy  ^  1 
liefert 

J)arctgx-.-^,--.p^i-..  (U) 

4.  In  derselben  Weise  ergibt  sich  aus  der  ümkehrung  fon 
y  "-  arccotgx  {x  unbeschränkt;  0  <  y  <  jr)  x  =»  cotgy,  und  ans 

i)arccotga;  Dcoigy  ^  1 
folgt 

/J  arccotg  x  «  -  -^4,~  »  ~  ^- j. .  (15) 

Der  Zusamoenhang  der  Formelpaare  (12),  (13)  und  (14),  (15) 
erklärt  si«ih  aus  den  in  43  nachgewiesenen  Formeln:  , 

aresin  a;  -f  arccos  jr  =«•  --    , 

arctga;  -|-  arceotg^:  ^-^-  • 

Auf  die  Funktionen  arcsecjc  und  arccosecx  soll  hier  wegen  ihrer 
seltenen  Verwendung  nicht  eingegangen  werden;  indessen  würde  ihre 
DiiJerentiation  nach  dem  vorausgeschickten  keiner  Schwierigkeit  be- 
gegnen. 

Die  Formeln  (l;  bis  fl5)  dieses  Paragraphen  und  die  allgemeinen 
Sätze  des  vorigen  reichen  aus,  um  alle  aus  den  elementaren  Funk- 
tionen durch  eine  endliche  Fol^e  von  Operationen  gebildeten  Funk- 
tionen zu  differenzieren. 

6Ö.  Die  Hyperbolftinktioiien.  Zu  den  elementaren  transzen- 
denten Funktionen  zählt  man  auch  die  Hyperbelfnnktionen^  so  genannt, 
weil  sie  geometrisch  mit  der  gleichseitigen  Hyperbel  in  ähnlicher 
W^eiae  zusammnubüngen  wie  die  trigonometrischen  (^Kreis-)Funktionen 
mit  dem  Kreise.  Sie  sind  um  die  Mitte  des  18.  Jahrhunderts  von 
y.  Riccati  mit  den  heute  üblichen  Bezeichnungen  eingeführt  und 
besonders  von  Lambert  weiter  ausgebildet  worden. 

Ihre  analytische  Definition  kann  mit  Hilfe  der  natürlichen  Ex- 
ponentialfunktion wie  folgt  gegeben  werden.  Ist  h  die  unbeschränkte 
reelle  Variable,  so  wird 

<?*'  +  «"'* 

.:      —   als  hyperbolischer  Kosinus  Ccosh  t4) 

e"  —  c  " " 
-  —  -      als  hyperbolischer  Sinus  (sinh  u) 


\ 


HjperbelftmktioiMB.  115 

Ton  t«  erklärt;  mit  Hilfe  dieser  beiden  Funktionen  definiert  mui  die 
hyperbolische  Tangente,  Kotangente^  Sekante  und  Koaekante  gans 
nach  Art  der  trigonometriechen  Funktionen,  indem  man  schreibt: 

tffh  t*  —      r    ,    cotgh  f/  =-   .  u    »  sech«!  —  -— j—  ,    coeech  u  —   .  ».    • 

Aus  diesen  Definitionen  lassen  sich  Relationen  zwischen  den  ge- 
nannten Funktionen  ableiten,  ebenso  zahlreich  wie  die  trigonometrischen 
Formeln  und  von  ähnlicher  Bauart.  Einige  dayon  mögen  hier  zu- 
sammengestellt werden. 

"^                              e^  +  e""                    «"  —  «"" 
cosh  u  —  — ~ ,  sinh  u  —  — r 

folgt  mit  Rücksicht  auf  die  anderen  Definitionsformeln  unmittelbar: 
cosh  u     -|-  sinh  u      —  c" 
cosh  f*     -—  sinh  u       =-  c" " 
cosh'tf    —  sinh'u     —1 
tgh'ti     +  s€ch*tt     —  1 
cotgh*  u  —  cosech'  u  —  l ; 
die  leicht  zu  erweisenden  Identitäten: 

e«-  «  ö-  ««  „  (^  _  «"")(<^  +  «""), 
2(e«+'-  e-— )  =-  (e--  c— )(«•  +  e— )  +  («•-«"•)(«"  +  «"")» 

schreiben  sich  nunmehr: 

sinh  2u  '^  2  sinh  u  cosh  u, 
sinh  (w  -f  v)  =-  sinh  u  cosh  t;  -f-  sinh  v  cosh  m, 
cosh  (u  +  v)  —  cosh  ti  cosh  v  -j-  sinh  u  sinh  v. 
Die  Differentiation  der  neuen  Funktionen  ist  auf  die   der  Ex- 
ponentialfunktion zurückgeführt;  es  ergibt  sich: 

Dcoshu  —  — ^ —  sinhM, 

D  tinh  u  —  — ~ —  cosh  u; 

2>co^h.--'H^-i»^--'^--co.*>h.-; 

D  co«ech»«  -  -  -^^  -  —  cotghw  eoMch  «t. 


•in 


116    Elemente  der  Differentialreohnniig.  §  3.  Differeotiation  der  elem.  Funktionen. 


Die  geometrische  Bedeutung  der  HjperbelfdnktioneD  ergibt  sich 
aus  folgender  Betrachtung.  Der  Kreis  in  Fig.  31  sei  um  0  mit  dem 
Badiuf  1  beschrieben.  Ist  ß  das  Bogenmaß  des  Winkels  ÄOM,  BS 
die  in  i(f  an  den  Kreis  gelegte  Tangente,  so  hat  man: 

OP«-cosö,         0Ä  =  8ecö 

MP  -  sin  e,         OS  -.  cosec  0 

MÜ-^igB,         3f5-.cotga 

Wird  nun  RH  senkrecht  zu  OX  und  gleich  MB  gemacht^  so  ist 
der  Ort  des  so  bestimmten  Punktes  H  eine  gleickseitiffe  Hyperbel,  die 

A  zu  einem  ihrer  Scheitel  hat;  be- 
zeichnet man  nämlich  die  Koordinaten 
von  H  mit  x,  y,  so  ist 

a:-=secö,       y^tgO, 
folglich 

Vergleicht  mnn  diese  Gleichung  mit 
cosh'u  —  sinh*M  =»  1, 
so  folgt,  daß 

cosh  u  =  OjB, 
sinh  u  —  HB 
*■*»  '*•  gesetzt  werden  kann. 

Man  überzeugt  sich  femer,  daß  der  Halbmesser  OH  der  Hyperbel 
auf  der  Tangente  in  A  eine  mit  MP  gleiche  Strecke  abschneidet  und 
daß  die  Tangente  der  Hyperbel  im  Punkte  H  durch  P  geht;  denn 
es  ist 

j^^  =-  ^^ ,  woraus  J.  F  —  sin  ö  —  jlf P; 
weiter  ist  der  Richtungskoef&zient  der  Tangeute  (50,  2): 

aber  auch 

ianvH^  _y ^      *J^__«.  * 

^         ^       X  — cosö      iece  — cose      «inö^ 

SO  daß  tatsächlich  PH  die  Tangente  ist. 

Auf  Grund  dieser  Ergebnisse  erkennt  man,  daß,  ganz  entsprechend 
den  Kreisfunktionen: 

OB  —  cosh  M  OP  —  sech  u 

HB  —  sinh u  OT ^  cosech u 

//p  -  tgh  M       irr  -  cotgh  w. 

Die  Analogie  erstreckt  sich  selbst  auf  die  Bedeutung  der  Argu- 
mente: die  trigonometrischen  Funktionen  können,  da  J  ^  die  Fläche 
des  Sektors  0^3/ ist,  auch  als  Funktionen  des  Doppelten  dieses  Sektors 


HjpeibeUhBktioMi.  117 

aufgefaßt  werden;  in  der  IntegralrechnoDg  wird  geseigt  werdefD,  difi 
j  u  die  Fläciie  de«  Hyperbelgektoni  OÄH  ist. 

Der  Zusumuienhang  zwi^»Ghen  den  beiden  Argumenten  %  B  ergibt 
sich  in  folgender  Weise:  Die  Relation 

c(»sh  u  -f  sinh  «  —  e* 
verwandelt  sich  im  Hinblick  auf  die  Figur  in 

8ecÖ  +  tgÖ  — t-; 
die  weitere  Verfolgung  dieses  Ansatzes  gibt: 

~^' ÄiT*  -T^r  ~  ~*«  V*  ~ «}  ~  *« (4  + 1)  - «^' 

Diese  Gleichung  wurde  bereits  1599,  aLro  lange  vor  der  Einführung 
der  flyperbelfiiiiktionen,  von  £.  Wright  gefunden  als  matheroatiKcbflr 
Ausdruck  der  Skala,  nach  welcher  in  der  Iferca^-Projektion  die 
Punkte  eines  Meridians  je  nach  ihrer  geographischen  Breite  B  in  be- 
zug  auf  das  Bild  des  Äquators  angeordnet  Bind  Mau  nennt  S  die 
hyperbolische  Amplitude^^  von  u  oder  auch  Lamberts  transzendenten 
Winkel»). 

70.  Beispiel«.  In  den  nachstehenden  Beispielen  ist  der  DiS^ 
reutialquotient  zunächst  in  der  Form  angegeben,  wie  er  aich  bei  An- 
wendung der  Regeln  unmittelbar  ergibt,  an  zweiter  Stelle  in  seiner 
einfachsten  Gestalt,  mit  Fortlassung  der  Zwischen rechnungen;  in  den 
späteren  Beispielen  ist  nur  das  Resultat  mitgeteilt. 

-x«-*(aaf-f-  by-mm  -{-  np)a3f  -\-  mbl 
o    7) ^-zJlt (i;~6)(ac--c)->(je-a)(x~c-f  g-») 

bc  —  afe  —  gc  4-  ^<*^  —  ^* 


. (•£±A)^  ^  ^  «(^+  ^'  +  .«TL*! . 

^  Da  die  Uypefbelfiinkttoiievi  tich  auf  ve»ehiad«B«a  Gebieten  all  xweck* 
nxäiSig  erwiesen,  so  sei  angefafaxt,  daß  auch  Tafeln  der«e1beB  bereeltiMA 
sind,  so  TOD  Forti,  Nuove  tavole  d«Ile  fonxioni  i]>«rboliche,  Sooi  1891. 


118    Elemente  der  Differentialrechnung.  §  3.  Differentiation  der  elem.  Fanktionen. 


5   nV^':±'l±y'^Jz£. 


2« Vi  4. „-5" V 


.  Dl  sm  arc  =  —. =«  a  cots  aar. 

Bin  ax  ^ 


—  —  a  tg  ax. 


10. 

Di 

eoeax 

- 

-a  im  aa; 
coeax 

11. 

DJ 

tgf- 

1, 

2 

•ec«^ 

2         1 

^    «          sinx 

12.D<tg{?+f)- 


I-'(l  +  f)       . 


COf« 


-  tg«^»(ltg2«»«'+  secx). 


14.  Darcsini-r- 

1  •+•  X 


1 ~(i-f«)~a~g), L 


V^OS) 


Beiipitle  vat  I>ilfeft$uiiation.  \  19 

,         1  —  a?  in    .  . .. 

16.  D (vre sin (a «in jr)  +  arc cos {a co«x)) -  — .^' *=.=: 4-    -^-^^^ - . 

17.  Parctg(>^tg^)-       .^  |/-||.«..|.^ 

8  (a  4- 6  cos«) 
ton  h4-acogx  1 

r  U  +  fe  008*7 

—  g(a  -4-  b  cos  x)  6mX'j'b{b  -f  «  cos  x)  sin  jr       i/a"«^?)* 

19.  D  arc  secx  «  2)  arc  cos  ~         "^ 


y."i " 


20.  D  arc  coseco^  --  I)  arc  sin     =»  — :=ir=r='— r  —  — 


1^5  ' 


22.  y  «  1^1  -f  ,,V^- 5-0^(1  +0:^'»;  y  -  y^^f 

23.  y  «^ap-f -^-8in2jp;    y'=-(io8-r. 

24.  y  «  j^a?  ~~sin2:F;    y'—  sin'x. 

25.  y  =•  sin  ar  —  g^  sin'  o?;    y'  —  co«*;f. 

26.  y «-  3  cos'ar  —  cosar;    y  ■«  sin'x 

27.  y-.Atg»a:-f  tgar;    y-sec^x. 


X9tO9in0! 

1)  Der  Brach     7~-:=r  ist  hier  aU  Produkt  dar  drai  F»kfcor«a  «,  azetio 


/r~j^ 


-  behandelt  worden. 


120    Eiern,  der  Di£ferentialrechB.  §  4.  Satz«  üb.  d.  Zoianmienh.  einer  Fanktion  new. 

28.  y— g  tg*ir  — tgir  +  o;;    y'-»  tg*a:. 

29.  y  —  28m  ]/a;  —  2  l/a;  coB  yj ;    y'  —  sin  Yx. 

30.  y  -  2  arc  cos  (-1  +  2^*); 

31.  y-  1  arccos(-3j:  +  4a:*);       Y---7=^ 

32.  y  -  I  arc  cofl(l  -  8x«-|-  8ir*); 

34.  y-  2  a^c^K    J^l?;  | 

oe  1  .  tX  \       ,  1 

35.  y-^^  arc  8m  j^^^;      y-=iqp-.- 

36.  y--  arccos  j^qr^.;  ) 

37.  y«?|/--X_^_^.    y  ^seca:. 

38.  y-«5'(;r*~2x4-2);    y'^c'a;». 

39.  y  -«  a?  »rctg  x  —  ij/l  -f  it*;    y ' «  arctg  a?. 

40.  y  *-  Y  iinL  2  a:  -f  ^  z;    y'  —  coBh*x. 

41.  y  —  ■  sink  2a;  —  -   ^^J    y'  ■"  ßittiji''it. 

42.  y  »  Z  coah  j?;    y'  -«  tgh  a?. 

43.  y  «■  /  sinh  ic;    y'  =•  cotgh  x. 

44.  y  —  Z  cosh  ic  —  ^  tgb-  a;;    y '  —  tgh^  x. 

§  4.  SJltze  fiber  den  Zusammeubang  einer  Funktion 
mit  ibrer  Ableitung. 

7t.  Voni#iohen  de«  BlfferentialquotleiLteiiu  Von  einer  Fonk- 

tion  /{x)  sagt  man,  ßie  sei  in  iter  Vmyrbaug  der  (Innen-)  SUUe  x 
ihre»  DefinitionabereicliB  («,  ß)  wachsend^  wenn  sich  eine  positire 
Zahl  d  be^iuimen  läßt  derart,  daß 

A^-hx/ixXAx-^h)  (i) 

fi^r  ftllc  0<k  <d.  BeeitKt  die  Funktion  an  der  Stelle  x  einen 
DiliVrentialquotienten,  so  Vnnn  dieser  nicht  negativ  sein;  dran  a«i8 
())  folgt: 


Toneicben  des  DifiSnenUalqnotienteB.  12t 

und  da  beide  DifferenzeDqaotienten  mit  limA  — 0  narh  Vorauflietziing 
einer  und  derselben  Grenze  j'(x)  Kusireben,  so  kann  diete  nicht 
negativ  sein,  da  beide  BrOche,  wie  klein  auch  A  wird,  positiv  bleiben. 
Die  Funktion  f(x)  beißt  in  der  Umgebung  der  Stelle  x  ah- 
nehmend,  wenn  sich  ein  positives  d  bestimmen  lüßt  derart,  daß 

/(«-*)>/(«)>/(*  +  »)  (2) 

für  alle  0  <  /»  <  <J.  In  diesem  Falle  kann  der  Differontialquotieni 
an  der  Stelle  x,  wenn  er  existiert,  nicht  positiv  sein;  denn  au»  (2) 
folgt: 

-A         "^-''  h  ^^» 

es  kann  daher  /'(x)  als  gemeinschaftliche  Grente  beider  Brüche  nicht 
positiv  sein. 

An  den  Stellen  a,  ß  kann  nur  von  einem  rechts-,  bzw.  links- 
seitigen Wachsen  oder  Abnehmen  die  Bede  sein. 

Aus  den  vorstehenden  Erwägungen  geht  der  Satz  hervor:  Wf>nm 
die  Fvnkiion  /(x)  in  dem  Intervall  (c,  ß)  beständig,  d.  h.  in  der  Vm- 
gdmng  jeder  Std-Uy  tcächst  oder  abnimmt  und  überall  eiven  Differe^äiaU 
quoiienlen  besitzt,  so  kann  dieser  nitmals  negativ,  bew.  niemals  positiv  sein. 

In  beiden  Fallen  ist  also  nicht  ausgeschlossen,  daß  der  Differential- 
quotient  an  einzelnen  Stellen  Null  werden  kann. 

Unter  den  elementaren  Funktionen  haben  wir  folgende  Beispiele 
beständig  wachsender  und  beständig  abnebmender  Funktionen. 

Es  ist  Dcc'  '^  a'la,  folglich  a^  beständig  wachsend,  wenn  a  >  1, 
hingegen  bestSndig  abnehmend,  wenn  0<a<l  ist;  ef  ist  also 
wachsend. 

Aus  D^,"»  —  erkennt  man,  da  a;  >  0,  daß  Ix  eine  wachsende 

Funktion  ist. 

Da  Dtgx^  sec*j:,  so  ist  tga;  eine  wachsende  Funktion;  in  der 
Tat,    indem    x   nacheinander    die    nicht    abgeschlossenen    Intervalle 

I  (""1  '  y)'  (t'  "t)  ^"^^^^^^*;  g^^*  %^  beidemal  durch  das  Inter- 

I  ▼•11  (~  oo,  oo). 

I  In  gleicher  Weise  schließt   man  aus  D  cotgx  — —  cosec'x  auf 

f  bestandige  Abnahme  von  cotgo^. 

WeilDarctga:  «==  r'ST^f  ^  wächst  arctg:r  fortwährend:  tatsächlich 

I  durchlauft  es  das  Intervall  (—^,  ^),  wlhrend  x  von  —  oo  bis  -f>  oo 
wächst 

Aus  Darccotgaf «  —  t-t"?  ichließt  man  in  ähnlicher  Weise  auf 
die  ständige  Abnahme  von  arcicotg^. 


122    Elem.  der  Differentiftlrecbn.  §  4.  Sätze  üb.  d.  Ziuainmenb.  einer  Fanktion  usw. 

Man  kann  —  und  ist  dazu  unter  ümBtünden  genötij^  —  in  Be- 
zug auf  Zu-  und  Abnahme  zwischen  rechts-  und  linksseitiger  Um- 
gebung unterscheiden.    So  sind  die  Funktionen  /(%)  —  a:  —  \x\  (52»  2.) 

und  f(x)  =  X  \-~\  (57,  4.)  rec/i/5  von  jeder  Stelle  wachsend,  sie  sind 

es  aber  nicht  in  der  Umgehung  jeder  Stelle,  wegen  der  ünstetigkeits- 
punkte,  daher  auch  nicht  in  einem  Intervall,  das  einen  oder  mehrere 
Unstetigkeitspunkte  enthält. 

Wenn  eine  Funktion  an  einer  Stelle  trotz  ihrer  Stetigkeit  da- 
selbst keine  Ableitung  besitzt,  so  kann  auch  nichts  über  Wachstum 
oder  Abnahme  ausgesagt,  daher  auch  keine  geometrische  Darstellung 
in  der  nächsten  Umgebung  gegeben  werden.  Dies  tri  AFI  beispielsweise 
bei  der  schon  wiederholt  angeführten  Funktion 

/(a:)o.x-8in-^     für    a: -f  0, /(O)  =- 0 

an  der  Stelle  x  =  0  2u ;  in  der  Tat  läßt  sich  keine  noch  so  enge  Um- 
gebung dieser  Stelle  abgrenzen,  innerhalb  deren  alle  /(x)  größer  oder 
kleiner  als  Null  wären. 

72.  Der  Sats  von  Bolle.  Wenn  die  Funktion  /{£)  in  dem 
abgeschlossenen  Intervall  a<x^ß  stetig  ist  und  an  jeder  Stelle  im 
Innern  einen  endlichen  oder  bestimmt  unoidlichefi  Differentialquotienten 
besitzt,  wenn  femer  /{a)  =  0  und  /{ß)  —  0,  50  gibt  es  wenigstens  eine 
Stdh  zwischen  a  und  ß,  an  der  f  {x)  verschtmndä. 

Behielte  die  Funktion  den  Wert  Null  im  ganzen  Intervall  (oder 
auch  nur  in  einem  Teile  desselben)  bei,  so  wäre  sie  eine  konstante 
Funktion  und  hätte  als  solche  überall  die  Ableitung  Null  (55);  der 
Satz  bedürfte  dann  keines  Beweises. 

Diesen  Fall  ausgeschlossen,  wird  die  Funktion  von  c  an  entweder 
wachsen  oder  abnehmen  —  wir  nehmen  das  erstere  an;  das  Wachsen 
kann  aber  nicht  durch  das  ganze  Intervall  anhalten,  soll  /(ß)  » 0 
werden,  daher  muß  man  zu  einer  Stelle  |  kommen,  an  der  das  Wachsen 
aufhört  und  das  Abnehmen  beginnt;  diese  Stelle  ist  dadurch  gekenn- 
zeichnet, daß  sich  ein  positives  6  bestimmen  läßt  derart,  daß 

/(i  ■-*)</(«)  >/a+A) 

für  alle  0  <  ^  <  d;  zufolge  der  Beziehungen  (1),  (2)  ist  die  Funktion 
an  dieser  Stelle  weder  wachsend  noch  abnehmend;  ferner  ist 

der  erste  Quotient  kann  mit  lim  /i »  0  nur  einer  positiven  oder  der 
Grenze  Null  zustreben,  der  zweite  nur  einer  negativen  oder  der  Grenze 
Null;  da  aber  beide  Quotienten  nach  Voraussetzung  einen  gemein- 
schaftlichen Grenzwert  haben,  so  muß  notwendig 


Satz  von  HoUe.  —  MiUeJwerUatx.  12$ 

sein,  womit  der  Satz  erwiesen  ist.  —  Im  Fülle  des  Abnehnieiis  von 
a  an  ergeben  sich  analoge  SchlQsKe.  * 

Bei  geometrischer  Deutung  der  Funktion  hat  der  Satz  von  Rolle 
eine  unmittelbar  anschauliche  Bedeutung.  Eine  Kurre  AB,  Fig.  82, 
welche  die  Abszissenachse  in  den  Punkten  A^B  Y 
schneidet  und  an  jeder ZwischensteUe  eine  einzige 
bestimmte  Tangente  hat  (die  auch  parallel  zu 
OY  sein  kann),  besitzt  mindestens  einen  Punkt 
3f,  in  welchem  die  Tangente  MT  parallel  der 
Abszisseuachse  ist. 

Die    Voraussetzungen    des    obigen    Satzes  ^  >^ 

können  auch  dahin  abgeändert  werden,  daß  /(u)  ^/(ß)  "-  (7  sei;  denn 
die  Funktion  /(x)  —  C  erfüllt  dann  die  Bedingung,  bei  «  und  fi  zu 
Tersch winden,  ihre  Ableitung  ist  aber  wieder  /'(x). 

Die  Funktion /(a?)  —  (ar  — a)  (x —.6)  hat,  um  ein  Beispiel  an- 
zuführen, in  dem  Intervall  (a,  h)  die  oben  vorausgesetzten  Eigenschaften ; 
ihre  Ableitung /'(^)  *- 2  a;  —  a  —  ft    wird    denn    auch    NuU    an    der 

zwischen  a,  h  liegenden  Stelle  x  ^  ^^  - .     Desgleichen  genügt   die 

Funktion  /{x)  =  sin«  in  dem  Intervall  (0,«)  den  Voraussetzungen 
des  Rolleschen  Theorems,  und  in  der  Tat  verschwindet  ihre  Ab- 
leitung /'(x)  =  cosx  an  der  Zwischenstelle  ^  ■"  ^  • 

73.  Der  Mittelwertsati.  Wenn  die  Funktion  fix)  in  dem  ab- 
geschlossenen Intervall  a^x^ß  stetig  ist  und  an  jeder  Stdle  im 
Innern  einen  endlichen  oder  bestimmt  unendluJien  Differentialquotienten 
besitz,  so  gibt  es  wenigstens  eine  Stelle  fleischen  a  und  ß,  an  der  f'{x) 

übereinstimmt  mit  dem  Differeneenquotienten  -'-^^l^-^!^ . 

Dieser  Satz,  für  die  Analysis  von  großer  Bedeutung,  findet  sich 
zuerst   bei  J.  Lagrange   und   wird   auch  häufig  nach  ihm  benannt. 

Zum  Zwecke  des  Beweises  konstruieren  wir  vom /{x)  die  nene 
Funktion 

ipiz)  -/(*)  -/W  -(X-  aY-^StzIL'), 

die  ebenfalls  an  jeder  Stelle  zwischen  a  und  ß  einen  Differential- 
quotienten besitzt,  da 

und  die  überdies  die  Eigenschaft  ^(ä)  —  0,  (p(ß)mmO  hat.  Demnach 
erfüllt  sie  die  Voraussetzungen  des  Rolleschen  SatMs,  und  et  gibt 
daher  wenigstens  eine  Stelle  |  zwischen  a  nnd  ß,  an  der  fp\i)  -*  0, 
dort  ist  also 

/j«r^?> ./-({).  (,) 


124    ElexD.  der  DifferenÜalrechn.  §  4.  Sätze  üb.  d.  Zniammenh.  einer  Fnnktiou  usw. 

Der  Suiz  kann  auf  irgend  zwei  Stellen  x  und  x  +  h  aus  (a,  ß) 
zur  Anwendung  gebracht  werden;  |  bedeutet  dann  einen  zwischen  x 
tind  z  •\'h  liegenden  Wert  und  ein  solcher  kann  in  der  Form  x  •\-  Oh 
dargestellt  werden,  wenn  0  <  ö  <  1  ist;  mithin  gilt: 

oder 

f\x  +  K)  --/(x)  -  h/{x  +  Bh).  (4) 

Die  Darstellung  einer  endlichen  Differme  der  Funktion  durch 
einen  Zwischen-  oder  Mittelwert  ihres  Differentialquotienten  findet  sehr 
y  häufige  Anwendung;  einige  wichtige  Folgerungen 

^^  sollen  schon  hier  angeführt  werden. 

My^     '^.Ä  Vorher  möge  noch   der  geometrische  Sinn 

yy\     ^^  \  der  Formel  (3)  erwähnt  werden  für  den  Fall,  daB 

^    j^  i  man  die  Werte  Ton  j\x)   durch  die  Ordinaten 

^j _.J^         einer  Kurve  AB^   Fig.  33,  darstellt;    hat    diese 

1  Kurve   in  jedem  Punkte  eine  einzige  bestimmte 

f  ^        Tangente  (die  an  einzelnen  Stellen  auch  parallel 

'*»•  ^  zu  ö  F  sein  kann),  so  gibt  es  zwischen  Ä  und  B 

mindestens  einen  Punkt  Af,  in  welchem  die  Tangente  J/T  der  Sehne  AB 

parallel  ist. 

Um  zu  zeigen,  daß  der  Mittelwertsatz  versagt,  wenn  die  Funktion 
nicht  alle   bei  seiner  Ableitung  gemachten   Voraussetzungen   erfüllt^ 

sei  das  folgende  Beispiel   durchgeführt*).     Ist  J\x)  -=  ^  för  x  +  0, 

dagegen  /(O)  -*  0,  so  gibt  die  Formel  (3): 


-J-i--(/»-«)i», 


woraus  |* «  a/J;  diee  aber  ist  nicht  möglich,  wenn  das  Intervall  (c,  ß) 
die  Null  enthalt,^ weil  dann  <r,  /)  entgegengesetzt  bezeichnet  «ind.  Auch 
wenn  die  Null  den  Anfang  des  Interralla  bildet,  kommt  man  zu  einem 
Widerspruch,  weil  dann 

;-o— f. 

und  somit  |* «-  —  ^  sein  mfißte.  Der  Grund  dieser  Erscheinungen 
liegt  in  der  Nichtexistenz  tou  f'{x)  bei  a^^  =-  0. 

An  einer  früheren  Stelle  (55)  ist  gefunden  worden,  daß  der 
Differentialquotient  einer  konstanten  Funktion  NuU  ist;  nun  kann 
auch  die  Umkehrung  des  Satzes  bewiesen  werden,  nämlich:  Wemi  die 
Ableitung  /(x)  einer  FmkHan  /(x)  an  aüe-  Sielien  de»  IniermOs 
(«,  ß)  NM  istf  so  ist  die  Funktion  in  diesem  IniervaU  konskmt 


1)  R.  Cefuro,  Lebrb.  d.  algebr.  Anal .  niw.,  deutueh  tob  0.  Kowalewiki«  p.  f SS. 


Fol^niogmi  aiu  dem  Mittel  wert«»tc  [25 

Sind  nämlich  Xj,  x,  iwei  Stellen,  in  (o,  /J),  so  ist  zufolge  (8) 

mit  a:j  <  {  <  a:,;  da  aber  för  jedes  6  zwischen  «,  ß  /'({)  —  0,  so  iat 
/(^ij  — /(^i)  -"  Ö,  also  /(Xj)  -/(x,);  wenn  aber  jede  zwei  Werte 
▼on/(x)  aus  dem  Intenrall  (a,^)  einander  gleich  sind,  so  hat  die 
Funktion  notwendig  einen  konstanten  Wert 

Aus  diesem  Satze  folgt  der  weitere:  Wenn  tnoei  FmMfmm  fix), 
^>[x)  m  einem  Intervaü  (a,  ß)  gleiche  DiffemUidlquotieiaem  Mähen,  so 
können  sie  sich  nur  durch  eine  additive  Konsiante  unterscheiden. 

Denn,  aus 

folgt  auch 

und  daraus  nach  dem  vorigen  Satze 

/(x)  -  v{x)  -  C, 
wenn  U  eine  Eonstante  bedeutet. 

Im  Artikel  71  ist  gezeigt  worden,  daß  die  Ableitung  einer  in 
dem  Intervall  (ccy  ß)  beständig  wachsenden  (abnehmenden)  Funktion 
niemals  negativ  (positiv)  ist:  auch  die  Umkehrung  dieses  Satzes  kann 
jetzt  bewiesen  werden:  WpnH  die  AUeiiung  von  /(x)  in  dem  Intervall 
(«,  ß)  niemals  negativ  \jH)siliv)  und  auch  nicht  in  einem  Teile  des 
Intervalls  hestä.idig  Nuü  ist,  so  ist  die  Funktion  wachsend  (abnehmend) 
in  dem  Sinne,  daß  für  irgend  Mwei  Werte  Xj  <  x,  aus  («,  ß)  die  Re- 
lation /{x,)  </(x,)  [/(xj)  >/(^)]  staUfindet, 

Bedeutet  x'  einen  Wert  zwischen  x^  und  x^,  so  daß  x^,  x',  x^ 
wachsend  geordnet  sind,  so  ist  auf  Grund  der  ersten  Voranssetzung 

/M-/(^.)-(«'-*.)r(s.)^o 

/{x,)-f{^~{x,-x')/\l,)>0, 

wobei  Jj  einen  Wert  zwischen  Xj  und  x\  1^  einen  Wert  zwischen  x 
und  x^  bedeutet;  daraus  folgt 

aber  nicht  für  aUe  x  können  beide  Gleichheitszeichen  gelten,  weil 
sonst  für  alle  Werte  x  zwischen  x,  und  x,  die  Beziehung /(xj)  — /(jt') 
•»/(X))  stattfände  die  zur  Folge  hatte,  daß  in  diesem  Teile  von  (o,  ß) 
f\x)  beständig  NuU  wäre,  was  gegen  die  Voraussetzung  Terutößt.  Es 
gibt  also  sicher  einen  Wert  x\  für  den  wenigstens  eines  der  beiden 
üngleichheitszeichen  gilt,  nnd  darum  iat  notwendig 

Der  zweite  Teil  des  Beweises  ist  ebenso  zu  führen. 

74.  Der  erweiterte  MittelwertMti.    TFmti  die  beiden  Funh- 

Honen /(x),  q>{x)  in  dem  hUervall  (a,  ß)  eigentliche  DifffimäalgmÜenten 


126    Clem.  der  Differentialrecbn.  §  4.  Sätze  üb.  d.  Zusammenh.  eioer  Funktion  usw. 

hesüeen,  von  welchen  der  letztere^  (p{x\  an  keiner  Stelle  Null  oder  unend- 
Ikh  mrdf  so  gibt  es  wenigsteiis  einen  Wert  S  wünschen  u  und  ß  derart, 

iaß  ^^m^Of^  ist. 

Dieser  Satz  kommt  zuerst  bei  Cauchy  Tor,  wenn  auch  mit 
der  speziellen  Voraussetzung,  daß  /(«)  =  g)Ca)  =  0  sei. 

Um  ihn  zu  beweisen,  konstruiere  man  aus  /{x)  und  <p\x)  die 
neue  Funktion 

der  hierin  auiikretende  Bruch  hat  sicher  eine  bestimmte  Bedeutung, 
da  (p{a),  (p{ß)  nicht  gleich  sein  können,  indem  sonst  nach  dem  Satz 
von  Rolle  (p'(x)  an  einer  Stelle  zwischen  a  und  ß  verschwinden 
müßte,  entgegen  der  Voraussetzung.  Die  Funktion  ^(a;)  hat  nun  im 
Intervall  («,  ß)  eine  Ableitung,  nämlich 

ferner  ist  (p{a)  =»0,  gjf/S)  =-  0;  folglich  existiert  nach  dem  Satze  von 
Rolle  mindestens  eine  Stelle  S  zwischen  a  und  /3,  wo  qp'(|)-»0, 
d.  h.  wo 

Die  Formel  kann  auf  zwei  beliebige  Stellen  x  und  x  -\-  h  aus 
(a,  ß)  angewandt  werden  und  lautet  dann: 

<p(x  4.  /,)  _  ^(x)     9>'(x  +  eh)  y  yy^^"^^)  w 

Setzt  man  insbesondere  q){x)  •"  x,  wodurch  den  Voraussetzungen 
des  Theorems  Qenüge  geleistet  wird,  so  gehen  die  Formeln  (5)  und 
(6)  in  (3)  und  (4)  über. 

§5.    Die  höheren  Differentialqaotienten  und  Differentiale. 

75.  Der  u-te  Differentialqnotient.  Ist  die  Funktion  y  '^/{x) 
auf  einem  Gebiete  der  Variablen  stetig  und  differenzierbar,  so  besitit  sie 
dort  eine  Ableitung  oder  einen  Differentialquotienten,  wofür  bereits 
die  Bezeichnungen 

/(*),    D/ix);    y,    Dy 

eingeführt  worden  sind. 

Hat  y'(ar)  wieder  die  Eigenschaften,  die  soeben  betüglich /(o?) 
vorausgesetzt  wurden,  so  kommt  ihr  auch  eine  Ableitung  zu,  die  man 
als  zweite  Ählcitungj  zweite  Derivierte  oder  zweiten  Differentialquotienien 
Ton  /(x)  bezeichnet  und  mit 

/'{x},    D'Az);    y",    D'y 


(5) 


Erweiterter  MiUelwertMiU.  —  Höhere  Di(ftreiiiifUqiiotte&t«o.  [27 

anschreibt    Begrifflich  steUt  jedes  dijser  Zeichen  jene  FonkÜoii  dar, 
die  an  der  Stelle  x  durch  «»" 


lim 


/.a.--i- A._/V.r 


bc€f:imint  ist. 

So  fortfahrend  gelangt  man  zu  der  dritten,  rierten,  .  •  •  ii-ten  Ab- 
kitang;  man  gebraucht  dafQr  die  Bezeichnungen 

oder  ^y(«),  !>*./(«),  •  •  •  l>"/(^) 

oder  f\   f^y't"^        asw. 

Sofern  die  Voraussetzungen  der  Stetigkeit  und  Differenzierbarkeik 
erbalten  bleiben,  hat  die  Bildung  höherer  Ableitungen  keine  Schranke. 

Wenn  man  aus  dem  Gebiet  der  reinen  Analysis  auf  dasjenige  der 
An\rendungen  sich  begibt,  wobei  x  und  /{%)  die  MaBzahlen  för  ge- 
wisse einander  bedingende  Größen  bedeuten,  können  auch  die  höheren 
Ableitungen  eine  bestimmte  Bedeutung  erlangen.  Bei  der  phorono- 
mischen  Auffassung,  bei  der  /(x)  den  in  der  Zeit  x  zurückgelegten 
geradlinigen  Weg  bedeutet,  kommt  zunächst  der  zweiten  Ableitong 
eine  wichtige  Bedeutung  zu. 

Es  ist  66.  1.  erklärt  worden,  daß  der  erste  Differentialquotient 
die  am  Ende  der  Zeit  herrschende  Geschwindigkeit  ausdrückt.  Ist 
die  Bewegung  so  beschaffen,  daß  die  Geschwindigkeit  in  beliebigen, 
aber  gleich  großen  Zeitabschnitten  sich  um  Gleiches  ändert,  so  nennt 
m^  die  während  einer  Zeiteinheit  erfolgende  Geschwindigkeitsänderung 
Besdüeunigung  und  die  Bewegung  selbst  eine  gleichförmig  heschietmigte 
(hingegen  eine  gleichförmig  verzögerte,  wenn  die  Beschleunigung 
negativ,  die  Geschwindigkeit  also  mit  der  Zeit  abnehmend  ist).  Anf 
eine  ungleichförmig  beschleunigte  ist  der  Begriff  der  Beschleunigung 
nicht  unmittelbar  übertragbar;  der-  Quotient 

k 

aus  der  während  des  Zeitintervalls  (x,  X  -^  h)  erfolgten  Geschwindig- 
keitsanderung  durch  die  Größe  h  des  Intervidls  bedeutet  die  während 
desselben  durchschnitÜich  auf  die  Zeiteinheit  entfallende  Geschwindig- 
keitsänderung; je  kleiner  A,  um  so  geringer  die  Ungleiehförmigkeit  in 
der  Bewegung,  desto  näher  kommt  die  Bedeutung  des  angeschriebenen 
Quotienten  der  einer  Beschleunigung,  und  konvergiert  der  Quotient  mit 
lim  /i  =-  0  gegen  eine  bestimmte  Grenze,  so  wird  diese: 


A«0  * 


als  die  am  Ende  der  Zeit  x  herrschende  Beschleunigung  erklart 


128    Elem.  der  DlffereniiAlrechnung.  §5.  Die  höheren  OiffereotialqaoÜeniea  osvr. 

Drückt  also  /(x)  dm  bei  geradliniger  Bewegung  in  ddr  Zeit  x 
Murikkgdegten  Weg  aas^  so  hat  die  zweite  Ableitung /"(x)  die  Be- 
deutung der  am  Ende  der  Zeit  x  herrschenden  Beschleunigung. 

76.  Wiederholte  DifflorentUtlon.  Zur  Bildung  der  höheren 
Differentialquotienten  emer  Funktion  bedarf  es  neuer  Itegeln  nicht, 
da  es  auf  wiederholte  Bildung  des  ersten  Differentialqaotienten  an- 
kommt. Wenn  es  sich  jedoch  darum  handelt,  für  den  allgemeinen 
oder  n-ten  Differentialquotienten  eine  independente  Formel  anfzustellen, 
dann  führt  das  direkte  Verfahren  nur  in  einigen  wenigen  Fälleu  zum 
Ziele.  In  einigen  anderen  Fällen  kann  man  sich  dadurch  helfen,  daß 
man  die  Funktion  als  Summe  oder  als  Produkt  einfacher  Funktionen 
darstellt,  deren  allgemeine  Differentialquotienten  in  independenter  Form 
bekannt  sind. 

1.  DireJcies  Verfahren.  1.  Für /(j?)  «- a?*^  ergibt  sich  durch  suk- 
zessive Differentiation 

«o  daß 

Läßt  man  ax  -{-b  an  die  Stelle  Ton  x  treten,  so  ändert  sich  die 
Formel  nur  insoweit,  daß  rechts  der  Faktor  a"  hinzukommt,  weil  bei 
jedesmaliger  Differentiation  mit  dem  Differentialquotienten  von  <|JP-|-  6, 
d.  h.  mit  a  multipliziert  werden  muß  (60,  7.);  es  ist  also 

lr(ax  -f  bY  =»  m{m  -  1) . . .  (w  -  M  -h  l)a"(a j?  -h  fe)*"".       (2) 

Ist  m  eine  pt)sitive  ganze  Zahl,  so  wird  der  m-te  Differential- 
qnotient  eine  Konstante: 

X>m^^^j(^_  1).  .  .  1, 

ond  alle  höheren  sind  Null.  In  jedem  anderen  Falle  kann  die  Bildung 
der  Differentialquotienten  unbeschränkt  fortgesetzt  werden. 

2.  Für  fix)  -  Ix  hat  man  J)lx  -  -i-  -  af-S  somit 

hier  tritt  nun  die  Formel  (1)  in  Kraft,  und  zwar  ist  m  ■•  —  1  und  ii 
durch  n  —  1  zu  ersetzen,  so  daß 

euch  diese  Formel  kann  dadurch  verallgemeinert  werden,  daß  man 
ax  -\-b  an  die  Stelle  von  x  treten  läßt;  es  wird 

3.  Aus  der  Formel  D(f  —  «*  folgt  unmittelbar 

Z>-«»-e»:  (5) 


Methoden  snr  Beitimmung  höherer  Ablettuag«t).  129 

dagegen  ist  D^'^he^'  und 

tmd  weil  o*—  f"**,  so  ergibt  sich  hieraus 

D-o^-aa)-«*.  (6) 

4.  Die  Fom^el  D  ein  x  —  coe  o;  —  sin  ^x  -f  y)  '•J^;  ^^  «^'ö  «>*• 
malige  Differentiation  von  sin  5*  der  Vermehrung  des  Arguments  um 
■j  äquivalent  ist;  infolgedessen  wird  f»-malige  Differentiation  einer  Ver- 
mehrung des  Arguments  um  ny  äquivalent  sein:  es  ist  also 

D"  sina?  —  sin  (a: -f-n  YJ.  (7) 

Durdi  denselbea  Schluß  ergibt  sich  ans  D  cos  z  ^  —  sin  x 
-»cos(a:  +  |): 

Z)"cosx-cos(i;-f  n  j).  (8> 

Vermöge  der  Periodizität  nehmen  die  rechten  Seiten  der  Formeln  (7) 
und  (8)  nur  je  vier  verschiedene  Werte  an,  nämlich  die  n  >-  0,  1,  2,  3 
entsprechenden;  und  diese  in  zyklischer  Wiederholung. 

n.  ZerleguTig  in  Teüe.  Hat  man  /(x)  als  Summe  iweier  oder 
mehrerer  Funktionen  dargestellt,  ctwa/(a;)  «  ^(x)  +  t{x),  so  ist  (öl,  1 ) 

1.  Es  ist  ^i^. «  ^[^  +  irh^}^  ^^^ 

auf  die  Ausdrucke  der  rechten  Seite  ist  die  Formel  (2)  anwendbar,  und 
man  Sndet: 

FOr  a  =-  1  und  6  =«  «  ergibt  sich  hieraua 

n,  _J (-i)M.>..»H  r       £ 1 ^n 

Diese  Formel  kann  dazu  verwendet  werden,  den  allgemeinen  Differen- 
tialquotienten von  arc  tg  a;  zu  bestimmen ;  da  nämlich  D  oro  tgj:  —  fXi« ' 

so  iat  D"  arc  tg  a;  —  D*-*  rj-~i » *^^  •^  Grund  der  letxten  Formal: 

1  "f"  SP 

^  «c  tg.. :r-5^^ [^j^  -  ^^^J.       (10) 


Cxaber,  Höhere  M»th»m«tlk.  t.  i^ofl. 


IßO    Elem.  der  Differentialrechnung.  §  6.  Die  Mh^ren  Düferentiaiquotfeoten  usw. 

2.  Es  ist  cos  ax  cos  hx  -^  -^  {coa  {a  -{■  h)x  -f-  cos  (a  —  b)x } ,  mithin 

jy  cos  ax  coBhx  -  ^-^^  cos  ^(a  +  h)x  +  «  -^J  (11) 

ni.  Zerlegung  in  Faktoren.  Die  Funktion  y^/(x)  sei  in  zwei 
l^aktoren  /(  =-  <p(x)  und  t?  »*=  ^(ir)  zerlegbar,  für  welohe  der  allgemeine 
Ausdruck  des  rten  Differentialquotienten  bekannt  ist.  Durch  sukzessive 
Differentiation  ergibt  sich: 


» ^ 


:£  cüB 


y    =  u    V  ■\'  uv' 

y    =  u    V  -\-  2u  V  -{-  UV 

<g    =.  n    t;  -|-  3m  t;  4-  3i<  r    -für    ; 


woraus  der  Schluß  gezogen  werden  kunn^  daß 

^         uKn)  «  M^«^t,  4-  l^\  u(»-i)  v'  4-  (♦») .f*(«-2)j,-  4_  . . .  4-  „e;^''):      (12) 

iii  'Äer  Tat,  gilt  diese  Tormel  für  «,  so  gilt  sie  auch  für  n  +  1,  denn 
eine  neuerliche  .Differentiation  gibt 

y^+i^>^^lt<?,t*kif^g)x¥t>l^  rir  (2)  W^'*-  ^^'/'  +  '••-!-  «V") 


j4  --  i:» 


und  weil  «|lJgeiD^in^^;;J.4-,^  so  ist 

da  nun  das  Bildungsgesetz  auf  direktem  Wege  fürn  =»  1,  2,  3  erwiesen 
ist)  so  gilt  ea  allgemein.  Die  Gleichung  (12)^  unter  dem  Namen  der 
Leibnizschen  Fonnel  bekannt,  läßt  eine  knrze  symbolische  Dar- 
stellung zu;  schreibt  man  nämlich  rl  fffjia  Mr^ 

i  D»(Mr)-(w+4>)V'  (12*) 

80  bleibt  nur  tu  beachten,  daß  man  in  den  Gliedern  der  Potenzen!- 
Wicklung  die  Potenzexponenten  in  Ordnungsexponenten  von  Differential- 
quutienten  zu  verwandeln  und  die  Endglieder  u^t^  und  u^ff  durch 
<(<"^l^,'  bzw.  ttt?^"^  zu  ersetzen  hat.  , 

A\§  Beispiel  der  Anwendung  'der  Formel'' '(11^)  möge  dieselbe 
Funktion  gewählt  werden ,  welche  in  11.  2.  als  Summe  dargestellt 
worden  ist,  nämlich  aosax  cos  bx]  man  erhalt  unmittelbar 

3  .11174  -t   .4ii«r!?«aiAi<i  »m 


Methoden  zur  Beetimiuuug  höherer  Ableitungen.    Höhere  Differentiale.     131 
D"  { cos  ax  C08  hx)  —  a"  co8  (ax  +  »»  y)  cos  hx 

+  (|)o"" '*  «08  {ax  +  n  ~  ly)  cos  (da;  +  *-)  -f 
+  {2)«""*^*  co8(aa;  +  n"^  * )  cos  (fcx  +  2^)  4-  •    • 
•  •  •  -h  ft"  cos  a:r  cos  (6a;  -f  n  y)- 

77.  Da«  n-te  DifferentiaL  Wir  nehmen  den  in  58  ent- 
wickelten Begriff  des  Differentials  einer  Funktion  y  — /(a;)  wieder 
auf,  wonach 

<*/W  -/Wrf«;  (1) 

die  begriffliche  Bedeutung  desselben  geht  dahin,  daß  es  die  Änderung, 
welche  die  Funktion  bei  dem  Übergange  von  x  zn  x  '\-  dx  erleidet, 
um  so  genauer  darstellt,  je  kleiner  dx  ist,  ja  daß  man  durch  Ein- 
schränkung von  dx  den  Unterschied  zwischen  der  Änderung  der  Funktion 
und  ihrem  Differential  nicht  nur  an  sich,  sondern  auch  im  Verhältnis 
zu  dx  beliebig  klein  machen  kann. 

An  dieser  Stelle  möge  auf  die  Verschiedenheit  der  Bedeutung  hin- 
gewiesen werden,  welche  den  Zeichen  dx  und  d/{x)  in  der  Gleichung 
(1)  einerseits  und  in  dem  Leibnizschen  Symbol  für  den  Differential- 
quotienten ^^  anderseits  zukommt.  Hier  bedeuten  dx  und  d/(x)  zu- 
gleich gegen  die  Grenze  Null  konvergierende,  also  unendlich  klein 
werdende  Größen  und  das  Symbol  -,-     selbst    den    Grensswert    ihre« 

Quotienten;  dort  bedeutet  dx  eine  endliche  und  d/(x)  eine  dem  dx 
proportionale  ebenfalls  endliche  Größe,  beide  sehr  Mein  in  Ansehung 
der  endlichen  Rechnungsgrößen  wie  etwa  x  und  /{x)  selbst;  der  Grad 
der  Kleinheit  ist  dabei  relativ  und  abhängig  von  der  Schärfe,  in 
welcher  die  bezügliche  Rechnung  ausgeführt  werden  soll.  So  ist 
z.  B.  (30) 

d  log  sin  X  —  ^^^  dx^  M  cotg  xdx\ 

für  X  =  arc  30<»  *» ^,dx  -  arc  1' «  i^^q  ==  0,00029088  •  •  •  ergibt  sieh 

bei  Abkürzung  auf  öDezimalen: 

rflog  sin  30«  -  0,4342944  •  1 ,7320506  •  0,000  2909 

=-0,00022, 

«nd  dies  stimmt  mit  der  in  fünfstelligen  Tafeln  bei  log  sin  30*^  an- 
gegebenen Differenz  pro  Minute  überein;  selbst  bei  einer  auf  7  Dezi- 
malen angelegten  Rechnung  erhält  man 

rflog  sin  30«  -  0,0002188 


132    Kl6m.  dar  Differentialrechnong.  §  6.  Die  hOfaci«D  DiffeieDtiAiqaotienten  usw. 

ent  in  der  siebenten  Stelle  abweichend  von  der  in  3iebenstelligen 
Tafeln  bei  log  «in  SO*»  angegebenen  Differenz  0,0002187. 

Die  mit  einem  feststellenden  dx  für  verschiedene  Werte  von  x  gebildeten 
Werte  von  d/{x)  definieren  eine  Funktion  von  i",  und  von  dieser  kann 
neuerdings  das  Differential  gebildet  werden;  man  bezeichnet  es  statt 
mit  d(d/(x))  knrz  mit  d'/ix)  und  hat  dafQr  den  Ausdruck: 

(p/(x)  -  J){/Xx)dx]dx  ^/"(x)dx\  (2) 

Hiernach  ist  das  zweite  Differential  formell  das  Produkt  aus  dem 
zweiten  Differentialquotienten  mit  dem  Quadrat  des  Differentials  der 
Variablen;  begrifflich  aber  stellt  es  den  Unterachied  der  ersten  Diffe- 
rentiale an  den  Stellen  x  und  x  -{•  dx  mit  Außerachtlassung  von 
Größen  höherer  Kleinheitsordnung  als  da^  dar. 

Aus  der  Definitionsgleichung  (2)  ergibt  sich  als  Folgerung 

/'W-'i'i?';  (3) 

die  rechte  Seite  ist  das  von  Leibniz  für  den  zweiten  Differential- 
quotienten gebrauchte  Symbol,  gleichbedeutend   also  mit  /"(x)  und 

Wird  dx  als  gegen  Null  konvergierende,  also  als  unendlich  klein 
werdende  Größe  von  der  ersten  Ordnung  aufgefaßt,  so  ist  das  erst^ 
Differential  d/{x)  «»/'(^)<iar,  vorausgesetzt,  daß/'(ar)  einen  bestimmten 
von  Null  verschiedenen  Wert  hat,  ebenfalls  eine  unendlich  klein  werdende 
Grröße  der  ersten,  das  zweite  Differential  d^/{x)  ^ /** {x) dx^  unter 
einer  analogen  Voraussetzung  Über  /"(x)  eine  unendlich  kleine  Größe 
zweiter  Ordnung. 

Bei  der  Darstellung  der  Funktion  /(x)  durch  die  Ordinaten  einer 
Kurve  kann  auch  das  zweite  Differeutikl  durch  eine  Liniengröße  ver- 
deutlicht werden;  bezüglich  des  ersten  Differentials  ist  es  am  Schlüsse 
von  58  geschehen.  Ist  (Fig.  34)  OP  — ap, 
OP'-x-f  rf^,  Or^x+2dx,  31 R'  die  Tan- 
gente  in  31,  31' K'  die  Tangente  in  if,  MQ' 
sowie  M'  Q"  parallel  zu  0  X,  so  hat  Q*  R  die 
Bedeutung  des  Differentials  an  der  Stelle  x,  Q"R' 
die  Bedeutung  des  mit  dem  nämlichen  dx  gebil- 
deten Differentials  an  der  Stelle  x  ■}-  dx;  der 
Unterschied  dieser  zwei  Strecken,  welcher  nach 
Konstruktion  des  Parallelogramms  QfQ'S'K 
in  der  Strecke  S'B!'  erhalten  wird,  ist  mit  Außerachtlassung  von 
Größen  höherer  Kleinheitsordnung  als  dx^  das  zweite  Differential. 

Man  kann  in  der  Bildung  der  Differentiale  fortschreiten  und  er- 
hält —  immer  unter  der  Voraussetzung  eims  festskkendm  dx  —  am 
(2)  das  dritte  Differential 

d^/{x)  -  D\/'{x)i!X^)dx  ^/"'(x)dxr\ 


HObere  Differentiale.  Bedeutung  der  Konttans  tod  dx.  138 

uDil  80  fortfahrend  allgemein   fOr  das  ttte  Differential  den  Aosdniek: 

d'Ax)^/w\x)daf.  (4) 

Daraus  ergibt  sich  die  yonLeibnis  eingeführte  Bezeichnung  flir  den 
«ten  Differentialqnotieoten: 

d"/(*)      ,     d"y 

Jeder  Formel  zwischen  den  Differentialqaotienten  mehrerer  Fonk- 
tionen  einer  Variablen  x  l&ßt  sich  eine  Formel  zwischen  den  Differen- 
tialen zuordnen,  and  es  bedarf,  um  zn  der  letzteren  zu  gelangen,  nur 
der  Multiplikation  der  ersteren  mit  einer  entsprechend  hohen  Potenz 
des  Differentials  dx  der  Variablen;  so  folgt  ans 

^A9{xMx)]^fp\x)Hx)  4-  fpix)i'{x) 

^'i»ix)  '^W  " 

durch  Multiplikation  mit  dx: 

d{(p{x)i;(x)]  -  i;{x)  ■  dq>{x)  +  ip{x)  •  di;(x) 
d  ^^      ^{x)-d^>[x)'-i^{x) .  dffrj«)^ 

ans  (76,  lU.) 

2>»(at?)  -  ttWt;  +  CJ)  u^'^'^f)'  +  Qt<<"-«5r"  +  •  •  •  -f  t«r<-> 

durch  Multiplikation  mit  rfjc*: 

dr{Hv)  -  d-«  •  v  -f  (j)<i--*«*  •  rft?  +  (2^""*«*  .<?€  +  ...  +  I«d»ü. 

78.   Die  Konstanz   des  Differentials  der  unabhAngigen 

Variablen.  Die  Formeln  des  vorstehenden  Artikels  sind  unter  der 
Annahme  eines  feststehenden,  also  konstanten  dx  abgeleitet  worden.  Der 
Sinn  und  die  weittragende  Bedeutung  dieser  Yon  Leibniz  schon  bei 
der  Begrtindimg  der  Differentialrechnung  getroffenen  Annahme  er- 
fordern ein  näheres  Eingehen,  weil  davon  ein  tieferes  Verständnis  de« 
Rechnens  mit  Differentialen  abhängt. 

Bei  dem  Differenzieren,  gleichgiltig,  ob  darunter  die  Bildung  Ton 
Differentialquotienten  oder  von  Differentialen  verstanden  wird,  werden 
verschiedene  Fun ktions werte  und  die  zugehörigen  Werte  der  Variablen 
zueinander  in  Beziehung  gesetzt. 

Bei  der  Bildung  der  ersten  Ableitung  einer  Funktion  /(x)  kommt 
es  darauf  an,  die  Differenzen  benachbarter  Funktionswerte  mit  den 
Differenzen  der  zugehörigen  Argnmentwerte  ins  Verhältnis  zu  setzen 
und  die  Grenze  dieses  Verhältnisses  bei  unbegrenzter  Annäherung  zu 
bestimmen.  Man  kann  sich  diesen  Vorgang  in  allgemeinster  Weise 
wie  folgt  ausgeführt  denken. 


134    Eiern,  der  Differentialrechnung.  §  5.  Die  höheren  Differentialqnotienten  nsw. 


Jeder  Pnnkt  x  des  Bereichs   der  Variablen  geht  in  einen  neuen 
X  -f  dx,  über,  wobei  dx  eine  von  x  abhängige  Größe  Ton  der  Form 

dx  =  ax{x)  (5) 

sein  möge;  geometrisch  gesprochen  wird  die  a;- Achse  in  sich  selbst 
transformiert,  wobei  jeder  der  Punkte  P,  P,,  P,,  •  •  •  in  einen  be- 
stimmten andern  P',  Pi,  Pi,  •  •  •  übergeht, 
Fig.  35.  Auf  die  solcherart  einander  zu- 
geordneten Punkte  wird  die  Bildung  der 
Differenzenquotienten  gestützt  und  hierauf 
durch  den  Grenzprozeß  lim  «  ==  0  der  Über- 
gang zu  den  Differentialquotienten  herbei- 
geführt; a  ist  also  hinterher  eine  Infinitesi- 
malgröße, deren  Ordnung  mit  1  festgesetzt 
werden  soll.  Kommt  es  bei  diesem  Vor- 
gange auf  die  Funktion  x(^)  gar  nicht  an,  so  steht  die  Sache  anders, 
wenn  man  zur  Bildung  der  Differentiale  schreitet:  in  diese  geht  x(x) 
als  Faktor  ein.  Die  Bildung  der  höheren  Differentiale  gestaltet  sich 
aber  nunmehr  wie  folgt:  Aus 

dy  =-  ydx 
ergibt  sich  sukzessive 

d^y==y"dx^-\-yd'x   , 

d^y  -  y'^dr'  -f  Zy'dx  ärx  +  ydH,  ^ 

und  aus  (5)  erhält  man  zur  endgiltigen  Ausführung  dieser  Formeln: 


Pig.  85. 


<P^-«^[zz''+zY']- 


(7) 


Man  erkennt,  daß  dx,  d*Xy  cTar,  •  •  •  und  wegen  (G)  ebenso  dy,  d^y, 
d^y,  '  •  •  infinitesimale  Größen  1,  2,  3,  •  •  •  Ordnung  werden. 

Aus  jeder  Annahme  über  x(x)  ergäbe  sich  so  eine  besondere 
Differentialrechnung.  Die  einfachste  Annahme  ist  3r(x)=»l;  aus  ihr 
folgt  ein  von  x  unabhängiges  dx,  und  weiter,  da  alle  Ableitungen  von 
%{x)  dann  Null  sind, 

dl^x^d^x-^ ^0,  (8) 

wodurch  (?y,  d^y,  •  •  •  d^y  die  einfachen  Aus- 
drücke des  vorigen  Artikels  annehmen. 

Geometrisch  bedeutet  diese  Annahme 
80  viel,  daß  als  Transformation  der  :c- Achse 
ihre  Translation  in  sich  g*»wahlfc  wird,  wo- 
bei jeder  ihrer  Punkte*  um  dieselbe  Strecke 
jjj^'*^   verschoben  wird,  Fig.  36.   Auch  der  darauf- 
Vi«  M.  folgende  Grenzübergang   besteht  in  einer 


Bedentno^  der  Kooatftnt  toa  dr.    Die  Form   l  .  185 

(entgegengesetsUn)  Translation,  die  beliebig  nahe  an  die  ursprQnglichen 
Lagen  heranführt. 

Dies  ist  der  tiefere  Sinn  der  Aasdracksweise»  das  Differential 
der  unabhängigen  Variablen  werde  ale  konstant,  als  unabhängig  von 
der  Variablen  selbst,  vorausgesetzt.  Zugleich  geht  aus  der  vorstehen- 
den Betrachtung  die  große  Tragweite  dieser  Voraussetzung  hervor: 
sie  führt  zu  der  einfachsten  Differentialrechnung  in  den  DiffcrentiaUn}) 


V.  Abschnitt 

Anwendungen  der  DiflFerentialquotienten. 

§  1.   Unbestimmte  Formen. 

79.  Dl©  Form  ^  •    Wenn  eine  Funktion  /{x)  in  einem  Inter- 

TftU  (ff,  ß)  eindeutig  definiert  und  stetig  ist  mit  Ausnahme  einer 
einzigen  Stelle  jr  =^  a,  die  innerhalb  (a,  ß)  liegt  oder  mit  der  einen 
Grenze  zusammenfällt,  so  stellt  sich  die  Aufgabe  ein,  das  Verhalten 
der  Funktion  in  der  Umgebung  dieser  kritischen  Stelle  zu  unter- 
suchen. Diese  Aufgabe  erhält  einen  bestimmten  Ausdruck  in  der 
Forderung,  den  Grenzwert  von  /(x)  zu  bestimmen  für  einen  naher 
bezeichneten  Grenzübergang  lima:  =  o. 

Das  Versagen  der  Definition  äußert  sich  in  dem  Auftreten  einer 
sogenannten  wibesiimmten  Form  und  nach  dieser  richtet  sich  der  ein- 
zuschlagende Weg.  Welches  diese  Form  auch  sei,  so  bezeichnet  man 
den   Grrenzwert   limy"(2:),   falls   er   existiert,    als   einen  uneigfntlicht^ 

Fanktionswerty  wohl  auch,  nicht  gerade  zutreffend,  als  den  wahren 
Wert  der  unbestimmten  Form,  und  ergänzt  die  an  der  Stelle  x  =^  a 
unterbrochene  Definition  der  Funktion  dadurch,  daß  man  diesen  Qrenx- 
wert  als  ihren  Wert  an  dieser  Stelle  festsetzt  also 

/(a)^Uin/(x)  (1) 

xsa 

annimmt;  dies  tut  man  auch  dann,  wenn  der  gedachte  Grenzwert  oo 
oder  —  oo  ist.  Die  Er^nznng  geschieht  also,  falls  der  Grenzwert  ans 
dem  beiderseitigen  Grenzübergänge  lim  ar  —  a  hervorgeht  und  endlich 
ist,  nach  dem  Grundsatze,  daß  die  im  Intervall  mit  Ausschluß  von 
x^  a  herrschende  Stetigkeit  auch  hier  fortbestehe.  Bei  x  —  a,  bzw. 
x^ß  kann  nur  ein  rechter,  bzw.  linker  Grenzübergang  in  Betracht 
kommen. 


1)  Vgl  hierzo  E.  Cesaro,  Lehrb.  d.  »lg«br.  Analyn»  oiw;  deatscb  voo 
Q.  Kowalewski,  p.  493. 


136    Anwendungen  der  Düferentialqaotienten.    §  1.    Cnbefctimmte  Formen. 

Unter  den  anbegtimmten  Formen  ist  eine,  auf  die  man  die  übrigen 
zurückführt;  sie  hat  folgende  Entstehung: 

Eb  §ei  fix)  «—  ^~  eine  gebrochene  Funktion  mit  stetigem  Zahler 

^QJM^,  Nenner,  die  beide  bei  dem  Grenzübergange  lim  x  '^  a  gegen  Null 
konvergieren,  so  daß  man  wegen  der  Stetigkeit  auch  ^(a)  —  0,  ^(a)  —  0 
zu  setzen  hat.     Man  sagt  dann,  die  Funktion  nehme  an  der  Stelle  a 

die  Fom^  --    an. 

Da  tp{x)  und  ^(x)  bei  dem  Grenzübergänge  gleichzeitig  anend- 
lich klein  werden,  so  hängt  der  Grenzwert  von  der  Ordnung  des 
Unendlichkleinwerdens  jeder  einzelnen  ab  (49).  Läßt  sich  hierüber 
auf  irgend  welche  Weise  ein  Aufschluß  erlangen,  so  ist  die  ganze  Frage 
entschieden.    Ein  einfaches  Beispiel  dieser  Art  bietet  die  Funktion 


/w- 


ai^-a' 


R  ' 


die  an  der  Stelle  ö; »  a  die  Form  -^  annimmt    Sind  m,  n  zunächst 

natürliche  Zahlen,  so  läßt  sich  vom  Zähler  wie  vom  Nenner  der 
Faktor  x  —  a  abspalten,  der  allein  das  Verschwinden  beider  bei  x  =  a 
zur  Folge  hat-,  Zähler  und  Nenner  werden  unendlich  klein  von  der- 
selben Ordnung  wie  x  —  a,  daher  ist 


]Den  Fall,  daß  tn,  n  positive  gebrochene  Zahlen  seien,  die  man  immer 
als  gleichnamig  voraussetzen  kann,  also  etwa  m»  — ,  n«-*^,    f&hrt 

man  durch  die  Substitution  x^  "^  y,  a"  ^  a  auf  den  früheren  zurück 
und  erhält  schließlich  dasselbe  Resultat 

Ein  anderes  wichtiges  Beispiel  solch  direkter  Erledigung  bildet 
die  Funktion 

an  der  Stelle  a;  «=  0.  Vom  Zähler  läßt  sich  der  Faktor  x*,  vom 
Nenner  der  Faktor  7f  abtrennen;  Zähler  und  Nenner  werden  somit 
unendlich  klein  von  der  Ordnung  m,  n  bzw.,  sofern  x  als  Grüße 
erster  Ordnung  gilt;  man  hat  daher 

/(O)  —  lim/(Ä)  —  ^ ,  wenn  m  —  h  ; 

—  0,       „     m>n\ 
-00,      „     m<n\ 


Die  Fonn  f  137 

im  letzten  Falle  richtet  sich  da«  Voreeichen  von  oo  nach  dem  Vor- 
zeichen Yon  Y'  ^^^  darnach,  oh  n  ^  m  gerad  oder  uitgerad  ist;  b«i 

geradem  n  —  w  erhalt  oo  das  Vorzeichen  Ton  ^  hei  nngeradem 
n  —  m  rechts  von  Null  das  gleiche,  links  Ton  Nall  das  entgegen- 
gesetzte Zeichen  wie  ~r^- 

Zu  einem  aUgemcinen  Verfahren  der  Chrenzwertbestimmong  von 
Quotienten  der  eben  betrachteten  Art  ftlhrt  der  folgende  Satz: 

l$t  lim  ^(x)  —  0  und  lim  <r(af)  —  0  hei  limor  —  a,  besagen  femer 
dU  als  stetig  vorausgesetzten  Funktionen  in  einer  (flbrigens  beliebig 
engen)  ümg^ung  von  a  (ev.  mit  Ausschloß  dieser  Stelle  selbst)  eigentliche 

Differenlialquoticnien,  und  konvergiert  ^Jß.  gegen  eine  Grenze,  so  ist 

dabei  wird  weiter  vorausgesetzt,  daß  tl/{x)  in  jener  Umgebung  nirgends 
verschwifidet. 

Wegen  der  Stetigkeit  ist  ^(a)  —  0,  ^(a)  —  0^  daher  kann  ^|*^ 

auch  in  der  Form  ^l^^z^/"^  geschrieben  werden-,  wendet  man  hier- 
auf den  erweiterten  Mittel wertsatz  (74)  an,  dessen  Voraussetzungen 
nach  obigem  erfüllt  sind,  so  crgihi  sich,  daß 

y(a)~-y(o)       y'{{) 

^(*)--'^(aj'"^'(4) 
ist,  wobei  |  eine  zwischen  x  und  a  liegende  Zahl  bedeutet;   mit  x 
konvergiert  also  auch  |  gegen  a,  mithin  ist  tatsächlich 

Existieren,  wie  dies  in  der  Regel  der  Fall  sein  wird,  v'(x),  if\T) 
auch  an  der  Stelle  a:  =  a  und  ist  überdies  if'(a)  -f  0,  so  hat  man  aueh 

Die  Formel  (2)  versagt,  wenn  gleichzeitig  limgjTx)  —  0,  lim  ^'(^)— 0. 
Dann  aher  befindet  man  sich  mit  dem  Brache  ^v>S  »**  d«'  gleichen 
Lage  wie  mit  dem  ursprünglichen,  und  sind  auch  die  übrigen  Be- 
dingungen des  Satzes  erfüllt,  so  gilt  wiederum  lim^.[^|  —  lim^^ '|, 
daher  auch 

1)  Die  iu  diesem  Aniatze  enthaltene  Begel  hat  Johmna  Beraonlli  taeni 
gefunden.    Acta  erodü  1704. 


138    Anweadangen  der  DitferentialqnoiieDteD.    §  1.   Unbeetimmte  Formen. 

Unter  Umstanden  kann  ein  solches  Verhalten  fortdauern  bis  zu 
den  n  —  l-ten  Ableitungen  einschlieBlich;  dann  wird  man  als  Schlaf- 


ergebnis  erhalten: 


limjll-lim^;'^  (5) 

,♦(*)  ,  =  .1(.<"'(X)  ^    ' 


Xm 


Hiemach  wird  das  Verfahren  zur  Auswertung  der  unbestimmten 
Form,  wie  man  den  Vorgang  auch  zu  nennen  pflegt,  in  folgendem 

bestehen:   Man  differenziere  Zofder  und  Nenner  des  Bruches  ~~  je 

für  sich  und  wiederhole  dies  so  lange,  bis  man  zu  einem  Bruche  kommt, 
dessen  Zähler  und  Netmer  nidd  gleichzeitig  gegen  Null  hmvergierefi; 
der  Crrenzwert  dieses  Bruches  ist  zugleich  der  Grenzwert  des  ursprünglichen. 
Das  Verfahren  ist  auch  dann  anwendbar,  wenn  die  kritsche  Stelle 
im  Unendlichen  liegt,  d.  h.  wenn  (p(x)j  ilf(x)  bei  lim  a;  —  cx>  (oder 
«-  —  oo)  gleichzeitig  gegen  Null   konvergieren.     Setzt   man   nämlich 

o 

x*^-y  SO  nimmt  — tjT-  die  unbestimmte  Form  bei  lim ;?  »» 0  (oder 
«'  —  0)  an;  nun  ist  aber 

wobei  <p  {-■)  aus  tp'ix)  durch  dieselbe  Substition  x  *•  -  hervorgeht; 
durch  Anwendung  von  (2)  ergibt  sich  also 

X  — ^(a^)        *«+0^/l\         .==+0^'?i\  :r««^(«)' 

dabei  muß  im  Sinne  der  Bedingungen  des  Hauptsatzes  vorausgesetzt 
worden,  daß  es  einen  Wert  von  x  gibt,  von  welchem  an  if'(x)  nicht 
mehr  verschwindet 

Beispiele.     1.  Das  an  erster  Stelle  behandelte  Beispiel 

erledigt  sich  mit  Hilfe  der  Differentialrechnung  unmittelbar  fflr  be- 
liebige rationale  m,  w,  indem  nach  (3) 


/(«)-[:>^'-].-^--"- 


2.  /(x)  —    -  JJ--  gibt  bei  limac  — 0  nach  zweimaliger  Differentia- 
tion: 

/(O)  -  Iim     jp^.-  -  hm-^  -  j- 


Die  Formeo   l  und  ^  189 

3.  Ebenso  erfordert /(x)  «- ^pf^^*?^  bei  limjc«0  zweimalige 

DiSerentiatioD : 

ff«  t« 


^  ^  ^  «nx  cosx 

4.  Man  untersuche  ferner: 

/W-irl^i^!^-fl8  b«i  x-2  „nd  a:-3  ß,  |) 

/(^)„ÜE£:rf-£beiz-0(l). 

w  N  sina;  — cosar        ,    .  n 

y(^)-^ir-,-  bei  ^-0(3). 

80.  Die  Form  ^  .    Diese  Form  entsteht,  wenn  in  /(x)  —  -    . 

Zähler  und  Nenner  bei  einem  bestimmten  Greozübei^nge  ins  Un- 
endliche wachsen. 

Zuerst  handle  es  sich  um  den  Grenzübergang  lim  X  «  00  (oder 
«=  —  <x>).    Es  gilt  dann  der  Satz:  Wenn  t\x)  von  einer  Stdle  X  an 

nicht  mehr  Null  wird  und  ^tv™  einer  Grenze  Ä  mstrebt,  so  konvergiert 

auch  ^^   gegen  diese  Grenze,   sofern   ip{x),  if{x)  stetig  bleiben  und 

eigenÜiche  Differentialqmäenten  hesitsen. 

Sind  Xq<Cx  zwei  Werte  aus  dem  Intervall  (X,  00),  so  ist  nach 
dem  erweiterten  Mittelwertsatz 

i^(x)  -  i*.(x.)        ^'(1) »  i^^i^ ,). 

daraus  schließt  man  weiter: 

1  -_  yW 

V(^ »(f)  ^9'(^) 

und 

9(x) 

Indem  man  nun  x  bei  festgehaltenem  a:^)  wachsen  laßt^  wird  der  erste 
Faktor  rechts  zwischen  gewissen  Grenzen  A  —  t  und  A  -i-  $  bleiben, 
die  sieh  durch  Wahl  Ton  r^  beliebig  eng  ziehen  lassen ;  und  der  zweite 


140    Anwendungen  der  Differentialquotientts.    §  1.   UnbeBtimmte  Formen. 

Faktor,  dessen  Grenze  1  ist,  wird  schließlich  auch  Über  das  Interrall 
1  ~£  bis  1  +  c  nicht  hinausgehen^  so  daß  man,  unter  B^  6'  echte 
Brüche  Terstanden,  setzen  kann: 

-|g  -  {Ä  +  Bi)  (1  -f.  Ö'O  -  ^  +  (d  +  ^ö'  +  00' i)  i. 

Ist  ^«f  0  und  wird  6<|-4j  genommen,  so  ist  |  ö-f^ö'-f  ÖÖ'e; 
<  1  -f  2!^  ,  somit 

gewählt  wird. 

Ist  ^1-0,  so  ist  \0i- AB' -^00' e\<l  +  «,  daher 

^7  V  <  <5,  wenn  (1  -f  «)  £  <  <?,  wozu  ausreicht,  daß  e  <  •  .  > 

angenommen  wird. 

Da  S  selbst  beliebig  klein  festgesetzt  werden  kann,  so  hat  man 
tatsächlich,  ob  ^  »f  0  oder  Ä^O  ist, 

lim^^  =  ^  =  lim^^1. 

Um  auf  den  Fall  überzugehen,  daß  z  gegen  eine  endliche  Grenze  a 
konvergiert,  setze  man  x  ^  a  -\-  -~  und  lasse  z  ins  Unendliche  wachsen; 
man  hat  dann  wegen 

wo   unter   x'(^  H — )    ^*^   Resultat   der   Substitution  a;  — '»  H in 

x'(>^)  bedeutet, 

Uxn|||-üm-4--T/-^i-lTxi; 

es  gilt  also  dieselbe  Regel  wie  bei  dem  Grenzübergange  limx—  oo. 
Voraussetzung  aber  ist,  daß  es  eine  Umgebung  Ton  a  gibt,  in  der 
t'{x)  nicht  Null  wird. 

Sollte  ~7,— ■  bei  lim  x  —  a  sich   wieder  so   rerhalten   wie  ^-^^ , 

also  neuerdings  die  Form  ^  annehmen,  so  kann  der  Sats,  wenn  alle 
darin  ausgesprochenen  Bedingxmgen  erfüllt  sind.  Yon  neuem  angewendet 
werden  usw. 

Mitunter  bedarf  es  nur  einer  andern  Schreibung,  um  eme  Funk- 
tion,  welche   die  Form  ^   annimmt,   so   darzustellen,    daß   sie  die 

Form  --  erlangt;  dies  gilt  beispielsweise  Ton  tttj    i-fx  -  ^^  ^^™  ^  —  j  » 


Di«FotaiS.  )4i 


wenn  man  es  m      ™-^|^^-^—  umsetit,  Ton  Ar   linix  —  0, 


s 
wena  man  x—---  dafQr  schreibt 

X 

Beispide.    1.  Die  Fnnktion  /(x)  —,(»•>  0)  leigt  bei  lim  jr  —  oo 

nach  wiederholtem  Differenzieren  von  Zahler  und  Nenner  so  Uiige 
die  unbestimmte  Form  ^,  als  im  Nenner  eine  positive  Potenz  rer- 
hleibt;  da  diee  aber,  wie  groß  auch  n  sein  möge,  einmal  aufhören 
muß  (76,  1.),  so  kommt  man  schließlich  bei  einem  ganzzahligen  n  zu 

lim-^  —  lim-j  —  oo, 

hei  einem  gebrochenen^  swisohen  die  ganzen  Zahlen  p  und  p  4-  1 
fallenden  n  zu 

lim  --  =  lim ;:~Vi  —  ^°^  inz. — iT — TZ — -T  ""  ^^  • 

Es  wird  also  e'  hä  unendlich  wacJisetidem  x  unendlich  groß  vm  köhermr 
Ordnmig  als  jede  posUive  Potmz  von  x. 

2,  Bei  der  Funktion  /\^x)  «=  4  (*»  >  ö)»  ^^^  bei  lim  x  —  oo  die 

X 

Form  ^  annimmt,  fahrt  schon  einmalige  Differentiation  zum  Ziele; 

denn 

1 

Hm  -^  «-  lim  -  ~-,  -  lim  -*-  -  0. 
«=«x"  nx*  nx 

Es  wird  also  Ix  hei  wiendlich  icachsendem  x  unendlidi  groß  vom 
niedrigerer  Ordnung  als  jede  positive  Potene  von  x, 

3.  Unter    der    Voraussetzung  a>0   erlangt  / W  -  i^   ^l»" 
lim  a:  =  4-  0  die  Form  ^ ;  einmalige  Anwendung  des  Satzes  gibt 

hm  /(x)  -  hm  -^,~  -  lim  -^^ -,- , 
und  da  der  neue  Bruch  die  Form  -^  annimmt,  so  hat  man  weiter 


0 

SacotSx 
lim  /W-lim^aeotSax 


-1. 


142    Anwendungea  der  Diffexentialqnotienien.    %  1.   Unbestimmte  Formen. 

4»     1      CAM  4* 

4.  Auf  die  Funktion  /(x)  —     ~  .—     deren  Zähler  und  Nenner 

bei  lim  x  ^  oo  unendlich  werden,  ist  das  Verfahren  nicht  anwendbar, 
weil  die  Ableitung  des  Nenners,  1  —  cosa:,  niemals  aufhört  Null  zu 
werden;  es  zeigt  sich  dies  auch  darin,  daß  der  Quotient  der  Ab- 
leitungen, -  2r 9  ^^  limx  =  oo  (oder  —  oc)  keiner  bestimmten 

Grenze  zustrebt,  vielmehr  niemals  aufhört,  zwischen  0  und  +00  zu 
schwanken.  Trotzdem  konvergiert  die  Funktion  gegen  eine  bestimmte 
Grenze,  nämlich  1,  wie  unmittelbar  ersichtlich  ist. 

81.  Die  Form  0  oc  entsteht,  wenn  bei  einem  bestimmten  Grenz- 
übergänge lim  X  =  a  in  fix)  ^  (p(x)if;(x)  der  eine  Faktor,  z.B.  <p(x\ 
gegen  Null  konvergiert,  während  der  andere  gleichzeitig  unendlich  wird. 

Man  führt  diese  Form  auf  eine  der  früheren  zurück,  indem  man 

das  Produkt  in  der  Gestalt  eines  der  Quotienten     — ~, ,  —tSJ    qq^^qI^^^ 

iff{x)         tpix)"'' 
worauf  die  früheren  Sätze  und  Methoden  angewendet  werden  können, 
sofern  die  hierzu  erforderlichen  Voraussetzungen  erfüllt  sind. 

Beispiele.  !./(.«)  =  x^ilxY  nimmt  bei  lim  ic  =  +  0  die  Form  0«  00 
an,- wenn  w,  n  positiv  sind;  bezüglich  n  werde  noch  vorausgesetzt, 
daß  es  so  beschaflfea  ist,  daß  (JxY  bei  dem  Grenzübergange  reell  bleibt. 

Schreibt  man  die  Funktionen  in  der  Form     -J^,  so  tritt  der  Fall  80 

ein,  man  hat  also 

lim  /(x)  =-  lim    -  <—-_—-  vm: lim  i— '-^-  , 

cs+0  —  W-B  "•  X 

die  Form  besteht  weiter,  wenn  n  >  1.  Ist  m  eine  ganze  Zahl,  so 
ergibt  sich  nach  n-maliger  Wiederholung  des  Prozesses 

lim  /{x)  -  -^""-i—  lim  :r«  -  0; 
*«=  +0  w 

liegt  hingegen  n  zwischen  zwei  ganzen  Zahlen  p  und  p  -{-1,  %o  hat 
man  nach  p  4-  1- maliger  Wiederholung 

Mm/{x)  -  (=jr'«(«-»)-(—P)  Ku,  l'i)!:^*  -  0. 

«■+0  Wr  X 

weil   ~7^-^i_M  ein  Bruch   ist,   dessen  Zähler  gegen  Null  konvergiert 

und  dessen  Nenner  tmbegrenzt  wächst. 

Man  kann  den  vorliegenden  P^all  übrigens  durch  die  Substitution 
:r  —  6~'  auf  einen  frühereu  zurückführen;  es  wird  nämlich 


Di«  Formen  0  •  oc  und  oc  —  oo.  14S 

und  da  lim  i;  —  +  0  lUi'  Folge  hat  lim  ms  ^  oo,  so  ui  mit  Beruftiog 

auf  80,  1: 

2.  /(x)  =-  x\a'  —  1/,  worin  a  >  0,  erlangt  sowohl  för  lim  x  —  oo 
als    auch    für   lim  x  =^  —  <x>    die    Form   oo  •  0;    schreibt  man   dafUr 


und  setzt  —  =-  jf,  so  wird 


X 


und  nimmt  für  lim  ^  >*  0  die  Form  -^  an;  man  hat  also  nach  79: 
lim  /{x)  =-  lim  — ^    =-  lim  ^--  —  la. 

82.  Die  Form  oc  —  oo  tritt  bei  /(x)  —  y(a:)  —  M)(x)  ein,  wenn 
bei  einem  bestimmten  Grenzübergange  lim  ar  —  a  Minuend  und  Sub- 
trahend gleichzeitig  gegen  oo  oder  --  oo  konvergieren. 

Man  kann  nun  von  der  Differenz  auf  verschiedene  Weise  auf  einen 

Quotienten  übergehen,  der  dann  eine  der  Formen  -q  ,  ^  annimmt;  so 
kann  /{x)  umgestaltet  werden  in 

1         1       v'(a:r*-<p(xr*  ,«*<'^  ,f-^<^ 


-1     '    ^  Jltix)^   ^ 


und  man  hat  es  im  ersten  und  dritten  Falle  mit  ^ ,  im  zweiten  mit 

—  zu  tun. 

Beispiele.  1.  /(x)  —  ^j^,-  —  -,  ist  bei  a:  —  0  nicht  definiert  und 
nimmt  für  lim  rc  —  0  die  Form  oo  —  oo  an,  in  der  Gestalt  /(x)  — 
^  7-."?-^  aber  die  Form    -  an;  man  hat  also 

X      rtUl    X  vi 

i.       .,  V       ,.  2«  — ein««  ,.^  t— Scott» 

hm/(ar)  -  lim  j^-Ä'xTrx-^iin'ix  *"  ^""  ll^S«'x4-~4ir.ialx  + ix«15rii 

—  lim 
■"  lim 


jraO 


6  ein  Sx  -f  12x  cot  Sx  —  4x*  tin  Sx 

8co8  2x 1 

Si  cot  SdT—  82 X  tin  «X  —  Sx'cot  2x        t 


2.  /(ji)  —  -,  ~  cotg'a:,  da«  bei  lim  a:  —  0  in  unbestimmter  Form 
erscheint,  kann  umgestaltet  werden  wie  folgt: 


144    Anwendaugen  der  Differentiftlquotienten.    §  1.    unbestimmte  Formen. 
^f  ^       «ia'x  —  0?* cot* jf 

noLX'{'Xco%x  iin g  —  ap co< ic     x* 

(■in  Jf    ,  \  ain  jr  —  « ooi  x  /   xc    \« 

der  erste  Faktor  konyergiert  gegen  2,  der  dritte  gegen  1;  der  mittlere^ 
der  die  Form  -^   zeigt,  gegen  die  Grenze  y(79);  folglich  ist 

lim/(*)-|. 

3.  /{x)  ^  X  —  ^(x  —  d)(x  —  6),    worin   die   Wurzel   positiy   zu 
nelimen  ist,  nimmt  für  lim  x^<xi  die  Form  oo  —  oo  an,  geht  aber 

dorch  die   Substitution  x^  --  über  in 

t 


l~|/(l->a/)(l  — »f) 


das  für  lim  j?  =«  +  0  die  Form  -^-  erlangt;  mithin  ist 

lim  f(x)  -  lim  «il  :=  M  Aii|.=;£i)  « 1±5 . 

Der   Fall    läßt   sich   indessen   durch    algebraische   Umgestaltung 
elementar  erledigen;  es  ist  nämlich  auch 

woran  der  Grenzübergang  lim  a* »  oo  unmittelbar  ausgeführt  werden 
kann. 

4.  /(x)  —  cosjpZsinx  —  2  tg  ^  zeigt  bei  lim  a:  -*  +  0  die  Form 

OD  —  oo,  l&ßt  sich  aber  wie  folgt  umgestalten: 

eö0  xl\2  sin  *  cos  *  j  ~  I  sin  |-  +  ?  cos — 

—  cosx* {2  —  (1  —  cos x)l  sin -r-  -f-  (1  +  cosa:)^  cos y; 

das  erste  Glied  konyergiert  gegen  {"2;  das  zweite  gegen  Null,  weil  es 

in  die  Form  — i —  gebracht  werden  kann  (80,  2.);  das  dritte  gegen  0; 

•In«-* 

folglich  ist 

lim/(a?)-i2. 


Die  Form«!  O»   -c».  1*  145 

83.  M%  VormeB  <)•,  oo*,  1^  entepringen  aas  einer  Punktion 
des  Baues  /(^)  —  9>  (^)^^'^  wenn  bei  einem  bestimmten  Grenzüber- 
gänge lim  X  —  a  gleichzeitig 

lim^(T)-0,        lim^(jc)  — 0 

oder  lim  y(x)  —  co,      lim  if(x)  —  0 

oder  lim  ^{x)  —  1,        lim  t{x)  —  oo  (oder  —  cx>) 

wird;  damit  eine  solche  Funktion  wohl  definiert  sei,  ist  noch  erforder- 
lich, daß  ^{x)  >  0  sei 

Schreibt  man  /(x)  in  der  Form  einer  natOrlichen  Potenz: 

so  nimmt  der  Exponent  in  allen  drei  Fällen  die  Form  Ooo  an. 
Hierdurch  ist  die  Torliegende  Aufgabe  auf  den  Fall  81  zurückgeführt. 
Beispidc.  1.  /(x)  =-  ar*  erscheint  bei  lim  o;  —  4-  0  in  der  Form  0^; 
schreibt  man  dafür  f'"  und  beachtet,  daß  der  Exponent  gegen  0  kon- 
vergiert (81;  1.),  80  ergibt  sich 

lim  /(x)  -  1. 

2.  /{x)  —  (tgo;)'^«  nimmt  bei  lim  a;  —  *  —  0  die  Form  <»•  an; 
achreibt  man /(a:)  ==•  c~*  *'***,  so  zeigt  der  Exponent,  in  der  Qeetalt 

-  *  geschrieben,  die  Form  ^,  und  sein  Grenzwert  ist 

iec'oj 
,.         iäx  ,.      seca;       ,.        secxtgx         v  ^  a 

1™  .i^i  tgx  -  l«°  tg'i  -  »«"  3tgx.«>'i  -  ^"^  Si«.x  -  <*' 

daher  hat  man 

lim  /{x)  -  1. 

3.  FQr  Wms^ou  und  ein  beliebiges,  aber  bestimmtes  x  erlaugt 

i\  4-  iL y  die  Form  1* .    Bringt  man  es  in  die  Gestalt  e  '     und  er- 
mittelt 

lim  ^  -,-^-  -  lim  7  -  ~-i-  -  «»» -^  -  *. 

80  kommt  man  zu  der  wichtigen  Formel 


,im(l4.f)'- 


f*. 


die  eine  Erweiterung  der  Formel  47,  (14)  bildet. 

Ciub«>r,  Höhere  MAthometik.  1-  Anfl  10 


146     AnwendnDgen  der  DifferentialqnotienteiL    S  2.   Maxima  und  Minima  nsw. 
4.  Auch  /(£)  «-  (cos  ax)*'  wird  bei  lim  jj  —  0  unbestimmt  in  der 

hl  pota» 

Fonn  1*;  setzt  man  aber  in  e    '^      um,  so  wird  der  Exponent  un- 
bestimmt lAf  und  sein  Grenzwert  ist 

r     —  «^  tingj      ,.  —  a*h  co«  ax  ^o*d 

"gjc  coaa«    ""         S  cos  a«  —  2aa:  Bin  a«  "        «' 
so  daß 

_£* 

84.  Vermischte  Beispiele.  Kachstehende  Funktionen  nehmen 
bei  den  ver/xüchueten  Grenzübergängen  die  danebenstehenden  Grenz- 
werte an: 

tgx    sin«  —  xco%x    tgaaf  — aap    x  —  sinx 
X    ^  X*  'tgfta?  —  fcx'tgx  —  x' 

a'-h'l..  ^     .     1      a«     1     '& 


d 

siax  —  coix        ^  ~^^ 

iin2x  —  co8«x 


'^,(li--T;^) 


2'  sin  —  (lim  x  —  cx);  a). 
(a-x)tg||(lima:-a;  —)• 

2  a?  tg  z  —  31  sec  a;  (lim  x  —  — ;  —  2j  • 

1 
j;*  (lim  a:  «  oo;  1). 

(8ina:)*«''(lim  X  -  +  0;  1). 

(tgx/»*'(limx-  +  0;l). 

§  2.  Maxima  und  Minima  expliziter  FanktioBen  einer  Yariablfs. 

86.  Begriff  der  extremen  Werte  einer  Funktion.    In  dem 

Verlaufe  einer  7ÜdU  monoiünm  Funktion  sind  solche  stellen  von  be-  * 
sonderer  Bedeutung,  an  welchen  ein  Übergang  vom  Wachsen  zum 
Abnehmen  oder  umgekehrt  stattfindet.  Die  zugehörigen  Funktions- 
werte trennen  die  Kontinua,  die  von  der  Funktion  nacheinander  im 
abwechselnden  Sinne  durchlaufen  werden;  man  bezeichnet  sie  als  ex- 
treme Werte  der  Funktion  oder  kurz  als  deren  Extreme. 

Die  im  Intervall  (a,  ß)  stetige  Funktion  /(a*)  hat  an  der  Stelle 
s  —  a  im  Innern  des  Gebiets  einen  relativ  größten  Wert  oder  ein 


Beispiele  unbeetimmter  Formen.  —  Oewöbnliehe  Eztfeme.  147 

Maximum,  wenn  sie  daselbst  Tom  Wachsen  zoin  Abnehmen  Übergeht; 
und  einen  relativ  kleinsten  Wert  oder  ein  Minimum y  wenn  sie  Tom 
Abnehmen  zum  Wachsen  übergeht.  Präziser  und  für  die  analytische 
Verwertung  geeigneter  gesagt,  findet  ein  Extrem  statt,  wenn  sich  eine 
positive  Zahl  d  angeben  läßt  derart,  daß  entweder 

/(«-*)</(«)  >/(a  +  Ä)  (1) 

oder  /(a  -  A)  >/(a)  </(a  +  A),  (2) 

so  lange  die  positive  Variable  h  der  Bedingung 

h<d 

genügt;  die  Beziehung  (1)  kennzeichnet  ein  Maximum,  (2)  ein  Minimum. 

DiQ  zulässige  Größe  von  d  hängt  davon  ab,  wie  häufig  die  Funk- 
tion deu  Sinn  ihrer  Änderung  wechselt;  bei  Funktionen,  bei  denen 
Maxima  und  Minima  in  rascher  Folge  abwechseln,  wird  d  klein  ge- 
wählt werden  müssen;  für  die  Zwecke  der  folgenden  Untersuchung 
kann  ö  beliebig  klein  gedacht  werden. 

Die  Begriffe  des  Maximums  und  Minimums  sind  von  deu  Be- 
griflPen  des  größten  und  des  kleinsten  Wertes  der  Funktion  im  Inter- 
Tall  (c,  /3)  wohl  zu  unterscheiden;  der  größte  Wert  schlechtweg  braucht 
nicht  mit  einem  Maximum  und  der  kleinste  Wert  nicht  mit  einem 
Minimum  im  Sinne  der  obigen  Definition  identisch  zu  sein.  Bei  der 
Beurteilung  dieser  Frage  muß  der  ganze  Wertevorrat  der  Funktion^ 
müssen  also  auch  ihre  Werte  an  den  Enden  des  Intervalls  in  Betracht 
gezogen  werden. 

Die  Feststellung  der  extremen  Werte  hat  in  den  angewandten 
Gebieten  besondere  Bedeutung,  weil  es  sich  hier  häufig  darum  handelt, 
gerade  diese  Werte  zu  erzielen. 

86.  Notwendige  Bedingung  bei  Vorhandensein  eines 
eigentlichen  DÜTerentialqnotienten.  Der  Übergang  vom  Wachsen 
zum  Abnehmen  oder  vom  Abnehmen  zum  Wachsen  kann  in  ver- 
schiedener Weise  vor  sich  gehen.  Der  gewöhnliche,  die  Regel  bildende 
Fall  ist  der,  daß  die  Funktion  eigentliche  Difierentialquotienten  be- 
sitzt bis  zu  jener  Ordnung,  die  bei  der  Untersuchung  noch  in  Betracht 
kommt.  Unter  dieser  Voraussetzung  läßt  sich  zunächst  der  Satz 
nachweisen,  daß  an  einer  Stelle,  an  tcelcher  die  Funktion  ein  Extrem 
erlangt,  ihre  Ableitung  notuendig  verschwindet. 

Im  Falle  des  Maximums  folgt  nämlich  aus  (1),  daß 

/(a-^)-/(«)^Q  /^L±*) -/(?-)  <0, 

—  h  h 

und  da  beide  Quotienten  mit  lim  A  —  0  gegen  eine  und  dieselbe  Orense 
konvergieren,  so  kann  /'(a)  weder  positir  noch  negativ  sein,  e«  iat 
also  notwendig  gleich  Null. 

10* 


148     Aiiwendongen  der  DiffareatialquotienttiQ.    §  8.   Mftiima  und  Minima  oiw. 
Im  Faile  des  Minimums  ist  wegen  (2) 

und  die  gleiche  Schlußfolgerung  fQhrt  zn  der  Erkenntnis,  daß  not- 
wendig /\a)  =»  0  sein  milsse. 

Hiemach  lautet  die  erste  Regel:  Um  die  Stellen  zu  finden ^  an 
welchen  eine  mit  einetn  eigenthchen  Bifferentialquotimten  begabte  Funk- 
tion f(x)  extreme  Werte  annehmen  kanny  setze  man  f'(x)  «-"  0  und  löse 
diese  Gleichung  nach  x  auf. 

Die  bedingte  Formulierung  ist  dadurch  geboten,  daß  ja  /"(x)  auch 
an  einer  Stelle  Null  werden  kann,  in  deren  Umgebung  /{x)  wächst 
oder  abnimmt  (71). 

Die  unmittelbarste  Entscheidung  darüber,  ob  /(x)  an  einer  Stelle 
iC  —  a,  die  aus  /(x)  «  0  als  Wurzel  hervorgeht,  tatsächlich  einen  ex- 
tremen Wert  erreicht,  besteht  in  der  Uutersuchung  des  Verhaltens 
von  /'(x)  in  einer  beliebig  engen  Umgebung  (a  —  d,  a-\-  d)  in  Beeng 
auf  das  Vorzeichen.  Ist  /'(x)  in  (a  —  d,  «)  positiv,  in  (a,  a  -{-  S) 
negativ,  so  ist  /(a)  ein  Maximum ,  bei  dem  umgekehrten  Verhalten 
ein  Minimum. 

Die  Funktion  /{x)  —  2x'  —  3a?*  -i-  b  beispielsweise  hat  die  Ab- 
leitung 

/Xx)^ex(x-^il 

die  an  den  Stelleu  a:  =  0  und  a;  —  1  Terschwindet.    Nun  i«t,  sobald 
0<d<l, 

/(-  d)  «  66{ö  -f-  1)  >  0,       /\d)  -  -  6(J(1  ^  d)<  0, 

daher  /(O)  mm  h  ein  Maximum;  femer  unter  der  gleichen  Voraussetzung 

y'(l  -.  5)  «  -  6d(l  -  d)<  0,     /(l  +  Ö)  ^6d{l-rd)>  0, 

daher  /(!)  —  6—1  ein  Minimum. 

87.  UnterBoheidong  swisohen  Maximum  und  Minimum. 

Bei  Existenz  auch  höherer  eigentlicher  Uifferoatialquotienten  laßt  iich 
die  Entscheidung  auf  Grund  dieser  systematisch  treffen. 

Da  ein  Maximum  dadurch  gekennzeichnet  ist,  daß  innerhalb  einer 
genügend  eng  begrenzten  Umgebung 

/(a  -  ;*)  >  0,       /(a)  -  0,       /\a  +  Ä)<  0, 
■0  folgt,  daß 

daß  also  /\x)  in  der  Umgebung  Ton  a  abnehmend  ist;  infolgedessen 
i8t/"(a)<0  oder  «-0. 

Einem  Minimum  entspricht  das  durch  jdie  Ansatie 

f{a-h)<0,       /(«)-0,       Aa  +  h)>0 


Merkmale  für  Maiima  nnd  MioinuL  149 

gekennseiclmete  Verhalten  von  /  \x),  das  zu 

/\a  -  h)</Xa)</\a  •{•  h) 

führt  und  zeigt,  daß  /'(a)  in  der  Umgebung  von  a  wachsend  ist; 
folglich  i8t/"(a)>0  oder  -0. 

Sieht  man  also  von  dem  Falle  /"(a)  =»  0,  der  noch  keine  Ent- 
Bcheidung  bringt,  ab,  so  kann  als  zweite  Regel  ausgesprochen  werden: 
,,Wenn  an  der  aus  /\x)  -=  0  berechnetett  SidU  x  »»  a  /'\a)  <  0  iH^ 
so  ist  /(a)  ein  Maximum,  hingegen  ein  Minimum^  tvenn  /"(«)  >  0  isL 

Es  steht  fest,  daß  y\x)  in  der  Umgebung  der  Stelle  eine«  Maxi- 
mums abnehmend,  in  der  Umgebung  der  Stelle  efnes  Minimums 
wachsend  ist;  wenn  dabei  /"(a)  «  0  ausfallt,  so  zeigt /"(a:)  in  der 
Umgebung  des  Maximums  folgendes  Verhalten: 

/"(a-Ä)<0,    /'(«)-0.    /"(a  +  h)<0, 
80  daB  /"(a  -  h)  </"(a)  >/"(«  +  *), 

in  der  Ümgebang  des  Mioimoms  das  Verhalten 

/>^Ä)>0,    /»«O,    /'(a  +  Ä)>0, 

so  daß  /'\a  -  h)  >/\a)  <f\a  +  Ä): 

es  ist  also  im  ersten  Falle  /"(a)  selbst  ein  Maximum,  im  zweiten 
Falle  ein  Minimum  von  /\x)f  infolgedessen  /  "(a)  —  0  und  /^(a), 
wenn  es  nicht  verschwindet,  negativ,  bzw.  positir. 

Daraus  ergibt  sich  die  weiter  tragende  Regel:  Wenn  an  der  Stdle 
«  —  a,  die  aus  /*{x)  «=  0  berechnet  tcordenj  fix)  verschwindet,  so  kann 
/(x)  einen  extremen  Wert  daselbst  nur  dann  erlangen,  tcenn  auch 
/  (a)  =  0  ifi\  die  Enischeidttng  ist  dann  endgiltig  möglich,  wenn 
/^(a)  4*  0,  utifJ  zwar  ist  /{a)  ein  Maximum  oder  Minimum,  je  nacÄ- 
dem  /"^^(a)  <0  oder  >0  ist. 

88.  Allgemeines  Kriterinm.  Um  ein  alle  Möglichkeiten  um- 
fiissendes  Kriterium  zu  gewinnen,  setzen  wir  voraus,  es  sei  außer 
f{a)  -  0  auch  /\a)  «  0,  /'»  -  0,  ... .  /<— ^>(<i)  -  0,  hingegwi 
/('•)(a)  4.  0.    Die  mittels  /(x)  gebildete  Funktion 

zeigt  dann  bei  lim  x  »  a  die  unbestimmte  Form  ^,  die  bei  Anwendung 

des  in  79  entwickelten  Verfahrens  auch  nach  n  —  Imaliger  Diffeien- 
tiation  von  Zahler  und  Nenner  noch  anhält,  so  daß  auch 

,  =  a    («  —  «)"  »(ll  — 1)  •••§(«— a\ 

noch  nicht  zor  endgiltigen  Bestimmung  des  Grenzwertes  fBhri:  d^  aber 
lim /::!(?'  -  lin./r^*)i:/ܱW      .^,u^) 


150  Anytendnngen  der  Differentiftiqaotieoien.  §  8.  Iffaxinm  und  Minima  usw. 
ist,  8o  wird 

woraus  der  fOr  ansem  Zweck  wesentliche  Umstand  folgt,  daß/('a?)  — /(«) 
schließlich,  d.  h.  in  einem  genügend  engen  InterraU  {a  —  d,  a  +  d), 
das  Vorzeichen  Ton  {x  —  a)"/t")(a)  besitzt. 

Ist  nun  n  gerade  so  hat  /{x)  ~/{o)  in  der  ganzen  durch  dieses 
Intervall  bezeichneten  Umgebung  bestandig  dasselbe  Vorzeichen,  und 
zwar  das  von/^"^(a);  folglich  ist  /(a)  ein  Minimum,  wenn /<">  (a)  >  0, 
ein  Maximum,  wenn  /^"^(a)  <  0  ist. 

Bei  ungeradem  n  hingegen  wechselt  /(x)  —/(«)  sein  Vorzeichen 
beim  Übergang  von  der  einen  Seite  der  Stelle  a  zur  andern,  es  findet 
ein  extremer  Wert  nicht  statt;  vielmehr  ist  /{x)  in  der  Umgebung 
von  a  wachsend,  wenn  /^^\o)  >  0,  abnehmend,  wenn  ß*\a)  <  0  ist. 

Demnach  lautet  die  alle  Fälle  umfassende  Regel:  An  einer  Stelle 
a:  —  a,  die  der  Gleichung  /'(rp)  —  0  genügt,  erlangt  /(x)  ein  Extrem  nur 
dann,  toenn  die  nächste  an  dieser  Stelle  nicht  verschwifidende  Ableitung 
von  gerader  Ordnung  ist;  ist  sie  negativ,  so  ist  /(a)  ein  Maximum^ 
dagegen  ein  Minimum,  wenn  diese  Ableitung  positiv  ist. 

Bei  der  Darstellung  von  /(x)  durch  die  Ordinaten  einer  Kurve 
hat  das  gemeinsame  Merkmal  von  Maximum  und  Minimum,  d.  i. 
/^(a)  —  0,  eine  anschauliche  Bedeutung;  es  besagt,  daß  in  den  Punkten 
der  Kurve,  zu  welchen  extreme  Werte  von  /(x)  gehören,  die  Tan- 
gente parallel  ist  zur  Abszissenachse  (56). 

89.    Beispiele.      1.    Die    in    86    behandelte    Funktion  /(x) 

—  2x'  —  3x*  4-  h  erledigt  sich  mit  Hilfe  der  zweiten  Ableitung  /"(x) 

—  12a:  —  6,  wie  folgt:  es  ist 

/"(O)  -  -  6  <  0,    daher  /(O)  «  h  ein  Maximum, 
/"(l)  -      6  >  0,     daher  /(l)  -  6  -  1  ein  Minimum. 

2.  Für  /(x)  —  -   ergibt  sich  durch  Nullsetzen  von/'(x)  —  ~ 
d?  — «  als  die  einzige  Stelle,  an  der  ein  extremer  Wert  stattfinden 
kann;  da  femer /"(a?)  —  — -r—,  somit /"(c)  -■  ^- <0,  so  i8t/(e)  —  - 

der  Maximalwei*t  der  Funktion. 

3.  Die  Frage,  ob  es  ein  Logarithmensystem  gibt,  in  dem  einmal 
der  Logarithmus  mit  dem  Numerus  übereinstimmt^  kann  in  folgender 
Weise  erledigt  werden.    Setzt  man 

loga«-^-y,    a>l« 
•o  hat  man  es  mit  einer  Funktion  zu  tun,  die  sowohl   für  kleine 
(unter  1  liegende)  als  anch  für  große  positive  Werte  von  x  negativ 
ist;  wenn  also  ihr  Maximalwert  positiv   oder  Null  ist,  so  tritt  der 
Fall  y  —  0  notwendig  (zwei-  oder  einmal)  ein  (51,  3). 


Beifpiele  Ton  Extremweriea.  151 

,      log  e 
Nun  ist  y  —  — ^  —  1^  vewch  windet  bei  x  -^  log^«,  i«t  vor  dieser 

Stelle  positiv,  jenseits  derselben  negativ,  folglich  itt 

ein  Maziraum*)  Ton  y;  man  hat  also  zur  Lösimg  der  Frage  den  Ansatz 

löga  log^e-log^e>0, 
vroraus 

log  f 

log,  7^0, 

log,eV>l 

und  Bchließlich  a  <  e'  »=  1,4440^57  •  •  •  folgt.  Nur  in  solchen  Loga- 
rithmensystemen tritt  also  der  oben  erwähnte  Fall  ein,  deren  Basis 
unter  dieser  Zahl  liegt. 

4.  Handelt  eg  sich  um  die  Extreme  einer  Funktion,  welche  die 

Form  eines  Braches  -  besitzt,  dessen  Zahler  und  Nenner  von  x  ab- 

hängen,  so  kann  die  Rechnung  eine  wesentliche  Vereinfachung  er- 
fahren.    Zunächst  ist  für  das  Verschwinden  von 

notwendig,  daö 

M'r  —  Mt'— 0  («) 

sei,  wenn  nicht  für  den  aus  diesf r  Gleichung  berechneten  Wert  t  ^  a 
ausnahmsweise  auch  v  ^  0  ist.  Diesen  Fall  ausgeschlossen,  hat  man 
weiter 

/  (ar)- -,. , 

also 

Mithin  hat  man  nur  den  Ausdruck 

u"v  —  uv"  (fi) 

auf  sein  Vorzeichen  zu  prüfen,  um  über  Maximufn  oder  Minimum  aa 


H^   entscheiden. 

'  So  lautet  für  /(x)  «  ^vl-f  ^  f  die  Gleichung  («) 


x«-l-0 


-X  ^/»  Z?at  kann  nicht  verwendet  werden,  weil  man  über  dai  Vof^ 

seiGhen  von  log  e  von  vomebereiA  nichtt  aoMagea  kann. 


/(f) 


152     Anwesdnogezi  der  DitfereciialquotieDten.    $  t.   Maxima  und  Minima  mw. 

ond  der  Ausdruck  (ß)  —  4x'^  er  ist  für  j;  —  —  1  positiv,  für  x  ^  1 
negatir;  folglich  ist 

/(--.  1)  «•  -^  ein  Minimum,    /(l)  —  3  ein  Maximum. 

5.  Die  Zahl  a  ist  in  zwei  Teile  zu  zerlegen  derart,  daß  das  Pro- 
dukt dieser  Teile  den  größtmöglichen  Wert  annehme. 

Ist  der  eine  Teil  x,  so  ist  a  —  z  der  andere,  und  es  handelt  sich 
um  das  Maximum  toxi 

/(x)  -  x{a  -  x). 

Aus  /'(x)'^a  —  2x  ^0  folgt  ^  -«  g  ,  und  da  /"(x)  —  —  2  negatir 
ist,  so  ist  tatsächlich 

i 
der  größtmögliche  Wert  des  Produktes. 

Auf  diesen  einfachen  Fall  lassen  sich  mancherlei  Probleme  zurück- 
führen; als  Beleg  dafür  mögen  die  folgenden  dienen. 

a)  Unter  den  Rechtecken  von  gegebenem  Umfange  2a  jenes  von 
der  größten  Fläche  zu  bestimmen. 

Heißt  eine  Seite  des  Rechtecks  Xy  so  ist  a  — x  die  andere;  es 
soll  also  x(a  —  x)  ein  Maximum  werden.  Das  verlangte  Rechteck 
ist  demnach  das  Quadrat. 

ß)  Unter  den  einem  gegebenen  Kreise  vom  Durchmesser  a  ein- 
geschriebenen Rechtecken  dasjenige  von  der  größten  Fläche  aufzu- 
suchen. 

Ist  X  die  eine  Seite  des  Rechtecks,  so  ist  das  Quadrat  der  anderen 
a^'-x^y  x|/ä*— X*  die  Fläche;  ihr  Quadrat  a;*(a*--x*)  wird  ein  Maxi- 
mum  für  x'  — y,  die  Fläche  selbst  ist  dann  ebenfalls  ein  Maximum 

=»  ~  und  der  Gestalt  nach  ein  Quadrat,  weil  x—  y^a*  —  a:*  — --=.  • 

y)  Den  Elevationswinkel  bei  dem  schiefen  Wurf  zu  bestimroeD, 
bei  welchem  sich  die  größte  Wurfweite  einstellt. 

Heißt   c  die   Wurfgeschwindigkeit,   g    die    Beschleunigung    der 

Schwerkraft  und  x  der  Elevationswinkel,  so  ist dieWurf- 

weite;  sie  wird  zu  einem  Maximum,  wenn  sinx  cosjc  oder  sin' o?  cos' x 
—  8in*Jt(l  —  sin'x)  seinen  größten  Wert  erlangt;  dies  aber  geschieht 

für  sin'x  —  ^ ,  also  für  x  —  ^,  d.  i.  bei  einem  Winkel  von  45^ 

d)  Die  Höhenlage  der  Öffnung  in  der  Seitenwand  eines  bis  zu 
einer  gewissen  Höhe  mit  Flüssigkeit  gefüllten  Gefäßes  zu  bestimmen, 
bei  welcher  die  Ausflußweite  am  größten  ist 

Bedeutet  h  die  Tiefe  der  horizontalen  Grundebene  und  x  die 
Tiefe  der  Öffnung  unter  dem  Flflssigkeitsspiegel,  so  ist  die  Ausfluß- 


Beispiele  von  Extremwerten.  153 

weite  2  yt(h  —  x);  sie  wird  am  größten,  wenn  x(A—  x)  ein  Maximum 
erreicht^  und  dieses  tritt  fUr  x  —  ^  ein.  Die  AusÜußwcIte  seihet  ist 
dann  rr  —  A. 

t)  Einem  Dreieck  ein  Rechteck  derart  einzaschreiben,  daß  eine 
Seite  des  Rechtecks  in  die  Basis  des  Dreiecks  fallt  und  seine  Flache 
möglichst  groß  wird. 

Bezeichnet  man  mit  Cy  h  Basis  und  Höhe  des  Dreiecks  und  mit 
X  den  Abstand  der  gegenüberliegenden  Rechtecksseit«  Ton  der  Spitze, 

so  drückt  sich  die  Rechtecksfläche  durch  ,  x{h  —  x)  aus,  wird  also 

ein  Maximum,  wenn  o;  °=      ist 

6.  Einer  Kugel  einen  Kegel  von  maximalem  Volumen  einzu- 
schreiben. 

Ist  r  der  Radius  der  Kugel  und  x  der  Abstand  ihrofl  Mittel- 
punktes Ton  der  Kegelbasis,  so  hat  das  Volumen  des  Kegels  dtsi 
Au'5  druck 

Der  variable  Teil,  (r ^  —  x^(r  ~\-  x),  erlangt  ein  Maximum,  wenn 

d.  h.  wenn  ^  «*  3  ;  die  andere  Wurzel,  x  =^  —  r,  führt  auf  einen  be- 

langlosen  Grenzfall.  Es  ist  demnach  maxt?*-  m'^^  ^'  i-  ^7  ^*^™ 
Inhalt  der  Kugel. 

7.  Einer  Kugel  einen  Kegel  von  maximaler  Mantelfläche  einzu- 
schreiben. 

Mit  Beibehaltung  der  vorigen  Bezeichnungen  ist  die  Mantelfläche 


FTiemach  hat  derselbe  Kegel,  dessen  Volumen  ein  Maximum,  auch  die 
größte  Mantelfläche;  maxilf  «»       r*^3. 

8.  Aus  einer  Kreisscheibe  einen  Sektor  so  auszuschneiden^  daß 
der  aus  dem  Rest  der  Scheibe  geformte  Trichter  «*inen  mtiglichst 
großen  Fassungsraum  besitze. 

Bezeichnet  r  den  Radius  der  Scheibe,  x  das  Bogenmaß  den  Zentri- 
winkels des  restlichen  Sektors,  so  ist  das  Volumen  des  kegelfT^rroigen 
Trichters 

"  -  f(i")  V^- a'-  -r  (f.)'  i/r-W- 

Setzt  man  (5—)  =  y,  so  handelt  es  sich  nm  das  Maximum  von  f  VT— Jf 


154     Anwendungen  der  Differentialquotienten.    §  2.   Mazima  nnd  Minima  usw. 

oder  von  y*(l  ~y);  dieses  tritt  ein  für  2y--3y^— 0,  also,  von  der 
belanglosen    Bestimmung  y  — 0   abgesehen,   für  y—  ^^   mithin    für 

x  »-  2«!/     ,  d.  i.  fQr  einen  Zentriwinkel  von  293,  94,  und  zwar  ist 

maxt;=-  21  ^^V^' 

9.  An  den  Ecken  einer  rechteckigen  Tafel  sind  quadratische 
Ausschnitte  anzubringen  derart,  daß  der  aus  dem  Rest  geformte  pa- 
rallelepipedische  Behälter    einen    maximalen   Fassungsraum   annehme. 

Sind  a,  h  die  Seitenlangen  des  Rechtecks,  x  die  Seite  des  Aus- 
schnitts, so  ist  der  Inhalt  des  Behälters 

v  =  (a  -  2x)  (b  -  2x)x  -  4x^-  2{a  +  h)x^+  ahx. 

Znr  Bestimmung  von  x  hat  man  also  die  quadratische  Gleichung 

12a:*-4(a-f-fe)a;-f  a2>-0, 

deren  Wurzeln 


a  4-  h'-Ya^-^b*  —  ah  a  -f- 6 -f  Vo'-j- 6«~  o& 

sind;  die  zweite  Ableitung,  24a;  — 4(a  -f  6),  nimmt  an  diesen  Stellen 
die  Werte 

-4l/a'+6«~a&,        4>/a«+ft*-'a6 

an,  so  daß  x^  zu  dem  verlangten  Maximum  föhrt.  Der  zweiten 
Lösung  x^  würde  arithmetisch  ein  Minimum  entsprechen;  mit  Bezug 
auf  das  gestellte  Problem  ist  sie  aber  unzulässig;  denn,  ist  b  die 
kürzere  der  beiden  Seiten,  so  ist 


weü  (26~a)«-a*-45(a-«»)<a»4-&*--a«>-"a«-6(a-6),  da- 
her 2X|  >  b  und  der  Ausschnitt  nicht  möglich. 

10.  Es  sind  zwei  Punkte  -4,  B  und  eine  sie  nicht  trennende  Ge- 
rade XX'  gegeben  (Fig.  37).     Man  soll  den   kürzesten  über  einen 

^ --^^  Punkt  von  XX'  führenden  Weg  von 

ffH^^         ^\  A  nach  B  bestimmen. 

\     N.  -•  ..^   \  Einem  Grundsatze  der  G^metrie 

|\s\v     "z^..,  zufolge  wird  der  Weg  aus  ewei  gerad- 

X' — ■^, — ^^^<^>  ^^^ — ^  linigea  Strecken  sich  zusammensetzen, 
ii^  so  daß  c«  darauf  ankommt,  den  Punkt 

Flg.  S7.  P   in  XX'    so    zu    bestimmen,    daß 

Ä  —  ^P  H-  PB  ein  Minimum  werde. 
Setzt  man  AA'-^a,  BB'^b  w4'B'-«r,  A'P^x,  so  ist 

8  -  "Kä»T?+  V^(C'-1^, 


ÜeiBpiele  von  Eitreiowfrten.  2^ 

uud  die  notwendige  Bedingung  für  ein  Extrem  lautet: 

^  ^        * "_c  —  X 

äx  "  y^t  ^.-f      yi^f^:j^^^^M  -  0,  («) 

oder  in  den  Linien  der  Figur  ausgedrflckt: 

AP      PB' 
ÄP  ■*  BP' 

daraus  schließt  man  auf  die  Ähnlichkeit  der  Dreiecke  ÄA'F  und 
BB'F  und  hieraus  wieder  auf  die  Gleichkeit  der  Winkel  X'PÄ  und 
XTB.  Die  Konstruktion  von  P  geschieht  in  der  Weise,  daß  B'B^^ 
—  BB'  gemacht  und  A  mit  if,  Terbunden  wird. 

Hiernach  ist  das  Reflex ionsgesetz  ein  ökonomiegesets  der  Natur: 
die  FortpfliMizung  des  Lichtes,  des  Schalles  u.  a.  durch  Reflexion  er- 
folgt so,  daß  von  einer  Stelle  zur  andern  der  kürzestmöglichste  Weg 
erforderlich  ist. 

Die  direkte  Verfolgung  der  Bedingungsgleichung  («)  führt  nach 
Beseitigung  der  Irrationalitäten  und  der  Nenner  zu  der  quadratischen 
Gleichung 

(6^  -  a«)a:*  -f  2a*cx  -  a*c«  -  0,  {ß) 

und  diese  gibt  die  beiden  Wurzeln 

ae  ae 

^i  —  ö  +  i)'     ^»"=^-6? 

die  erste  leitet  auf  die  gefundene  Losung  hin;  denn  aus  der  herror- 
gehobenen  Ähnlichkeit  folgt 

i'P:a  =  (c--4^:5, 


woraus 


Die  zweite  Losung  ist  der  gestellten  Aufgabe  fremd  und  rührt  daher, 
daß  die  Gleichung  (ß)  umfassender  ist  als  (a)  infolge  der  ausgeführten 
Qnadrierung;  die  Gleichung  (ß)  schließt  auch  die  Bedingung  für  das 
Maximum  von  AP  — BF  oder  von 

in  sich  und  hierfür  gilt  x^y  das  den  Schnittpunkt  Q  der  Geraden  AB 
mit  XX'  bestimmt;  in  der  Tat  ist 

AP-PB<AB, 

daher  AB  der  Maximalwert  der  Differenz  AP  —  PB,  welcher  sich 
dann  einstellt,  wenn  P  mit  Q  zusammenfällt 

Man  hätte  auch  von  der  folgenden  Betrachtung  ausgeben  können. 

Der  Ort  der  Punkte  P,  für  welche  AP -\-  PB  einen  bestimmten 
konstanten  Wert  s  bat,  ist  eine  Ellipse  mit  den  Brennpunkten  AB 
und  der  großen  Achse  s  (Fig.  37);  die  kleinste  unter  diesen  (konfo- 


156     Anwendungen  der  Differentialqnotienten.    §  9.   Maxima  und  Minima  usw. 

kalen)  ElJipst'n,  welche  mit  der  Geraden  XX'  reelle  Punkte  gemein 
hat,  iBt  diejenige,  welche  sie  beröhri:  der  Berührungspunkt  begtimrat 
die  Lösnng  der  Aufgabe  und  hat  nach  einer  bekannten  Eigenschaft 
der  EUipsentangente  eine  solche  Lage,  daß  <C  X' PÄ  =  ^  XPB. 

11.  Es  sind  zwei  Punkte  A,  B  und  eine  sie  trennende  Ebene  MM' 
gegeben  (Fig.  38).     Man  soll   den   Weg  von  Ä  nach   B  bestimmen, 

welchen  ein  Bewegliches  in  der  kürzesten 
Zeit  zurücklegt,  wenn  es  sich  von  Ä  bis 
zur  Ebene  mit  der  Geschwindigkeit  u  und 
von  da  ab  bis  B  mit  der  Geschwindigkeit  v 
.  bewegt. 
^^^  Der  Weg  wird  sich  n(»twendig  aus  zwei 

^  geradlinigen  Strecken  zusammensetzen  und  be- 

^'*'  '*  stimmt  sein,    sobald  man  den  Punkt  P  der 

Ebene  kennt,  über  welchen  er  führt.  Von  diesem  läßf.  sich  femer 
erweisen,  daß  er  in  die  Verbindungslinie  der  orthogonalen  Projektionen 
Ä\  B'  von  Ay  B  auf  MM'  falle,  daß  der  Weg  selbst  also  in  der 
durch  Af  B  zu  MM'  gelegten  Normalebene  verlaufe.  Denn  zu  einem 
Wege  wie  A(^B,  der  ober  einen  Punkt  Q  außer  ^'^'  führt,  läßt  sich 
immer  ein  Weg  finden,  der  in  kürzerer  Zeit  zurückgelegt  wird  als 
AQBx  man  braucht  nur  QF  senkrecht  zu  AB'  zu  ziehen,  und  er- 
kennt sogleich,  daß  AB<AQ,  BP<BQ,  daß  also  auch  ABB  in 
kürzerer  Zeit  zurückgelegt  wird  als  AQB. 

Ist  AA'^aj  BB'^hy  A'B'^c,  .l'P-jc,  so  ist  die  für  den 
Weg  APB  erforderliche  Zeit 

und  ihr  kleinster  Wert  ergibt  sich,  wenn  P  so  gewählt  wird,  daß 

li  dg        g  — g ^  ^ 

d  *  "*  II  y/a'^'-fx*       »V'fc* -f '(«  ~  «)'  "     ' 
ider  in  den  Linien  der  Figur  ausgedrückt,  daß 

1     Ä'P       t    PB' 
y  *  AP  ""  «  *  JBP» 

bezeichnet  man  also  die  Winkel,  welche  die  Wegteile  AP  und  BP 
mit  dem  Lote  zur  Ebene  einschließen,  mit  o,  ß,  so  ist  der  verlangt« 
Weg  durch  die  Beziehung 

•ia«      « 

isr^"7 

gekennzeichnet,  wonach  das  Sinnsv^rhRltnii  der  genannten  Winkel 
gleich  sein  muß  dem  analog  gebildeten  Verhältnis  der  Geschwindig- 
keiten. 


Beispiele  von  Eitremwerien.  —  Außergewöhnliebe  Extreme.  157 

Man  erkennt  bierin  das  Kefraktionsgeaeti  der  Optik.  Die  Fort- 
pflanzung dt'S  Lichtes  aus  einem  Mediom  nach  einem  von  anderer 
optischer  Dichte  j»eht  also  so  vor  sich,  daß  das  Licht  ton  einer 
Stelle  za  einer  andern  in  möglichst  kurser  Zeit  gelangt 

12.  Ein  Kreiszylinder  von  gegebenem  Volumen  ist  so  lu  formen, 
daß  er  eine  möglichst  kleine  Oberflache  erhalte. 

Bezeichnet  man  Uadius,  Höhe  und  Volumen  de«  Zylinders  mit 
X,  y,  V,  so  ist  seine  Oberfläche 

0«2ffar(x-fy), 
und  weil  nx-y  —  r,  auch 

0  =  2*jr(a:  +  ^)-2;rx«  +  y 

sie  erlangt  ihren  größten  Wert,  wenn 

also  x-=  [/j,,  »nd  weil  dann  y^y  -^  so  ist  y  —  2a:,  der  frag- 
liche Zylinder  also  gleichseitig;  min  0  —  3f/2»t''. 

90.  AnBergewöhnliche  Extreme.  Darunter  werden  solche 
Maxima  und  Minima  verstanden,  die  mit  einem  besonderen,  von  dem 
bisherigen  abweichenden- Verhalten  dps  Differentialqnotienten  verbunden 
sind  und  daher  durch  das  in  86  entwickelte  Verfahren  nicht  gefunden 
werden  können. 

1.  Wenn  die  abgeleitete  Funktion /'(a)  an  einer  Stelle  x  «  a 
aufhört  definiert  zu  sein,  wenn  aber /(j^  selbst  an  dieser  Stelle  be- 
stimmt ist  und  einen  linken  und  einen  rechten  Differentialquotienten 
zuläßt,  die  ungleich  bezeichnet  sind,  so  ist  /(a)  ein  Maximum  oder 
ein  Minimum  je  nach  der  Aufeinanderfolge  der  Vorzeichen. 

Ist  z.  B.  der  linke  Differentialquotient  positiv,  so  wird 

schließlich,  d.  h.  in  gehöriger  Nähe  von  a,  positiv,  folglich 

/(a -*)</(«) 

bleiben  müssen;  ist  gleichzeitig  der  rechtt^  Differentialquotient  negativ, 
80  wird 

h 

scliließlich  negativ,  also 

/(ii)>/ia  +  Ä) 

bleiben  müssen;  durch  dieso  Relationen 

/(fl-Ä)</(a)>/(a  +  A» 


158  DeterminAnten.    $  1.   Über  Permatatiosen. 

ist  aber  /{a)  als  Maximum  gekenTizeichnet  Ähnlich  för  den  Fall  des 
Minimums. 

Bei  geometrischer  Darstellung  tritt  eine  solche  Stelle  derart  in 
die  Erscheinung,  daß  die  Kurve  dort  eine  Ecke  bildet. 

Als  Beispiel  diene  die  Funktion 

die  Wurzel  positiy  genommen; 

Y  existiert  an  der  Stelle  x  ^  a  nicht,  wohl  aber  ist 

yL      ein  linker  Differentialqnotient  vom  Werte  —  1,  ein 
rechter  vom  Werte  -f-  1  vorhanden,  /{a)  =  h  also 
ein  Minimum.     Die  Funktion  ist  geometrisch  durch 
h'^^  einen   rechten  Winkel  dargestellt,  Fig.  39,  dessen 

"«""  ^    Scheitel    ah   ist   und   dessen   Schenkel   gegen   die 

pig.  80.  Achse  gleich  geneigt  sind. 

2.  Ein  besonderer  Fall  des  vorigen  besteht  darin,  wenn  an  der 
Stelle  a:  =  a,  an  der  /'{a)  nicht  definiert  ist,  der  linke  und  rechte 
Differentialquotient  unendlich  werden  mit  verschie- 
denem Vorzeichen.     Je  nach  der  Aufeinanderfolge 

der  Vorzeichen,  -\ oder f-,  findet  ein  Maximum 

oder  Minimum  statt.   Im  geometrischen  Bilde  äußert 
ä     '  '^     sich  eine  solche  Erscheinung  in  einer  Spitze  mit  zur 

Fig.  40.  y-Achse  paralleler  Tangente,  Fig.  40. 

Ein  Beispiel  hierzu  bietet  die  Funktion 

/(a;)-6  +  f(a!-'a)«; 

2 

ihre  Ableitung  /\x)  =*=  -yr-rr-  existiert  für  a:  =  a  nicht;  es  ist  aber 

lyx  —  a 

limy'(a!:)  «=- —  cx),  hingegen  lim/'(a;)  =- -|- oo,  daher  /(a)  —  6  ein 
Minimum. 


VI.  Abschnitt. 

Determinanten. 

§  1.  über  Pcrnmtationen. 

91.  Inversionen;   gerade   und  ungerade  Permutationen. 

Jede  Nebeneinanderstellung  von  n  verschiedenen  Elementen  heißt  eine 
Permutation  derselben.  Um  die  Anzahl  P,  der  Permutationen  zu  be- 
stimmen, ordn^  man  sie  nach  dem  an   der  ersten  Stelle  stehenden 


Einteiloog  der  PermoUtionen.  159 

Element  in  Gruppen;  da  in  jeder  dieser  n  Onippen  jeweilen  die  n  —  1 
übrigen  Elemente  auf  alle  Arten  permotiert  sind,  so  ist  P,  •■  n  P^  ^^ 
und  da  weiters  Pj  —  1  ist,  so  findet  man  P,  —  t  •  2  •  •  •  n  —  n!. 

Dadurch,  daß  man  die  Elemente  mit  Nummern  oder  Bachitaben 
bezeichnet,  erteilt  man  ihnen  einen  Rafig. 

Zwei  Elemente  einer  Permutation  stehen  in  der  tuitürlichcn  Ord- 
nung, wenn  das  höhere  dorn  niederen  nachfolgt;  im  andern  Falle  bilden 
sie  eine  Inversion. 

Diejenige  Permutation,  in  der  alle  Elementen  paare  in  der  natfir- 
lichen  Ordnung  stehen,  heißt  die  niedrigste.  Jede  andere  Permutation 
enthalt  Inversionen.  Deren  größte  Zahl  befindet  sich  in  der  höehsten 
Permutation,  welche  die  Umkehrung  der  niedrigsten  ist;  da  hier  jedes 
Element  mit  jedem  nachfolgenden  in  Inversion  steht,  so  ist  die  Anzahl 

der  Inversionen  Yfi(n--l). 

Die  Permutationen  der  n  Elemente  lassen  sich  in  Paare  von  Per- 
mutationen zusammenstellen,  deren  eine  die  Umkehruag  der  andern 
ist.  Da  in  einem  solchen  Permutationspaar  jedes  Elementenpaar  ein- 
mal in  Inversion  steht,  so  kommen  darin  ebenso  viele  Inversionen 
vor  als  in  der  niedrigsten  und  höchsten  Permutation  zusammen,  näm- 
lich --  n(»  —  1).    Folglich  enthalten  alle  P^  Permutationen  zusammen 

-^n(n—  1)  Inversionen. 

So  sind  beispielsweise  in  den  24  Permutationen  von  4  Elementen 
72,  in  den  120  Permutationen  von  5  Elementen  600  Inversionen  zu 
zählen. 

Nach  der  Anzahl  der  in  ihnen  vorkommenden  Inversionen  können 
die  Permutationen  einer  Elementenreihe  in  zwei  IQassen  geschieden 
werden,  indem  man  in  der  einen  Klasse  die  Permutationen  mit  einer 
geraden  Anzahl  von  Inversionen  und  in  der  andern  jene  mit  einer 
ungeraden  Anzahl  von  Inversionen  vereinigt;  man  spricht  kurz  von 
geraden  und  ungeraden  Permutationen. 

Die  Permutation 

hecda 

der  Elemente  abcde  gehört  zu  den  geraden,  weil  ihre  Elemente  der 
Reihe  nach  1,  3,  1,  1  zusammen  6  Inversionen  mit  den  folgenden 
bilden;  hingegen  gehört  die  Permutation 

641532 

der  Elemente  123  456  zu  den  ungeraden,  weil  ihre  Elemente  der 
Reihe  nach  zu  5,  3,  0,  2,  I,  also  zu  11  nachfolgenden  Elementen  in 
Inversion  stehen. 

M.  Der  8atx  Toa  Mioiit.  Die  Vertauschong  iweier  Elemente 
in  einer  Permutation  nennt  man  eine  Transpositüm,    Alle  Peimntationen 


ACikB, 
ÄCkiB 


160  Dotenoinantfui.    §  1.   übet  PennuUtijoen. 

einer  Elementenreihe  lassen  sich  ans  einer  von  ihnen  durch  sukzeMire 
TranKpositiouen  herstellen.  Für  die  KlMsenzugehÜrigkeit  ist  der  fol- 
gende Satz  Tou  niaögebender  Bedeutung: 

Wenn  mnn  in  einer  rermutaiJoH  eine  TransposUicn  mtgfuhrt,  so 
ändert  sich  die  Anzahl  der  Inversionen  um  eine  ungerade  Zahl;  infolge- 
dessen geht  dadiwch  die  Fcrmutation  atis  einer  Klasse  in  die  aridere  über. 

Sind  iy  k  zwei  Elemente,  A,  B  zwei  Elementengruppen,  und 
transponiert  man  in  der  Permutation 

AikB 

die  Elemente  a\  kj  wodurch  sie  in 

AkiB 

übergeht,  so  tritt  eine  neue  Inversion  hinza  oder  geht  eine  verloren, 
je  nachdem  ?,  k  in  der  natürlichen  Ordnung  sind  oder  nicht. 

Sind  die  zu  transponierenden  Elemente  nicht  benachbart,  sondern 
durch  eine  tn- gliedrige  Gruppe  V  getrennt,  so  gehe  man  von 

AiCkB 
zu 

davon  zu 

und  schließlich  zu 

AkCiB 

üher;  dazu   sind  2w  -f  1  Transpositionon    henachbarter  Elemente  er- 
forderlich, folglich  ändert  sich  die  Anzahl  der  Inversionen  eine  un- 
gerade Anzahl  male  um  1,  unterscheidet  sich  also  tatsachlich  um  eine 
ungerade  Zahl  von  ihrem  ursprünglichen  Wert. 
Beispielsweise  enthält  die  Permutation 

becda 

sechs  Inversionen,  die  Permutation 

decha, 

die  aus  ihr  durch  Transposition  der  Elemente  6,  d  hervorgeht,  deren  9. 
Da  zu  jeder  Permutation  von  n  Elementen  eine  andere  gehört, 
die  aus  ihr  duich  Transposition  zweier  Elemente  entstanden  ist,  so 
tat  die  eine  Hiilfte  aller  rermutolumcfi  gerad,  die  andere  ungerad. 
93.  Zyklische  Permutittiotien.   Schreibt  man  die  n  Elemente 
1,  2,  •    '  n  in  einer  bestimmten  Umlaufsrichtung  an 
den  Umfang  ednes  Kmses,  Fig.  41,  so  heißt  iede  An- 
ordnung, in  der  tie  in  eben  dieser  Richtung  gelesen 
werden   können,    eine  eykllsche  FermtUaUon  von  1, 
2,...|i. 

Die  erste  sykÜsohe  Permutation  heißt  also 
28    .nl 


ZyUiiehe  Pttiiiutelkm«iL  —  Begriff  d»t  Mfttrix.  If  1 

nnd  entsteht  aiu  der  rorigen,  indem  mtn  das  erste  Element  wa  41» 
letzte  Stelle  bringt,  was  auch  durch  n  —  1  TranspcisiÜonen 
barter  Elemente  erzielt  werden  kann. 

Es  gilt  daher  der  Satss:  Eine  einmalige  MykUsche 
einer  Beihe  von  n  Elementen  ist  äquiwcdent  mit  »  —  1  TvnmpmiÜmm, 
somU  gehören  beide  PermtUationen  mr  selben  oder  jede  sm  einer  omimM 
EJasse,  je  nachdem  n  ungerad  oder  gerad  ist. 

Die  zweite  zyklische  Permutation  ist 

34.    .fil2, 

die  n  —  l-te,  zugleich  letzte 

nl2    ..»"-i; 

mit  der  urspr anglichen  gibt  also  es  n  zyklische  Anordnung^  Ton  n 
Elementen. 

Die  Anzahlen  der  Inyersionen  in  den  aufeinanderfolgenden  An* 
Ordnungen  sind 

0,    («-1)1,    (n-2)-2,.-       Hn-1); 

die  Summe  dieser  Zahlen  ist  g^  (»  —  !)»(»  +  1),  beträgt  also  beispieb- 

weise  bei  sechs  Elementen  35. 

Jede  Anordnung  y  in  der  die  Elemente  in  der  entgegengesetzten 
ümlaufsrichtung  gelesen  werden  können,  ist  eine  zyklische  Permutation 
der  ursprünglichen  Form 

n(w-l)...21. 

§  2.  Befluition  der  Determinante. 

94.  Qtuidratlsolie  Matrix  und  ihre  Determinante.  Wenn 
fw  •  n  Elemente  —  worunter  wir  uns  fortab  ZaJden  denken  woUen  — 
in  m  Reihen  zu  je  n  Elementen  geordnet  sind,  so  bilden  sie  in  dieser 
Anordnung  eine  Matrix.  Zur  Darstellung  einer  solchen  empfiehlt  sich 
fdr  allgemeine  Untersuchungen  Torzugsweiso  das  folgende  Bezeichnungs- 
system: 

«11  «if  '  •  •  «u 


ö*i  »na  •  •  •  <»«• 


I 


das  so  eingerichtet  ist^  daß  aus  dem  ersten  Zeiger  die  Zeile  (horizon- 
tale Reihe);  aus  dem  zweiten  die  Kolanne  (rertikale  Reihe)  za  erkennan 
ist,  in  der  das  betreffende  Element  st^t  Indesaen  kann  es  manchmal 
Yorteilhafk  sein,  die  Kolonnen  durch  Buchstaben  nnd  die  2ieilen  durch 
Zeiger  zu  unterscheiden  nnd  umgekehrt: 

0  sab  er,  Hr>Yiw  lUtbem»tik.  %.  ▲■§.  11 


162  Determinanten.     $  2.    Definition  der  Determinante. 


«1  &. 

a,  0,- 

6. 

«m  *„. 

••*« 

/,,  », . 

•■», 

Zur  Darsteilung  (1)  znrQckkehrezKl  wollen  wir  sageu,  die  Matrix 
sei  rechteckig j  wenn  m  «4*  ^t  ^^d  sie  sei  quadratisckf  wenn  m  »  n.  Der 
Typus  einer  quadratischen  w-zeiligen  oder  n-reihigen  Matrix  oder  einer 
Matrix  von  n^  Elementen  ist: 


►ii  Wj3  •  •  •  «1, 


(2) 


Wenn  man  in  dem  Produkie  der  auf  der  Hauptdiagonale  stektnden 

Elemente  ,^. 

^ll«8J-«n«  (3) 

die  2 weiten  Ztiger  auf  alle  möglichen  Arten  permutiert  und  jedem  so 
enstandenen  Vrodukt 

f  ^la,^ta^  '  '  '  ö«a,  W 

das  Zeichen  |  oder  das  Zeichen  —  vorsetzt,  jenachdem  die  PemnsUäum 
«i  «2  •  ^n  9^^  ^^^  ungerad  ist,  so  heißt  die  Summe  dieser  IhrodMe 
die  Determinante  der  Matrix  (2). 

VermÖj^e  dieser  Definition  sind  die  Produkte  der  Matrix  derart 
gebildet,  daß  keine  zwei  Faktoren  aus  einer  und  derselbm  Reihe  (Zeile 
oder  Kolonne)  stammen. 

Vertauscht  man  die  Faktoren  in  (4)  so  untereinander,  daß  die 
zweiten  Zeiger  wieder 'in  die  natürliche  Ordnung  kommen^  so  bilden 
in  dem  umgestalteten  Produkt 

die  ersten  Zeijrer  eine  Permutation  ft  ft  •  •  •  ß^^  die  rur  selben  Klasse 
gehört  wie  «!<«,•••«,;  denn  ßiß^  •  -  ß„  ist  aus  1  2  •  •  •«  diurch  eben- 
so viele  Transpositionen  entstanden,  als  nötig  waren,  um  aus  a^  «,  •  •  •  u^ 
die  Form  1  2  •  •  •  n  zu  erzengen. 

Demnach  kann  die  obige  Definition  auch  so  formuliert  werden^ 
daß  sich  die  Permutierung  auf  die  ersten  Zeiger  bezieht,  während  die 
zweiten  in  ihrer  natürlichen  Ordnung  belassen  werden. 

Das  Glied  (3),  aus  dem  hiernach  alle  andern  Glieder  abgeleitet 
werden,  heißt  das  Hauptglied  der  Determinante. 

06.  Btmktnr  und  Beseiohnnng  der  Determinanten.  Ans 
der  Definition  geht  hervor,  daß  eine  fi-reihige  Determinante  in  einer 
Summe  von  )<!  Gliedern  besteht,  deren  jedes  ein  Produkt  von  n  Faktoren 


Definition  und  Bexeichniuig  der  DeienuinjAt/-. 


les 


ist;  einer  bestimmteo  Hälfte  dieser  Glieder  ist  du  Opermtiontzeichen  4-» 
der  andern  Hälfte  das  Zeichen  —  vorgesetzt;  da  eine  solche  Determi- 
nante also  einen  Ausdruck  n-ten  Grades  ihrer  Elemente  darst^'llt,  wird 
sie  auch  als  Determinante  n-ten  Grades  bezeichnet. 

Zur  BeMeichnung  der  Determinante  bedient  man  sich  des  Symbols 

(Oauchy,  Jacobi),  das  auf  wesentliche  Momente  der  Definition  hinweist, 
oder  des  kürzeren 

(Cauchj).  Eine  Schreibweise,  die  das  ganze  Elementensystem  zur 
Anschauung  bringt,  besteht  in  der  Einschließung  der  Matrix  zwischen 
zwei  Vertikalstriche: 


«11  «1»  • 


'1% 


•i» 


«1  «*i  •    •  ö, 

(Cayley).  Eine  besonders  kurze  Bezeichnung  besteht  in  der  Ein- 
schaltung des  allgemeinen  Elements  zwischen  Vertikalstriche  unter 
Angabe  der  Zeigerwerte: 

(Kronecker).*^ 

96.  Entwicklung  von  zwei-  und  dr«isailigen  Determi- 
nanten. Die  zweizeilige  Determinante  besteht  aus  zwei  Gliedern, 
eines  additi?,  das  andere  subtraktiv: 


Der  Ansatz 


ist  hiernach  gleichbedeutend  mit  der  Proportion 

«1:0,-61:6,. 

1)  Die  ertte  Erfindung  der  Determinanten  durch  Leibnii  (1698;  veröffent- 
licht 1 700  in  den  Acta  Enid  itomm)  geriet  in  Vergewenhcit,  bii  C  r  a  m  e  r  1 76u  ^Intro- 
duction  ä  l'analyBe  des  courbcs  alg^riqaes)  tie  xun  iweitenmal  «elbitandig  er- 
fand; beidemal  war  es  dasselbe  algebraische  Problem,  da«  xu  ihnen  hinfOhrte. 
Den  Grund  zu  einer  selbständigen  Theorie  legte  C  an  cht;  den  Kamen  gab 
Ganß  (1821).  Ihre  bleibende  Stellung  in  der  KathemaUk  erhielten  die  Deter- 
minanten erst  durch  die  Abhandlungen  von  Jacobi  (1841). 


a,  h 

i 
1 

—  a 

tb,-a,b, 

i 
i 

Hb, 

-0 

1^         DetermioftBten.    |  3.   flaüpteigensdiaften  d«r  Determinanten. 


Bei  der  Entwickhuig  der  dreizeiliges  Determinante 

«1  ^  ^1 

'  «'s  6,  C3 

kann  man  in  dem  Hauptgliede  a^  K  c^  entweder  die  Zeiger  oder  die 
Buchstaben  permutieren  und  hat  dann  aus  der  Anzahl  der  In  Versionen 
das  Zeichen  zu  bestimmen;  man  tindet  so: 

die  2^ioheiistellung  ist  in  beiden  Entwicklungen  dieselbe,  weil  das 
Permutieren  nach  der  nämlichen  Regel  erfolgte;  die  Übereinstimmung 
erkennt  man  durch  gliedweise  Vergleichung. 

Nach  einem  von  Sarrus  angegebenen  Ver- 
lahren  geschieht  die  Entwicklung  der  dreizeiligen 
Determinante  mechanisch  so,  daß  man  die  Pro- 
dokte  der  drei  im  nebenstehenden  Bilde  durch  ToUe 
Linien  verbundenen  Elementen tripel  additiv,  die 
Produkte  der  drei  durch  punktierte  Linien  ver- 
bundenen Elemententripel  subtraktiv  ansetzt  Nach 
diesem  Verfahren  ergibt  sich  beispielsweise 

123: 


456    -45  +  84  +  96 
7S9 


105  ^48-72-0. 


§  3.    flanpteigeusch<iften  der  Determinauteii. 

87.  G>leiohberechtigimg  von  Zeilen  nnd  Kolonnen.    Wenm 

man  in  einer  Determinante  die  Kolonnen   in  derselben  Beihenfolge  mu 
Zeilen  macht,  $0  behält  sie  ihren  Wert  hei. 

Die  beschriebene  Umgestaltung  ven^'^aadelt  nämlich 


■j« 


'•t»i 


m 


R' 


«11«« 


'u 


'  <^nl  «HJ 


'^lm<hn'"  ^m, 


und  läßt  die  Hauptdiagonale,  also  auch  das  Hauptglied,  ein  (ht '"  ^mm 
ungeandert;  die  Entwicklung  von  B  durch  Permutierung  der  Kolonnen- 
z^.ager  gibt  dasselbe  wie  die  Entwicklung  von  I{'  durch  Permutierung 
der  Zeiienzeiger;  mithin  ist  R'  —  R. 

Vermöge  dieser  Gleichberechtigung  gelten  Sätze,  die  man  bezüg- 
lich der  Zeilen  nachgewiesen  hat,  auch  bezüglich  der  Kolonnen  und 
umgekehrt. 


EnU'ickloiig  uad  Utvpteigtnfcbaltea  der  DeienainaiiteD.  165 

98.  Vertauschung  paralleler  Reihen.  Wenn  man  m  einer 
DeiertHinante  Muei  parallek  Jieiken  mii  einander  reriau9fki,  bo  ändert 
der   Wefi  der  Detennimmte  bloß  sein   Vorzeichen. 

Trau2iformiert  man  beispielsweise  durch  Vertauschung  der  ersten 

zwei  Kolonnen  , 

;  «11  «11       •  «l,. !  «it  «11  •     •  «!• 

Ä  -   a,i  a„      •  0,  '  in  Ä'  -  j  «„  Ä„    • .  a^  I , 


80  erscheint  das  additiv  zu  setzende  Hauptglied  ^s  ^i  ^  ' '  ^m  ^^^ 
12'  in  i2  als  subtrakti?es  Glied,  entstanden  ans  a^  o,,  a,,  •  •  a^  durch 
Vertauschung  der  ersten  zwei  Kolonuenzeiger;  dies  hat  zur  Folge,  daß 
jedes  Glied  von  R'  mifc  entgegengesetztem  Zeichen  in  R  vorkommt; 
es  ist  also  tatsachlich  i2'  ^—  E. 

Wenn  man  daher  in  einer  Determinante  Zeilen  und  KoUmneti  in 
irgendeiner  Weise  umsieüty  so  ändert  sie  iliren  absolutefi  Wtri  nidit; 
mir  das  Vorzeichen  kann  sich  ändern. 

Ob  das  letztere  geschieht,  hängt  von  der  Anzahl  der  Transpo- 
sitionen  ab,  die  man  mit  den  Zeilen  und  Kolonnen  bei  der  (Jiustellung 
vorgenommen  hat,  in  letzter  Linie  also  von  den  Klassen  ab,  denen 
die  Permutationen  der  Zeilen-  und  Kolonnonxeiger  in  der  neuen  Form 
angehören.  Gehören  beide  Permutationen  zu  derselben  Klasse,  so 
bleibt  auch  das  Vorzeichen  erhalten;  gehören  sie  zu  verschiedenen 
Klassen,  so  ändert  sich  das  Vorzeichen;  denn  im  ersten  Falle  kann 
die  Umstellung  durch  eine  gerade  Anzahl  von  Transpositionen,  im 
zweiten  Falle  durch  eine  ungerade  Anzahl  erzielt  werden.  Bringt  man 
beispielsweise  in  der  Determinante 

a,  hl  c'i  rf|  I 

j^^\b,C,d,> 

I  a^  h^  c^  d^ 

die  Kolonnen  in  die  Reihenfolge  cadhy  die  Zeilen  in  die  Reihenfolge 
3241,  so  geht  sie  über  in 

^,  ^  !  <i  o,  rf,  6, 

!  c,  a,  rfi  b, ! 

und  es  ist  i2'  =-  —  22,  weil  cadb  eine  ungerade,  8241  eine  gerade 
Permutation  ist. 

99.  Olelohe  parallele  Seihen.     Weim  im  mmt  IkUrminatUe 

zwei  parallele  Reihen  übereinstimmen,  so  heU  sie  den  Wert  NM, 


166 


DeiermiDsnieo.     |  4.    Unterdeterminanteu. 


Nach  dem  Torangehenden  Satze  ändert  sich  durch  Vertauschung 
zweier  paralleler  Reihen  das  Vorzeichen  der  Determinante,  es  wird 

1?'  -  -  Ä; 

nimmt  man  die  Vertauschung  an  den  übereinstimmenden  Reihen  vor, 
so  erfährt  die  Determinante  überhaupt  keine  Veränderung,  daher  ist 
dann 

folglich  Ä  -  0. 

Demnach  ist  beispielsweise 

a|  b^  a^ 

a^h^a^    «  0. 

fh  h  «3 

100.  Maltipllkation  und  Division  einer  Determinante  mit 
einer  Zahl.  Stellt  man  die  Elemente  einer  Reihe  als  Produkte  mit 
einem  gemeinsamen  Faktor  dar,  so  wird,  da  jedes  Glied  der  ent- 
wickelten Determinante  aus  jeder  Reihe  ein  und  nur  ein  Element 
enthält,  dieser  Faktor  auch  allen  Gliedern  gemeinsam  seiin  und  kann 
daher  herausgehoben  werden,  so  daß 


ajÄ  fti  c,  •  •  • 

«i  ^  <^i  •  • 

-Ä; 

ö«  &t  ^8  •  • 

Eine  Determinante  kann  liiernach  mit  einer  Zahl  multipliziert 
oder  dividiert  werden,  indem  man  alle  Elemente  einer  Reihe  mit  dieser 
Zahl  multipliziert,  bzw.  dividiert. 

Mit  der  Annahme  ä;  =  0  ergibt  sich  weiter,  daß  eine  Determinante 
in  der  eine  volle  Reihe  von  Nullen  vorkommt,  den  Wert  Null  hat. 
Es  ist  also,  ohne  Rücksicht  auf  die  übrigen  Elemente, 

0  0  0.- 


«8  ^8  ^8 


-0. 


Eine  Determinante  hat  auch  dann  den  Wert  Null,  wenn  die 
Elemente  einer  Reihe  proportional  sind  den  Elementen  einer  parallelen 
Reihe.    Es  ist  nämlich 


-0. 


a^a,kc^'" 

«•«.«i- 

a^a^kc," 

-k 

0, 0,  e,  •  • 

0|  0.  <i  •  • 

Weitere  liAgnMtkkfleD.  —  Uaitaedetemiiiuinlai. 


167 


9  4.   UaterdetermiBaut^t. 

101.  ^nterdeterzuinjiiiten  verschiedener  Orad«.  Wenn 
loan  in  der  Matrix  einer  Determinante  n-ten  Grades  hinter  der  r-ten 
Kulonne  und  unter  der  r-ten  2jeile  einen  Teilstrich  geiogen  denkt, 
eo  eerfallt  :eie  im  aUgemeiiieii  in  zwei  q^adnutieche  und  swei  reehi- 
eckige  Matrizen;  Ton  den  ervteren  besieht  die  eine  aus  r*,  die  andere 
aus  (n  —  r)*  Elementen. 

Aus  den  quadratischen  Matrizen  kSnaen  wieder  Determinanten 
jehüdet  werden,  nnd  diese  heißen  Unterdderminaniftt,  Snbdeterminanteti 
«lifir  Paartialdeterminanten  der  ursprünglichen. 

Deir  .beschriebene  Vorgang  beliMt  för 


JS- 


«11 


»it 


%       fl»i 


«I. 


0. 


« 


örr 


V,r-fl 


S^ft-iW    «r  +  l;« 


«r  +  l^  1  «r^-l.r  +  l 


V+l,« 


«„S -««r 


••.r  +  l 


»«« 


die  beiden  ÜJoterdeitenninantei): 


A- 


«11  «l«- 

••«ir 

,    A- 

»rt«r«- 

"^rr 

V  +  l,r  +  l  **r+l,r+f 


V  +  l.» 


«r  +  t,r  +  l  ^r+t.r  +  l  *  *  *  «r+f,« 


'«,r+l        «mr  +  t «»• 

Allgemein:  entnimmt  man  aus  einer  beliebigen  Kombination 
Ton  r  Zeilen  diejenigen  Elemente,  die  in  einer  beliebigen  Kombination 
Ton  r  Kolonnen  stehen,   so   erhält  m»D  die  Matrix  fÖr  eine  ünter- 

determinante  r-ten  Grades;  da  es  nun  yj  derartige  Kombinationen 
von  Zeilen  und  ebensoviele  Ton  Kolonnen  gibt,  so  hat  eine  Deter- 
minante n-ten  Grades  (**)  Unterdeterminanten  r-ten  Grades  und  eben- 
so ?iele  des  n-r«ten  Grades. 

Die  einzelnen  Elemente  sind  als  Unterdeterminanten  ersten  Gradee 
aufzufassen. 

102.  A4]imgi«rt6  UntArdatarmiiuuitdn.  Den  Unterdeter- 
minanten  A^^  B^  kommt  die  bemerkenswerte  Eigenschaft  zu,  daß  je 
ein  Glied  von  A^  mit  einem  Glied  Ton  Bj  multipliziert  ein  Glied  roa 
22  gibt. 


168 


Determinanten.     §  4     noterdetcrminaDten. 


Von  den  Hauptgliedeni  ißt  dies  unmittelbar  zu  erkennen;  daß 
es  auch  von  irgendzwei  andern  Gliedern  gilt,  ist  in  bezug  auf  den 
absoluten  Wert  daraus  ersichtlich,  daß  aus  jeder  Zeile  und  jeder 
Kolonne  von  R  ein  Element  in  einem  solchen  Produkt  vorkommt;  in 
bezug  auf  das  Zeichen  ergibt  sich  die  Richtigkeit  der  Behauptung  aus 
folgender  Erwägung:  Ist  a^^^  02^^  -  -  a^^^  ein  Glied  von  it„o^^j^^^ 
^r+t, /*,•••  ^11,^  ein  Glied  von  B^,  so  richten  sicli  deren  Vorzeichen 
nach  den  Permutationsformen  (a)  =  oj^  a,  •  •  •  «^  und  (ß)  •=  A  A  •  •  •  /3^_^, 
das  Vorzeichen  des  Produktes  aber  ist  nach  der  Permutationsform 
fiii  (if  "  '  ^r  ßi  ßi ' ' '  ß  _  ^^  bestimmen ;  diese  hat  nun  so  viel  Inver- 
sionen als  (a)  und  (ß)  zusammen,  gehört  also  zur  geraden  oder  un- 
geraden Klasse,  jenachdem  (a)  und  (ß)  zur  selben  oder  zu  verschiedenen 
Klassen  gehören;  dies  stimmt  aber  mit  der  Zeichenregel  der  Multipli- 
kation überein. 

Man  nennt  Paare  von  ünterdeterminanten,  die  im  Produkt  Glieder 
von  R  ergeben,  adjungierie  Unterdeterminanten. 

103.  Den  Elementen  a^jnnglerte  Ünterdeterminanten. 
Jedem  Element  von 

<hi  «u  •  •  •  ^m  1 


12- 


«81  »28  •  •  •  «8, 


ist  eine  Determinante  n  — 1-ten  Grades  adjungiert;  die  zum  Element 
a^  gehörige  werde  mit  a^  bezeichnet.  Unmittelbar  abzulesen  ist  die 
zum  ersten  Element  ajj  adjungierte  «n,  indem 


«11- 


«»««SS 


's« 


i  »,d  «rt  •  •  ««• 


Ihre  Matrix  wird  erhalten,  indem  man  in  der  Matrix  von  R  jene  Zeile 
und  Kolonne  unterdrückt,  denen  Ojj  angehört. 

Um  cr^  zu  erhalten,  hat  man  nnr  nötig,  R  derart  umtufonnen, 
daß  a^  an  die  erste  Stelle  kommt;  dann  läßt  sich  a^  wieder  unmittel- 
bar- ablesen. 

L  Die  Umformung  kann  dadurch  geschehen,  daß  man  die  «rften 
i  Zeilen  und  die  ersten  k  Kolonnen  zyklisch  permutiert  Nach  93  ist 
dies  Äquivalent  mit  »  —  1  -f  jk  —  1  —  1  +  A  -*  2  Transpositionen  von 
Reihen;    die    umgeformte    Determinante    erh&lt   daher  das  Zeichen 

(-l)«  +  *-t-.  (-.1)1  +  4^80  daß 


Den  Elemtnten  ft<\ian^erte  ÜnterdeteiMiiiAatoii. 


169 


Ä-(~l 


^ik  ««  ^n 


Q;  i.       .    ft, 


»4-1,* 


•<-I,i. 


a 


infolgedesaen  ist 


<+M ^♦M 

«•»  a»i  ö.i  •  •  «M-i  «M+i  •  •  »- 

I  ^ «f. 


«a-(~l)'^*:«.-M 


►f+M 


*<-l.» 


»#+I,ll 


Die  Matrix  dieser  Determinante  geht  wieder  aus  der  Matrix  Ton 
R  darch  Unterdrückung  der  Zeile  und  Kolonne  henror,  in  denen  n.^ 
vorkommt;  dae  Vorzeichen  aber  hängt  von  der  Summe  i  -f  k,  dem 
Gewicht  des  Elemente  a^^  ab.  Die  Regel ,  die  sich  darana  ergibt» 
lautet: 

Man  erhält  die  zu  einem  Element  adjungierte  Unterdeterminanta, 
indem  man  Zeile  und  Kolonne,  denen  das  Element  angehdrt»  atreicht 
und  der  Determinante  aus  der  verbleibenden  Matrix  das  Zaiehen  4- 
oder  —  gibt,  je  nachdem  das  Gewicht  des  Elements  gerad  oder  un- 
gerad  ist. 

Sind  die  Elemente  iiicht  mit  Doppelzeigem  geachrieben,  so  zähle 
man  längs  einer  2^ile  oder  Kolonne  von  Element  zu  Element  bis  znr 
Hauptdiagonale:  geiad,  ongerad  geben  das  Zeicheu  -f ,  — . 

Nach  diesem  Yeifahren  ergeben  sich  für 

i  «i  ^  <i  ^ 
o,  Ä,  c,  <f, 

«4  h  ^l  ^4 

beispielsweise  die  folgenden  zu  Cj,  a^  adjungierten  rnterdeterminanten: 


n- 


«4  ^4  <^4 


170 


Dettaminanten.    $  4.   Uofeerdetermioaiiten. 


IL  Das  Ekment  a.^.  wird  auch  dadurch  an  die  erste  Stelle  ge- 
bracht, daß  man  alle  Zeilen  t  — 1-mal  und  alle  Kolonnen  Ä*— l-mal 
zyklisch  vertauscht.  Da  die«  äquivalent  ist  (/— 1  +  A— •  l)(fi  —  1) 
=,  (i^jfcy»— .  1)  — 2(w  — 1)  Transpositionen  von  Reiben,  so  konunt 
der  umgeformten  Determinante  das  Vorzeichen  (— l)''+*)v«-i)-«(«-«^ 
—  (— 1)('+*)^"-^>  zu,  das  sich  auch  auf  die  jetzt  unmittelbar  abs»- 
lesende  Unterdeterminante  übetrträgt;  diese  lautet,  da  die  zyUisAt 
Ordnung  der  Reihen  ungestört  üleibt,  wie  folgt: 


«^^=»(-i)('+*)(''-^) 


\-¥l,k-\-l 


•f-*-«,*  +  l 


•'«i  +  l.«   «i  +  l.| 


^i-l,*  +  1   *  *  '^»-1^    ^<-l,l 


•i-M-1 


Bei  lungoradem  n  ist  das  Torzeiiihen  immer  -r,  bei  geradem  « 
richtet  es  sich  nach  dem  Gewicht  wie  Ibei  der  vorigen  Regel. 
Nacfti  .diesem  Verfahren  ergeben  4kh  für 

^1  \  ^1 


die  l 

rnterdete 

rminaaten 

: 

«1- 

*»<«] 

*.^!' 

Vi" 

A- 


{ ^1  «1 


usw., 


fEbr  die  obige  Deterrajinaute  vierten  .Grades  ^  Unterdeterminanten : 
yi^    ifjU^fc,;,  M^-^^    h^^i     usw. 

104.  ZasMBinenfiMsimg  der  fi-Ueder  eis  er  Determinante, 
die  ein  oder  mehrere  Blemente  gemein  ik&ben.  Es  liegt  im 
Begri£P  der  adjungierteo  üfiterdetermisanten,  da0  das  Produkt  aus 
einem  Element  a,^  mit  der  ihm  adjui^ierten  Untwrdeterminante  a^^ 
die  Zusammenfassung  aller  Glieder  von  Ji  gibt,  die  Hn  zum  Faktor 
haben;  solcbfer  Glieder  gibt  es  alfo  {n  —  1)!.. 

Ist  Qtnt  ein  Element  von  a^^  und  äJ^  seine  adjougierte  Unter- 
determinante in  bezug  auf  Oi^,  also  eine  UnJterdetermiiiAiite  n  — 2ten 
Grades  von  R,  so  ist  a^^a^^a^„  die  Vereiiu|pang  aller  Glieder  von  R^ 
die  das  Elementenpsar  a^^,  ö,^  (i  +  ?,*  +  »•)  enthalten;  ibre  Anzahl 
ist  (m  —  2)!    Das  Elemeniensjstem  von  a/„  entsteht  aus  d«r  Matrix 


Entwicklung  n«cb  d«n  El«menUn  eiaec  B«ibe. 


171 


Ton  B,  indem  man  die  Zeilen  und  Kolonnen  unterdrückt,  in  denen 
ftf^  und  a^^  stehen. 

So  fortfahrend  kommt  man  bis  zu  einem  Einzelgliede  ?on  Ä, 
dae  n  bezeichnete  fUemente  enthält. 

So  gibt  beispielsweise  in  bezug  auf  die  Determinante 

«1  ^  ^i  f^i 
a,  6,  Cj  rf, 

«4  &4  ^4  ^4  I 

das  Produkt 


«i^'^t 

«l 

»•  ft»  dt 

o*  ^  ^^4 

«lle  Glieder  mit  c„  das  Produkt 

alle  Glieder  mit  c^d^,  endlich 

ff,  6, 

i    «4^ 

Cj  (^3  5,  a, 
das  einzige  Glied,  das  c,,rfj,6,  als   Yorbezeichnete  Elemente  enthält. 

105.  Erster  Hauptsatz.  Die  Summe  der  Produkte  aus  den 
Elementen  einer  Reihe  mit  ihren  adjungierten  Unterdeterminanien  (fibi 
den   Wert  der  Determinante. 

Hebt  man  aus  der  Determinante 


iJ« 


«11  «it  • 


ö»l  <^»i 


beispielsweise  die  Elemente  der  i-ten  Zeile  heraus: 


•«>    ^itf 


•<■» 


und  berücksichtigt,  daß  jedes  Glied  von  R  aus  jeder  Zeile  ein  und 
nur  ein  Element  enthält,  daß  femer  a^ia^i  die  Vereinigung  aller 
Glieder   mit  dem  Element  a,j   usw.  ist,  so  kommt  man  zu  der  £r- 

I    kenntnis,  daß  a^ift^i  +  o<i<)^<t  + ^  ^im^tn  ^^*^  Zusammenfaesting  aller 

Glieder  von  R  überhaupt  ift;  mithin  hat  man 

»n«a  +  «.i«<f +•+«<«''*• --'^       (/-lA  ..•)    (1) 
und  in  gleicher  Weise  in  bezug  auf  die  Kolonnen: 

«i*«i*  +  Ot*«i*  "H  •••+««*«.*- -R     (*-iA    ..).    (!♦) 


172  Determisauteii.    §  4.    Unterdeteimiiia&ten. 

Man  nennt  die  linke  Seite  von  (I)  die  Bv^dclung  von  R  nadt 
den  Elementen  der  i-im  Zeüe  und  analog  die  linke  Seite  von  (I*)  die 
Entwicklung  von  R  nach  den  Elementen  der  Tc-ten  Kolonne. 

Die  nächstliegende  Folge  dieses  Hauptsatzes  ist  es,  daß  mit  seiner 
Hilfe  die  Aasredmung  einer  Determinante  n-ten  Grades  zurückgeführt 
werden  kann  auf  die  Ausrechnung  von  Determinanten  w—  l-ten  Grades 
und  so  fortschreitend  bis  zu  Determinanten  3.  und  2.  Grades. 

In  den  Gleichungen  (I)  und  (I*)  sind  2n  verschiedene  Wertdar- 
stellungen der  Determinante  R  zusammengefaßt.  Einzeln  lauten  sie 
z.  B.  für  die  Determinante  dritten  Grades 


R 


«1^1^  I 
i  oj  6,  Cj  [ 


wie  folgt: 

106.  Zweiter  HauptBats.  Die  Summe  der  Produkte  aus  den 
Elementm  einer  Reihe  mit  den  adjungierten  ünterdelerminafUm  eu  einer 
andern  parallelen  Reihe  ist  gleich  Nuü, 

Ersetzt  man  in  72  die  Elemente 

der  i-ten  Zeile  durch  jene  einer  andern,  z.  B.  der  j-ten  Zeile; 

so  hat  dies  auf  die  Unterdeterminanten 

keinen  Einfloß,  R  aber  geht  in  eine  Determinante  mit  swei  gleichen 
parallelen  Reihen  über,  nnd  eine  solche  hat  den  Wert  Null  (99); 
mithin  ist 

«,i«n  -^  «,j«<2  +  •  •  •  +  a^,«,,  -  0;  (.+»     (II) 

ebenso  ergibt  sich  in  bezog  auf  Kolonnen: 

«i,«ii-fö„«2»+ •••  +  «.,«.» -0.  a+A)     (U*) 

In  den  Ansätzen  (H)  und  (II*)  sind  2n(ii— 1)  einzelne  Gleich- 
ungen enthalten^  die  mit  den  2ii- Gleichungen  aus  dem  ersten  Haopt- 
satce  2  n'*  Gleichungen  zwischen  den  Elementen  von  R  und  den  ihnen 
a4iujigierten  Unterdeterminanten  darstellen. 

Für  die  obige  Determinante  dritten  Grades  lauten  die  zwölf 
Gleichnngen  des  zweiten  Hauptsatzes: 


Weitere  Eigenfch»Aen  der  D^ttmisMiien. 


178 


-  «1«!  -f  \ßi  +  e^n  -  Of«!  +  fc,A  +  c,r, 

-  «•«!  -f-  ^A  +  c^Yi  -  fli«,+  ftiA+  ^ri 
0  -  Ol A  -f  a, A  +  «» A  -  «in  +  «iri  +  «tn 

-  Cjtfi  +  <i«f  +  <^a,  -  c,  A  +  <iA  +  «bA- 

107.  AdditlonsregeL  Wetm  man  su  den  Elementm  einer  ReShe 
die  mit  einem  beliebigen  Faktor  muUiplijnerien  Elemente  einer  paraliden 
Beihe  addiert,  so  ändert  die  Determinante  ihren   Wert  nicht. 

Aus  (1*)  und  (n*)  folgt  beispielsweise 

(»1»  +P«i;)«u  +  (a>»+l>ff|i.)at*+  •  •  •  +(«.»-I-pO««*  -i^» 
d.  h. 


«11  ^j-öi*    •^/•«ii.!       «11  «II 


«ti«»     -«s*     -aji---«!« 


«21  «rt 


Oi*-*-Pöii 

«li+l»«!! 


«II 


"1« 

«f. 


«•!««* 


^Jl 


"•/ 


«.jö.f 


'•i 


+  l>ö„ 


Die  Regel  kann  auch  auf  Zeilen  angewendet  und  auf  mehrere 
Reihen  ausgedehnt  werden. 
Hiemach  ist  z.  B. 

j  1  ^-«  yi-* ;     i  1  «1  yi ! 


1  0:5  —  0  ys-6 


1  ^  yi 


wie  man  durch  Addition  der  mit  a,  bzw.  b  multiplizierten  ersten 
Kolonne  zur  zweiten,  bzw.  dritten  findet;  es  hangt  also  der  Wert  der 
linksstehenden  Determioante  von  a  und  b  gar  nicht  ab. 

108.    Y^rmindemng   und  Srhi^hniig    des   Qra4e8    einer 

Determinante.  Der  Grad  einer  Determinante  vermindert  sich  sofort 
um  1;  wenn  in  einer  Reihe  nur  ein  von  Null  verschiedenes  £lement 
steht;  es  ist  nämlich  eine  Folge  des  ersten  Hauptsatzes,  daß  dann  die 
Determinante  gleich  ist  detn  von  Null  verschiedenen  Element  mult^iiiert 
mit  der  ihm  adjungierten  Unterdeterminante, 
So  ist 


«11  «11 
0    0,, 

0     £1« 


0    a. 


-»II 


174 


Determinanten.    §  4.    CnterdeiermiDAnten 


Ruf  den  Wert  der  linksBtebenden  Determinante  haben  also  die  Ele- 
mente der  ersten  Zeile  außer  a^j  keinen  Einfluß. 

Durch  wiederholte  Anwendung  dieses  Satzes  ergibt  sich  der 
weitere:  Wenn  alle  Elefnente  zu  einer  Seite  der  Haupidiagonale  Ntdl 
sind,  so  reduziert  sich  die  Determinante  auf  iJir  Hauptglied, 

In  der  Tat  ist  beispielsweise 


a,  h,  q  d^ 
0  \€^d^ 

0  0  0  d. 


h  ^  ^h 


8^8 


0    Cj 

0  0  d^ 


-  a,\ 


Od^ 


-aj6,f,(/^; 


der  Wert  der  ersten  Determinante  hängt  also  von  den  Elementen 
znr  andern  Seite  der  Hauptdiagonale  nicht  ab. 

Auf  dem  ersten  Satze  beruht  das  Verfahren,  durch  das  man  den 
Grad  einer  Determinante  ohne  Veränderung  erhöht;  es  besteht  in  der 
Hinzufügung  eines  rechtwinklig  gebrochenen  Randes  von  Elementen, 
an  dessen  Ecke  1  steht,  während  der  eine  Schenkel  mit  Nullen  be- 
setzt ist;  auf  die  Elemente  des  andern  Schenkels  kommt  es  nicht  an, 
ihre  Plätze  mögen  zum  Zeichen  dafür  mit  *  besetzt  werden;  in  der 
Regel  wird  man  auch  hier  zweckmäßig  Nullen  verwenden. 

Geschieht  dieses  „Rändern"  links  und  oben  oder  rechts  und  unten, 
so  bleibt  auch  das  Vorzeichen  erhalten;  in  den  zwei  anderen  Fällen 
kommt  es  auf  den  Grad  der  Determinante  in  leicht  zu  bestimmender 
Weise  (103,  I.)  an. 

Beispiele  werden  dies  am  besten  erläutern.     Es  ist 


«1^ 


femer 


fl,  ft,  t*! 
//,  h^  e^ 
«8  h  % 


1  *  * 

Oa^\ 
00,6, 

0  flj  h^  Cj 

0  //,  \  Cj 

0  a,  6s  r, 

1  *  ♦  ♦ 


1**0 
Oa,6iO 
0  0,6,0 
0  0  0  1 


00001 
Oa^\c^* 
0  o,  6,  f  ,  * 
0  «3  6,  Ca  * 

X    #    *   «  4t 


109.  BeterxuinAnten  mit  aggregierten  Biemeuten.  Wenn 
in  eiitcr  Determinante  die  Elemente  einer  Heute  m-gliedrige  Aggregate 
sind,  so  läßt  sie  sich  ah  Summe  von  m  Determinanten  desselben  Grades 
mit  einfachen  Elcmefiten  darstellen. 


öl'  6t  c, 

ariHC, 

- 

aibfCt 

+ 

aihc 

+ 

^^Ci 

<»ihn€9 

aihct 

mTh^Ct 

Kändern  eis»^r  JVtenoioante.  —  TTilHtlMminiiiiüu.  175 

Entwickelt  man  beispielsweis« 

«t  +  at  -f  a»   flb  <j 

nach  den  Elementen  dtt  ersten  KoIobb«  und  nennt  die  adjunfierien 
Unterdeterminanten  «,,  cc^,  o,,  so  ergibt  sich.: 

d.  h. 

«i  +  ai'-f  «r  6i  Ci 
Oj  +  as  +  «ij  Ol  ci 
oi  +  ai'-har  5s  c» 

Umgekehrt  kann  die  Summe  melirerer  Determiauiten  N-ten 
Grades,  die  in  n  —  1  Reihen  übereinstimmen,  durch  emt  Determinante 
n-ten  Grades  dargestellt  werden.    So  ist  z,  B. 

«1  -f  ai  hl  cu 
<h'¥(hbt  Ci 
öi  +  Os^«^ 

Sind  mehrere  Reihen  aggregiert  und  hestehdit  ihre  Elemente  aoB 
my  m\  m"  •  ■  •  Gliedern,  so  ist  die  Determinante  aui^ösbar  in  mm' m"  •• 
Detemainanten  mit  einfachen  Elementen. 

HO.  Nulldeterminanten.  In  den  Anneodungen  hat  man  es 
vielfach  mit  Determinanten  vom  Werte  Null^  die  man  als  NuUdeter- 
minanten  bezeichne  zu  tun.  Eine  der  wichtigsten  Eigenschaften 
solcher  Determinajfiten  sagt  der  folgende  S»tz  aus:  In  einer  Null- 
deUrminanle  sind  die  den  Elewtenien  paraUeUr  Jieihen  adpmgkrten 
Unter determinant^m  eueinander  proportional,  d.h.  die  den  Elementen  einer 
Zeile  (oder  Kolonne)  adjnngi«rten  Uuierdeterminanten  Twfaalten  sich 
ebenso  wie  die  zu  irgendeiner  andern  Zeile  (oder  Kolonne)  gehörigen. 

Es  genügt,  den  Satz  an  einer  Determinante  bestimmten,  i.  B. 
vierten  Grades  und  für  xwei  Paare  homologer  Unterdeterminanten 
nachzuweisen.     Sei  also 

«ij  \  fj  d, 

a^hfC^d, 

«4  ^4  ^l  ^4 


«1^<1 

<hih(h 

a,6,C| 

-f 

h  ^  h 

- 

ö,  ^»  c^ 

«i  ^  ^« 

176 


DetenniBaDteii.    %  4.   Üntfrdetermiiuaitmi. 


bildet  man  auf  Grund  derselben  t^iß^-^  ^^ßi^  so  kann  dies  wie  folgt 
dargestellt  werden: 


a^e^d^ 


ßiA~«4A-«i  I  «,C|*  l  +  A   hct^t]^  «i«i  +  ^A<i<^f 


h,e,d^ 


«lÄi  +  ^A^^^i 


fh<k^$ 


\h<^^  öjOj-f-ftj/JiC,  i,  ; 


multipliziert  man  jetzt  die  zweite  Kolonne  mit  y^,  die  dritte  mit  di 
und  addiert  dann  beides  zur  ersten,  so  wird  nach  den  beiden  Haupt- 
sätzen (105,  106): 


ist  nun  B  ""O,  so  ist  auch 
d.h. 


ttj :  ^  "^  «i •  /^4     oder  auch     o^i  -  a^  ^  ßi '  ßi- 

Die  Unterdetenuinanteii;  die  den  Elementen  einer  Determinante 
JR  adjungiert  sind,  lassen  sich  wieder  zu  einer  quadratischen  Matrix 
zusammenstellen : 

<»i  ßi  Yi  K 

^ß%ri^t 

«8  A  y»  ^z 
«ißiyi^iy 

die  man  der  Matrix  yon  R  adjungiert  nennt.  Ist  nun  R  ^  0,  so  sind 
(100)  alle  Determinanten,  die  man  aus  Partialsystemen  dieser  Matrix 
bilden  kann,  somit  auch  die  Determinante  der  adjuugierten  Matrix 
selbst  gleich  NulL 

Man  schreibt  einer  Nulldeterminante  tt-ten  Grades  den  Rang  r  zu, 
wenn  mindestens  eine  ihrer  Unterdeterminanten  r-ten  Grades  nicht 
Null  ist,  dagegen  alle  Unterdeterminanten  höheren  Grades  verschwinden. 
Die  Determinante  hat  den  Rang  1,  wenn  sie  selbst  und  alle  ihre 
Ünterdeterminanten  bis  zum  Grade  2  Null  sind,  wahrend  nicht  zu- 
gleich alle  Elemente  durch  Nullen  vertreten  sind.  Es  ist  beispiels- 
weise die  Determinante 

1  2  3 

4  5  6 

7  8  9 

die  96  als  Nulldeterminante  erkannt  wurde,  vom  Range  2,  weil  schon 
Wl    +Oist 


Umformung  und  Auirechnang  Ton  DeicmiioMiten  177 

111.  Beispiele  der  TraosforioAtion  und  Amereoluiiiiif  Toa 
Determinanten.  Um  Anwendungen  der  bisher  lyewiesenen  Süm 
zu  zeigen,  seien  einige  Beispiele  Torgeftihrt. 

1.  Die  Determinante 

1  a  a' 

1  c  <?• 

kann  in  der  Weise  umgeformt  werden,  daß  man  ihre  erste  Kolonne 
mit  abc  multipliziert,  worauf  sich  aus  den  Zeilen  der  Reihe  nach 
a,  bf  c  herausheben  läßt;  hiemach  ist 


Subtrahiert   man,  anders  vorgehend,  die  erste  Zeile  ron  den  beiden 

folgenden,  so  wird 

la       a« 
iJ,-   0  6-a6«-a«,  -(6-(i)(c-a)    ^     "j"^  -(6-a)(<?-a)((?~6). 


abe  a  a*  j 

hcla 

abc  6  ftV  - 

ae  1  b 

abe  c  c* 

ab  l  r 

le-\-a 


Um  die  analoge  Determinante 

1  ft  ft»  ft» ! 

^""    1    c  c«  c» 

1    d    €P  (P- 

ZU  entwickeln,  kann  mau  auch  in  der  Weise  rerfahren,  daß  man  die 
folgeweise  mit  a,  a',  a^  multiplizierte  erste  Kolonne  Ton  der  2^ 
3.,  4.  subtrahiert: 

110  0  Ol 


l  1  h^ab'-a^  b^-a* 

^     1  c-a  c«-a*  c»--a» 

1  <f~ad»-a«ii*-a» 

11  64-a  6«-f-a6  +  a*| 

-.(6-a)(c-a)(rf-a)    1  e 

4-a  c«-hac  +  a«   ; 

l  d-had^i-ad-^a* 


und  wird  nun  die  erste  Zeile  ron  den  folgenden  subtrahiert,  so  kommt 
schließlich 

Ccaber,  Höher«  M»th«»Atik   S.  AaJ.  11 


178 


DetenninAziten.     §  i.    ünterdetermioaoten. 


1 c+6+a 
1 d+6+a 
-(6-a)(c~a)((i-a)(c-6)(rf~6)((f-<?). 
Allgemein  kommt  die  Determinante  n-ten  Grades 

1  a?!  flj}  •  •  •  rr 


/l^-(6-a)(c-a)(rf— a) 


-.(5-a)(c~a)(<;~a)(c--6)((i-6) 


ii.- 


1      Xh 


.«-1 


arj-* 


1   :r,  rf...a^-» 
1)  Differenzen  x^  —  x 


X»       X, 


11 


x,  —  x, 


•-1 


dem  Produkt  der  ~n{n—  i.j  jL/mcrojLM.cu  xj  —  a^, 

gleich. 

Während  B^,  R^  als  Determinanten  dritten  und  vierten  Grades 
6,  bzw.  24  Glieder  ergeben,  liefert  die  Entwicklung  des  Produkts  von 
3,  6  Binomen  2»=  8,  2«=-  64  Glieder;  daraus  folgt,  daß  die  letztere 
Entwicklung  Reduktionen  gestattet. 

2.  Die  Determinante 

a^-{-  X  h^  Cj 

o,  &,  +  x  c, 

Oj  6,  Cs  +  X 

laßt  sich,  indem  man  alle  Element«  unter  Benutzung  von  Nullen  zu 
Binomen  macht,  nach  109  in  acht  Determinanten  auflösen.  Die  erste 
ist  (aj6jC,);  drei  enthalten  je  eine  Kolonne  mit  x  und  reduzieren  sich 
auf  den  zweiten  Grad:  (h^Cf)x,  {c^<ii)x,  {^a^b^)x\  drei  enthalten  je  zwei 
Kolonnen  mit  x  und  reduzieren  sich  auf  a,a;*,  h^x^y  c^x^-^  die  letzte 
enthält  alle  drei  Kolonnen  mit  x  und  reduziert  sich  auf  ihr  Haupt- 
glied  x^.     Mithin  ist 

Dasselbe  Verfahren  auf 


Ä- 


•nge wendet  gibt: 

~(«i  +  ^  +  <^.  +  rf4)^  +  ^- 


«1- 

a? 

6, 

^ 

d^ 

«t 

6.- 

-  a; 

^ 

d. 

«a 

6* 

^8- 

X 

«i. 

«4 

6« 

<^4 

''i- 

« 

«-.10x»4-«*-a:»(x-  10), 


UmfonDung  und  Avirachnuog  tob  DeUnninaotoo.  179 

Beispielsweise  ist 

l-x  2  3         4 
1          2^x 3         4 

1  2  3-x4 

12  3  4-i: 

indem   die   Determinante,   die   nach   Unterdrflckimg  der  x  verbleibt, 
eine  Noüdeterminante  vom  Range  1  ist 
3.  Die  Entwicklung  von 

X    b,  c,  d, 

a^  X    e^  d^ 

a^  64  C4  X 

führt  auf  den  Torletzteu  Fall  zurück;  man  brancht  nur  das  Zeichen 
von   X   zu    ändern   und    zu    beachten,    daß  a^  — &i  — c^  — J^i»  0   iet; 

0    61  Ci  </ji 


Ä- 


hiemach  ist 


E 


0,  0    c^  «f, 
a^  b^  C4  0 


0   c,d. 

0   c,rf, 

0   6,  a 

f. 

0  >. «, 

+ 

hO  d,.+ 

0,0   rf,    H 

h    0,0   <^ 

+ 

«,0  <^ 

1 

Kc,o  1 

0,  «4  0   i 

a«6,  0 

«,6»0 

+ 

0    6,!        ;  0 

or  ««0 

0  c. 

4 

0 

0 

«»+«*. 


4  Bei  der  Ausrechnung  einer  numerischen  Determinante  mit 
ganzzahligen  Elementen  kommen  die  Sätze  in  107  und  108  sn  be- 
ständiger Anwendung.  Ist  ein  Element  1  oder  —  1 ,  so  kann  man 
mit  Hilfe  von  107  die  übrigen  Elemente  derselben  Zeile  oder  Kolonne 
auf  Null  bringen  und  dann  nach  108  den  Grad  der  Determinante 
um  1  erniedrigen.  Kommt  ;:i:  1  als  Element  nicht  ror,  so  kann  dies 
durch  Anwendung  von  107  erzielt  werden;  denn  der  Fall,  daß  alle 
Elemente  gerade  Zahlen  sind,  kann  ausgeschlossen  werden,  da  man 
ihn  durch  Herausheben  des  Faktors  2  umgehen  kann. 

Es  sei  beispielsweise  die  Determinante 

2-3  2  5  3 
-3  4-2 -6 -4 
2-2  6  2  -5 
5-5  2  8-6 
3_4-5~6     10 


180 


Determinanten.     $  5.    Auflösung  einer  Determinante  ugw. 


aaszarechnen.    Durch  Addition  der  zweiten  Kolonne  zur  ersten  ansteht 
-1-3      2      5      3 
1      4-2-5-4. 

2  -r>i; 


0-2      6 

0-5      2      8-6: 
-1  -4  -5   -6     10 
nachdem  man  die  zweite  Zeile  zur  ei-sten  und  letzten  addiert  hat,  wird 
daraus  1       0        o  —  1 

^-2      6        2-5 

~"i  „5      2        8  -Ö    ' 
I      0-7-11       ü 
nach  Addition  der  ersten  Kolonne  zur  letzten  weiter 

6       2-7  6       2        1  6     2        1  Ö8  73 

._;     2       8 -11  =  -      2        8    -l=-2      8    -1  =-2  10.28 


-7-11 


12 


1    0    0 


-7-11-12  1-1 

=  730-  184-546: 

es  sind  dann  weiter  die  zwei  ersten  Kolonnen  zur  dritten,  hierauf  die 
zwei  ersten  Zeilen  zur  dritten  und  schließlich  die  erste  Kolonne  zur 
zweiten  und  ihr  12-faches  zur  dritten  addiert. 


§  5.  Auflosniig  einer  Determinante  in  Produkte  adjnn^erier 
Unterdeterminanten. 

112.  Entwicklung  nach  den  Unterdetermlnanten  einer 
Seihenkombination.  Der  in  105  bewiesene  erste  Hauptsatz  be 
trifft  einen  speziellen  Fall  der  Entwicklung  einer  Determinante  in 
Produkte  adjungierter  ünterdeterminanten:  nämlich  in  Determinanten 
1  und  n— 1-ten  Grades.  Der  allgemeine  Fall  besteht  in  der  Ent- 
wicklung nach  den  Unterdeterminanten  einer  bestimmten  Kombination 
von  r  Reihen  mit  den  adjungierten  Ünterdeterminanten  n  —  r-ten  Gbudes. 

Um  ein  bestimmtes  Problem  vor  Augen  zu  haben,  handle  es  sich 
um  die  Entwicklung  nach  den  Unterdeterminanten  der  ersten  r  Zeilen  von 


»11 


«11 


«11 


•  «ir 
•  •  •  ««r 


%r  +  l 
's,r  +  l 


n 


ri 


'r8 


V.r  +  1 


«. 


''i  +1,1   «r  +  l.M  *  *  •  ^r  +  i,r  «r  +  l,r  +  l 


V+.I,« 


•«l 


'••t 


Entwicklung  nach  rotertietenninaiiteD  beliebigen  Gndet.  18t 

wie  in  101  erklärt  worden,  ist  ein  erste«  Paar  adjungierter  Untar- 
detenninanten  der  Torgezeichoeten  Art 

A  ■"  («11  «M      •      ^rr)>        A  -  («r+l.r  +  1  «r  +  f,r  +  f  '      '  O 

Um  ein  neues  Paar  xu  erhalten,  das  andere  Glieder  Ton  R  liefert 
als  A^Bif  bat  man  eine  andere  Kombination  von  r  Kolonnen  an  den 
An&ng  zu  stellen,  die  übrigen  Kolonnen  in  der  natürlichen  Ordnung 
folgen  zu  lassen  und  unter  Berücksichtigung  des  Vorzeichens  der  um- 
geformten Determinante  dieselbe  Teilung  der  Matrix  yorzunehmen  usw. 

Bezeichnet  man  die  (**!  »  p  Kombinationen  r-ter  Klasse  der  Elemente 

1,  2,  •  •  II  in  der  Reihenfolge,  in  der  sie  nach  den  Regeln  der  Kom- 
binationslehre aufeinander  folgen,  mit  1,  2,  "  -  Q,  bestimmt  zu  jeder 
durch  die  übrigen  n  —  r  Elemente  ergänzten  Kombination  das  Vor- 
zeichen gemäß  der  Anzahl  der  Inversionen,  so  geben  die  zugehörigen 
Produkte  Ä^B^,  A^B^^  -  "  AB.  mit  den  betreffenden  Vorzeichen  Ter- 
sehen  samtliche  Glieder  Ton  R^  so  daß  sich  R  in  der  Form 

1 
darstellt.    In  der  Tat  gibt  jedes  Glied  dieser  Summe  r!(ii~r)l  Glieder 
von  R]  alle  Glieder  zusammen  liefern  also 

verschiedene,  somit  aüe  Glieder  von  K 

Man  hat  also  den  Satz:  Eine  Determinante  n-ien  Grodee  ist  imf- 

IMxkr  ♦«(**)  Produkte  wn    ünterdeterminanten   r-ten  und  n  —  r-tem 
GradeSy  wovon  die  ersten  einer  hedimmten  Kombination  von  r  paraUden 
Reihen,  die  andern  den  übrigen  n  —  r  Reifien  gleicher  Art  entnommen  sind. 
Als  Beispiel  diene  die  Entwicklung  von 

o,  a,  £is  o^  o»  I 

R--    c^  c^  c^  c^e^ 
I  <i,  d;  ^  #/«  <4  ■ 

I    «I    «f    <^8    «4    ^ 

nach  den  Unterdeterminanten  der  ersten  zwei  Zeilen;  sie  ist  durch 

das  folgende  Schema  in  leicht  yerstandlicher  Weise  dargestellt: 

iJ  -  12 1 345 -  13 1 245 -fl4| 235-151 234 

-h23|  145-241 136  +  251 154 

+  34|125-35|124 

+  451123; 


[ 


182 


Determinanten.    $  6.   Maltiplikation  von  Determioanteo. 


daa  zweite  Qlied  bedeutet  Dämlich  das  Produkt 


«i  ö« ; 

c,  c^  c, 

\b.\ 

dtd.d. 

«1    ^   «5 

«1  ^1 


C3  rf,  C3 
c^  d^  «4 


dem  das  Zeichen  —  zukommt ^  weil  die  Permutation  13245  ungerad 
ist;  und  ähnlich  die  andern  Glieder. 

113.  Die  S&tze  von  Jaoobi.  I.  Wenn  r  Zeilen  (Kohnnen) 
einer  Determinante  n-ten  Grades  n  —  r  Kolonnen  (Zeilen)  von  Nullen 
enthalten,  so  reduziert  sich  die  Determinante  auf  das  Produkt  einer 
Determinante  r-ten  mit  einer  n  —  r-ten  Grades. 

Denn,   entwickelt   man   die   Determinante   nach   den   ünterdeter- 
minanten  jener  r  parallelen  Reihen,  so  ist  nur  eine  davon  nicht  Null; 
mit  dieser  Bemerkung  ist  aber  der  Satz  schon  ei*wie8en. 
Beispielsweise  ist 

ttj  &i  0  0  0 
a^h^O  0  0 

«8  ^8   ^8  ^s  H 

a^  h^  c^  d^  e^ 

Ö5  ^6  ^6  ^5  ^^5 

II.  Wenn  r  Zeilen  (Kolonnen)  einer  Determinante  n-ten  Grades 
mehr  als  n—r  Kolonnen  (Zeilen)  von  Nidlen  enthalten,  so  hat  die 
Determinante  den  Wert  Null. 

Da  nämlich  keine  der  Unterdeterminanten  r-ten  Grades  aus  den 
r  Reihen  von  NuU  verschieden  ist,  so  verschwinden  alle  Produkte 
konjugierter  Unterdeterminanten,  die  man  nach  den  Satze  in  112  zu 
bilden  hätte. 

Hiernach  ist  also 

a^h^O  0  0 

a,  6,  0  0  0 

o,  6,  0  0   0 

a^  64  c^  d^  C4 

§  6.  MnltiplikAtion  von  Determinanten. 

114.  Produkt  iwoier  Determinanten  i^-ten  Orades.  Das 
Produkt  zweier  Determinanten  r^-ten  Grades: 


Ä^ 


*n  'ni 


<»in  ^»i 


öl« 


JB- 


^i  ^ 


it 


6,1  h 


n      "hm 


KiKt'K 


SUze  von  J»cobi.  —  MalttplikftiionfthtoraiB. 


18S 


besteht  im  allgemeiuen  aas  (n!)*  Gliedern,  aUo  achon  bei  swei  Deter- 
minanten 3.  Grades  aus  36 ,  bei  swei  Determinanten  4  Grades  au 
576  Gliedern,  und  die  Gliederzahl  wächst  mit  dem  Grade  außer- 
ordentlich rasch.  Bei  dieser  Komplikation  bedeutet  nun  der  folgend« 
Satz  eine  wesentliche  Vereinfachung: 

Das  Produkt  swekr  Determmmten  n-tm  (rrades  läßt  sieh  wieder 
ah  Deierminanie  n-kn  Grades  darsleUen, 

Zunächst  ist  eine  Darstellung  dee  Produkts  durch  eine  Deter- 
minante 2n-ten  Grades  mit  Hilfe  des  ersten  Jaco bischen  Sätze«)  ohne- 
weiteres  möglich,  indem;  neben  unbegrenzt  vitalen  andern  Formen, 

a,.0    0    •    .0     i 

Oj.O    0    ...0 


ÄB^ 


a,i  Ol,. 


-1     0 
0-1 


a.,0    0    -.0 
0     6,.6„.    -6,, 


0     0   ...~1     ^.5„..-6,.j 

dabei  ist  das  linke  untere  Feld,  das  mit  willkürlichen  Elementen 
besetzt  werden  könnte,  so  eingerichtet,  daB  es  nun  möglich  wird,  die 
Determinante  auf  den  n-ien  Grad  zu  reduzieren.  Multipliziert 
nämlich  die  ersten  n  Kolonnen  der  Reihe  nach  mit 

und  addiert  zur  n  +  l-ten,  hierauf  mit 


^21»  ^»»  •••  ^: 


1« 


und  addiert  zur  »-f  2-ten  usw.,  endlich  mit 

und  addiert  zur  2n -ten  Kolonne,  so  nimmt  das  Produkt  AB  folgende 
Form  an; 


ÄB^ 


<4i  «n  •••    ^tn  ^n  ^n 

~1     0   ...    0    0   0 
0-1   ...  0    0  0 

.0 
.0 

0     0 1     0    0 

.0 

Die  neu  entstandenen  Elemente  c^^  sind  Aggregate,  zusammen- 
gesetzt aus  den  Elementen  Ton  Ä  und  B  nach  folgendem  Gesetz: 


184 


Determinanteii.    g  6.   Multiplikatioo  von  Determinanten 


Cu  -  »II ^11  +  «1,^,  -r  •  •    -f  a,^di„ 

Ca  -  <hihi  +  «12^»  4-  •  •  •  +  öj^^g^  usw., 
also  allgemein 

man  nennt  diese  Art  der  Znsammensetzung  von  c,^,  wonach  es  ent- 
steht, indem  man  gleichstellige  Elemente  der  t-ten  Zeile  von  Ä  und 
der  Ä;-ten  Zeile  von  B  miteinander  multipliziert  und  die  Produkte  addiert^ 
die  Komposition  der  t-ten  Zeile  von  Ä  mit  der  Jt-ten  Zeile  von  B, 

Indem  man  nun  in  dem  letzten  Resultat  die  särotlichen  Kolonnen  , 
f}-mal  nacheinander  zyklisch  pemiutiert,  wird  weiter  ^98) 


Cll    ^5   • 

•«in 

a,i  fljg  •  • 

«1. 

«11  ^-sf 

••«2« 

«21    «^2   • 

«2, 

AB^i-D' 

0    0  . 

..0    - 

«.1   ««2  •  • 

-1     0    .. 

0    • 

0    0  . 

•0 

0-1    .. 

0    i 

0    0  . 

•0 

0    0       . 

-1  i 

«11    «12  • 

••«1. 

-1      0. 

■  ^i 

-(-1)" 

<^i    «2S   • 

"C,n 

1     0-1. 

1  .     .     .     . 

•  «1 

««1   «-2- 

••«.1. 

i     0     0. 

-1 

also  schließlich  (nach  dem  zweiten  Satze  in  108) 

I  «11  «11  *  •  •  «1 « ! 


'«1    "Hl 


Wegen  der  Gleichberechtigung  der  Seilen  und  Kolonnen  kann 
das  Produkt  zweier  Determinanten  auf  vier  im  allgemeinen  voneinander 
verschiedene  Arten  dargestellt  werden,  indem  man  Zeilen  mit  Zeilen, 
Kolonnen  mit  Kolonnen,  Zeilen  mit  Kolonnen  und  endlich  Kolonnen 
mit  Zeilen  komponieren  kann.  Wendet  man  diese  vier  Modalitäten 
bespielsweise  auf  zwei  Determinanten  zweiten  Grades  an,  so  ergibt  sich: 

fli«i  +  ^A  «i«2  +  6iA  ^j«i«i-ha,a,  (?,A-f  a,/5, 
o,«,  +  hfßi  «,flf,-f  ^A  !  ^«i  -f  ^«t  Kßi  +  ^f  A 
«i«i  +  ^«i  öiA4-feiA!^j«i«i+«2A  «i«f+a,Ä; 

fl,«,  -f  %«,  OjA  +  ^lA I     i ^«1  +  fti A  ^«t  +  ÄiA  ■ 


MultipUkAtionaibeoreiD.  |95 

Um  eine  Anwendung  Ton  dem  MnltiplikatiooBibeorem  hier  schon 
zu  geben,  seien  «,  6,  r,  d  vier  komplexe  Zahlen  und  a\  b\  e\  d'  die 
ihnen  konjugierten,  so  daß  aa'  eine  Summe  Yon  zwei  Quadraten,  die 
Norm  Ton  a  (und  von  a\  N(a),  ist  (18);  ebenso  für  die  andern 
Paare.     ünt*»r  dieser  Annahme  hat  man: 

I     a  h 

^     a  b  cd 

ac  4-  bd     —ad'  4-  bc    , 

folglich 

[N{a)  +  N{b)]  [N(c)  +  N(d)]  «  N{ac  +  bd)  +  i^(-ad'  -f  6c'). 

Hierin  spricht  sich  die  Tatsache  aus,  daß  das  Produkt  zweier 
Summen  von  je  vier  Quadraten  wieder  als  Summe  von  vier  Quadraten 
dargestellt  werden  kann. 

Ist  beispielsweise 

a=l-f-2»,    b  =  S  +  4i,    c  =  5-f6i,    d=7  +  8i, 
so  hat  man  im  Sinne  obiger  Ausfährung 

( 1>+  2«+  3«-f  4«)(5*-f  6»+  7*-f  8«)  «=4*4-  16*+  18*+  6M. 

116.  Produkt  zweier  Determinanten  ungleichen  Oradec 

um  von  dem  Satz  der  vorigen  Nummer  Gebrauch  machen  zu  können, 
erhöht  man  den  Grad  der  niedrigeren  Determinante  durch  Kaudem 
auf  den  der  höheren;  dabei  wird  es  im  allgemeinen  am  zweckmäßigsten 
sein,  dir  willkürlichen  Elemente  durch  Nullen  zu  besetzen. 

Indem  man  Zeilen  mit  Zeilen  komponiert,  ergibt  sich  also  bei- 
spielsweise: 


0, 6,  <^  rf, : 

0,  J^  <^  fl^li«,  A 

a,  h,  e,  rf,"«r,  a' 

a,  6,  c,  d^ 

«1  6,  <•,  rf, 

,«»  A  0  0 

«■«t  +  ^iA 

«.«.  +  »,A 

f  ,  rf, 

0,  6,  c,  rf,  i 

k  A  0  0 

«,«,  +  6,/J, 

a,«,  +  6,  A 

«b«^ 

«t\<^äi 

lO    0    1  0  ~ 

«.«1  +  \ßl 

«.«.+  Mi 

«i«'. 

«4    h    '•4    ^, 

0    0    Ol, 

«4«I  +  Kßt 

0»0,+  »4A 

«4< 

186 


Determinanten.    §  6.   Multiplikation  von  DetenninAnten. 


116,  Quadrat  ein«r  Betermiiuuite.  Di«  Xd«ntit&t  von 
Lagrange.  I.  Um  das  Quadrat  einer  Determiaante  wieder  in  Deter- 
minautenform  zu  erhalten,  braucht  man  sie  nur  mit  sich  selbst  zu 
multiplizieren.  Komponiert  man  dabei  gleichartige  Reihen,  also  Zeilen 
mit  Zeilen  oder  Kolonnen  mit  Kolonnen,  so  zeigt  das  Resultat  eine 
besondere  Bauart.  So  gibt  beispielsweise  das  Quadrat  einer  Deter- 
minante 3.  Grades  bei  Komposition  der  Zeilen: 

In  dem  Resultat  sind  also  Elemente,  die  symmetrisch  zur  Haupt- 
diagonale angeordnet  sind,  einander  gleich;  das  Quadrat  einer  Deter- 
minan<^  gibt  bei  der  beschriebenen  Ausführung  eine  symmetrische 
Determinante  desselben  Grades.  Dies  gilt  für  Determinanten  beliebiger 
Grade. 

II.  Die  Determinante  zweiten  Grades 

deren  Elemente  Summen  von  je  n  Gliedern  sind,  läßt  sich  in  n'  Deter- 
minanten mit  einfachen  Elementen  auflösen  (109);  von  diesen  sind 
«  identisch  Null,  diejenigen  nämlich,  die  aus  beiden  Kolonnen  Glieder 
desselben  Zeigers  zusammenfassen,  wie  z.  6. 

afi,  V  !  ^i^i 

es  Terbleiben  also  n*  —  w  =*  «(n  —  1)  im  allgemeinen  nicht  verschirindende 
Teildeterminanten. 

Löst  man  hingegen  die  Determinante  [u)  in  Teildeterminantea 
Yon  dem  Schema  ^ 


(«) 


-0: 


iß) 


(r) 


auf,  indem  man  t,  k  alle  Kombinationen  zweiter  Klasse  der  Elemente 
1,  2, . . .  n  durchlaufen  läßt,  so  entstehen   ihrer'    ^  — — ^;  jede  davon 

ergäbe  bei  weiterer  Auflösung  vier  Determinanten  mit  ein^Mshen  Ele- 
menten; im  ganzen  gäbe  es  also  solcher  2n(n  —  1);  da  aber  darunter 
jede  Determinante  des  Typus  (ß)  »—  1-mal  auftritt,  so  sind  ihrer 
n(n—  1)  identisch  gleich  Null  und  verbleiben  »(n  —  1)  im  allgemeinen 
von  Null  verschiedene  Determinanten,  so  daß 

äA+«A+-+öA    V+VH-+V    f-^  «A-f  «A  V+V  ! 


I» 


Identit&t  von  Lagr»nge.  —  Determinant«  d«r  adjungierten  Blttrix.     187 

nun  ist  aber  die  unter  dem  Summenzeichen  stehende  Determinante 
le«  Typus  (y)  das  Quadrat  Ton 


b,h, 


-  (ßi\)] 


w 


mithin  gilt  die  ron  Lagrange  zuerst  bemerkte  Idenditut: 

Für  dreigliedrige  Summen  lautet  sie  ausgeschrieben: 

(«,« +  o,*  +  o,*)  (6/  +  6,»  -h  ft,«)  ~  (0,6,  +  0,6,  +  0,6,)» 

-  i^hh  -  «1^)*  4-  (a,^  ~  a,b,y  +  («,6,  -  a,6,)«.  (•) 

117.  Determinante  der  adUnngierten  ICatrijc     Es  ist  in 

UO  TOD  der  Matrix  gesprochen  worden,  die  aus  den  den  Elementen  einer 
Determinante 


iJ- 


adjungierten  Ünterdeterminanten  zusammenj^esetzt  ist;  die  aus  ihr  ge- 
bildete Determinante 


5- 


steht  zu  R  in  einer  einfachen  Beziehung,  die  sich  durch  Multiplikation 
bei  Komposition  gleichartiger  Reihen  ergibt;  unter  Anwendung  der 
beiden  Hauptsätze  105,  106  ergibt  sich  nämlich 

R0"0 

OB        0 


«11  <^it 

••«1. 
•«1« 

».iflld- 

••«.• 

«11 

«If 

«1- 

«11 

««•• 

.   .   .• 

«Hl 

«*«     • 

•««. 

BS- 


00  ■E 


-Ä«, 


woraus,  wenn  ü  4"  ö,  folgt,  daß 

Es  ist  also  die  Determinante  des  adjungierten  Systems  eine  Potens 
der  Determinante  des  ursprünglichen  Systems,  und  rwar  ist  der  Expo* 
nent  der  um  1  erniedrigte  Grad. 

Daß  bei  i?  —  0  auch  S  "  0  ist,  wurde  bereits  in  110  bemerkt 


188 


GleicbuDgeu.     §  I.    Lineafe  Gleichungeii. 


VII.  Abschnitt. 

Gleichungen. 

§  1.    Lineare  Gleichnngen. 

118.  Nichthomogene  G-leichungen  mit  niohtverschwin- 
dender  Determinante.  Ein  System  von  7i  linearen  Gleichungen 
mit  n  Unbekannten  hat  die  allgemeine  Form: 


««1^1  +  ö«8^2  4-  •  •  •  +  rt„„a;,-  u^ 


(1) 


Es  heißt  nichthomogeny  wenn  wenigstens  eines  der  absoluten  Glieder 
M„  t«2,  •  •  •  u^  nicht  Null  ist.  Die  Koeffizienten  a,^,  unter  welchen  wir 
nns  reelle  Zahlen  denken  wollen^  bilden  eine  quadratische  Matrix, 
deren  Determinante 


( «11  ö 


n  "'18 


"In 


B 


«21  «28      •  •  f'in 


(2) 


als  Determinante  des  GUidmngssystems  (1)  bezeichnet  wird. 

Jedes  Wertsystem  x^,  Xj,  •  •  •  x^,  das  die  Gleichungen  (1)  befriedigt, 
heißt  eine  Wurzel  oder  Lösung  von  (1).  Die  zu  entscheidende  Frage 
geht  dahin,  ob  und  welche  Lösungen  das  System  besitzt. 

Es  ist 


ÄiTj- 


^nk^k 


addiert  man  zur  jl'-ten  Kolonne  die  übrigen,  nachdem  man  sie  folgeweise 
mit  Tj,  or,,  •  •  •  ^4_i,  ^i  +  i, 
Rücksicht  auf  (1) 


x^   multipliziert  bat,   so   entsteht   mit 


Rx  «1^1^-    •^-    •««• 


»1«- 


«- 


-/^, 


(3) 


wenn  man  E^  als  Zeichen  für  jene  Determinante  benutzt,  die  aus  72 
hervorgeht,  indem  man  die  ib-te  Kolonne  durch  die  absoluten  Glieder 
ersetzt. 


Nichtbomugene  lineare  OUiohmigmi.  Ig9 

Ist  nun  R^O,  so  ergibt  aich 

«*  — -^  (4-Uf....»)  (4) 

als  die  einzige  I^iODg«  die  das  Sjntem  (1)  besitzt.  Man  hat  alio 
den  Satz:  " 

Das  nichtkomogme  S^m  (1)  hat  eine  und  nur  eine  iMung,  wem 
seine  Determinante  nicht  NuU  ist;  jede  Unbekannie  stdlt  sich  ah  Qmh 
üent  mit  dieser  Determinante  als  Nenner  und  einer  Determinante  als 
Zähler  dar^  die  aui>  jener  entsteht,  wenn  ntan  die  Koeffijfienten  der  su 
herechnendeti  Unbekannten  durch  die  AbsolHtglieder  ersettt. 

Entwickelt  man  E^  nach  den  Elementen  der  A:-ten  Kolonne,  to 
erscheint 

^i—  «1***1  +  «f»Mf  +  •  •  •+  «^u,  (6) 

als  eine  homogene  lineare  Funktion  oder  Form  der  u;  mithin  kann 
Duin  auch  sagen,  jede  Unbekannte  ergebe  sich  als  eine  lineare  Form 
der  absoluten  Glieder. 

119.  Violitliomogene  G-leiohangen  mit  versohwindendar 
Determinante.  Ist  die  Determinante  R  des  Gleichnngssystemi  (1) 
gleich  Null,  hingegen  R^  =f  0,  so  kann  die  Gleichung  (3),  d.  i. 

Rx,--R,. 

für  ein  endliches  x^  nicht  bestehen;  die  Gleichungen  (1)  besitzen  keine 
Lösung,  sie  stehen  miteinander  im  Widerspruch. 

Ist  jedoch  neben  i?  =  0  auch  R^^  ^',  so  verschwinden  auch  alle 
andern  Zahlerdeterroinanten;  denn  wegen  (5)  hat  man 

«u«i  +  «ii«j  +  •  •  •  4-  «„*«,  =  0, 

und  wegen  R  =  0  nach  dem  Satze  in  HO: 

otijk :  cf,4 :  •      :  a,t  =  «,, :  «j, :  •  •  • :  «„, 
folglich  auch 

''^ii«!  +  aj/«*s  -f-  •  •  •  +  a„M, «  ii, -  0.  (,+», 

Die  Gleichung 

^^*="^*  (»«1.1.      •) 

wird  also  jetzt  «lurch  jeden  Wert  von  c^  befriedigt,  die  Lösung  ist 
unbestimmt,  die  Gleichungen  sind  voneinander  abhangig;  denn  au« 
jß  »  0  folgt  nach  dem  ersten  and  zweiten  Hauptsatze  (105,  106): 

«u«u  +  «tt««  +  •  •  •  4-  ««»a.d  -  Ö 


«it«!;,  +  «8*«i«  •+■•••  +  «,*«,»  -0; 


190 


Gleichungen.    %  1.   I^Ueare  Gleichungen. 


fügt  mau  hierzu 


«i»Wi  -f  «,4»,  +  ""\-  ff^i«,-  0 


und  addiert  samtliche  Gleichungeu,  nach  dem  man  sie  der  Heihe  nach 
mit  x^f  aJf ,  •  •  *  a?*,  •  •  'X^,  ^  1  multipliziert  hat,  so  ergibt  sich 

<^4(0na?i-fa,,x,+ .  •  .+a,,a;,-MO+a,»(a,ia:i +flMar,  + . . .  4.a,,x,-li,)-f 
120.  Homogene  G>leichungen  mit  niohtversohwindender 
Determinante.     Das   Gleichungssjstem   (1)   heißt   homogen,   wenn 
alle  absoluten  Glieder  Null  sind;  es  hat  dann  die  Form 


(6) 


Ist  nun   i^  -f  0  und  führt  man   an  dem  Produkt  Ex^  dieselbe 
Umformung  aus  wie  vorhin,  so  erhält  man 

j  «n  «if  •  •  •  0  . 
•0. 


«2« 


I   ««!«•! 


«0. 


(* « 1,  f .    .  «> 


eine  Gleichung,  der  nur  durch 


ar^^O 


(*«i,t,-«) 


genügt  werden  kann.  Es  gilt  also  der  Satz:  Ein  System  von  n  ho- 
mogenen Gleichungen  mit  n  Unbehunnten,  dessen  Determinante  nicht 
Null  i^t,  hat  nttr  die  eine  Lösung  Xj  -»  0,  a;, «-  0,  •  •  •  j?^  —  0. 

Diese  Lösung  soll  die  triviale  heißen,  weil  ihr  Bestand  unmittel- 
bar zu  erkennen  ist. 

Soll  das  System  neben  der  trivialen  noch  eine  andere  Lösung 
haben,  so  muß  notwendig  i^  =  0  sein. 

121.  Homogene  Oleichnngen  mit  yerschwindender  Deter- 
minante. 

I.  Ist  ü  —  0  und  ist  die  Determinante  vom  Range  ji  —  1,  so  daß 
mindestens  eine  Unterdetenninante  dieses  Grades  nicht  NuU  ist,  so 
kann  die  Untersuchung  in  folgender  Weise  geführt  werden.    Sei 


'n 


•11 


«11 

Cm 


••<»1.  — l 


l,l^H-l,f*^«-l,ll-l 


—  «. 


Homogene  lineare  Gleiohangen.  |9| 

eine  nichtrerschwindende  UnterdetermmADie,  00  ordne  man  die  ertiea 
II —1  Gleichungen  von  (6)  wie  folgt: 

sie  liefern  nach  dem  Vorbilde  von  (3)  die  Gleichung 

«II      <hi       «u      ^»•-  «1,-1 

0,1      ö,,       o,,      a:,..(i,^,., 


«•.^4- 


0.-1,1  ö.-i,s o»-!,-^»    •«.-i,— i 


«tl         «M 


'J« 


ff«. 


0«-l,lö«-l.l     -««-J, 


•ff. 


bringt  man  die  Kolonne  aj,,  «j,,  •  Ä„_i,n>  *Ji«  j^^zt  an  der  Stelle 
der  Ar-ten  steht,  durch  zyklische  V'ertauschung  der  letzten  n  —  k  Ko- 
lonnen an  die  letzte  Stelle,  wodurch  die  Determinante  das  Vorzeichen 
(—  1)*-*-»  erhält  (93),  so  verwandelt  sie  sich,  von  diesem  Vorzeichen 
abgesehen,  in 


»11       ^li       •    -«M-i      «i.*  +  i      •••«1» 
0,1       a„       ...  0, .. 


»•-l.löi.-l.S 


«ii-i,*-i'*«-i,*+i 


''»t-i,« 


-(-1) 


«+* 


'»»t 


infolgedessen  ist,  unter  Berücksichtigung  aller  Zeichenfaktoren, 

^nn^k'^^nk^.  a-I.t.  ..-1);       (7) 

es  bleibt  also  x^  willkürlich,  und  mit  der  Wahl  eines  Wertes  fOr  x^ 
sind  die  Werte  der  andern  Unbekannten  bestimmt  Aus  (7)  folgt 
überdies 

X,  :a:,:.-.:a:,-«,i:«^:-.-:a^, 

und  da  wegen  i2  —  0 

bei  beliebigem  t  (HO),  so  verhält  sich  auch 


'  ^n  •"  «<l  •  «<f 


:  a. 


im' 


(8) 

Das  Ergebnis  laßt  sich  nun  so  zusammenfassen:  Ein  Spsiem  van 
n  homogenen  GUichimgen  mit  n  Unbekannten,  dessen  Determinante  gleuk 
NuU  und  vom  Bange  n  -  1  «/,  wf  eir^aeh  unbestimmt,  indem  eine 


192  Gleichungen.     §  1.    Lineare  (rleicbungeD. 

Unbekannte  willkürlich  angenommen  tverden  kann\  das  System  bestimmt 
lediglich  das  Verhältnis  der  Unbekannten  ^  das  gleicJikommt  dem  Ver- 
hältnis der  Unterdeterminanten  zu  irgendeiner  Zeile  von  lt. 

£s  bleibt  noch  der  Beweis  nachzutragen,  daß  durch  die  Lösung  (7) 
auch  die  letzte  Gleichung  des  Systems  (6),  die  ausgeschaltet  worden 
war,  befriedigt  wird;  in  der  Tat  verwandelt  sich  die  linke  Seite  dieser 
Gleichung  durch  die  Substitution  (7)  in 


^{  öi«i  +  ««f «„8  +  •  •  •  4-  a„,a«.  I 


Bx 

n 


und  dies  ist  Null,  weil  22  =  0  ist. 

n.  Angenommen,  R  sei  wieder  -*  0,  aber  vom  Range  w  —  2  und 

«11  »It  •       Öl.n-Ä 

«11       «M         ••«»..-2 


eine  der  nichtverschwindenden  ünterdeterminanten  dieses  Grades 
Ordnet  man  dann  die  ersten  n  —  2  Gleichungen  nach  dem  Schema 

«11       ^i-|-«i«       ^8+--4-a,,„_8      ^,-j  =  — «i,«-i      ^»-i-öu      «• 

«1.-2,1  ^1  + ««-8,1  ^2  H +  «*-2,«-2^«-2  =  ~«.-2.— l^«-l  — ««-2,«^«» 

80  ergeben  sich  daraus  x^,  iCj,  •  •  •  x^_^  als  lineare  Formen  von  -c„_,, 
x^f  und  erteilt  man  diesen  zwei  Unbekannten  beliebige  Werte,  so  sind 
die  Werte  der  vorangehenden  dadurch  bestimmt.  Die  Unbestimmtheit 
ist  also  nunmehr  eine  zweifache.  Der  Beweis,  daß  die  beiden  letzten 
Gleichungen  des  Systems  (6),  die  jetzt  ausgeschaltet  waren,  durch  die 
so  gefundenen  Lösungen  auch  befriedigt  sind,  wird  ebenso  gef&hrt 
wie  unter  L 

Wie  man  erkennt,  kann  diese  Schlußweise  fortgesetzt  werden  und 
fahrt  zu  dem  allgemeinen  Ergebnis,  daß,  wenn  R-^O  und  vom  Range 
n  —  r  ist,  n  -~  r  Unbekannte  durch  die  r  dbrigen  linear  ausgedrückt 
werden  können,  so  daß  di^  Unbestimmtheit  eine  r- fache  ist.  Der 
interesselose  Grenzfall,  daß  R  vom  Range  0,  also  deshalb  verschvrindet, 
weil  jedes  einzelne  Element  NaU  ist,  fQhrt  zur  völligen  Unbestimmt- 
heit der  Unbekannten. 

III.  Erfüllen  die  Koeffizienten  des  Systems  (6)  die  Bedingung 
12  «=>  0,  so  daß  neben  der  trivialen  noch  andere  Lösungen  beetehen,  so 
kann  dieses  System,  indem  man  die  Verhältniszahlen 


Homogen»  lineare  Gleichungen.  —  Beispiele.  |93 

als  Deue  Unbekannte  i!it  'tf'    »n-i   betrachtet,  in  die  Form  Ton  n 
uichthomogenen  Gleichungen  mit »  —  1  Unbekannten  gebracht  werden: 

«11  ^1+  Oft  ',+  •  •    +  0,.,.,  ^.,  +  flf  -  ^>  .^. 

In  bezog  auf  ein  solches  System  gilt  also  der  Satz:  Ein  Spttem 
von  n  nichthamotjenen  linearen  Gleichungen  mit  n—\  ünbekanmien  he- 
siUft  nur  dann  eine  Lösungy  mit  andern  Worten^  es  kann  nur  dann  he- 
steJten,  wenn  die  Determinante  aus  den  KoeffijHenten  und  den  absoluten 
Gliedern  Null  ist. 

IV.  Man  nennt  die  Gleichung  R^Q  mit  Bezug  auf  das  System  (6) 
oder  das  System  (9ji  dessen  BesidtarUe^  sie  drückt  die  Bedingung  der  Auf- 
lösbarkeit des  Systems  aus.  Man  kann  aber  dieselbe  Gleichung  auch  als 
das  Resultat  der  Elimination  der  Unbekannten  aus  dem  betreffenden 
System  auffassen,  bei  welcher  Elimination  die  Existenz  einer  Lösung 
schon  vorweg  genommen  wird.  Aus  diesem  Grunde  wird  die  Deter- 
minante B  auch  als  Eliminante  des  Systems  (6)  oder  (9)  bezeichnet^). 


122.  Beispiele.     1 

Es  sind  die  Gleichungen 

2a:  -  3y -f  4/ -      11 

«  4-  4y  —  5jf  —  —    6 

aufzulösen. 

Ihre  Determinante 

2-3      4; 

X)-ll      14 

R^\l      4-ö|- 

1        4-5    -19(11 -14)- -8.19 

3-7      4; 

0-19      19 

ist  von  Null  verschieden;  darum  gibt  es  eine  Lösung.    Man  hat  weiter 

die  Zahlerdeterminanten: 

1      11-3     4|^    1     5      1-1 

R^J^  6     4~6i^ 6     4-6 

i       1-7     4' 

1-7     4 

0     36-21 
-  0-38     19  -  19(36-42)  -  -  6.19, 

1    ~7       41 

1)  Neben  dieser  Terminologie  ist  auch  eine  aiiHere  gebriochlieii,  dorzufolg- 
R  als  Reraltante  bezeichnet  wird;  aUdana  mnfi  gesa^^t  worden,  der  Bo«Uod  d«> 
einen  c>dcr  andern  Gleichungs«y«tem*  erfordere  da«  Verachwindcn  der  Rewltant«  — 
Das  Eliminationiprobleni  bei  linearen  Gleichnngen  bildete  f&r  Leibnii  nnd 
Cramer  den  AoBgangspunki  för  die  Erfindung  der  Determinanten.  Vgl.  hienu 
die  Note  zn  9&. 

Ctubet,  HOkar«  MaUi«a»lik.XAua.  13 


194 


Olfiolmiigen.    |  1.   liaeare  Qtflkknagen. 


2     11     4 

3     6-1 

Jl,- 

1   -6-5 
3       1     4 

— 

1-6-5 
3     14 

!0     23     14 

— 

1  _6  -5; -19(14-23) - 
0     19     19j 

2-3     11|     . 

3     15 

/?,- 

14-6- 

1     4-6 

3-7       1 

3-7     1 
0-11     23 

- 

1       4  -6 

-19(11-23)- 

0-19     19 

9.19, 


15.19, 


folglich  ist 

x-2,    y-3,    jr-4. 

2.  Die  Detenninante  des  Gleiciiuogsjstems 

a?H-2y-f3ji—     6 

4a: -f  öy  +  6  j  -  —  2 

7x-f  8y-i-9ir-     9 

ist  Null  (86);  die  Zahlerdetenninante 


623 

623 

-    423 

A- 

-266 

-266 

— 

-2756 

989 

610 

010 

-24-81 


Tench windet  aber  nicht;  man  hat  es  also  mit  einem  System  einander 
widersprechender  Gleichungen  su  tan.  In  der  Tat  erhält  man  durch 
Subtraktion  der  ersten  Gleichung  Ton  der  yerdoppelten  zweiten 

'7«  +  8y-fÖif--10 

im  Widerspruch  zur  dritten. 
3.  Das  Gleichongsiystem 

a;  +  2y  +  3#»   4 

4«-f5y-h6#-    7 

7x  +  8f  ^-  9#  -  10 

gibt  keine  Beetimmung  fOr  x,  p,  # ,  weil  aieht  nur  B^O,  toftdem  auch 


».- 


423 

221 

756 

. 

261 

10  8  9 

281 

-0 


Beispiel«. 


195 


und  darum  notwendig  auch  B^  —  0»  i?,  —  0  ist  Die  Gleiehtiiigeii 
sind  nicht  unabhängig  Ton  einander;  man  erkennt  diei  o.  a^  wenn 
man  von  der  verdoppelten  zweiten  die  erste  subtrahiert;  es  ergibt 
sich  die  dritte.  Da  R  vom  Range  2  ist,  kann  man  einer  Unbekannten 
einen  beliebigen  Wert  beilegen,  aus  zweien  der  Gleichungen  die  beiden 
andern  Unbekannten  rechnen;  die  dritte  Qleichong  ist  durch  jede  so 
gefundene  Lösung  befriedigt 

4.  Das  Gleichnngssjstem 

2«~3y  +  4j-0 

a?+4y— 5#-0 

3a:-7y  +  4j-0 

besitzt  einzig  and  allein  die  Löaung  x^O,  y  —  0,  iP  —  0,  weil  seine 
Determinante  J?  ■+■  0  ist  (Tgl.  1). 

5.  Hingegen  hat  das  Gleichnngssjstem 

a;  -f  2y  +  3ir  -  0 
4a:  4-  öy  H-  6j»  -  0 
7a;-f  8y-f-95-0 

einfach-unendlich  viele  Lösungen,  weil  seine  Detenninante  R^O  and 
vom  Range  2  ist;  es  bestimmt  das  Verhältnis 


xiyie 


23 
56 


31 
64 


1  2 
45 


.-8:6:-3-l:-2:l, 


ist  also  durch  x^  Xj  y  —  ~  2A,  f  —  i  bei  beliebigem  k  erf&lii 
6.  Das  Gleiohungssystem 

X'\-    2y+    3/+    4ii-0 

5x4-   6y4-   7jH-  8i»-0 

9a: -f  10y  +  lljf-}-12ii-0 

13a:  +  14y+15ir+16i*-0 

hat  eine  verschwindende  Determinyite;  denn 

1    2    3    4|  113  1 

5   6    7    81  5  17  1 

9  10  11  12  1  "■      9  1  11  1 

13  14  15  16  i       i  13  1  15  1 


-0; 


R  ist  femer  vom  Range  2,  weil  alle  Unterdeierm inanten  dritten  Grades 
Null,  hingegen  die  ünterdetemi inanten  zweiten  Grades  nicht  Null  sind« 
£s  gibt  deshalb  zweifach-unendlich  viele  Lösungen,  die  man  in  Colgen- 
der  Weise  darstellen  kann.     Aus  den  ersten  zwei  Gleiekungen  folgt 


196    Gleich  angen.    §  S    Allgemeine  S&tse  über  höh.  algebraische  Gleichoogen. 

3;»  -|-4ti  2  j     I  1  2  * 

*---   7.  +  8«6-:56|-        '^^•' 

1  3;?  4- 4m      112  1 

^*""|5  7^-f8«;'|56i'"~  ^^  "^•'^ 
dareh 

ar-        X  +  2f» 

y--2A-3/ii 

ir-X 

find  also  bei  beliebigem  Xj  ^  alle  rier  Gleichungen  befriedigt. 
7.  Durch  das  Gleichungspaar 

ax  +  by  +  ce  »m  0 

lind  die  Verhältnisse  x:y:e  bestimmt^  sofern  nicht  alle  zweireihigen 
Determinanten,  die  aus  der  rechteckigen  Matrix 

a  b  c 

a  b  c 
gebildet  werden  können,  Null  sind;  unter  dieser  Voraussetzung  ist 

b  c  \    \c  a       \a  b 


x:y:sf 


b  c  \    \  e  a        ab 


§  2.  Allgemeine  Sätze  über  liöliere  algebrftisclie  GMcliimgen. 

123.  HauptsatB  der  Algebra.  £me  ganze  Funktion  ti-ten 
Grades  der  Variablen  x  hat  die  alJgemeine  Form: 

Von  den  Koeffizienten  Oo^On  •  •  •  a.  wird  hier  ein  fiir  allemal  voraus- 
gesetzt, daß  sie  redle  Zahlen  seien;  hingegen  soll  x  nicht  auf  reelle 
Zahlen  beschränkt,  sondern  auch  komplexer  Werte  fähig  sein. 

Die  Auff^abe,  zu  einem  gegebenen  Werte  des  Arguments  x  den 
zugehörigen  Wert  der  Funktion  zu  bestimmen,  hat  immer  eine  nnd 
nur  eine  Lösung;  ihre  Auffindung  erfordert  nur  die  vier  Spezies. 

Die  umgekehrte  Aufgabe,  zu  einem  gegebenen  Funktionswert  b 
einen  Argnmentwert  zu  liestimmen,  der  ihn  herbeiführt,  bildet  ein 
neues  Problem,  dem  man  folgende  typische  Form  geben  kann:  Sub- 
trahiert man  b  von  a^  und  schreibt  a^  fdr  a^  —  5,  so  kommt  es  nun 
darauf  an,  der  so  abgeänderten  Funktion  den  Wert  Null  zu  geben. 

Auf  diese  Weise  entsteht  das  durch  den  Ansatz 

/{x)  -  OoX"  -{-  a,x-*-f  . . .  +  a.  -  0  (1) 


Haupttatz  der  Algebra.  —  Kntwicklimg  einer  ganxen  Funktion.       197 

ausgedrückte  Problem,  wobei  für  a\  wieder  das  Zeichen  a^  geschrieben 
wurde  Diesen  Ansatz  nennt  man  eine  algebraische  Gleichung  n-ten  Grades, 
einen  Wert  x^ ,  der  die  Forderung  erfüllt,  eine  Würzt  J  der  Gleichung  oder 
eine  NullsUüe  (auch  Wurzel)  von  /(o;);  x  heißt  nunmehr  die  Unbe- 
kannte, das  von  von  x  freie  Glied  a^  das  absolute  Glied  der  Gleichung. 

Daß  jede  Gleichung  ersten  und  zweiten  Grades  eine  Wurzel  be- 
sitzt, lehren  einfache  arithmetische  Überlegungen;  die  Frage,  ob  dies 
für  jede  Gleichung  beliebig  hohen  Grades  gelte,  erfordert  zu  ihrer 
Erledigung  über  das  Gebiet  der  Arithmetik  hinausreichende  Unter- 
suchungen. Den  ersten  befriedigenden  Beweis,  duß  dem  so  sei,  hat 
Gauß  gegeben  und  in  seiner  Doktordissertation  (1799)  veröffeutlicht 
Wir  nehmen  hier  den  Hauptsatz  der  Algebra,  der  diese  Tatsache  aus- 
drCIckt,  als  bewiesen  an  und  formulieren  ihn  wie  folgt:  Jede  algebra- 
ische Glclchumj  heh'fht'g  höhnt  Grades  hei>itzt  eine    Wurzd. 

124.  Entwicklung  einer  gansen  Xhmktion  nach  einem 
Inkrement  der  Variablen.     Wir  stellen  uns   die  Aufgabe:    Wenn 

/{x)  -  Oox«  -t-  ai«"-H  •  •  •  4-  a,  (2) 

ist,  so  soll  /{x  -f  h)  nach  Potenzen  Ton  h  entwickelt  werden. 

Die  Lösung  könnte  so  geschehen ,  daß  man  in  (2)  x  -f  A  für  o: 
setzt,  die  verschiedenen  Potenzen  dieses  Binoms  ausführt  und  schließ- 
lich nach  den  Potenzen  von  Ä,  deren  höchste  Ä"  sein  wird,  ordnet; 
das  Resultat  wird  ein  Ausdruck  von  der  Form 

/{x  +  /O  -  X,  +  Z,Ä  +  X,Ä«  +  . . .  4-  X„Ä-  (3) 

sein;  X^y  X^,  *  •  •  ^«  werden  sich  aus  x  und  den  Koeffizienten  a  zu- 
sammensetzen. 

Ohne  die  beschriebene  Entwicklung  vorzunehmen,  kann  man 
Xq,  Xj,  •  •  •  X„  durch  folgende  Betrachtung  gewinnen.  Ist  das  Argu- 
ment irgend  einer  Funktion  /(w)  eine  Summe  von   zwei  Variablen 

«  -f-  y,  io  kann  dem  Ditferenzenquotienten  --— --^-~  -  auch  eine 
derFonnen^(?±'+^--:?:(--±»>,   i^±I±pil'  +  V)    ^^«ben 

werden;  geht  man  mit  ö  zur  Grenze  Null  über,  so  ergibt  sich  aus 
dieser  Bemerkung,  daß  F\u)  —  K(pc  -f  y)  -^  ^^^(x  -f  y)  ist. 

Hiervon  machen  wir  bei  der  Gleichung  (3)  Anwendung  und 
differenzieren  sie  n-mal  nacheinander  in  bezug  auf  h  rechts,  in  besag 
auf  x  links;  das  Ergebnis  dieser  Differentiationen  lautet: 

/;(a:  +  Ä)-=Xi4-2X,Ä-f         3X,Ä«-|-.  .-f  »^>""* 

/;(x-^h)^       1-2X,  +    2.3X,Ä  +...-f  (ii-l)iiX.A-« 

/;>+*)-  1-2-3X,     4-...+(«~2)(n-l)iiX.ib-»  }  W 


198    Gleiehangen.    §  2    Allgemeine  Sitte  über  hOh.  algebrtische  Gleicbungeo. 

Setzt  man  in  (3)  und  (4)  ä  —  0,  so  ergibt  sich,  wenn  man  bei 
den  Ableitungen  ron  /(x)  den  jetzt  Überflüssigen  ontem  Index  fort- 
läßt: 

^»       i  s 

Führt  man  diese  Werte  in  (3)  ein,  so  ergibt  sich  die  verlangte 
Entwicklung: 

/(x  +  *)  =./(.)  +mH  +  {^h^+...+  j^  ,..,       (5) 

Bei  ihrer  Ableitung  kam  der  Umstand,  daß  /(x)  eine  ganse 
Funktion  ist,  nur  insofern  zur  Geltung,  als  die  Bildung  der  Ableitungen 
(4)  mit  der  n-ten  einen  natürlichen  Abschluß  fand. 

125.  Algebraische  Teller  einer  ganzen  Fnnktion.  Homer- 
sches  Divisionsverfahren.  Nach  dem  Hauptsatze  der  Algebra  hat 
die  Funktion  /(x)  eine  Wurzel,  sie  heiße  Xi,  so  daß  /(Xi)  s-  0  ist. 
Mit  Bezug  auf  diese  gilt  nun  der  Satz:  Die  Differenz  x  —  x^  ist  ein 
algehraisciier  Teiler  von  /(x). 

Schreibt  man  nämlich  /{x)  in  der  Form  /{x^  -f  x  —  a?i)  und 
wendet  darauf  die  Entwicklung  (5)  an,  so  wird: 

/(x)-Ax,)+^p^  {X  -  X,)  +4^J)  {x-x,y+  ■■■+  (5^1  (x-x,)'i  (6) 

da  nun  /(arj)  =■  0,  so  ist  tatsachlich  x  —  x^  ein  Faktor  der  rechten 
Seite,  also  auch  von  /(x\  d.  h.  /(x)  ist  durch  x -- x^  teilbar.  Der 
Quotient  ist 

also  wieder  eine  ganze  Funktion,  /^  (or),  vom  Grade  «  —  1 ,  der  Koeffi- 
zient ihrer  höchsten  Potenz,  wie  aus  dem  Divisionsverfahren  hervor- 
l^ht)  wieder  a^;  man  hat  also 

/(*)=.(x -«,)/.(*)•  (8) 

Man  nennt  x  —  x^  den  «ur  Wureel  x^  gehörigen  Witridfaktor 
von  /{x\ 

Ist  a:,  nicht  Wurzel  von  /{x),  so  erstreckt  sich  die  Teilbarkeit 
nyr  auf  die  Glieder  vom  zweiten  angefangen  in  der  Form  (6),  folg- 
lich ist  /(Xj)  der  verbleibende  Divisionsrest    Dieser  wichtige  Sach- 


Worzftlf&ktorea.  —  Qornenche  Diviaion.  199 

verhalt  kann  so  auBgesp rochen  werden:  Dividiert  man  /{£)  durch 
X  —  x^,  so  gibt  der  verbleibende  Rest  den  Wert  von  /(«,)  an;  iti  er  NuU, 
80  war  x^  eine  Wwrisel. 

Hioin  liegt  das  beqnamste  Mittel,  den  zn  einem  Argumentwert  x^ 
gehörigen  Funktionswert  zu  berechnen  und  von  einem  Argument  wert 
zu  entscheiden,  ob  er  eine  Wurzel  seL  Die  daza  führende  Division 
läßt  sich  nach  einem  von  W.  O.  Homer  (1819)  angegebenen  Schema 
mechanisch  ausführen.  Man  hat  nach  den  gewöhnlichen  Divisiona- 
regeln: 

(      «•«•'' 

m.e^m.x,^-^ (  4, .  .  .  . 

[«,(x,a,-h«,)     -fa,]a:"-*-f  «,*"""• 

das  Bildungsgesetz  der  Koeffizienten  A^yA^^A^,''  des  Quotienten 
ist  hiernach  folgendes: 

A^  —  x^A^  -f  0\ 


nnd  fährt,  an  einem  speziellen  Fall  erläutert,  zu  folgendem  Schema: 
Um  fix)  —  b3i^  —  2x^  -f-  4ar  —  8  durch  ic  —  2  zu  dividieren,  schreibe 
man  die  Koeffizienten  über  einem  Strich  nebeneinander  und  rechn« 
an  ihnen  mit  der  Zahl  2  wie  folgt: 

6    — «    4    —8    ^ 

S  {  6         8    90    (S8)    ^ 

man  bildet  nämlich  nach  und  nach  2-5  —  2»  8,  2*8  +  4  —  20, 
2  •  20  —  8  =-  32;  32  ist  als  Divisionsrest  durch  Einklammerung  ge- 
kennzeichnet; es  ist  also 

(6x*  ^  2a:«  +  4i:  -  8)  :  (a;  -  2)  -  5x«  +  8x  +  20  +  -^,/(2)  -32. 

Um  auf  alle  in  Betracht  kommenden  Umstände  aufmerksam  zu 
machen,  sei  noch  die  Division  von  /{x)  —  z*  ~  ba^  —  G  durch  x  +  2 
ausgefährt;  das  Schema  lautet  hier  so: 

1        0  --6    0        -6 
—  2  I  1    ~  2    —  1     2  (—  10) 
und  gibt 

(ir*  -  5x»  -  6)  :  (x  +  2)  -  a:»  -  2a^  -  a:  -f.  2  -  -}~,  /(-  2)  -  -  10. 


200    GleichuDgen.     $  2     AUgetueine  Sätze  dber  böb.  ft)gebrttlecbe  Gleicbuogeo. 

126.  Aniabl  der  Wnneln  «iner  algebraisohen  Oleiehmif  . 

Durch  wiederholte  Anwendung  des  Hauptsatzes,  daß  jede  ganze  Funk- 
tion eine  NuUstelle  besitzt  und  durch  den  zugehörigen  Wurtelfnktor 
teilbar  ist,  ergeben  sich  die  folgenden  Ansätze: 

/{x)^{x-x,)f,ix) 


dabei  bedeutet  x^_^^  eine  NuUstelle  von  /iix),  das  eine  ganze  Funktion 
Yom  Grade  n  —  i  mit  dem  Anfangskoeffizienten  a^  ist;  folglich  ist 
/^(x)  —  %  selbst.     Die  Multiplikation  vorstehender  Gleichungen  fOhrt 

«••o  "  /(x)  =  a,(x  -  x,)(x  -x,)-.(x-  X,),  (9) 

aus  welcher  Darstellung  unmittelbar  hervorgeht,  daß  /(x)  die  Null- 
stellen x^^x^,  • '  x^  hat.  Es  gilt  sonach  der  Satz :  Eine  Gleichung 
n-ten  Grades  besitzt  n  Wurzeln. 

Die  Annahme,  /(x)  besitze  außer  den  genannten  Nullstellen  noch 
eine  weitere,  von  ihnen    verschiedene  Nullstelle  x\  hätte  den  Ansatz 

/(«')  «=  a^(x'  -  Xi)(x'  -  ^s)  •  •  •  («'  -  O  -  ö 

zur  Folge,  der  aber,  da  die  sämtlichen  Differenzen  von  Null  ver- 
schieden sind,  nur  bestehen  kann,  wenn  a^  =»  0  ist.  Dann  aber  wird 
/(x)  vermöge  (9)  durch  jeden  Wert  von  x  auf  Null  gebracht; 

kann  aber  nur  dann  identisch  Null  sein,  d.  h.  für  jeden  Wert  von  x 
verschwinden,  wenn  die  Koeffizienten  einzeln  Null  sind: 

a^  =  0,    a,  «  0,  •  •  •    a^  =  0. 

Wenp  also  eine  ganze  Funktion  n-ten  Grades  mehr  als  n  NuH- 
stellen  hat,  so  hat  sie  deren  unendlu^  vieie,  indem  sie  fw  jedm  WtH 
von  x  verschwindet. 

Haben  die  zwei  ganzen  Funktionen 

/{x)  =-  a^xr  -f  a,af  -  H  •••  +  «„ 

für  mehr  als  n  Werte  von  x  gleiche  Werte,  so  besitzt  die  Gleichung 

/(a;)~i^(a;)-(ao-6o)^  +  («i-^)^"'+---f  (».-^J-0 

mehr  als  n  Wurzeln;  infolgedessen  ist  notwendig 

a.-ft^-0,    a,-6,«0,  a.  -  6,  -  0, 

also 

«0  —  ^o>  «1  —  ^  >  •  •  •    «•  —  K 


Anzahl  der  Wurzeln.  --  Mehrfache  Worxeln.  201 

Zuei  nach  x  geordnete  Fdynome  sind  abo  nur  dann  identisch 
gleich  y  tcenn  sie  in  den  m  gleichen  Potenten  gehörigen  Koeffigientem 
übereinstimmen. 

Auf  diesen  Satz  stQtzt  sich  ein  rieifach  angewendetes  Verfahren 
der  Algebra,  das  von  Descartcs  unter  dem  Namen  ,,Methode  der 
unbestimmten  Koeffizienten"  eingeführt  worden  ist. 

1S7.  Mehrfache  Wurseln.  Die  Ableitung  der  Gleichung  (9) 
schließt  nicht  aus,  daß  sich  unter  den  Werten  ar,,  j,,  •  •  x,,  die  ab 
Xullstellen  der  Funktionen  /{x)f/\(x},  •  •  A,i^^)  auftreten,  gleiche 
befinden.  Sind  beispielsweise  aJj  =«=  z^  —  •  •  •  s—  x^,  alle  folgenden  aber 
hiervon  verschieden,  so  tritt  der  Faktor  a?  —  rr,  nicht  einmal,  sondern 
it-mal  auf,  und  Xj  heißt  dann  eine  k- fache  Wurzd"^  die  Gleichung  (9) 
aber  nimmt  die  Gestalt  an: 

/ix)  -  a^{x  ~  x,y{x  -  x,^,) . . .  (o:  -  X,).  (10) 

Um  die  Bedingungen  zu  finden,  welche /(a;)  erfüllen  muß,  nmo:,  zur 
A- fachen  Wurzel  zu  haben,  entwickeln  wir  /{x)  ^/{x^  -f  a:  —  afj)  nach 
Potens«!  von  x  —  x^  (124): 

/(*)  -/(«.) + ^k*  -  *.)  +-^r'^  (*  -  ^)'  +  •  •  •  +^%  ix-x,)", 

soll  x^  Ä-fache  Wurzel  sein,  so  mnß  sich  von  der  rechten  Seite  der 
Faktor  {x  —  x^fy  und  kein  höherer,  abspalten  lassen;  dies  tritt  aber 
nur  dann  ein,  wenn 

/W-0,  f{x,)^o,  ...  A-^H^)«o,  y^)(x,)^-o 

ist.  In  Worten  heißt  dies:  Eine  h- fache  Nuüstelle  van  /(x)  bringt 
nicfU  nur  diese  Funktion,  sondern  auch  ihre  Ableitungen  bis  zurk  —  X-ten 
Ordnung  einschließlich  auf  Null. 

Ist  Xj  eine  /»-fache  Nullstelle,  so  lautet  also  die  Entwicklung 
von  /(«): 

/W-ry::7iV^--^ir+i.»...(k4.i)V«~<«J  +  ^i.«...«^^  ^^' 
und  es  ergibt  sich  daraus: 


/'\^) 


-I, 


folglich  hat  /'(x)  dieselbe  Nullstelle  nurmehr  k  —  1-fach,  y  (x)  noi^ 
mehr  jT-^-fach,  •  •  •  schließlich  /^* '*)(«)  nurmehr  einfach. 

Bestimmt  man  demnach  den  gemeinsamen  Teiler  von  /{x)  and 
/'(«),  »o  enthält  er  alle  Wurzelfsktoren  von  /(x^y  die  zu  mehriiMshen 


202    GleichTingen.    ^  2.   Allgemeine  Sätze  über  höh.  algebraische  Gleichungen« 

Wurzeln  gehören,  in  einer  um  1  niedrigeren  Multiplizität ;  spaltet  man 
also  diesen  Teiler  g{x)f  der  durch  das  Verfahren  der  Kettend iyision 
zu  gewinnen  ist,  von  /{x)  ab,  so  bat  die  verbleibende  Funktion 
/(x):g(x)  nurmehr  einfache  Nullstellen. 

128.  Komploze  Wnrseln.  Substituiert  man  in  einer  ganzen 
Punktion  /(x)  (mit  reellen  Koeffizienten,  wie  hier  ausdrücklich  her- 
vorgehoben werden  soll;  für  x  die  komplexe  Zahl  u  -\-  ßi,  vollführt 
die  angezeigten  Operationen  und  faßt  schließlich  die  reellen  und  die 
imaginären  Bestandteile  zusammen,  so  ergibt  sich  eine  2^hl  Ä  4-  Bi. 
Wiederholt  mau  den  Vorgang  mit  der  Substitution  a  —  ßi,  so  ent- 
steht das  Resultat  A  —  Bi. 

Ist  nun  cc  +  ßi  eine  Wurzel,  also  Ä  -{-  Bi^O,  so  ist  notwendig 
-<4  —  0,  jB=*0  (18);  dann  aber  ist  auch  ul  —  JB»  —  0,  also  auch 
a  —  ßi  eine  Wurzel. 

In  einer  Gleichung  mit  reellen  Eoeffisrienien  eiekt  also  eine  kom- 
plexe Wurzel  die  konjugiert  komplexe  notwendig  nach  sich. 

Da  hiemach  komplexe  Wurzeln  stets  paarweise  vorkommen,  so 
hat  eine  Gleichung  mit  der  Ä-facben  Wurzel  a  +  ßi  auch  a  —  ßi  zur 
Jfc-fachen  Wurzel  Weiter  folgt  daraus,  daß  eine  Gleichung  ungeraden 
Grades  notwendig  mindestens  eine  reelle  Wurzel  besitzt 

Die  von  einem  einfachen  konjugiert  komplexen  Wnrzelpaar  her- 
rührenden Wurzelfaktoren  a;  —  a  —  /3t,  x  —  a  ■}-  ßi  geben  zum  Produkt 
(x  —  ay  -\-  ß*  ==  X*  —  2ax  -\-  ct^  -{-  ß*,  also  ein  im  reellen  Gebiete  nicht 
zerlegbares  quadratisches  Trinom  ic*  +  px  -f  q;  zwei  A*- fache  konjugiert 
komplexe  Wurzeln  führen  demnach  zur  Ä;-ten  Potenz  eines  solchen 
Trinoms. 

Alle  Fälle  zusammengefaßt,  kann  man  somit  sagen,  daß  eine 
ganze  Funktion  mit  reellen  Koeffizienten  sich  darstellen  laßt  als  Pro- 
dukt von  Faktoren,  die  vier  Tjpen  aufweisen  können:  x  —  Xj,  (x  —  x^Y, 
x*-\-  px  -{-  q,  (rr*  -fl>^  -f  5)*;  abgesehen  ist  dabei  von  dem  immer  auf- 
tretenden konstanten  Faktor  a^.  Die  Herstellung  dieser  Produktform 
und  die  Auflösung  der  Gleichung  sind  äquivalente  Probleme. 

120.  Zu  UBxn  m enhany  swisohen  den  Wnnela  und  den 
KoefILilenten.  Wenn  man  die  beiden  Darstellungen  einer  und  der- 
selben ganzen  Funktion  /{x\  das  Polynom  und  das  Produkt^  einander 
gleich  setzt,  so  entsteht  die  identische,  d.  h.  für  alle  Werte  von  x 
giltige  Gleichung 

OoOP'-f  0|a:"-*-f- ...  4.  a,  -  <i^(jp— J0(ap  —  j^)  •  •  •  (x  -  «.). 

Entwickelt  man  das  Prodokt  recMer  Hand  und  ordnet  es  nach 
Potenzen  von  x,  so  ergibt  sich  auf  Grand  «les  letzt^  Satzes  in  126 
die  Übereinstimmung  der  beidarsaüifj^eB  Koeffitienteu,  derzufoige  also 


Komplexe  Wurzeln.  —  Symmetrische  Gnindfonktionen  der  Warxeln.    203 

2'-''-  X 


^i^---^,*(-i)-^; 


die  Summenzeichen  beziehen  sich  der  Reihe  nach  auf  alle  Kombi- 
nationen ohne  Wiederholung  der  1.,  2,y  •  •  •  n  —  l-ten  Klasse  aus  den 
Zeigern  1,  2,  •  •  •  n. 

Diese  Rdationen  ztcischen  den  Wwjsdn  und  deti  Koeffieienten  ge- 
statten die  Losung  der  Aufgabe:  Eine  Gleichwig  aufzustellen ,  die  ge- 
gebene Wurzeln  besitzt.  Eb  sind  dazu  nur  die  vier  Spezies  im  Gebiete 
der  komplexen  Zahlen  erforderlich. 

Die  auf  den  linken  Seiten  von  (11)  stehenden  Wurzelfunktionen 
haben  die  Eigenschaft,  sich  nicht  zu  ändern,  wenn  man  die  Wurzeln 
irgendwie  untereinander  vertauscht;  l<\inktionen  dieses  Verhaltens  be- 
zeichnet man  als  symmetrisch  in  Bezug  auf  ihre  Argumente  und 
nennt  die  in  (11)  auftretenden  die  symmetrischen  Grundfunktionen  der 
Wurzeln  der  Gleichung.  Jede  andere  symmetrische  Funktion  der 
Wurzeln  laßt  sich  durch  sie,  also  auch  durch  die  Gleichnngskoeffi- 
zienten  rational  darstellen.  So  kann  man  beispielsweise  die  Quadrai- 
summe  der  Wurzeln  einer  beliebigen  Gleichung  berechnen,  ohne  diese 
aufzulösen,  aus  den  Koeffizienten  allein.     Denn 

und  mit  Zuziehung  der  ersten  zwei  Relationen  aus  (11)  ergibt  sich 
daraus: 

130.  Transformation  der  Unbekannten.  Ein  wichtiges  Hilfs- 
mittel  der  Umformung  von  Gleichungen  zum  Zwecke  ihrer  leichteren 
Lösung  bildet  der  Übergang  zu  einer  neuen  Unbekan$Uen,  oder,  wie 
man  dies  ausdrückt,  die  Transformation  der  Unbekannten.  Die  neue 
Unbekannte  steht  dabei  mit  der  ursprünglichen  in  einer  bekannten 
Beziehung.     Drei  wichtige  Fälle  seien  hier  angeführt. 

I.  Setzt  man  x  —  kz,  so  geht  die  Gleichung  /(x)  —  0  über  in 
die  neue       ^^^^^  _  ^^^^  ^  a,il— ^-»-^  +  . . .  +  a.  -  0  (12) 

and  in  der  Produktform: 

/;'.*)  -  a,(**  -  x,)(ks  -x,)---iis-  X,)  -  0; 


«  —  ^  m  mm  ^  «=»" 


204    Gleichungen,  §  2.  Allgemeine  8&tze  ober  böb.  algebraiiche  Gleiebungen. 
aus  der  letzteren  erkennt  man,  daß  die  Wurzeln  der  neuen  Gleichung: 

X 

* 
k 

durch  Division  der  Wurzeln  der  ursprünglichen  Gleichung  mit  k  entstehen. 
Man  macht  von  dieser  Transformation  Gebrauch,  um  die  Koeffi- 
zienten der  Gleichung  auf  größere  oder  kleinere  Zahlen  zurückzuführen. 
Von  der  speziellen  Transformation,  die  sich  für  ä;  —  —  1  ergibt, 
wird  häufig  Gebrauch  gemacht;  man  kann  sie  kurz  als  Zeichen- 
änderung der  Unbekannten  oder  als  den  Übergang  von  /(x)  •=  0  zu 
±/{—  a:)  —  0  bezeichnen,  wobei  das  Vorzeichen  links  so  gewählt  wird, 
daß  das  erste  Glied  positiv  ausfällt 

II.  Die  Substitution  X'^z  +  k  verwandelt  die  Gleichung /(«)  —  0  in 

/(, + *)  -/(*)  +q^ *  +^-^ *»+•••  +  ,-^<^„ ^  ^ 0,  (13) 

eine  Gleichung,  die  bereits  geordnet  ist  nach  den  Potenzen  der  neuen 
Unbekannten. 

Die  Berechnung  der  Koeffizienten  kann  in  folgender  Weise  ge- 
schehen: 

/(Ä)  ist  der  R^st,  der  bei  der  Division  von  /(x)  durch  x  —  h 
verbleibt  (125);  der  Quotient  dieser  Division  ist 

•—-  ist  der  Rest,  der  bei  der  neuerlichen  Division  dieses  Quo- 
tienten durch  X  —  h  vorbleibt ;  der  Quotient  dieser  Division  ist 

1.2   ^183^+  ^1.2    -n^        ' 

'.-J  ist  der  Rest,  der  bei  der  Division  dieses  Quotienten  durch 

X  —  h  verbleibt  usw. 

Man  erhält  also  die  Koeffizienten  von  (13)  als  Reste  bei  der 
wiederholten  Division  durch  x  —  h,  und  zwar  in  der  Reihenfolge  von 
der  niedrigsten  Potenz  zur  höchsten;  die  Divisionen  werden  am  be- 
quemsten nach  dem  Homer  sehen  Schema  ausgeführt. 

Um  z.  B.  die  Gleichung  .r*—  2«*—  3a:*+  1  -  0  durch  die  Sub- 
•titution  o;  —  i^  -f  3  zu  transformieren^  hat  man  folgende  Rechnung: 

1  ~2  >-S  0 ^l 

»1    1  1  0  Ö      (1)' 

I     1  4  12  (86) 

:     1  7  (33) 

i    1  (10) 
1  (1) 


Transformation  «ioer  UnbekiiiiitMi.  -<  Batnltaate  cweier  »Igebr.  Gieichnngen.    205 

nnd  die  transformierte  Gleichung  lautet: 

gi^  10ir»-f  33/«-h36f+l  -0. 

in.  Durch  die  Snbgtitution  x  »  -  geht  /(x)  «-  0  aber  in 

und  nach  Beseitigung  der  Nenner  weiter  in 

^/0)-«.^  +  ö.-i^-'4-««-f^-*+  ••  +  a,^»-fa,zf-f-ao-0.  (U) 

Die  Wurzeln  dieser  Gleichung  sind  die  Reziproken  Ton  den  Wurzeln 
der  ursprünglichen  Gleichung. 
Ist  insbesondere 

a«-.«±a.        (»-0,  1,  2,  .►.  n),  (15) 

wobei  durchwegs  das  eine  oder  das  andere  Zeichen  gilt,  so  stimmt 
die  transformierte  Gleichung  mit  der  ursprünglichen  —  bis  auf  das 
Zeichen  der  Unbekannten  —  überein,  hat  also  auch  deren  V/urzeln. 
In  einer  Gleichung  mit  der  Koeffizientenrelation  (15)  gehört  also  zu 

jeder  Wurzel  a?,  auch  deren  Reziproke  — ;  ist  der  Grad  der  Gleichung 

ein  gerader,  so  teilen  sich  die  Wurzeln  in  zwei  gleich  starke  Gruppen, 
deren  eine  die  reziproken  Werte  der  andern  umfaßt;  ist  der  Grad  ein 
ungerader»  so  yerbleibt  noch  eine  vereinzelte  Wurzel,  die  notwendig 
1  ist    Gleichungen  dieser  Art  bezeichnet  man  als  reziproke  Gleichungen. 

§  3.    Regultante  and  Diskriminant«. 

131.  Beanltante  zweier  algebraischer  Oleichnngeti.  I.  Wenn 
zwei  Gleichungen 

/(y)  ==  «o!/"  -r  «ir  "*  -f  •  •  •  +  o«  -•  0  (l) 

Ky)  =  ^jr-i-^y"-*  +  -    +^-0  (2) 

mit  unbestimmten  Koeffizienten  yorliegen,  so  kann  die  Frage  aufge- 
worfen werden,  unter  welcher  Bedingung  sie  mindestens  eine  gemein- 
same Wurzel  besitzen.  Da  die  Wurzeln  von  den  Koeffizienten  ab- 
hängen, so  wird  es  dabei  auf  einen  aus  den  Koeffizienten  beider 
Gleichungen  znsammeiigesetzten  Ausdruck,  also  auf  eine  Funktion 
dieser  Koeffizienten  ankommen,  der  von  vornherein  der  Name  Besul- 
tante  beider  Gleichungen  gegeben  werden  soll. 

Um  dies  zunächst  an  einem  speziellen  FaU  zu  erklären,  seien  die 
Gleichungen  quadratisch: 


206  Gldehnngen.    $  3.   Remltante  und  DiskriminaDte. 

multipliziert  man  unter  der  Vorstellung,  y  könne  in  beiden  dieselbe 
Zahl  bedeuten,  die  erste  mit  &|,  die  zweite  mit  —  d,  und  addiert,  so 
entsteht: 

der  Fall,  daß  y  »  0  eine  gemeinsame  Wunel  sei,  ist  ausgeschlosseny 
wenn  man  nicht  die  einschränkende  Voraussetzung  o,  -=  0,  6,  =  0 
machen  will;  darum  muß 

(a^h^  —  a,6o)y  +  aj  &,  —  a,  J^  -  0 

BeiiL  Multipliziert  man  hierauf  die  erste  der  Gleichungen  (a)  mit 
—  b^,  die  zweite  mit  a^  und  bildet  ihre  Summe,  so  ergibt  sich 

Aus  den  beiden  linearen  Gleichungen  folgt  aber  (121,  EI) 
a^hj  —  a,6o    «i ^  ~  ^^ 

und  in  ausgeführter  Form: 

Dies  ist  also  die  Bedingung  ftir  das  Vorhandensein  einer  gemein- 
samen Wurzel,  die  linke  Seite  mithin  die  Resultante  der  beiden 
quadratischen  Gleichungen  (a);  der  ausgeführte  Prozeß  ist  aber  die 
Elimination  von  y  zwischen  diesen  Gleichungen,  (ß)  die  daraus  herror- 
gehende  Endgleichung. 

II.  Um  nun  die  Aufgabe  der  Resultantenbüdung  oder  der  Eli- 
mination allgemein  an  den  Gleichungen  (1)  und  (2)  zu  losen,  multi- 
pliziere man  die  erste  der  Reihe  nach  mit  y""S  y"  "*,•••  1,  die  zweite 
mit  jT'S  y*""*,  •  •  •  1;  das  so  entstandene  System: 

0,^»+"-*+ +««y"*       -0 


«ay"  +  aiy*-'H-  •  .  •  •  -ha^-0 


^y+  61^-'+ +\-o 


kann  als  ein  System  Ton  m  +  ^  nichthomogenenen  linearen  Gleich- 
ungen mit  den  m  -f  n  —  1  Unbekannten  y"*  ^ "  ~  S  y"  ''^ " "  S  •  •  y  ange- 
sehen werden,  und  die  Bedingung  für  seinen  Bestand  lautet  (181,  III): 


Reffuhant«  sweier  algebnifcher  GleichuBgea. 


207 


i{- 


-a 


W 


&o^    ••&. 


Ä- 


Hiermit  ist  die  Aufgabe  formell  gelöst;  die  Resultante,  durch 
eine  Determinante  m  +  n-ten  Grades  dargestellt,  in  der  alle  nicht- 
besetzten  Stellen  dnrch  Nullen  auszufüllen  sind;  umfaßt  die  Koeffi- 
zienten beider  Gleichungen  in  einer  leicht  zu  aberblickenden  gesetz- 
mäßigen Form. 

Das  hier  befolgte  Verfahren  ist  von  J.  SylTester  (1840)  an- 
gegeben worden  und  wird  ab  die  dialjtiache  Methode  bezeichnet. 

Fdr  die  zwei  quadratischen  Gleichungen  (a)  ergibt  sich  nach 
diesem  Verfahren  die  Resultante  zunächst  in  der  Form: 

«0  »i  «t  0 
^  ^  ^  0 

multipliziert  man  die  dritte  Zeile  mit  a^  und  subtrahiert  Ton  ihr  die 
mit  b^  multiplizierte  erste,  so  wird 

Og        Ol  0^.0 

0         o»  <hs         ^s 

0  a^ftj  — Oj^o  OoK^^K  ^ 

woraus  weiter^  wenn  xhaa  die  dritte  Zeile  mit  o,  multiplisiert  und  die 
mit  &|  multiplizierte  enle  Ton  ihr  subtrahiert^  herrorgeht: 

so  daß  schließlich 

folgt  in  Übereinstimmung  mit  (ß). 


a,B« 


«0  «i  ^s 

i         ^  ^  ^ 


B- 


«11 

C,3    •             . 

c^  .  .  .  . 

«1,«  +  « 

^  +  1,1 

208  Gleichongea.    §  3.  RetalUute  und  DUkrimiDante. 

132.  Ber  Sati  von  B^iont.  Wir  kehren  zu  den  Gleichungen  (1), 
(2)  zurück;  alb  deren  Resaltante  das  in  (3)  angeschriebene  li  erkannt 
worden  ist,  nnd  nehmen  an,  jedes  a^  and  h^  sei  eine  ganze  Funktion 
von  X  vom  Grade  i:  dann  sind  /  und  y  ganze  Funktionen  von  x,  y 
vom  Grade  m,  bzw.  »,  geordnet  nach  Potenzen  von  y;  li  aber  ist 
jetzt  eine  ganze  Funktion  von  x,  deren  Grad  nun  bestimmt  werden 
soll.     Bezeichnet  man  das  Elementensystem  von  R  symbolisch  durch 


w 


und  vergleicht  dies  mit  dem  faktischen  Elementensjstem,  so  bemerkt 
man,  daß  in  der  ersten  Zeilenserie 

«it  ="  ^;  wenn  k  —  i  <0  und  k  —  i  >  #w,  sonst  aber  c^^  —  a^^^y 

in  der  zweiten  Zeilenserie 

«!.  +  <,*  "*  ^?   wenn  /»;•—»<  0  und  A;  —  »  >  n,  sonst  aber  c,^,  ^  =  64.^. 

Nun  lautet  das  allgemeine  Glied  von  R  in  der  Schreibung  (4), 
vom  Vorzeichen  abgesehen, 

und  enthält  es  keines  der  Elemente  von  den  leeren  Platzen,  in  welchem 
Falle  es  ja  Null  ist,  so  ist  sein  Grad 

—  «i  +  OjH r  »n^  Hi-r  th-i rPm 2 * 

also,  da  die  Summe  der  a  und  ß  gleichbedeutend  ist  mit  der  Summe 
der  Kolounenzeiger  1,  2^ » ■ '  m  -^  n  in  irgend  einer  Anordnung, 

—  .- — _ ■    — -■'•■■-•■-  «^  wiw. 

Somit  sind  alle  Glieder  von  12,  daher  aoch  R  selbst,  ganze  Funk- 
tionen vom  Grade  mn  und  die  Gleichung 

Ü-O, 

die  die  Bedin^ng  geroeinsamer  Wurzeln  y  ausdrückt,  mn-ten  Grades; 
es  gibt  also  mn  Werte  von  ar,  für  welche  die  Gleichungen  /-»  0, 
^  —  0  eine  gemeinsame  Lösung  nach  y  haben.  Dies  gibt  den  Satz 
von  B^zout: 


Satz  Ton  B^oot  —  IHskriminante.  909 

Zwti  al^hraistke  Gleiekungm  mit  dm  UmbekamUM  Xp  y,,  vom 
Crrarle  m  und  Hy  beiitMeti  mn  Lösungen. 

Hierbei  aind  wiederholte  Lösusgen  entsprechend  ihrer  Multipiizität 
und  komplexe  Losungen  ebenso  zu  zahlen  wie  reelle. 

Es  ergeben  also  beispielsweise  zwei  quadratische  Gleichungen 
Tier  gemeinsame  We^tepaare,  eine  quadratische  mit  einer  kubii^chen 
deren  sechs  usw. 

133.  Diskriminante  einer  algebraleohen  Oleiohung.  Unter 
den  Wurzeln  einer  Gleichung  mit  unbestimmten  Koeftizieiiten  werden 
sich  mehrfache  nur  dann  befinden,  wenn  die  Koeffizienten  in  einer 
gewissen  Beziehung  zueinander  stehen.  Einen  Ausdruck  aus  den 
Koeffizienten,  welcher  geeignet  ist,  darüber  zu  entscheiden,  wollen  wir 
als  die  Diskriminante  der  Gleichung  bezeichnen.  Ein  solcher  Aus- 
druck leistet  noch  mehr;  da  nämlich  der  Übergang  yon  reellen  zu 
komplexen  Wurzeln  durch  wiederholte  Wurzeln  erfolgt,  so  dient  die 
Diskriminante  auch  dazu,  solche  Wertrerbindungen  der  Koeffizienten, 
die  zu  reellen  Wurzeln  in  bestimmter  Anzahl  fahren,  zu  sondern  ron 
andern  Wertverbindungen,  die  zu  einer  größeren  oder  geringeren  An- 
zahl reeller  Wuczeln  Anlaß  geben. 

Die  quadratische  Gleichung  bietet  das  einfachste  Beispiel  der 
Diskriminantenbildung.     Man  erhalt  als  Auflösung  tou 

o^ä' -h  2aj« -f  0, «-' 0 
die  beiden  Wurzeln  

^-         -—  , 

ihre  Beschaffenheit  hangt  von  dem  Ausdruck 

i)  =  aj  —  a^a^    \ 

ab,  der  unter  dem  Wurzelzeichen  steht;  ist  er  positiv,  so  sind  die 
Wurzeln  reell  und  verschieden;  ist  er  negativ,  so  sind  sie  imaginär 
ond  auch  verschieden,  weil  konjugiert  komplex:  nur  wenn  Z>  —  0, 
werden  die  Wurzeln  einander  gleich.  Der  Ausdruck  D  ist  also  ge- 
eignet, als  Diskriminante  der  obigen  quadratischen  Gleichung  ange- 
sehen zu  werden,  und  Z)  » 0  ist  die  Bedingung  einer  zweifachen 
Wurzel 

Nun  ist  in  127  die  notwendige  und  hinreichende  Bedingung  da- 
filr  erkannt  worden,  daß  eine  Gleichung  /(x)  —  0  beliebigen  Grades 
mindestens  eine  mehr£sche  Wurzel  besitze;  sie  besteht  darin,  daß  fUr 
eine  solche  W^urzel  auch  /'(x)  —  0  sein  muß.  Daraus  ergibt  sich 
der  Satz: 

Soll  die  Gleidiung  /(x)  —  0  eine  mekrfadie  Wursd  haben,  so  ist 
notwendig  und  ausreiehend,  daß  das  Gleichungspaar /{x)  -•  0,  /\x)  —  0 
eine  gemeinsame  Wured  hesitst;  mithin  kann  die  BesuUemie  der  beiden 
leisten  Gleieimngen  als  Diskriminatite  der  ersten  genommen  werden. 

Cs«b«r,  HOb«re  Mathematik.  tJÜia  14 


210  Gleichungen.     §  43.  BesulUnte  und  Dukriminunte. 

Das    allgemeine    Verfehren   zur   Bildung   der   Resultante   zweier 
Gleichungen  ist  aber  bereits  in  131,  U  angegeben  worden. 
Auf  den  Fall  der  quadratischen  Gleichung 

a^x^  -f  2a^x  +  «i  —  0 

angewendet  ftlhrt  dies  zu  folgender  Rechnung:  Durch  Differentiation 
und  nachherige  Kürzung  mit  2  erhält  man 

Oorc-j-Oi-O; 

die  Resultante  beider  Gleichungen  ist 

1 0     %a^\ 

und  daraus  ergibt  sich,  nach  Weglassung  des  Faktors  —  a^,  der  not- 
wendig von  Null  yerschieden  ist,  die  vorhin  gefundene  Diskriminante 
D  -»  «1  —  a^a^\  tatsächlich  ist  aber  mit  JR  ■=  0  auch  D  =*  0. 
Für  die  Gleichung  dritten  Grades 

x^'\-  px  •\-  q^^Qy 

deren  Ableitung  lautet: 

läßt  sich  die  Aufsuchung  der  Bedingung  für  gleiche  Wurzeln  dadurch 
vereinfachen,  daß  man  erst  aus  der  ersten  Gleichung  x'  mit  Hilfe 
der  zweiten  eliminiert; 

3a;«-f  3pa:4-35r=-0 

3a;' +    px  —0 

geben  nämlich  durch  Subtraktion 

2,px  -f  3v  -  0; 

der  hieraus  für  x  gezogene  Ausdruck  in  die  quadratische  [Gleichung 
eingesetzt  führt  zu 

oder  zu 

das  Vorhandensein  gleicher  Wurzeln  ist  also  durch  das  Verschwinden 
des  Ausdrucks  27^'+  4p'  bedingt,  der  hiemach  in  der  Diskriminante 
als  Faktor  enthalten  sein  muß. 

Man  kann  der  Diskriminantenbildung  auch  den  folgenden  Ge- 
danken zugrunde  legen.  Das  Quadrat  des  Produkts  aus  allen  Wursel- 
differenzen  einer  Gleichung  ist  eine  symmetrische  Funktion  der  Wurzein, 
weil  es  bei  irgendwelcher  gegenseitiger  Vertauschung  derselben  un- 
verändert bleibt  —  vom  Produkt  selbst  würde  dies  nicht  gelten.   Nach 


DiskriminAnte.  —  Wonelgransen.  211 

einer  am  Schlüsse  Ton  129  gemachten  Bemerkung  ist  aber  jede  sym- 
metrische Funktion  der  Wurzeln  durch  die  Gleichungskoeffizienten 
rational  darstellbar;  die  so  erhaltene  Funktion  der  Koeffizienten  hat 
aber  vermöge  ihres  Ursprungs  die  Eigenschaft,  dann,  aber  auch  nur 
dann  Null  zu  sein,  wenn  sich  unter  den  Wurzeln  gleiche  befinden; 
sie  kann  sich  somit  von  der  Diskriminante  nur  durch  einen  konstanten 
Faktor  unterscheiden*). 

Bei    der  quadratischen  Gleichung  ist  beispielsweise  die   einzige 

Wurzeldifferenz  ±  -^-^LT"  ?»/^  ,  je   nachdem    man   die   eine  oder  die 

andere  Wurzel  als  die  erste  annimmt;  ihr  Quadrat  -^^-"^j*"^^^  enthalt 
tatsachlich  D  ^  a*  ^  a^a^  als  Faktor. 


§  4.    Numerische  Gleichungen. 

134.  Allgemeine  Orensen  der  Wnrseln.  I.  Unter  einer 
numerischen  Gleichung  versteht  man  eine  Gleichung,  deren  Koeffizienten 
besondere  Zahlen  sind.  Die  Wurzeln  einer  solchen  sind  somit  be- 
stimmt. Zu  ihrer  Auffindung  sind  Methoden  ausgebildet  worden,  die 
unabhängig  von  dem  Grade  der  Gleichung  Geltung  haben.  In  der 
Regel  haben  nur  die  reellen  Wurzeln  ein  Interesse;  wir  beschranken 
uns  daher  auf  die  Aufsuchung  dieser. 

Als  ein  wichtiger  Umstand  erweist  sich  die  Stetigkeit  der  ganzen 
Funktion^  die  wieder  eine  Folge  ihrer  Endlichkeit  ist.  £ine  ganze 
Funktion 

/(a:)-aoa;^-f  ajif-i-f  •••  +  a, 

ist  f&r  jeden  endlichen  Wert  Ton  x  endlich,  weil  sie  das  Ergebnis 
einer  endlichen  Anzahl  von  Multiplikationen  und  Additionen  bildet 
Das  gleiche  gilt  von  ihrer  Ableitung 

/Xx)  -  «o^a--^  4-  (»  -  l)aia?-*+  •  •  •  H-  ö,.„ 

die  ja  wieder  eine  ganze  Funktion  ist.  Die  Endlichkeit  der  Ableitung 
hat  aber  die  Stetigkeit  der  ursprünglichen  Funktion  zur  Folge  (67). 
Von  den  Eigenschaften  einer  stetigen  Funktion  kommt  hier  ins- 
besondere die  in  Betracht,  daß  sie  jeden  zwischen  zweien  ihrer  Werte 
liegenden  Wert  annimmt  (51,  3.).  Hat  also  /(x)  fUr  a  und  b  ent- 
gegengesetzte Werte,  so  muß  es  zwischen  a  und  b  mindestens  eine 
Steile  geben,  an  der  /(x)  Null  wird.  Dies  führt  zu  dem  für  die  vor- 
liegende Aufjgabe  wichtigen  Satze: 
,^,.1) 

1)  Han  definiert  die  Diskriminante  ala  das  mit  (—1)  '  a^^-t  multipli- 
zierte Quadrat  des  Wuneldifferenzenpfodukts,  wobei  fi  den  Or»d  der  Oleichnng 
bedeutet. 


212  Oleichangen.     §  4.   Nninthsehe  Gleicbungen. 

Sind  /(a)  und  /(b)  ungleich  heäeichnd,  so  lietjt  in  dem  LuiervaU 
(er,  h)  mindestens  eine  Wurzel  der  Gleithung  /{x)  ^  0,  u$id  wenn  m^, 
80  deren  eine  ungerade  Zahl. 

Dieser  Sachverhalt  gestattet  schon  mancherlei  Schlfisae.  Man 
kann  immer  bewirken,  dab  in  der  Gieichang 

y(x)  »-  aoX-  4-  ci,  af -1  +  •  •  •  4  a„  =  0 

der  erste  Koeffizient  a^  positiv  sei;  ist  n  ungerad,  do  ist  /(—  oo)  —  —  oo, 
y  (oo)  ^^  c»;  da  /  (0)  =  a^  so  findet  bei  dem  Übergange  von  o:  «•  —  oo 
zn  a:  ««=  o  eine  Zeichenänderung  bei  /{x)  statt,  wenn  a  >  0;  ist  hin- 
gegen a^<  0,  so  erfolgt  die  Zeichenänderong  bei  dem  Übergange  von 
a:  '^  0  zu  X  '^  oo.     Demnach: 

Eine  Gleichung  von  ungeradem  Grade  hat  mindestens  eine  redle 
Wurzelf  deren  Zeichen  das  entgegengesetzte  des  ahsfytuten  Gliedes  ist. 

So  besitzt  ^x^  —  5  j;*  +  Ga;  +  3  -'  0  sicher  eine  negative,  2a:'  —  3a;'--  4 

—  0  eine  positive  Wurzel. 

Lst  w  gerad,  so  ist  /(-^  <x>)  —  <x>  ond  da  y (0)  «.  a,,  go  erfolgt 
eine  Zeichenänderung  nur  dann,  wenn  a„  <  0  ist ,  dann  aber  BOirohl 
von  a*  »»  —  (X)  zu  a:  ^  0  als  auch  von  a*  =  0  zu  x  *-  ^.  Hiemach 
gilt  die  Regel  : 

Eine  Gleichung  von  geradem  Grade,  deren  absolutes  Glied  negativ 
ist,  hat  siduyr  soivohl  eine  pasiHve  als  auch  eine  negatioe   Wurzd. 

Von  einer  Gleichimg  dieser  Art,  aber  mit  positivem  absoluten 
Uiied  läßt  sich  nur  aussagen,  daß  sie  entweder  keine  oder  eine  gerade 
Anzahl  reeller  Wurzeln  hat. 

Das  erstausgesagte  gilt  beispielsweise  von  der  Gleichung  x*  —  2a?' 
4-  3a:  —  4  ^  0,  das  letztere  von  x*  —  2x*  -{-  3a:  +  4  =  0 

II.  Eine  Vorfrage,  durch  deren  Erledigung  mitunter  umstt'vndüche 
Rechnungen  vermieden  werden  können,  ist  die  nach  den  Schranken 
der  Wurzeln.  Ein  zweckmäßiges  Mittel,  solche  zu  finden,  bietet  die 
Newton  sehe  Regel,  welche  besagt: 

Wenn  /il)y/\l),r(T)y  •  '/^""H^)  sänUlu^  positiv  sindy  s\)  kann 
keine  Wurzel  der  Gleichung  /(x)  -=  0  tÄör  /  liegen:  folglich  ist  l  eine 
obere  Schranke  der  Wuredn. 

Denn, 

+  1.«.    -(n-l)^^       '^^         +  1    «       «^*        '^ 

ist  unter  den  gemachten  Voraussetzungen  positiv  ftlr  jedes  x>  l,  da 
y(")(^  >»  1  •  2  •  •  •  tiao  immer  positiv  ist,  wenn  mau  für  a^>  0  sorgt. 
Geht  man  zu  ±  /  (—  x)  «>  0  über  und  bestimmt  zu  der  so  trans- 
formierten Gleichung  wieder  die  obere  Sehraake  l\  so  hat  man  in 

—  r  die  nntere  Schranke  für  die  Wurzeln  von  /(x)  —  0.         i 


Wartelgr^meii.  —  Satz  vou  Dateariet.  f  18 

Bei  der  Autfdhrung  gebt  man  fon  /^^'^\x)  au»,  wählt  x  (gaot- 
zahlig)  «0,  daß  gerade  noch  /<""*>(«)  >  0  wird,  echreitet  dann  ku  den 
niederen  Ableitungen  vor  und  erhSki  dabei  x  nach  Bedarf,  um  das 
poBiÜTe  Zeichen  zu  erhalten.  Das  folgende  Beispiel  die  Gleichung 
2j^--  ö«*^—  ^ar  +  S  «—  0  betreffend,  wird  dies  erklären: 

/i?)  -/(- ') 


2*»-   5x«-8«  +  »i4 

2«»+   6««-»x- 

-3{« 

6«»- 10« -8          jS 

6*»+ 10*      « 

!i 

12«  -  10                    11 

i2z  +  10 

io 

/"{x)  ist  positiv  ?on  «—1  aufwärt«;  /'(l)  ist  aber  negativ,  auch 
/'(2)  und  erst  /'(3)  ist  positiv;  /(3)  fallt  negativ  aus,  aber  schon 
/  (4)  ist  positiv;  also  ist  J  —  4.  Ähnlich  schließt  man  im  andern 
Schema  und  kommt  so  au  T  =  -  2. 

135.  Der  Sats  von  Deioartas.  Man  spricht  in  einer  nach 
den  Potenzen  von  x  geordneten  Gleichung  von  einem  ZeUi^mtceckseL, 
wenn  zwei  aufeinander  folgende  Glieder  ungleich  bezeichnet  sind;  im 
andern  Falle  von  einer  Zeichenfolge.  Zwischen  der  Anzahl  der  Zeichen- 
wechsel und  der  Anzahl  der  positiven  Wurzeln  besteht  ein  gewisser 
Zusammenhang,  der  sich  auf  die  folgende  Tatsache  stützt:  Weptn  man 
ein  geordnetes  Foltfnom  mit  x  —  p  niultijduiert,  tcorin  p  eine  positive 
Zahl  bedeuiety  so  uäcJtst  mindestens  ein  Zeichenwecfisd  zu  oder  deren 
eine  ungerade  ZaJü. 

Faßt  man  nämlich  die  gleichbezeichneten  Glieder,  wie  sie  auf- 
einander folgen,  gruppenweise  zusammen,  so  hat  das  Polynom 

i(-l)''(ai')a-^^>4....fl<;>) 

V  Zeichenwecbsel;  bei  der  Multiplikation  mit  x  ändert  sich  an  dieser 
Sachlage  nichts;  bei  der  Bildung  des  zweiten  Teilprodukts  mit  —p 
schieben  sich  die  Glieder  um  eine  Stelle  nach  rechts  vor,  das  Endglied  einer 
Gmppe  kommt  unter  das  Anfaugsglied  der  nächsten  mit  dem  Vor- 
zeichen, das  dieses  letztere  schon  hat,  so  daß  vom  Anfangsglied  der  ersten 
Gmppe  zum  Anfangsglied  der  zweiten,  von  da  zum  Anfangsglied  der 
dritten  Gruppe  usw.  immer  wieder  ein  Zeichenwechsel  stattfinden  mnfi\ 
die  im  Innern  der  Gruppen  etwa  zuwachsenden  Zeichenwechsel  sind 
notwendig  von  gerader  Anzahl;  denn  der  Übergang  von  -f-  su  —  oder 
von  --  zu  -f ,  wenn  er  nicht  durch  eimen  Zeichenwecbsel  erfolgt,  kann 
nur  durch  eine  ungerade  Zahl  von  Zeichffnwechseln  geschehen;  mithin 
wächst  bis  zum  letzten  Glied  der  letzten  Gruppe  entweder  kein  Zeichen- 
wecbsel zu  oder  deren  eine  gerade  Zahl.  Nun  aber  rückt  dai  Glied 
—  (—  Vfa^^^p  über  die  letzte  Gruppe  hinaus  und  bewirkt  immer  einen 


214  Gleichungeo.    §  4.   Numerische  Gleichungen. 

neuen  Zeichen  Wechsel.  Demnach  ist  die  Gesamtzahl  der  zugewachsenen 
Zeicheuwechsel  entweder  1  oder  eine  ungerade  Zuhl. 

Es  seien  nun  p^  Pt,  -  -  -  p^  die  sämtlichen  positiven  Wurzeln  der 
Gleichung  /(«)  —  0  und 

/{x)  -  (ar  -  p^)(x  ~  j,,)  .  .  .  (x  ~  p„)f{x), 

so  daß  die  Gleichung  9(0?)  —  0  vom  Grade  n  —  n  nurmehr  negative 
und  komplexe  Wurzeln  besitzt;  dann  sind  in  (p(x)  erstes  und  letztes 
Glied  gleich  bezeichnet,  weil  sonst  noch  eine  positive  Wurzel  darin 
enthalten  sein  müßte  (134.  I),  <p{x)  kann  also  nur  eine  gerade  An- 
zahl von  Zeichenwechseln  enthalten.  Da  nun  mit  jedem  Faktor  x  —  p^ 
mindestens  ein  Zeichen  Wechsel  zuwachst^  und,  was  etwa  darüber  hinaus- 
geht, eine  gerade  Zahl  ist,  so  enthält  f{x)  mindestens  71  Zeichen  Wechsel, 
und  was  etwa  darüber  hinausgeht,  ist  gerad. 

Aus  diesen  Erwägungen  geht  der  erste  Teil  der  Descartesschen 
Zeichenregel  hervor:  Die  ZM  der  Zeichentvechsel  in  /{£)  —  0  ist  gleidi 
der  Anzahl  der  positiven  Wurzdn  oder  übertrifft  sie  um  eine  gerade 
Zahl.     In  Zeichen: 

U;  -e  Ä   -f   2ik,  (1) 

wt>  w  die  Anzahl  der  Zeichenwechsel  ist  und  A'  eine  der  Zahlen 
0,  1,  •  •  •  — i^-  bedeuten  kann. 

Geht  man  von  der  Gleichung  /{x)  —  0  zu  /^(—  a;)  —  0  über,  so 
gehen  die  positiven  Wurzeln  der  letzteren  aus  den  negativen  Wurzeln 
der  ersteren  hervor;  demnach  steht  die  Anzahl  v  der  negativen  Wurzeln 
von  /{x)  =  0  mit  der  Anzahl  w  der  Zeichenwechsel  von  /{—  x)  —  0 
in  einem  Zusammenhange,  der  sich  in  dem  zweiten  Teil  der  Des- 
cartesschen Zeichenregel  ausspricht:  Die  Zahl  der  Zeichentcechsel  der 
transformierten  Gleichung  /(—  a:)  —  0  ist  gleich  der  Zahl  der  negativen 
Wurzeln  von  /(x)  —  0  oder  übertrifft  sie  um  eine  gerade  ZM.  In 
Zeichen: 

u;'-v  +  2ib,  (2) 

wo  jetzt  k  sein  kann  0,  1,  •  •  •  —j— . 

Igt  /(x)  —  0  eine  vollständige  Gleichung,  d.  h.  eine  solche,  in  der 
ftlle  Potenzen  von  x  von  «"  abwärts  vorkommen,  so  gehen  bei  dem 
Übergang  von  /(x)  —  0  so  /(—  or)  —  0  die  Zeichenfolgen  in  Zeichen- 
wechsel und  umgekehrt  über.  Daraus  ergibt  sich  die  weitere  Regel: 
In  einer  voüständigen  Gleichung  kommt  die  ZM  der  Zeichenwechsel 
Uful  die  Zahl  der  Zeichenfolgen  hesiehungstoeise  der  Ansahl  der  positiven 
und  negativen  Wurzeln  gleich  oder  übertrifft  sie  um  eine  gerade  Zahl. 

Diese  Regeln  gestatten  in  manchen  Ii'äUen  die  strikte  Bestimmung 
der  Anzahl  der  positiven  und  negativen  Wurzeln;  in  andern   Fällen 


SftU  Ton  DeteartM.  ^  Gaazuthlige  Waneln.  215 

fahren  sie  nur  zu  einer  oberen  Grenze  derselben.  Einige  Beiffpiele 
werden  dies  zeigen;  die  Aufschrei  bangen  bedürfen  keiner  weiteren 
Erklärung. 

a)  x*  +  3x*-h2«*4-5x~6-0    (»- 1,  «-1;  w'-3,  v- l  oderS). 

b)  a:»-|-3x«~l-0  (m;  -  1,  «  -  1) 

-  a:»  +  3x»-  1  -  0  (if'-  2,  y  -  0  oder  2). 

c)  a:*-4a:«  +  3Ä-8-0  («^-3,  «-1  oder  3) 
x*-4a:»-3a;--8-0            (u;'=l,  v-1). 

d)  ar»--l-0  (fc-l,  «-1;  v'-l,  v«l). 

e)  Ä*--hl«0  (ic-O,  «-0;  ii<-0,  v-0). 

186.  Anfinioliiuig  rationaler  Wunelii.  I.  Einer  Gleichung 
mit  gammhligt^n  Koeftizienten  gegenüber  wird  man  zuerst  die  Fi'age 
stellen,  ob  sie  ganzzahlige  Wurzeln  besitze,  also  im  Gebiete  der  gauzen 
Zahlen  in  Faktoren  zerlegbar  sei. 

Soll  die  Gleichung 

in  der  die  Koeffizienten  ganze  Zahlen  sind,  durch  die  ganze  Zahl  p 
befriedigt  werden,  so  muß  diese  ein  Faktor  von  a^  sein,  weil  nach 
der  Substitution  x  =^  p  alle  vorangehenden  Glieder  durch  p  teilbar  sind. 
Die  gamBohiigen  Wurzeln  von  /(x)  =»  0  sind  also  unter  den  Faktoren 
des  absoluten  Gliedes  zu  suchen. 

Die  Anzahl  der  zu  prüfenden  Faktoren  vermindert  sich  einmal 
dadurch,  daß  nur  die  innerhalb  der  Wurzelschranken  gelegenen  in 
Betracht  kommen  können,  kann  aber  oft  nocb  weiter  reduziert  werden 
auf  Grand  folgender  Bemerkung.     Ist 

/(x)-(r-i>)y(ar), 

■o  hat  <p{x)  notwendig  auch  ganzzahlige  Koeffizienten,  und  darum  ist 
sowohl 

wie  auch 

eine  ganse  Zahl.  Man  berechne  also  mittels  des  Homerschen  Schemas 
/{—  1)  und  /(l)f  wodurch  zugleich  —  1,  1  eventuell  als  Wurzeln  er- 
kannt und  ausgeschieden  werden;  ein  Faktor  p  von  a,  kann  nur  dann 
Wurzel  sein,  wenn  p  -|-  1  in  /(--  1)  und  p-^l  in  /(l)  ohne  Bett 
enthalten  ist 

Sind  auf  diese  Weise  die  zu  prüfenden  Faktoren  auf  ihre  kleinste 
Anzahl  reduziert,  so  erfolgt  ihre  endgiltige  Prüfung  and  eventuelle 


216 


GleicbmigeD.    §  4.   Numehiche  Gleichungen. 


Auscbeidusg  einzeln  mittels  der  Hornei sehen  Division;  zum  Schlüsse 
Terbleibt  eine  Gleichung,  die  keine  ganzza>iligen  Wurzeln  mehr  zulaßt 
Beispiel.    Die  Gleichnng 

/(x)  =  2a;*-H  4a^~  Ö9ar«-  ßlx  +  30-0 

kann  nach  ihrer  Zeichen  Stellung  0  oder  2  positive  nnd  ebensoYie) 
negative  Wurzeln  haben;  die  Schranken  der  Wurzeln  ergeben  sich 
durch  die  nachfolgenden  Schemata: 


/w 


/(~^) 


2a;* -f-  4a^-  ö9x*-6U-f  30,  6 


8a;»+12a;*-118a;-61 

48x  +24 


2a*-  4a^-  59i:'-f  61x  +  30 

7 

8x^-12a:^-118x+61 

6 

24x*-24a;-118 

3 

48a;  -24 

1 

es  sind  dies  —  7  und  6;  infolgedessen  sind  nur  die  folgenden  Faktoren 
von  30  zu  prüfen: 

±  1,  ±  2,  ±  3,  ±  ö,  -  6. 

Von  diesen  scheiden  weiter  aus  ±  1,  weil  /(—  1)  —  30,  /(l)  -=  —  84, 
dann  3  und  —  5,  vreil  3  4-1  und  —  5  -f  1  in  /(—  1)  nicht  enthalten 
sind:  es  bleiben  also 

±2,  -  3,  5,  -  6 

zur  endgiltigen  Prüfung,  für  die  das  folgende  Schema  eintritt 


2 

4 

-59 

-61 

30 

-1 

2 

2 

-61 

0 

(30) -/(-l) 

1 

2 

6 

-53 

-114 

(-84) -/(l) 

-2 

2 

0 

-59 

57 

(-84) 

2 

2 

8 

-43 

-147 

(-264) 

-3 

2 

-2 

-53 

98 

(-264) 

5 

2 

14 

11 

-6 

(0) 

-6 

2 

2 

-1 

0>) 

±  2,  —  3  sind,  v^ie  das  Schema  zeigt,  nicht  Wurzeln;  5  ist  eine  solche, 
und  nach  ihrer  Aasscheidung  verbleibt  eine  kubische  Gleichung  mit 
den  Koeffizienten  2,  14,  11,  —  6,  die  —  6  zur  Wurzel  hat,  nach  deren 
Ausscheidung  die  quadratische  Gleichung 

2ar*+2x- 1-0 


verbleibt.    Es  hat  also  die  vorgelegte  Gleichung  die  Wurzeln  5,  —  6, 

i       2  * 

IL  Nach  Erledigung  und  Ansseheidung  der  eventuell  vorhandenen 
ganzzahligen  Wurzeln  wird  nach  gebrochenen  Wurzeln  zu  fragen  sein. 


,  -f  j  . 


Oanzzahlige  Wuhmsüi.  —  Qebroebene  Wan«lii.  f t7 

Soll  die  Gleichung 

mit  ganzen  KoeffizienUto  durch  den  Brach  x^-^     befriedigt  hem,  so  muß 

sein;  dannn,  vom  zweiten  angefangen,  alle  Glieder  ganze  Zahlen  sind, 
80  erfordert  der  Bestand  dieeer  Gleichung,  daß  auch  das  erste  Glied 
eine  ganze  Zahl  sei,  was  nur  in  der  Weise  möglich  ist,  daß  p  ein 
Teiler  von  o^,  weil  z  und  /)  als  teilerfremd  vorausgesetzt  werden 
können.  Die  Nmner  der  gebrorhenen  Wureein  sind  also  unter  den 
Faliof-en  des  Koeffizienten  der  höchsten  Potenz  zu  suchen;  die  Zahler 
ergeben  sich  als  die  ganzzahligen  Wurzeln  der  Gleichung 

Hieraus  geht  unmittelbar  hervor,  daß  eine  Gleichung  mit  ganzen 
Koeffizienten,  deren  erster  1  ist,  gebrochene  Wurzeln  nicht  haben  kann. 

Bei  Ausführung  des  eben  erörterten  Verfahrens  wählt  man  p  ent- 
weder =  Oq  selbst  oder  einem  passenden  Faktor  davon,  befreit  die 
Gleichung  von  den  Nennern  und  geht  dann  wie  in  1.  vor. 

Beispid.    Die  Gleichung 

24a;*-505r*+35a;'-  lOa:  +  1-0 

kann  an  ganzzahligen  Wurzeln  nur  ±  1  haben.  Da  sie  vollständig 
ist  und  keine  Zeichenfolge  aufweist,  so  hat  sie  keine  negative  Wurzel, 
wodurch  schon  0  als  untere  Scliranke  erkannt  ist.  Bei  der  Bestim- 
mung der  oberen  Schranke: 

./(^.. 

24a^~'^50x^Hh  35x»^  I0x+  l!  1 

96x«- 150x*+70a?  -10  11 

288ar*-300x  +70  |l 

Ö76a?  -300  U 

zeigt  sich,  daß  1  obere  Schranke  und  zugleich  Wurzel  ist.  Nach  ihrer 
Ausscheidung,  die  durch  das  Homersche  Schema  bewerksteUigt  «^ird, 
verbleibt  die  kubische  Gleichung 

24x»-26x»+9x--  1-0, 
die  sich  durch  die  Substitution  ^  ^  j^  verwandelt  in 

;f«~13j*+54#~72-.0; 
ihre  obere  Wurzelgrenze  bettimmt  sich  ani  dem  Schema 


218  Gloichungen.     §  4.    Numerische  Qleichongea. 

6^-26  6 

mit  6,  das  gleichzeitig  als  Wurzel  erkannt  wird;  es  bleiben  also  nur 
die  Faktoren  1,  2,  3,  4  von  72  noch  zu  untersuchen: 

1     -13     54      -72 


1  !  1  -12  42  (-30) 

2  j  1  -11  32  (-   8) 
b\  l  - 10  24       (0) 

4  !  1  -   6  (0) 

und  es  erweisen   sich  3  und  4   als  Wurzeln;   die  letzte  Zeile    weist 
nochmals  6  als  Wurzel  aus. 

Vt  A  (t  111 

Mithin  sind  1 ,  j^  >  Ji  >  lä  ^^®^  ^'  T '  T '  T  ^^®  Wurzeln  der 
Yorgelegten  Gleichung. 

137.  DilTerenieiireiheii.  Bevor  an  die  näherungsweise  Be- 
stimmung irrationaler  Wurzeln  geschritten  wird,  muß  einiges  aus  der 
Differenzenrechnung  vorausgeschickt  werden. 

L  Aus  einer  endlichen  oder  unbegrenzt  fortsetzbaren  Folge  reeller 
Zahlen 

Wo,  Mj,  M,,  ...ti,  (1) 

werde  die  neue  Folge 

nach  dem  Prinzip  gebildet,  daß  jede  Zahl  in  (1)  von  der  ihr  nach- 
folgenden subtrahiert  wird,  so  daß  also  JUq=^  Uj  —  Mq,  ^^i  ="  «*f  —  **i 
•  •  •  ^M,_i  =  t*M  —  w«_i  ist.    Man  nennt  (2)  die  Differemenreihe  von  (1). 
Wird  auf  sie  dasselbe  Prinzip  angewendet,  90  entsteht  die  Bweite 
Differenzenreihe  von  (1): 

in  der  also 

irt. 

In  dieser  Weise  kann  man  zu  immer  höheren  Differeazenreihen 
fortschreiten. 

Ist  (1)  endlich  und  aus  n  -f  1  Gliedern  bestehend,  so  ist  der 
Bildung  von  Differensenreihen  dadurch  ein  Ziel  gesetzt»  daß  schließ- 
lich eine  eingliedrige  Differenzenreihe  J^Uq  zustande  kommt.  Bei  un- 
begrenzt fortnetzbarer  (1)  aber  kann  die  Bildung  von  Differensenreihen 
im  allgemeinen  unbegrenzt  fortgesetzt  werden. 


Arithmatifdie  Reiheo  höherer  Ordnung.  219 

Es  gibt  jedoch  Reihen,  bei  denen  sie  einen  Absobluß  dsdnroh 
findet,  daß  man  nach  r-maligem  Differenzenprozeß  zu  einer  Reihe 
▼on  gleicJten  Gliedern  kommt;  denn  dann  bestände  die  nichste  und 
jede  weitere  Differenzenreihe  aus  Nullen.  Eine  so  geartete  Reihe  be- 
zeichnet man  als  arithmetiscke  Reihe  r-ter  Ordnung.  Die  als  arithme- 
tiehe  Reihe  schlechtweg  bezeichnete  Zahlenfolge  ist  eine  arithmetische 
Reihe  erster  Ordnung. 

IL  Stellt  man  aus  (1)  die  Reihe 

au^,  ati,,  at«,,    •  •  aw,  (4) 

her  und  wendet  auf  sie  Differenzbildung  an,  so  wird 

^««<-  «w<+i  -  ««.-  «(«*<-n  - ««.)  -  »^tt<;  (&) 

dieses  Verhalten  übertragt  sich  auf  die  höheren  Differenzen,  so  daß  auch 

^aw^— az^'"«,.;  (6) 

war  also  (1)  eine  arithmetische  Reihe  r-ter  Ordnung,  so  ist  es  (4) 
auch. 

in.  Sind  ferner  die  Glieder  von  (l)  A.gf^fa^it3  vja  djf  Form 

so  wird 

^aJu^-\-hJv^-\-c^J^c^-\ ;  (7) 

auch  dieses  Gesetz  überträgt  sich  auf  die  höheren  Differenzen,  indem 

^(aUi  4-  hVf  +  cir^  -h  •  •  •)  -  ^^"^t  +  &^ v<  +  czfii?,  -f  •  •  •       (8) 

wird.  Sind  u^,  v^,  ^o  ' ' '  (<  ~~  0,  1,  2,  •  •  •)  arithmetische  Reihen  yon 
der  Ordnung  r,  r  — 1,  r  — 2,  •  •  •  beziehungsweise,  so  ist  die  aus  den 
Aggregaten  au^  -f  bv^  -j-  cw^  -f-  •  •  •  gebildete  Reihe  ebenfalls  eine  arith- 
metische, und  zwar  von  der  Ordnung  r. 

IV.  Die  r-ten  Potenzen  der  natiirlichen  Zahlen  bilden  eine  curith- 
fnelische  Reihe  r-ter  Ordnung. 

Die  Richtigkeit  des  Satzes  ergibt  sich  durch  folgende  Induktion. 
Es  ist 

^n*-(ii+l)«-ii«-2»-fl 

^«»«-2(«>l)  +  l-(2ii-hl)-1.2,  (9) 

also  konstant,  daher  1',  2*,  3',  •  •  •  eine  arithmetische  Reihe  2.  Ord- 
nung; weiter 

folgli^  unter  Benutzung  Ton  (6),  (8)  und  (9): 

^n»-  3^fi»  +  3^11-f  ^1  -12.3,  (10) 


220  Gleichungen.    §  4.   Numemche  GleichuDgeB. 

1';  ^,  B'y  •  •  •  somit  düic  arithmetifche  Reihe  3.  Ordnung;  fbrner 
^n* -=  (w -f  1)^  -  n*  -  4ie»  4  6n*  4- 4n  "h  1 
^«^-4z/V-|-6^n*-h4^»ii  +  z/*l  =  12    3    4,         ^^^^ 

l*,  2*,  3*,      •   daher  eine  arithmetische   Reihe  4.   Ordnung  usf.;   all- 
gemein gilt  also 

J'-an" «  aJ'n'' -  1  •  2    •    /a .  (12) 

188.  Anwendimg  auf  ganse  Fnaktionen.  Die  zwr  Zahlen- 
folge *)  • 2,  —  1,  0,  1,  2,  •  •  •  gehörigen  Werte  einer  ganzen  Funk- 
tion n-ten  Grades  hüdm  eine  arithmetische  ReHie  n-ter  Ordnung. 

Ist  /(x)  =^  a^sf -\-  aja:"~*-f  •  •  +  «»»  »o  ist  nach  dem  Voraus- 
geschickten 

J^/(x)  -  Oo^»:^  +  Oiz/^a^-*  +  •  •  •  +  ^a.-  1  •  2  •    •  na^.      (13) 
Die  Berechnung  der  Werte  •  •  -  /(-  2),  /(-  l),/(0),/(l),/(2),  •  •  • 
gestaltet  sich  auf  dieser  Grundlage  sehr  leicht,  wenn  man  die  Struktur 
des  Tableans  einer  Reihe  mit  ihren  Differenzenreihen: 

Uo  ^Uf,  J^Ufi   J\  ^u^ 
«1   ^/U,^   ^Mj   ^'tt, 

1*3    z/m, 


näher  betrachtet;  es  ist  beispielsweise 

folghch 

^iti,  -•  Ju^  -f-  .i/*«,  (ir) 

Ju^^Ju^-  ^tii ,  OJ) 

und  analoge  Beziehungen  bestehen  zwischen  jeden  drei  derart  situierten 
Zahlen  der  Tabelle.  In  Worten:  (a)  Eine  Zahl  ist  gleich  der  über 
ihr  stehenden  plus  der  rechts  neben  der  letzteren  befindlichen,  und: 
(fi)  £ine  Zahl  ist  gleich  der  unter  ihr  stehenden  minus  der  rechts  neben 
ihr  befindlichen.  Mittels  der  Regel  (a)  kann  die  Tabelle  mechanisch 
nach  abwirtfl,  mittels  der  Regel  (/5)  nach  aufwärts  fortgesetzt  werden. 
Als  Grundlage  sind  n  sukzessive  Werte  von  /\x)  notwendig,  die  man 
am  besten  mittels  des  Hornerschen  Schemas  berechnen  wird;  denn 
dann  können  Differenzen  bis  zur  n—l-ten  Ordnung  gebildet  werden, 
und  die  konstante  nte  Differenz  ist  laut  (13)  von  vornherein  bekannt 

1)  Statt  dieser  Folge  kann  »nch  eine  Folge  von  Brüchen  mit  dieten  ZAhlem 
and  irgend  welchen  Nennen  genommen  werden. 


Tr«Diiiing  der  Wuneln. 


Sfl 


139.  Trennimg  clor  Wuraeln.  Di«  Tabelle  für  fix),  die  sttm 
Zwecke  der  WurßMrmmnff,  d.  h.  tut  Aufsuchoiig  eolcher  Interralle 
▼on  X  angelegt  wird,  innerhalb  deren  sich  je  eine  Wurzel  befindet 
(134,  I.),  braucht  nur  inneriialb  der  Wurselschranken  l>ereohnet  xu 
werden. 

Alf  Beispiel  diene  die  Gleichung 

/('a?)-jc»-f  Sar«-  ITor-f  ö«0. 

Zuerst  hat  man  zur  Be^timmong  der  Soknmken: 


/w 


■A-x) 


»»+3:r«~17är-|-5 

« 

X«- 

-8x«-l7x~5!i 

8x»+6x-17 

2 

3«»- 

-6r~17             4 

ßx  4-6 

-1 

ßx  ~ 

-C                        l5 

sie  ergeben  sich  mit  —6  und  3, 

Sodann  berechnet  man  drei  sukzeseire  Werte  von  /{x\  hier  und 
in  der  Regel  am  einfachsten  /(-  1)  -  24,  /(O)  «  5,  /(l)  —  -  8;  aus 
diesen  und  jy{x)  =»  1  •  2  •  3  =-  6  entwickelt  sich  die  folgende  Tabelle: 

X 

/ 

4/ 

/^y 

^Z 

~6 

-  1 

41 

-24 

6 

-6 

40 

17 

--18 

6 

-4 

57 

-  1 

-12 

6 

-3 

56 

-13 

-  6 

6 

~2 

43 

-19 

0 

6 

-1 

24 

-19 

6 

6 

0 

5 

-13 

12 

6 

1 

-8 

-  1 

18 

2 

~ 

9 

17 

3        8 

Aus  ihr  ^eht  herror,  dafi  die  Qleichniig  drei  reelle  Wurzeln  hat, 
die  in  den  Intervallen  (—6,  —6),  (0,  1),  (2,  3)  liegen;  dies  stimmt 
auch  zu  den  zwei  Zeichen  wechseln  und  der  einen  Zeichenfolge. 

14kO.  NAhernngsrerlUiren.  Hat  man  ein  Intervall  (a,  h)  ge- 
fanden, das  eine  Wurzel  x  der  Gleichung  enthält,  so  handelt  es  sich 
darum,  ihre  Lage  in  demselben  mit  jenem  Qnde  der  Annäherung  zu 
bestimmen,  der  jeweilen  erforderlich  ist.  Eine  wesentliche  Hilfe 
wird  dabei  das  innerhalb  der  Wurzelschrauken  gezeichnete  Bild  der 
Funktion  /(x)  bieten,  zu  dessen  Herstellung  man  zweckmäßig  Milli- 
meterpapier verwf'ndet  und  die  Funktionswerte  aus  der  vorstehenden 


222  Gleicbnngen.    §  4.   NamerUehe  Gleichtingen. 

Tabelle  benutzt.  Dort,  wo  die  Bildkurve  die  Abszissenacbse  Bcbneidet, 
befinden  sich  die  Wurzeln;  man  kann  aus  der  Zeichnung  ihre  Lage 
etwas  näher  abschätzen  als  aus  der  Tabelle  und  so  das  Interraü  (o,  b) 
von  einer  Einheit  etwa  auf  ein  Zehntel  herabmindern.  Dadurch  kflrzt 
sich  das  rechnerische  NäheruDgsverfahren  ab. 

Von  solchen  Nähenmgsverfahren  sollen  hier  zwei  besprochen 
werden:  die  Regula  falsi  und  das  Netvtofische  Verfakrm. 

I.  Die  Regula  falsi.     Setzt  man  x  —  a-fÄ=»6--ib,  «o  ist 

/(a)-/(x-/0-/(«)-/'W*  +  - 
A6)-./(x  +  *)-/(«)+/'Wi+--; 
beschränkt  man  sich  auf  die  Glieder  mit  der  ersten  Potenz  der  Korrek- 
tionen Ä,  k  und  beachtet,  daß/(a;)  — 0  ist,  so  folgt  aus  den  beiden 
Gleichungen: 

A«    Sa}  m 

k        /{h)  W 

und  daraus  mit  Rücksicht  auf  ä -fit  — 6  — a: 
und  ^-*     /(«)-/(*) 

Der  Näherungswert  a-\-h  teilt  das  Intervall  in  zwei  Teile,  und 
auf  denjenigen  dieser  Teile,  an  dessen  Enden  /(x)  entgegengesetzt 
bezeichnete  Werte  zeigt,  wendet  man  denselben  Vorgang  an  wie  früher 
auf  (a,  h)  usw.,  bis  man  die  nötige  Zahl  unveränderlich  bleibender 
Dezimalstellen  erlangt  hat. 

Daß    man    es   mit   einem   ^ä^efun^^erfahren    zu    ton    hat,    ist 
geometrisch    so    einzusehen.     Im    Sinne    der 
Gleichung  (1)  wird  das  Intervall  (a,  6),  Fig.  42, 
faj   \\x  ^   *^®*  Teile  geteilt,   die  sich  so  verhalten 

wie   die   (absoluten)    Funktionswerte   an   den 

X^nden;  diese  Teilung  besorgt  die  Sehne  AB\ 

\p^      ihrem  Schnittpunkt  mit  XX'  entspricht  also 

C^^^^C:^>_^         der  Wert  a-^-h]   die   zweite  Näherung  wird 

durch  die  Sehne  AC  erreicht  und  liegt  näher 

an    der  Wurzel  asf,   vorausgesetzt,   daß  die 

Funktion  zwischen  a  und  h  einen  ähnlich  einfachen  Verlauf  hat,  wie 

er  in  der  Figur  angenommen  ist. 

II.  Das  NeuioHSche  Näherungsverfahren,  Mit  denfelben  Bezeich- 
nungen wie  vorhin  ist 

0  -/(«)  -./(«  +  A)  -/(«)  +/'(a)*  +-f^»»+  •  •  • 
0-/(x)-/(6-t)-/(6)-/'(»i)t  +^V+  •  ••; 


WoneUpproximatioii.  228 

bricht  man,  um  zu  einer  ersten  N&herung  zu  kommen,  bei  den  Gliedern 
mit  der  ersten  Potenz  Ton  Ä,  k  ab,  *o  ergibt  iich 

Mit  Rücksicht  auf  die  geometrische  Bedeutung  von  /\a)  stellt 
h  den  Abschnitt  aH,  den  die  Tangente  in  Ay  Fig.  43,  auf  dem  Inter- 
vall (a,  h)  bildet,  und  ebenso  k  den  Abschnitt  Kb,  den  die  Tangente 
in  B  bestimmt.  Wenn  /*'(x)  im  ganzen  Intervall  (a,  6)  dasselbe 
Zeichen  beibehält,  fallt  einer  der  Schnittpunkte  H,  K  sicher  in  das 
Interrail;  ist  z.  B.  /"{x)  bestandig  positiv,  der  Neigungswinkel  der 
Tangente  gegen  die  Abszissenachse  beim  Durchlaufen  desBogens^^ 


^-wr*^ 


Plf.  4J,*. 


also  wachsend,  wie  in  (a),  so  schneidet  die  Tangente  in  B  innerhalb 
(a,  h)  ein,  wahrend  die  Tangente  in  A  ganz  wohl  an  (o,  h)  vorbei- 
gehen kann;  und  ist  /"{x)  bestandig  negativ,  der  Neigungswinkel 
also  abnehmend,  wie  in  (^),  so  führt  die  Tangente  in  A  sicher  zu 
einem  Innenpunkt,  wahrend  die  in  B  auch  außerhalb  (a,  h)  einschneiden 
kann.  Durch  Vergleichung  dieser  Fälle  kommt  man  zu  der  Regel, 
daß  von  dm  leiden  Forwdn  (3)  mim?  (4)  diejenige  zu  einer  Annäherung  an 
die  Wurzd  führt,  in  tcddter  der  ZäJtler  dasselbe  Vorteidten  besitzt  tcie 
f"(x)  im  ganzeti  Intervall.  Die  zweite  Näherung  ergibt  sich  jedesmal, 
wenn  man  von  dem  erlangten  Näherungswert,  6  — jfc  im  ersten,  a-^k 
im  zweiten  Falle,  ausgeht,  wodurch  man  zu  K\  beziehungsweise  H' 
kommt  usw. 

141.  Beispiel«.     1.  Am  Schlüsse  von  139  ist  für  die  Gleichung 

^+3jt«~  17x4-5-0 

die  Trennung  der  Wurzeln  vollzogen  worden;  es  sollen  nun  die  in 
den  IntervaUen  (-6,  -5),  (0,  1),  (2,  3)  liegenden  Wurzeln  «i,  a^  «b 
approximiert  werden. 
Wurzel  Xj. 


224 


GlMchangOD.    §  4.    NumorUche  Gleichongeii. 
Nftherangiwert: 


a 6  /(a)--l 

6 --5,98      /(5)-     0,0940 
a«-5,98      /(«)-     0,0940 


-6      +i^-~5,98 


^_^?!..^  5,982 

^  1,0940  ' 


5,98 


6 5,982    /(6) 


-5,98 
-5,982 
-5,9817 


1 


0,01483 
3       -17 


0,008  o,oa4 
0,lÖ8ö3 


-  5,9817 


1     -2,98        0,8204        0,0940 
1     -2,98?      0,83832  -0,01483 
1     -2,9817     0,62044      0,00145 


Wurzd  x^.     Hier  ist  durch  Teilung  in  Zehntel  zuergt  «las  engere 

Intervall  (0,3,  0,4)  festgogtellt. 

N&herungewert : 

a-0,3   yra)=»  0,197       ,, o. ; o^  ^  o,313 

6«  0,4   /O)--  1,256 


a  — 


0,313  /(a)-  0,00355 


1,463 
0,087  0,00565 


6-0,4 


'N^lä+  '^1^66 


»  0,3132 


0,3 

0,4 

0,313 


/{b)  =-  -  1,256 

ar«  =  0,3132. 

1    3    -17 

'  1  3^   -16,01 

1  3,4   -15,64 

1  3,313  -15,9631 

0,3132  1  3,3132  - 15,96231   0,00061 

W  irzel  j-,.     Teilung  in  Zehntel  führt  zu  dem  engeren  Interrall 
(2,6,  2,7) 

a-2,6  /(a)-- 1,344 

5-2,7  /(d)-     0,658 

<!-.  2,667  /(a)-- 0,03026 

h  -  2,7  /{b)  -     0,653 


0,197 
-1,256 
0,00355 


N&henmgtwext : 

2,6    +^\^^—2,m 


„„,.-     ,  0,OM0,OS0M        ^ttOAK 


I 


1 

1 

1 

Aafl0taiigMeh«mft. 

a;,»2,6685. 

3             --17 

5 

2,6 

2,7 

2,667 

2,6685 

5.6  -2,44 

5.7  -  1,61 
5,667          1,88611 
6,6685        1,87362 

-1,344 

0,653 
-0,03026 

0,00026. 

225 


Die  Samme  der   drei   Näherungswerte    ist 
einstinimang  mit  der  QleichaDg. 
2.  Die  Gleichung 

2«»+4x»-3-0 


3   in  voller  Über- 


hat nur  eine  positive  und  sonst  keine  reelle  Wurzel,  weil /(— 4?)  —  0 
keinen  Zeichen  Wechsel  aufweist:  femer  ergibt  sich  aus 


2arH    4i;»-3 

1 

10x*-hl2x* 

0 

40x»  +  24x 

0 

120x*  +  24 

0 

240x 

0 

1  als  obere  Wurzelschranke,  folglich  (0,  1)  als  ein  Wurzelintervall^ 
dnrch  dessen  Zehnteilnng  das  engere  (0,8,  0,9j  gefuuden  wird.  Die 
Anwendung  des  New  ton  sehen  Verfahrens  führt  zu  folgender  Rechnung: 


^ 


6 

/W         /'(h) 

flh) 

0,9  1  1,09698     16,281 

0,067 

0,833 

0,11419     13,1415 

0,0086 

0,8244 

0,00274     12,77466 

0,00021 

xsO,8U19 

2 

0               4             0 

0 

-3 

0,8 

2 

1,6            5,28          4,224 

3,3792 

-0,29664 

0,9 

2 

1,8            5,62          5,058 

4,4522 

1,09698 

0,833 

2 

1,666        5,38778    4,48802 

3,73^62 

0,11419 

0,8244- 

2 

1,6488      5,35927     4,4181^ 

3,64233 

0,00274 

0,82419 

2 

1,6482 

\S    .\35856    4,41647 

3,64001 

0,00005 

Caaber,  Höhere  Mftth«m»tik.  %.  Ant 


16 


226     Oleichunp'Pn.    %  6.   Algebraitehe  AuflOtung  d.  Gleicliangen  S.  n.  4.  Grades. 

§  5.    Algebraische  AnflSsung  der  Gleiebniigeii  dritten 
und  vierten  Grades. 

142.  Die  kubische  O-leichung.  Man  kann  die  allgemeine 
kubische  Gleichung 

a^x'-\-a,or^-\-a,x^a^^O  (1) 

zunächst   durch   Division   mit   üq   yereinfachen;   bezeichnet   man   die 

Quotienten  "' ,   '*' ,     *  mit  a,  6,  e,  so  lautet  sie  dann 

Oo  ^0  ^0 

/(a;)-a:'-f  aa;*  +  6^-hc=-0.  (2) 

Für  die  weitere  Behandlung  ist  es  von  Vorteil,  sie  derart  zu 
transformieren,  daß  die  zweite  Potenz  der  Unbekannten  ausfällt:  setzt 
man  zu  diesem  Zwecke 

a;  =-  ;?  -f  Ä, 
so  wird 

/(.  +  h)  - /(/,)  +  /'(*>  +  -gi  ^  +  Ql  .' -  0: 
das  Ziel  ist  erreicht,  wenn  man  h  so  bestimmt,  daß 

wird;  dies  führt  zu  ä=  —        also  zu  der  Transformation 

Die  Koeffizienten  der  transformierten  Gleichung  ergeben  sich  aus    i 

dem  folgenden  Schema  (130;  2.):  \ 

Iah  e  j 


1  *T   -'-fv*   ar-T+')-'^ 

■  i      (0) 

(1) 

die  Gleichung  selbst  lautet  also: 

z'-i-pi-hq^O  (4) 

und  heißt  die  reduzierte  kubische  Gleichung. 

148.  Löanng  der  realisierten  knbisohen  OleicbungJ).  Zum 

Zwecke  der  Losung  von  (4)  werde 

1)  Der  erste,  der  die  AaflOrong  der  (redoiierten)  kubitobeu  Gleichung  faud. 
war  Scipione  del  Ferro  (su  Ueginn  des  16.  Jhrb.^;  nach  ihm,  Tielleichi  nicht 
selbiUludig,  gpUngte  dazu  Nicolo  Tariaglia,  6»f  sie  Hieronimo  Cardano 
niiteilt^  durch  deu  die  erste  VerOffentlicbong  (1&46)  erfolgte. 


Die  kuoitcbe  oleicbung  227 

gesetzt ^);  eine  solche  SabstitutioD   bietet  den  Vorteil,  daß  maD  den 
leuen  Unbekannten  u,  v  eiue  Bedingung  anferle^en  und  diesen  Um- 
stand zur  Vereinfachung  der  Qleichung  benutzen  kann. 
Die  Substitution  (5)  führt  zunächst  auf 

u*  4  3ii»f  +  3t4t;*  -f  i;'  +  p(u  -f  t;)  -|-  g  -  0 

und  wegen  *dt4*v  -4-  »^mo*  =«  $uü{u  -f  v)  weiter  auf 

w'  -f  r»  -h  (3fiv  +  p)(«  +  »)  -f  ^  -  0. 

Diese  Gleichung  erfahrt  eine  erhebliche  Vereinfachung,  wenn  man 
über  Uy  V  so  verfügt,  daß 

3Mt+p  =  0  (6) 

wird:  denn  sie  reduziert  sich  dann  auf 

M*  +  v»  -f  5  «-  0.  (7) 

Bildet  man  auf  Grund  von  (6)  und  (7) 

m'  +  r*  =  —  g 

(8) 


«V  »-(!)•, 


so  ist  zu  beachten,  daß  die  zweite  dieser  Gleichungen  umfassender 
ist  als  die  Gleichung  (6),  ans  der  sie  hervorgegangen  ist;  denn  sie 
bliebe  dieselbe,  auch  wenn  statt  /)  genommen  würde  ptv  oder  pw\ 
wobei  Wy  ic^  die  komplexen  dritten  Wurzeln  aus  1  bedeuten  (22,  2.); 
es  ist  ja  w*  =  (m;*)*  =  1. 

Wegen  den  Eigenschaften  (H)  sind  aber  u^,v^  die  Wurzeln  der 
quadratischen  Gleichung 

o'+'io-{^y-o,  (9) 

die  man  als  die  fpi<idratischeii  Besolvente  von  (4)  bezeichnet;  man 
kann  also 

«' = -  ^ + yär+ ä) '  «^- - 1 -ViW^w 

setzen  und  erhalt  im  Sinne  von  (5)  die  Losung  in  der  Gestalt 

Diese  Formel,  die  Cardanische  Formd  genannt,  liefert  aber,  da 
jede  Kubikwurzel  drei  verschiedene  Werte  besitit,  neun  verschiedene 

1)  Dieser  Vorgang  wird  mit  dem  NameD  des  Amsterdamer  BOigenneisItn 
J.  Hudde  in  Verbindung  gebracht,  der  ihnl6A7  pablizierte;  doch  hatte  Hujgent 
schon  1666  die  nicht  wesentlich  verschiedene  Sabstitution  i  ««  v  —  «  sa 

gleichen  Zwecke  verwendet. 

16» 


230  GleichuogeiL  §  A.  Alfjrebraische  Anflösung  d.  Oleicfaangen  3.  u.  4.  Qrade'i 
80  daß  die  Wurzeln  einzeln  laaten: 

^,=  2)/-|-cos(|-  +  120»)  (13) 

«,=  2]/--|cos(|+240'). 

Sie  sind  also  reell  und  untereinander  verschieden  und  lassen  sich, 
nachdem  man  den  Hilfswinkel  cp  aus  (12)  bestimmt  hat,  auf  loga- 
lithmischem  Wege  rechnen. 

145.  Beispiele.    1.  Um  die  Gleichung 

zu  lösen,  hat  man  sie  zuerst  mittels  der  Substitution  a:=— ;r-f- t  ^n 
reduzieren;  hierzu  dient  das  Schema: 

1    —4 j —8 

-   7- '') 
9     V      27/ 


3  a 


-',  (-1) 


aus  dem  sich  die  reduzierte  Gleichung 

abliest.     Bei  dieser  ist  nun 

^  "^  W         U/    ~       ä*"3« '  ■  "  V  3«  -^  ^' 

somit  liegt  der  Fall  I,  144  vor;  die  reellen  Werte  der  Kubikwurzebi 
sind: 


^- 

n 

^  64 

4 
""  S' 

B  = 

-fr 

63 
64  ' 

1 

'"'3> 

sie 

ergeben  laut 

(11): 

6 

,    » 

. 

6  ^  « 

V» 

j^- 

6 
^6 

■ivi. 

woraus  schließlich 

erhalten  wird. 

2.  Die  in  141,  1.  nach  den  Methoden  för  die  Auflösung  nume- 
rischer Gleichungen  behandelte  Gleichung 

soll  nun  nochmals  nach  der  Auflösungsmethode  fQr  kubische  Gleichungen 


Anflöfangitcb 


291 


erledigt  werden.     Zur  Redaktion   hat   man  x  ^  /  — -  1  zn  setun   und 
findet  aus  dem  Schema: 

1     8    —17      6 


1    t    — 19    (14) 
l     1    (-10) 


die  reduzierte  Gleichung 


Hier  ist  nun 


jr»  -  20f  -f  24  -  0. 


12«.??f<0, 


es   liegt   also   der  casus  irreducibilis   Tor,  fOr  den  die  Formeln  (13) 
gelten.     Man  hat  in  siehenstelliger  logarithmischer  Rechnung: 


log|_ 

log  >/-(!)• 


1,079    181& 
1,235    8631 


log  cos  (180*  -  ip)  , 
180»  ~y 

9  i 

9,843   3181 

45M8'    8" 

134    11     52 

9   \ 
"8  ' 

44    43     57 

|-f  120» 

164   43     57 

?4-240»; 

284    43     57 

log*2  i  0,301    0300 
log]/-!  I  0,411    9544 

log  2]/-  I  '  0,712    9844 


log  oot  I 


logzi 


0,712  9844 

9,861  5032 

"pS  4876 

3,668  49 


I  0,712    9844 
log  coi  (1 4- 120*)  j  9,984   3954  («) 


<og  (-  h)    0,697    3798 
f,   j  ~  4,98172 
«1  i  2,668    49  :?^   !  -  5,98172 

0,712   9844 
log  cos  (][  +  240*)  j  9,405    3576 

iogV»  O4I8    3420 
j^  1  1^13    23 
^U^13    23 

Die  Probe  Xi+j^  +  jC,  —  —  3  gibt  ein  TÖilig  zutreffendet  Re- 
sultat. 

3.  Dreiteilung  des  WMds.  Dm  Problem,  einen  Winkel  daroh 
Konstruktion  in  drei  gleiche  Teile  zu  teilen,  gehört  zu  den  klassisches 


I 


232      Oleichuo^n.    §  6.   Algebraische  Auflöeuog  d  Gleicbangen  3.  u.  4.  Grades. 

Aufgaben  der  Mathematik.  Der  Nachweis  der  Unnidgliehkeit  seiner 
dementarm  Lösung  im  allgemeinen,  d.  h.  abgesehen  von  besonderen 
Annahmen,  gehört  der  neueren  Zeit  an. 

Man  nennt  die  konstruktive  Lösung  einer  Aufgabe  elementar, 
wenn  sie  sich  durch  Anwendung  von  Lineal  und  Zirkel  streng  aus- 
führen läßt.  Elementar  darstellbar  sind  nur  solche  Ausdrücke,  die 
sich  aus  den  gegebenen  Größen  —  Strecken  —  durch  rationale  Ope- 
rationen und  durch  Quadratwurzebt  in  einer  endlichen  Anzahl  von 
Verbindungen  zusammensetzen.  So  können  also  beispielsweise  Aus- 
drücke,  die  sich  als  Wurzeln  von  linearen  und  von  quadratischen 
Gleichungen  ergeben,  elementar  konstruiert  werden. 

Ist  eine  Gleichung  Tom  dritten  Grade  in  bezug  auf  die  zu  be- 
stimmende Größe,  so  ist  eine  elementare  Konstruktion  ihrer  Wurzeln 
nur  dann  möglich,  wenn  sie  sich  zerlegen  läßt  in  drei  Gleichungen 
ersten  Grades  oder  in  eine  Gleichung  ersten  und  eine  Gleichung  zweiten 
Grades  mit  Koeffizienten,  die  sich  aus  jenen  der  ursprünglichen  Gleichung 
rational  zusammensetzen;  man  sagt  in  solchem  Falle,  die  Gleichung 
sei  redusfihel.  Im  ^andern  Falle  heißt  sie  irredueibel,  und  da  ihre 
Lösung  dann  Kubikwurzeln  enthält,  so  ist  die  elementare  Konstruktion 
der  Wurzeln  ausgeschlossen.  Die  Betrachtung  kann  auf  Gleichungen 
höherer  Grade  ausgedehnt  werden. 

Die  Aufgabe  der  Dreiteilung  eines  Winkels  (p  führt  auf  eine 
kubische  Gleichung.  Ein  Winkel  kann  linear  bestimmt  sein  doroh 
eine  seiner  trigonometrischen  Funktionen  in  bezug  auf  eine  gegebene 
Einheit;  es  sei  z.  B.  cos  ^  =^  a;  nun  ist 


setzt  man  also  cos  ^  «»  x,  so  hat  man  zur  Bestimmung  dieser  Größe 


008  op  »  4  CO«*  **  —  B  cos  '' : 

n  9 

I    COS   j 

die  Gleichung: 

4x'-3rr-ei-0.  (1) 

Diese  Gleichung  löst  die  Aufgabe  der  Dreiteilung  für  drei  Winkel; 
a  ändert   sich    nämlich   nicht,    wenn   man  ip  um  ein  Vielfaches  yod 

360®  ändert;  es  ergeben  sich  also  außer  x,  -=  cos  ^  noch  die  Wurzeln 
^  -  CO.?  +3?*«* -  co.(f ,+  laO»)  und  *.  ^.  coeS+l^*""'-  co»(f + 240»); 

alle  andern  Vielfachen  führen  über  die  Figur,  die  die  Teilungsstrahlen 
zu  diesen  drei  Wurzeln  enthält,  nicht  hinaus. 

Keine  der  drei  Wurzeln  ist  im  allgemeinen  aus  der  Strecke  a 
und  der  Einheit  elementar  konstruierbar. 

Man  kann  die  Frageotellung  umkehren  und  nach  solchen  Winkeln 
fragen,  die  eine  elementare  Dreiteilung  zulassen.    Die  Antwort  darmaf    i 


Dreiteilung  <ie«  Winkele.  23^ 

ist  die  folgende:  ist  {  irgend  eine  Sti-ecke,  die  aas  der  Einheit  darch 
elementare  Konstruktion  gewonnen  wurde  und  kleiner  ist  als  1  dem 
Betrage  nach,  und  erzeugt  man  aus  ihr,  was  wieder  durch  elementare 
Konstruktionen  möglich  ist,  die  neue  Strecke  a  «  4J'  -  3J,  so  liefert 
jede  so  gewonnene  Strecke,  für  a  in  (1)  eingesetzt,  eine  Gleichung^ 
deren  Wurzeln  elementar  konstruiert  werden  können. 

Es  mögen  noch  einige  spezielle  Falle  zur  Erläuterung  augoftthrt 
werden 

Die  Annahme  «  —  1  führt  zu  einer  reduziblen  Gleichung;  denti 
4^?^  —  3«  ~  1  -»  0  zerfallt  in  die  Gleichungen 

r  -  1  -  0,       i^X-^r  1)'  -  0, 

deren  Wurzeln  1,  —  _,  —     sind.    Es  ist  dies  die  Dreiteilung  der  Winkel 

Ton  0,360  und  8W. 

Mit  a  =  0  gelangt  man  zu  der  Gleichung  4a.'  —  3j:  —  0,  deren 
Reduzibilitat  unmittelbar  zu  erkennen  ist;  sie  zerfallt  in 

:r  =  0,     4x»  -  3  =-  0, 

ihre  Wurzeln  sind  also  ö»  —  «  '  2~  *  ^^^'^  ^  *^*®  Dreiteilung  der 
Winkel  von  90,  450  und  810°  enthalten. 

Auch  die  Annahme  a  =^  — =  ergibt  eine  reduzible  Gleichung;  denn 

4r»- 3a -^^  läßt  sich  auflösen  'm\x{^  ~  ^^^{x-^^^[x -\-  ^\ 
/4x* ~  — 1 V  somit  zerfallt  die  kubische  Gleichung  jetzt  in 

'   y'2          '              >/«        * 
und  hat  die  der  elementaren  Konstruktion  zugänglichen  Wurzeln t=, 

V-lX?     i±^.     ffiennit  ist  die  Dreiteilung   der  Winkel   ?on  46, 

405  und  765®  erledigt 

Aber  schon  die  Annahme  a  =  ^  führt  auf  eine  irreduzible  Glei- 
chung, die  Dreiteilung  des  Winkels  von  60*  kann  elementar  nicht 
ausgeführt  werden. 

146.  Die  biquadratisohe  Oleiebnng.  Indem  man  die  all- 
gemeine Gleichung  vierten  Grades 

a^j!"  -f  ö^x«  -}-  a,x*  -f  0»«  +  «4  -  0  (l) 

durch  den  Koeffizienten  der  höchsten  Potenz  dividiert  und  die  auf- 
tretenden Quotienten  mit  a,  h,  c,  d  beseichnet,  nimmt  sie  die  Gestalt  an: 


234      GleiobuDgeii.    §  6.   Algebraische  AutJOrang  d.  Gleichungen  3.  u.  4.  Grades. 

/\x)  -  ar*  -f-  ax^  -f  ftj;*  +  ca:  +  rf  -  0.  (2) 

Wie  bei  der  kubischen  Gleichung  erweist  es  »ich  als  vorteilhaft, 
durch  eine  Substitution 

80  ZU  transformieren,  da6  die  nUchstniedere  Potenz  der  Unbekannten 
nicht  erscheint.     Da 

bereits  die  nach  Potenzen  von  z  geordnete   transformierte  Gleichung 
darstellt,  so  hat  man  h  so  zu  bestimmen,  daß  /"'{h)y  d.  i 

24Ä  +  6a  =  0 
werde;  daraus  folgt  h^  -      ;   die  endgiltige  Substitution  lautet  also: 

X  =^  z  —  ^.  ( 3 » 

Zu  ihrer  Durchführung  benützt  man  das  Schema: 
lab  c  d 

a   1    -      3«  3o'    ,    ,       3a*       ab  /3a*      a*6       ac  ,     ,\ 

-4       ^        4        "16+^        04   -    4    -t-M~2-56+r6-T  +  ^)-*^ 

das  die  Koeffizienten  der  reduzierten  Gleichung 

^-^pz^  ^qz-\-r^O  (4) 

liefert. 

147.  Lösung  der  reduzierten  biquadratischen  Gleichung.  ^) 
Setzt  man  nach  dem  Vorgange  Eulers 

z  ^  u  -\-  V  -{-  w  (b) 

80  ergibt  sich  daraas  nach  und  nach: 

<?*  =  «*  +  f'  4-  «?*  +  2{vw  -f  wu  4-  ttt») 

;r*  -  2(u*  + 1>»  +  «•*)  i?«  -f  (m*  -h  c»  +  ir»)«  -  4(»*w*  +  w^***'  -f  u»»*) 

^  -2iii^  +  V'  -\-  w*)  z^  -^uvwz  -\-  (w*  + 1?*  +  fc*)* 

—  4  (ü*  V*  +  w*w*  -f  •*'«*)—  0 . 


1)  Die  Entdeckung  der  Auf  idsuug  der  reduzierten  4uadratischen  Gleichung 
ift  Lüdovico  Ferrari  (t5^t— ]565)  zu  danken,  einem  hervorragenden  ScbQler 
C»rdanos,  der  sie  vur  1516,  also  vor  Vollendung  seines  88.  Leben^ahres,  ge- 
funden  haben  muß ;  denn  1646  erschien  sie  in  Cardanos  „Ars  magna'\  und  der 
Druck  dieses  Werkes  begann  zu  Nflmberg  1644. 


Die  biquadnitifcbe  Gleichung.  235 

Damit  dieü«)  Gieit-Lun^  dieselben  Wuraeln  besitze  wie  (A),  ist  not- 
wendig, daß 

—  Suvw^q  (6) 

(««  +  v^  -f-  ?r*}*  -  4(v'tr^  -^  fchr  -f-  u*v*)  -  r 

sei:  wonuis  zu  schließen  ist  aut: 

f<»  -h  t'*  -i-  m;«  -  -~  -^ 

t?«tr*  +  »^^*-  +  n*v^  -  f^  -  ^  C^) 

doch  ist  zu  beachtes ,  daß  die  letzte  Gleichung  umfassender  ist  als 
die  ihr  korrespondierende  mittlere  Gleichung  (6),  indem  sie  dieselbe 
bliebe,  auch  wenn  q  ersetzt  würde  durch  --  q. 

Zufolge  der  in  (7)  ausgedrückten  Eigenschaften  der  drei  Zahlen 
v<',  r*,  M*  sind  diese  die  Wurzeln  der  kubischen  Gleichung 

,.+  ^,.+£-*ie_|:„o,  (8) 

die  man  als  die  hihisdie  Besohente  der  Gleichung  (4)  bezeichnet. 
Sind  ^,,  ö,,  Ö3  ihre  Wurzeln,  so  können  zwei  davon  für  u\  t*  genommen 
werden,  die  dritte  ist  dann  m*.     Setzt  man  also 

so  ergibt  sich  daraus  nach  der  Vorschrift  (5)  für  z  die  Eulersche  Formel : 

2  ^  ye,  r  i/ö,  +  V%  (9) 

die  aber,  weil  die  Quadratwurzeln  zweiwertig  sind,  acht  yerschiedene 
Werte  darstellt,  nach  einer  eben  gemachten  Bemerkung  nicht  bloß 
die  Wurzeln  der  Gleichung  f4),  sondern  auch  die  der  Gleichong 
!^  -\-  fZ  —  qz  ^  r  --^  0. 

Es  handelt  sich  um  die  Feststellung  der  ersteren,  und  hierzu 
bietet  die  mittlere  der  Gleichungen  (6)  einen  Anhalt,  indem  die 
Wurzelwerte,  die  zur  Bildung  der  Wurzeln  von  (4)  geeignet  sind, 
so  beschaffen  sein  müssen,  daß 

ist     Bilden  Ä,  B,  C  ein  Trip«l   solcher  Werte,   «o  ergeben   sich  die 


236      Gleichungen.    §  6.    Algebraische  Auflörang  d.  Gleichungen  3.  u  4.  Grades. 

drei  andern  Tripel  durch  Zeich enänderuiig  an  zwn  Gliedfrn;  mithin 
sind  dann 

^,-     Ä^B'-C 

die  Lösungen  Ton  (4)*). 

148.  Diskussion  der  Eulerschen  Formel.  Da  das  absolute 
Glied  der  Resolvente  (8)  wesentlich  negativ,  das  Produkt  öj  d,  ö,  ihrer 
Wurzeln  also  stets  positiv  ist,  so  läßt  sich  über  diese  Wurzeln  eine 
Aussage  machen,  nämlich:  Sind  alle  drei  reeU,  so  sind  sie  entweder 
sämtlich  positiv,  oder  eine  positiv  und  zwei  negativ;  ist  nur  eine  reell, 
80  ist  sie  notwendig  positiv,  weil  das  Produkt  der  beiden  andern,  die 
konjugiert  komplex  sind,  positiv  ist. 

Es  sind  daher  folgende  Fälle  zu  unterscheiden: 

I.  0^,0,j,0^  reell  und  positiv;  dann  sind  Äfß,C  und  mit  ihnen 
alle  vier  Wuraeln  (10)  reell. 

IL  Öj,  ö,,  ^5  reell  und  nur  6^  positiv;  Ä  ist  dann  reeU,  während 
B,  C  imaginär  sind;  infolgedessen  sind  im  allgemeinen  alle  vier  Wurzeln 
(10)  komplex  und  die  Paare  sfu^^i^^if  h  konjugiert.  Nur  wenn  die 
negativen  Wurzeln  auch  gleich  ausfallen,  werden  zwei  von  den 
Wurzeln  (10)  reell  und  auch  gleich. 

III.  ö,  reell  und  positiv,  ö,,  Öj  konjugiert  komplex;  dann  sind  .4 
reell  und  entweder  B,  C  oder  B^—  G  konjugiert  komplex,  so  daß 
unter  allen  Umständen  zwei  der  W^urzeln  (10)  reell  und  zwei  kon- 
jugiert komplex  ausfallen. 

Das  Gesamtergebnis  lautet  dahin,  daß  die  biquadratische  Gleichung 
entweder  vier  reelle,  oder  zwei  reelle  und  zwei  konjugiert  komplexe  oder 
endlich  vier  komplexe  Wurzeln  besitzt,  die  zu  zwei  Paaren  konjugiert 
sind;  dies  alles  nuter  der  Voraussetzung  reeller  Koeffizienten. 

149.  Beispiel.     Es  ist  die  Gleichung 

ä!*  -  81:*  +  3  »  0 
aufeulösen. 

Zum  Zwecke  der  Reduktion  ist 


1)  Der  Gleichung  # *  -f  jBf*  —  j«  -f-  r  «.  0  kommen  die  Wurteln  —  A-^  B-^-C 
B 4  C,  ^-|-B~Cund— X-B-Cwi. 


Kulerichc  Formel.  -—  Beiipiel. 


'JBl 


zu  setzen;  die  Koeftizienteu  der  reduzierten  Gleichung  gehen  aus  dem 
Schema  hervor: 


1    --8 


0 


u 


3 


1-6-12       -24     f-45)-r 
1     -4     -20     (-64)-^ 

1  ~2        (-24)-:|). 

Die  Gleichung  selbst  lautet  also 

z*'  ~  24z»  -  64z  -  45  -  0, 
und  ihre  kubische  Resolvente: 

Um  diese  zu  lösen,  vrird  man  sie  zunächst  mittels  der  Substitution 

0  =  ^+4 
reduzieren;  dazu  dient  das  Schema: 


1    -VI       '^l    -64 

4 

1-8          «J    (-3) 

1  -^  (-:). 

das  zu  der  Gleichimg 

^-.^^^3=.0 

führt.     Far  diese  ist  n 

un 

«-er -er 


143 
64  ' 


also  positiT,  mithin  ist  eine  ihrer  Wurzeln  reell,  die  beiden  andern 
sind  imaginär^  man  hat  es  also  mit  dem  Fall  III  des  Torigen  Artikels 
zu  tun.     Die  weitere  Rechnung  ergibt: 

A==|7^7l7i-M4141,     l^»j/^-V^-.  0,17347: 

^,  =  1,61488,     d,  -  -  0,80744  -f- 1,09807$, 
^,  -  -  0,80744  -  1,09807  i 
Ö,  »  5,61488,     ^,  «  8,19256  -f  1,09807 1 , 


236     Gleiohimgeo.    §  6.   Algebraische  Auflötung  d.  Gleichusgen  3.  u.  4.  Grades. 

drei  andern  Tripel  durch  Zeich enänderuug  an  zwn  Gliedern;  mithin 
sind  dann 

/,«      A^B-C 

die  Lösnngen  yon  (4)*). 

148.  Biskusslou  der  Eulerschen  Formel.  Da  das  abeolute 
ölied  der  Resolverite  (8)  wesentlich  negativ,  das  Produkt  Öj  ö,  ö,  ihrer 
Wurzeln  also  stets  positiv  ist,  so  läßt  sich  über  diese  Wurzeln  eine 
Aussage  machen,  nämlich:  Sind  alle  drei  reell,  so  sind  sie  entweder 
sämtlich  positiv,  oder  eine  positiv  und  zwei  negativ;  ist  nur  eine  reell, 
80  ist  sie  notwendig  positiv,  weil  das  Produkt  der  beiden  andern,  die 
konjugiert  komplex  sind,  positiv  ist. 

Es  sind  daher  folgende  Fälle  zu  unterscheiden: 

I.  0^fO,j,0^  reell  und  positiv;  dann  sind  Ajß,C  und  mit  ihnen 
alle  vier  Wuraeln  (10)  reell. 

II.  Öj,  ö,,  ^8  reell  und  nur  6^  positiv;  A  ist  dann  reell,  während 
B,  C  imaginär  sind;  infolgedessen  sind  im  allgemeinen  alle  vier  Wurzeln 
(10)  komplex  und  die  Paare  Hit  ^^'t '^iJ  h  konjugiert.  Nur  wenn  die 
negativen  Wurzeln  auch  gleich  ausfallen,  werden  zwei  von  den 
Wurzeln  (10)  reell  und  auch  gleich. 

III.  ö,  reell  und  positiv,  Ö,,  Öj  konjugiert  komplex;  dann  sind  A 
reell  und  entweder  B,  C  oder  By  —  C  konjugiert  komplex,  so  daß 
unter  allen  Umständen  zwei  der  Wurzeln  (10)  reell  und  zwei  kon- 
jugiert komplex  ausfallen. 

Das  Gesamtergebnis  lautet  dahin,  daß  die  biquadratische  Gleichung 
entweder  vier  reelle,  oder  zwei  reelle  und  zwei  konjugiert  komplexe  oder 
endlich  vier  komplexe  Wurzeln  besitzt,  die  zu  zwei  Paaren  konjugiert 
sind;  dies  alles  unter  der  Voraussetzung  reeller  Koefßzienten. 

149.  Beispiel.     Es  ist  die  Gleichung 

a?*  -  8«»  +  3  ™  0 
aufzulöten. 

Zum  Zwecke  der  Redaktion  ist 


1)  BerGlaichungf^-f-jif*  — gi  -f  r«iO  kommen  die  Worteln  —  A-h  B  +  C 


Eulenche  Funnel.  —  Beispiel.  vgi 

««1  +  2 

zu  setz4;n;  die  Koeffizienten  der  reduzierten  Gleiehimg  gehen  ans  dem 
Schema  hervor: 

1-8  0  0  3     

2  i     1    -6  -12       ^  24'    (-  46)  -  r 

1     -4  ^20     (~64)-g 

1     ~2  (~24)«p. 

Die  Gleichung  selbst  lautet  also 

r*  -  24/»  -  64/  -  45  -  0, 

und  ihre  kubische  Resohrente: 

ß'  -  120*  -f  ^f  Ö  -  64  -  0. 

Um  diese  zu  lösen,  vrird  man  sie  zunächst  mittels  der  Subetitution 

d-d+4 
reduzieren;  dazu  dient  das  Schema: 

1    -12       ^«»     -64 


1-8  «J    (-3) 

1  -^  (-:). 


das  zu  der  Gleichung 
führt.     Fflr  diese  ist  nun 


^-_^^._3=.0 


also  positiv,  mithin  ist  eine  ihrer  Wurzeln  reell,  die  beiden  andern 
sind  imaginär,  man  hat  es  also  mit  dem  Fall  III  des  vorigen  Artikels 
zu  tun.     Die  weitere  Rechnung  ergibt: 

^-f:^l/i-M414l,     B-^/f^l/^- 0,17347; 

^,  »  1,61488,     ^,  "  -  0,80744  + 1,09807», 
^,  -  -  0,80744  -  1,09807 1 
e^  -  5,61488,     e^  «  8,19256  +  1,09807  i , 


238      Gleichung«»Ti.    §  5.    Algebraische  Auflötong  d.  Gleichungen  8.  u.  4.  Grades. 

öj«  3,19256-  1,09807  r 

V^i  «-  ±  2.36957 ,     /öj, «  i  (1,81-227  +  0,30295  /) , 

ye,  =  ±  1 1,81227  -  8,30295/.; 

die  mit  f  bezeichneten  Werte  bilden  eine  den  Bedingungen  ent- 
sprechende Kombination;  aus  ihr  ergeben  sieh  die  andern  nach  der 
Vorschrift  (lOi  und  mithin  die  folgenden  Wurzeln  der  reduzierten 
(ileichung: 

;»,  -      5,99411 

52  =  ~  1,25497 

i^s  -=  -  2,36057  -f  0,60590/ 

2r^  -  -  2,36957  -  0,605i»0/: 

hiernach  hat  die  vorgelegte  Gleichung  die  fidgeuden  Lösungen: 
r,  -       7,99411 
r,  =      0,74503 
^3  =  -  0,36957  4-  0,60590  t 
x^  =  -  0,36957  -  0,60590  i. 

150.  Auflösbarkeit  von  Gleichungen  höheren  als  des 
▼ierten  Grades.  Algebraische  Zahlen.  Die  algebraische  Auf- 
lösung einer  Gleichung  ist  den  Methoden  zur  Auflösung  numerischer 
Gleichungen  dadurch  wesentlich  überlegen,  daß  mit  ihr  alle  Gleichungen 
des  betreffenden  Grades  als  gelöst  betrachtet  werden  können:  denn 
es  bleibt  in  jedem  besondern  Falle  nur  mehr  die  Einsetzung  der 
speziellen  Koeffizienten  statt  der  allgemeinen  und  die  Ausführung  der 
angezeigten  Rechenoperationen  zu  vollziehen. 

Es  ist  darum  begreiflich,  daß  man  Anstrengungen  machte,  auch 
für  die  allgemeinen  Gleichungen  fiinften  und  der  höheren  Grade  die 
algebraische  Auflösung  zu  Hnden.  Die  Gleichungen  dritten  und  yierten 
Grades  konnten  dazu  ermutigen :  denn  die  kubische  Gleichung  führte 
auf  eine  (|uadratische,  die  biquadratische  auf  eine  kubische  Resolvente; 
es  schien  daher  nicht  aussichtslos,  daß  man  bei  Einschlagen  des 
richtigen  Weges  auch  bei  der  Gleichung  fünften  Grades  zu  einer  Re- 
solvente niederen  Grades  gelangen  und  so  zu  immer  höheren  Gleichungen 
werde  fortschreiten  kimnen. 

Alle  Bemühungen  nach  dieser  Richtung  erwiesen  sich  aber  als 
fruchtlos,  und  so  stellte  sich  denn  die  Frage  ein,  ob  die  algebraischen 
Operationen  Oberhaupt  ausreichen,  die  Wurzeln  der  allgemeinen  Glei- 


••rensea  der  Aaflö«b«rk»iit  alf^brai«cber  Gieicbungen.  289 

chongeo  höheren  ah  des  vierten  (irade«  durch  die  Koeffizieuten  dar- 
zustellen; mit  andern  Worten,  ob  es  möglich  «ei,  die  Wurzeln  solcher 
Gleichungen  durch  die  Operationen  bis  zum  Radizieren,  einschließlich 
auszudrücken.  Der  erste,  der  die  Verneinung  dieser  Fmge  ausspruib 
und  den  Beweis  hierfür  zu  erbringen  versuchte,  war  P.  Uuffinivl^lS). 
Ein  voilgiltiger  Beweis  für  die  UnmöglicMeit  'fer  algebraistiien  Auf- 
Vjsnng  von  höheren  GleiclMtu/eH  nUtjememer  Form  als  des  vierten  Grades 
wurde  zuerst  von  N.  H.  Abel  (1826>  gegeben.  Neben  dieser  Be- 
weisfiihrung  für  eine  uegatire  Aussaj^e  ging  die  Forschung  nach 
solchen  Formen  höherer  Gleichungen  einher,  die  eine  algebraische 
Auflösung  zulassen.  Derartii^e  Gleichungen  bilden  ein  wichtige.«  Glied 
der  neueren  Algebra. 

Im  Rückblick  auf  das  \ Orangehende  sei  noch  das  Folgende  bemerkt. 

Eine  algebraische  Gleichung  mit  ganzzahligen  Koeffizienten  kann, 
von  imaginären  Lösungen  abgesehen,  rationale  und  irrationale  Wurzeln 
haben;  die  letzteren  sind  bei  den  Gleichungen  zweiten,  dritten  und 
vierten  Grades  immer,  bei  den  Gleichungen  höherer  Grade  nur  ganz 
ausnahmsweise  durch  die  algebraischen  Rechenoperationen,  deren 
höchste  das  Radizieren  ist,  berechenbar.  Mau  hat  nun  allen  Zahlen, 
die  als  Wurzeln  von  algebraischen  Gleichungen  mit  ganzzahligen 
Koeffizienten,  welchen  Grades  immer,  auftreten  können,  den  Namen 
cUffebraische  Zahlen  gegeben.  Diese  Zahlenkategorie  umfaßt  also  außer 
den  rationalen  Zahlen  irrationale  Zahlen,  die  sich  durch  die  algebra- 
ischen Operationen  berechnen  lassen,  und  irrationale  Zahlen,  die  durch 
algebraische  Rechenoperationen  nicht  gewonnen  werden  können.  — 
Darüber  hinaus  gibt  es  aber  noch  Zahlen,  die  auch  nicht  als  Wurzeln 
einer  algebraischen  Gleichung  was  immer  für  hohen  Grades  mit  ganz- 
zahligen Koeffizienten  zu  erhalten  sind :  man  nennt  sie  im  Gegensatzt* 
zu  den  algebraischen  transzendenk  Zahlen.  Die  beiden  für  die  Ana- 
lysis  wichtigen  Zahlen  c  und  7t  gehören  zu  dieser  Kategorie. 


Vm.  Abschnitt. 

Analytische  Geometrie  der  Ebene. 

§  1.    Der  Koordinatenbegrift. 

151.  Allgemeine  BegrifflBbestimmnng.  £g  gibtsweiMetiiodeii 
der  Untersuchung  geometrischer  Fig'iren  und  der  Lösung  geometrischer 
Aufgaben;  die  eine,  die  synthiische,  vollzieiit  ihre  Schlüsse  im  geo- 
metrischen Gebiete,  operiert  also  mit  den  geometrischen  Gebil- 
den selbst;  die  andere,  die  analytische,  überträgt  die  Untersuchungen 
auf  das  Gebiet  der  Arithmetik,  der  Aiialysis,  und  operiert  mit  Zahlen. 

Um  dies  ausführen  zu  können,  bedarf  es  der  Kennzeichnung  oder 
Beschreibung  geometrischer  Gebilde  durch  Zahlen.  Selche  Zahlen, 
die  geeignet  sind,  ein  geometrisches  Gebilde  Yollstündig  zu  kenn- 
zeichnen, nennt  man  im  weitesten  Sinne  des  Wortes  seine  Koordinaten. 

Das  einfachste  Gebilde,  auf  das  mau  die  Untersuchung  aller 
andern  zurückführen  kann,  ist  der  Punkt.  An  ihm  ist  lediglich  die 
lAige  innerhalb  eines  andern,  höheren  Gebildes  zu  beschreiben;  dazu 
dienliche  Zahlen  werden  als  Pupltkoordinaten  bezeichnet. 

152.  Der  Punkt  in  der  CKeraden.  Zwei  Punkte  einer  Geraden 
begrenzen  eine  in  ihr  liegende  Strecke.  Mißt  man  diese  mit  einer  als 
Einheit  angenommenen  Strecke,  so  erhält  man  eine  Zahl,  die  die  ab- 
solute Länge  der  Strecke  bestimmt. 

Die  Gerade  kann  in  zweierlei  Sinn  durchlaufen  werden;  setzt  man 

-  n      c        ^®"  einen   Sinn   als    positiv,   den  andern  als 

'   ■  '        '  »     negativ  fest,  so  spricht  man  von  einer  genck- 

*"**  ^  teten  Gereuten;  der  positive   Sinn   soll  durch 

einen  Pfeil  angedeutet  werden  (Fig.  44). 

Liegt  eine  Strecke  auf  einer  gerichteten  Geraden  und  unterscheidet 
man  ihre  Grenzpunkte  als  Anfangspunkt  A  und  ab  Endpunkt  B,  so 
erhält  auch  die  Strecke  einen  Sinn,  und  zwar  den  positiven,  wenn 
das  Fortschreiten  von  Ä  nach  7?  dem  positiven  Sinn  der  Geraden 
entspricht;  im  andern  Falle  den  negativen»  Die  hiernach  mit  dem 
positiven  oder  negativen  Vorzeichen  versehene  absolute  Länge  wird 
die  relative  Länge  der  Strecke  genannt.  Im  Grunde  dieser  Auffassung 
gelten  die  Ansätze: 

AB  -  ~  BA,    AB  +  P4  -  0,    AB^B€^  CA  -  0, 

.der  letztere  (tlr  jeden  dritten  Punkt  C  der  Geraden. 


Punkt  in  der  Geraden  and  in  der  Ebene.  241 

Nimmt  man  in  einer  gerichteten  Geraden  einen  Nnilponkt  0  and 
eine  Strecke  als  Einheit  an,  so  itt  aie  asur         0        t  JV 

•  Zahlenlinie  ausgestattet,  Fig.  45.  Jeder  Punkt     — —.——.— ♦X 
M  bestimmt  mit  0  al«  Anfangspunkt  eine  '*•  ** 

positive  oder  negative  Strecke,  und  die  dieser  entsprechende  positire 
oder  negative  Zahl  x  heißt  die  Ahstisse  des  Ponktes  Jf. 

Zn  einem  Punkte  gehört  nur  eine  Abssisse  und  zu  einer  Absziste 
nur  ein  Punkt  (15). 

153.    Der    Pnnkt   in    der    Ebene.     ParallelkoordinAten. 

Nimmt  man  in  der  Ebene  zwei  gerichtete  Gerade  an,  die  sich  schneiden, 
setzt  den  Schnittpunkt  als  gemeinsamen  Anfangspunkt  und  außerdem 
eine  Einheitsstrecke  fest,  so  sind  beide  Ge- 
raden als  Zahlenlinien  ausgestattet,  Fig.  46. 
Projiziert  man  dann  einen  beliebigen  Punkt 
M  der  Ebene  parallel  zu  jeder  der  Geraden 
auf  die  jeweilige  andere,  so  entsprechen  den 
Projektionen  P,  Q  Zahlen  x,  y,  die  geeignet 
sind,  die  Lage  des  Punktes  in  der  Ebene  zu 
beschreiben;  man  nennt  x,  y  ParalMkoor' 
dinaten  des  Punktes  M,  insbesondere  x  die 
Ahsjsissey  y  die  Ordinate.     Das  aus  den   bei-  i.  ig  ^ 

den  gerichteten  Geraden  zusammengesetzte  Ge- 
bilde heißt  ein  ParaUdkoordincUensystem ,  die  Geraden  selbst  nennt 
man  Achsenf  insbesondere  0  X  die  Abszissenachse  («-Achse),  0  F  die 
Ordinatenachse  (y-Achse);  die  Strahlen,  in  welche  sie  durch  den  An- 
fangspunkt oder  Ursprung  zerlegt  sind,  werden  Halbachsen  genannt 
und  als  positive  und  negative  Halbachsen  unterschieden.  Die  Ebene 
ist  durch  di('  Achsen  in  vier  Felder,  Quadranten,  geteilt,  die  in  der 
angedeuteten  Reihenfolge  gezahlt  werden.  , 

Man  schreibt  symbolisch: 

es  bedeuten,  wenn  a,  b  absolute  Zahlen  sind, 

M,{a  b\    M,{-a/bl    if,(-.|i/-,d),    M.iaj-'b) 

Punkte,  die  der  fieihe  nach  im  1.,  2.,  3.,  4.  Quadranten  liegen,  If»,  if, 
ein  Punktepaar,  das  symmetrisch  zu  OF  in  Richtung  von  OX,  Af,, 
M^  ein  Punktepaar,  das  symmetrisch  zu  OX  in  Richtung  von  OY,  3/^, 
Jtf,  ein  Punktepaar,  das  symmetrisch  zu  0  angeordnet  ist.  M(x'0) 
ist  ein  Punkt  der  ar- Achse,  MiOy)  ein  Punkt  der  y- Achse,  Jf(0/0) 
der  Ursprung. 

Cxuber,  H6here  M»UieniaÜk.  9  Avfl.  ^^ 


242        Analjtigche  Geometrie  der  Ebene.    §  1.    Der  Koordinatenbegritf 

Als  positiv  sei  jener  Drehungssinn  in  der  Ebene  festgesetzt,  der 
y  dem    Laufe  eines   Uhrzeigers    entgegengesetzt   ist, 

j^         der  also  der  Aufeinanderfolge  der  Quadranten  ent^ 
i  spricht. 

I  Der  in  diesem  Sinne  gezählte  W inkel  S  zwischen 

j der  positiven  x-  und  der  ]>ositiven  y- Achse  heißt 


<e 


''      ^  der  Koordinatenuinkel.     Unabhängig  von  der  Auf 

Flg.  47.  fassung  der  Geraden  als  Achsen  eines  Koordinaten- 

systems nennt  man  &  auch  den  Richtungswinkel  von  OF  gegen  OX. 

lat  ^  +  .,  und  -j-,  so  heißt  das  Koordinatensystem  schuf:  im  andern 

Falle,  wenn  also  <^  -=  -^   oder  =  —    ist,  nennt  man   es  ein  rechticink- 

liges  oder  Cartesisches^)  (Fig.  47). 

Man  sagt,  ein  Koordinatensystem  sei  positiv  ofientiertj  wenn  bei 
Verfolgung  der  a;- Achse  im  positiven  Sinne  die  po.sitive  v- Achse  links 
liegt,  im  andern  Falle,  es  sei  negativ  orientiert.  Bei  dem  positiv 
orientierten  Cartesischen   System,    wie  es   in  der  Regel   angenommen 

Tt  3  Jf 

werden  wird,  ist  d^  =  ,-,  bei  dem  negativ  orientierten  Ö  «=  - - 

154.  Folarkoordinaten.     Wird  in  der  Ebene  eine  gerichtete 

jr  Gerade  und  in  dieser  ein  Punkt  0  angenommen, 

so  kann  die  Lage  eines  Punktes  M  der  Ebene 

j^  beschrieben    werden   durch   die   absolute  Länge 

jy^  r  der  Strecke  GM  und  durch  den  Richtungs- 

4^  Winkel  <^   der  gerichteten  Strecke  03f  mit  der 

—^    '—5      p     *'^    gerichteten  Geraden  OX,  Fig.  48.     Man  nennt 

F*<r  *8.  r^  fp  die  Polarkoordinaten  des  Punktes  >/,  r  den 

Jjeitstrahl  oder  Kadius  vector,  <p  die  Amplituiie.    Der  Strahl   OX  wird 

die  Polarii^se,  0  der  Pol  genannt. 

Man  schreibt  symbolisch: 

M(r;tp) 
r-^ÖJUl,  q'^LXOM-, 

es  bedeutet  il/(r/0;  einen  Punkt  der  Polarachse,  3f  ir ,  x)  einen  Punkt 
ihrer  Verlängerung  über  0,  M{0/(p)  den  Pol. 

Faßt  man  r  alt  relative  Strecke  auf,  so  ist  ein  negatiret  r  in 
der  entgegengesetzten  von  derjenigen  Richtung  aufzutragen,  die  durch 
^  bestimmt  ist. 

1)  R.  Descartes  gilt  all  der  Begründer  der  analytischen  Geometrie  durch 
ein  1687  ohne  Nennung  des  Verfatisers  zu  I^jden  erschienene«  Werk,  detteo 
dritter  Abschnitt  als  „Geometrie"  betitelt  ist;  doch  war  P  Fermat  unabhängig 
von  ihm  /.n  der  analytischen  Methode  gelangt  und  weiter  vorgedrungen. 


Verschiedene  KoordioftUoeTiteme.  243 

Stellt  man  durch  HinzufÜgiing  einer  zweiten  durch  0  gehenden 
Achse  ein  positiv  orientiertes  Cartesischea  System  her,  m  bestehen 
zwischen  den  rechtwinkligen  und  den  Polarkoordinaten  eines  Punktes 
dio  B<*ziehangen: 

X  —  r  cos  y,     V  —  r  sin  y,     x*  -f  y*  «  r*.  ^  1 » 

156.  Bipolare  Koordinaten.  Sind  in  der  Ebene  zwei  Punkte 
Fj  Gy  Fig.  49,  angenommen,  so  kann  die  fcige 
eines  beliebigen  Punktes  M  durch  die  absolu- 
ten Längen  u,  v  der  Strecken  FM,  GM  be 
schrieben  werden;  man  nennt  F,  G  Pole,  m, 
V  bipolare  Koordinaten  von  M.  Während 
aber  zu  jedem  Punkte  ein  bestimmtes  Zah- 
lenpaar  m,  v  gehört,  führt  nicht  auch  umgekehrt  jedes  Zahlenpaar 
f4,  V  zu  einem  Punkte. 

Legt  man  durch  F  und  G  eine  gerichtete  Gerade  und  bestimmt 
die  (hohlen)  Richtungswinkel  qp,  r  der  durch  F,  M  und  6',  M 
laufenden  Geraden,  so  sind  auch  tp,  ^  bipolare  Koordinaten;  jetzt  aber 
gehört  auch  zu  jedem  Zahlenpaar  <p,  t  (O^ijp,  ^'^ir;,  die  Fälle, 
wo  qr  =  t',  ausgenommen,  ein  bestimmter  Punkt  der  Ebene. 

166.  Die  Linie.  Eine  Linie  ist  geometrisch  definiert,  wenn 
ein  konstruktives  Verfahren  angegeben  ist,  durch  das  man  beliebig 
viele  ihrer  Punkte  bestimmen  kann. 

Wird  eine  geometrisch  definierte  Linie  auf  ein  Koordinatensystem 
bezogen,  so  hat  die  Gesetzmäßigkeit  ihrer  Entstehung  zur  Folge,  daß 
zwischen  den  Koordinaten  ihrer  Punkte  eine  für  alle  gleichlautende 
Gleichung  besteht;  man  nennt  diese  die  Gleichung  der  Linie,  sie  bildet 
deren  analytische  Beschreibung. 

Umgekehrt  entspricht  einer  Gleichung  zwischen  den  Punkt- 
koordinaten,  wenn  man  sie  auf  ein  bestimmtes  Koordinatensystem  be- 
zieht, im  allgemeinen  eine  Lini^. 

Dieser  Gegenüberstellung  entsprechen  zwei  Grundaufgaben  der 
analytischen  Geometrie:  1.  Für  eine  geometrisch  definierte  Linie  eine 
Gleichung  aufzustellen.  2.  Die  zu  einer  gegebenen  Gleichung  gehörige 
Linie  herzustellen. 

Zu  diesen  Aufgaben  gesellt  sich  als  dritte:  .S.  Die  Eigenschaften 
der  Linie  aus  ihrer  Gleichung  abzuleiten. 

Zu  der  Aufgabe  1  ist  zu  bemerken,  daß  vor  allem  eine  zweck- 
mäßige, den  Angaben  der  Definition  angepaßte  Wahl  des  Koordinaten- 
systems getroffen  werden  muß. 

Bei  der  Aufgabe  2  muß  das  Koordinatensystem  angegeben  sein, 
wenn  es  nicht  schon  aus  der  konventioneilen  Form  der  Gleichung 
ersichtlich  ist. 


244    Geometrie  ubw.  § 2.  Aiialy  tische  Daratelluiig  geometrisch  definierter  Linien 

Bei  der  Aufgabe  3  kommen  die  Metiiodeti  der  analytisdien  Geo- 
metrie zur  Anwendung,  die  im  Laufe  der  Zeit  mit  der  Algebra  and 
Analysiß  immer  weiter  ausgebildet  worden  sind. 

§  2.    Analytisehe  Darstellnn^  geometrisch  definierter  Liuien. 

157.  Kreta.  Der  Kreis  ist  eine  Linie,  deren  Punkte  von  einem 
festen  Punkte  —  Mittelpunkt,  Zentrum  —  gleichen  Abstand  — 
Radius  —  haben. 

Bezieht  man  den  Kreis  auf  ein  Polarsystem,  dessen  Pol  im  .Vlittel- 
punkt,  dessen  Polarachse  in  beliebiger  Richtung  angenommen  ist,  so 
lautet  seine  Gleichung 

r  =  «,  (1) 

wenn  a  der  Radius  ist. 

In  dem  zugeordneten  rechtwinkligen  System  (1Ö4)  heißt  die 
Gleichung 

x^  +  y'^  a\  (2 ) 

168.   Ellipse.     Die  Ellipse    ist   eine  Linie,  deren   Punkte  yon 
2^  zwei  festen  Punkten,  den  Brennpunkten,  Ent- 

fernungen von  konstanter  Summe  haben. 

Wählt    man    die    Brennpunkte    als   Pole 
eines   bipolaren   Systems,  so  ist,  Fig.  50, 

u  +  V  =  2r/  f  1 

die  Gleichung   der  Ellipse,    sofeni  2a  die  konstante  Summe  der  Ab- 
stände bezeichnet. 

Legt  man  ein  rechtwinkliges  Koordinatensystem  zugrunde,  dessen 
Abszissenachse  die  nach  rechts  gerichtete  Gerade  durch  die  Brenn- 
punkte, dessen  Ordinatenachse  das  nach  aufwärt«  gerichtete  Mittellot 
dieser  Punkte  ist,  so  drückt  sich,  wenn  F'F^2Cf  wobei  notwendig 
«  <  a,  Gleichung  (1)  wie  folgt  aus: 

quadriert  man,  um  rational  zu  machen,  so  entsteht 

a:*  -f  y*  4-  c*  +  Vix^^^f  i;rcy~j^(^x' »  2a\ 

und  nach  nochmaligem  Quadrieren 

a'OP^  +  y*  +  c«)-c^a:^-o^-0,  \ 

nach  Xy  y  geordnet:  '  | 

setzt  man  die  positive  Differenz  | 

I 


Km«,  EDipue,  Hrperb«!,  Ptr»b«I. 
a*^(^^  6«, 
60  nimmt  die  Oleichaog  der  Ellipse  schließlich  eine  der  Formen 


l>45 


an. 


4-    •- 

a*  ^  b' 


i?) 


Wegen  des  zweimal  ausgefahrten  Quadrierens  würden  diese 
Gleichungen  auch  dann  zustande  kommen,  wenn  an  die  Stelle  von 
(1)  eine  der  folgenden  Relationen  trate: 

M  —  r  —  2a 

-^  M  4.  r  »  2a 

—  11  —  r  —  2a; 

keine  davon  stellt  ein  reelles  Gebilde  dar,  weil  jede  einen  Widersprach 
involviert:  die  beiden  ersten  den,  daß  die  Differenz  zweier  Dreiecks- 
Seiten  größer  sein  solle  als  die  dritte,  die  letzte  den,  daß  die  Summe 
zweier  negativen  Zahlen  positiv  sein  solle;  folglich  stellen  die  Gleich- 
ungen (2)  nur  das  durch  die  Eigenschaft  (1)  gekennzeichnete  Ge- 
bilde dar. 

159.  Hyberbel.  Die  Hjperbel  ist  eine  Linie,  deren  Punkte 
von  zwei  festen  Punkten,  den  Brennpunkten,  EIntfemungen  von  kon- 
stanter Differenz  haben. 

Mit  Benützung  derselben  Annahmen  und  Bezeichnungen  ergeben 
sich  die  Gleichungen 

±  («  -  r)  -  2a  (1) 

"°^  fcV  -  o'y*  -  a'6' 

a«        6»  "  ^' 

wenn  c^  —  a^  ^  6*  gesetzt  wird,  indem  jetzt  notwendig  r  >  a  ifi 

Auch  hier  umfassen  die  Gleichungen  (2)  al- 
gebraisch mehr  als  (1),  indem  sie  auch  dann  zu- 
stande kämen,  wenn  an  Stelle  von  (l;  eine  der 
Relationen  -4:  (k  -f  t?)  —  2a  genommen  würde;  bei- 
des aber  steht  mit  Tatsachen  im  Widerspruch. 

160.  FarabeL  Die  Parabel  ist  eine  Linie, 
deren  Punkte  von  einem  festen  Punkte,  dem  Brenn- 
punkte, und  einer  nicht  durch  ihn  gehenden  festen 
Geraden,  der  Direktrix,  gleich  weit  entfernt  sind. 

Nimmt  man,  Fig.  51,  die  nach  rechts  gerichtete  Normale  der 
Direktrix  DD'  durch  den  Brennpunkt  F  als  Abwieeenachse  und  den 


Fl«,  u. 


246   Geometrie  U8W.   §  2   Anftlytisebe  Darstellung  geometrisch  definierter  Limen. 

Mittelpunkt  0  der  Strecke  AF  ^  p  als  Ursprung  eines  rechtwinkligen 
Koordinatensystems  an,  so  drückt  sich  die  Eigenschaft 

FM^RM  (1) 

in  den  Koordinaten,  wie  folgt,  aus: 

und  in  rationaler  Form: 

Der  Rückblick  auf  die  Gleichungsformen  (2)  der  behandelten  vier 
Linien  zeigt,  daß   ihre  Gleichungen  in  bezug  auf  die  rechtwinkligen 

Koordinaten  x,  y  algebraisch  und  vom  zweiten 
Grade  sind.  Man  nennt  aus  diesen  Gründen 
Kreis,  Ellipse.  Hyperbel  und  Parabel  alge- 
braische Linien  und  bezeichnet  sie  ab  von 
zweiter  Ordnung. 
"(^■"^a  ^ — *^^  161.  Strophoide.  Die  Strophoide  ist  eine 

Linie,  deren  Punkte  durch  folgende  Konstruk- 
^^  ^'  tion   eraieugt  werden:  Gegeben  sind  ein  fester 

Punkt  Äf  Fig.  52,  und  eine  nicht  durch  ihn  gehende  feste  Gerade  YY'; 
man  zieht  durch  Ä  die  zu  YY'  senkrechte  Gerade  OX,  dann  einen 
beliebigen  Strahl  ^L  und  trägt  auf  diesem  die  Strecken  LM  ^  LN  =^  OL 
ab;  dann  sind  Jf,  A'  Punkte  der  als  Strophoide  benannten  Linie. 

Benützt  man  die  nach  rechts  gerichtete  Gerade  OX  als  Polar- 
achse und  0  als  Pol,  bezeichnet  mit  a  die  absolute  Länge  der  Strecke 
OA  und  beachtet,  daß  in  dem  Dreieck  OAM  die  Winkel  bei  A  und 

M  beziehungsweise      —  2tpy  -^  ■{-  (p  sind,  so  ergibt  sich  die  Beziehung: 

r  J^il-^^) 

die  unmittelbar  zur  Polargleichung 

r  ^a  — -  (1) 

führt. 

Geht  man  von  dieser  auf  das  zugehörige  rechtwinklige  System 
Über  mittels  der  Relationen  1A4,  (1)^  so  entsteht  zunächst 

«•     y» 
r«  ~  r» 

r 


Strophoid«,  Zittoide. 


947 


und  daraus  ,  .        ^  ^  .        ^ 

(x*  +  y»)  X  -  a(x«  -  y«).  (2) 

Durch  Auflöanng  ergibt  sich: 

^-±-Vu:-       (3) 

Man  lieet  hieran  ab:  1.  daß  die  Linie  symme- 
tridch  ist  zur  AbHzissenachse;  2.  daß  sie  reelle 
Punkte  nur  in  dem  nicht  abgeschlossenen 
Interyall  —  a  <x  <  a  besitzt;  3.  daß  p  am 
oberen  Ende  dieses  Inter?aUs  »-  0  ist,  während 
es  bei  rechtsseitiger  Annäherung  von  x  an 
das  untere  Ende  unendlich  wird;  e»  zieht  sich 
also  die  Linie  längs  der  Geraden  SS',  Fig.  53, 
ohne  Ende  hin^  sich  ihr  beliebig  nähernd;  man  nennt  eine  solche  Ge- 
rade eine  Asymptote  der  krummen  Linie 

Aus  (l)  ist  zu  erkennen,    daß  r   sich  der  Grenze  Nfnll    nähert, 

wenn  (p  gegen       und  gegen  —  konTergiert; 

Richtungswinkeln  durch  0  geführten  Ge- 
raden fallen  also  zwei  kurz  Yorher  noch 
getrennte  Punkte  in  einen  zusammen,  diese 
Geraden  sind  somit  Tangenten  an  die  Kurve 
in  0  (56);  die  Erscheinung ,  welche  diese 
hier  darbietet,  wird  als  ein  Knoten  (Kno- 
tenpunkt) bezeichnet. 

162.  Zissoida.  Zu  dieser  Linie  führt 
folgende  Konstruktion.  Aus  einem  Punkte 
0  des  Umfangs  eines  Kreises  werden  nach 
der  Tangente  im  diametral  gegenüberliegen- 
den Punkte  Ä  Strahlen  gezogen  und  auf 
jedem  derselben  die  zwischen  Tangente  und 
Kreis  eingeschlossene  Strecke  PQj  Fig.  54.  nach  OM  übertragen; 
M  ist  ein  Punkt  der  Kurte. 

Auf  das  Polars jstem  OX  bezogen  hat  die  von  M  hei  Drehung 
des  Strahls  beschriebene  Linie  die  Gleichung 


riy.  S3. 


auf   den    unter    diesen 


VIfl.  u. 


yereinfacht: 


r  ^  —  acosw. 

cot  qp  ^  ' 


r  «= 


eof  ^ 


(1) 


wenn  OÄ  »^  a  der  Durchmesser  des  Kreises  ist.    In  dem  zugeordneten 
rechtwinkligen  Sjstem  kommt  ihr  die  Gleichung 

(x'^f)x^aff'  (2) 


zn. 


248   Geometrie  usw.   §  2.  Analytische  Darstellang  geometriscli  definierter  Lini(>n 


Aus  der  Auflösung  toü  (2): 


t-  X 


r  o  — , 


(3) 


ließt  man  folgende  Eigenschaften  ab:  1.  die  Kurve  ist  symmetrisch  zur 
a:- Achse;  2.  reelle  Punkte  sind  in  dem  Intervall  0  <i  x  <  a  vorhanden; 
3.  bei  hm  X  =~  a  —  0  wird  y  unendlich^  so  daß  die  bei  der  Konstrak- 
tion  benützte  Kreistangente  zugleich  Asymptote  ist. 

Aus  (1)  entnimmt  man,  daß  r  gegen  Null  konvergiert,  wenn  tp 
sich  von  der  einen  oder  anderen  Seite  der  Null  nähert;  mithin  be- 
rührt die  ic- Achse  sowohl  den  oberen  als  den  unteren  Zweig  der  Kurve 
in  0;  die  Erscheinung,  die  sich  hier  darbietet,  wird  Spitze  genannt. 
Die  beiden  zuletzt  besprochenen  Linien  sind  nach  dem  Bau  ihrer 
mit  (2)  bezeichneten  Gleichungen  algebraische  Kurven  dritter  Ordnung. 

163»  Gasainische  Linien. 
Als  solche  bezeichnet  man  Li- 
nien, deren  Punkte  von  zwei 
festen  Punkten,  den  Brennpunk- 
ten, Entfernungen  von  konstan 
tem  Produkt  haben. 

Im  bipolaren  System  Fj  F\ 
Fig.  55,  haben  diese  Linien 
die  Gleichung 

Fig.  66.  «*«^  -  «*•  (1) 

Geht  man  auf  das  rechtwinklige  System  über,  so  ergibt  sich  zunächst: 


wenn  F'F^2Cy  und  nach  Herstellung  der  rationalen  Form: 
(«'  -f  y*)'  +  2c«(y»  -  X«)  -  a*  -  c*. 
Die  Auflösung  von  (2),  zunächst  nach  y\  gibt: 

y«  -  ~  («« -h  c»)  ±y'i?^  +  a*; 


C^) 


von  diesen  Losungen  kann  nur  die  mit  dem  oberen  Zeichen  zu  reellen 
y  führen,  aber  auch  sie  liefert  solche  nur  so  lange,  ala: 

so  lange  also 

•omit  bei  x*  -  c'  <  a}  und  c*  —  x*  <  a',  woraus  sich  einerseits  die 
obere  Grenze  für  x  mit  }/?  -f  a\  andererseits  die  untere  mit  >V  —  a* 
bestimmt.  Während  die  obere  Grenze  immer  reell  ausfailt^  iit  es  die 
untere  nur  für  c>a. 


CMtinitehe  Linieo,  Konchoidr  249 

Damas  ergeben  sich  drei  Formen  der  CMtinischen  Kurren: 
l,  e>a;  y  reeU  bei  V?^^a^  <  \x\  <  V?Tä?, 

Die  Form  II,  deren  Gleichung  im  rechtwinkligen  dysiem 

im  Polarsjstem 

r*=»  2a»co829'  U 

lautet,   führt  den  Namen  LemniskcUe]    sie   geht  durch  den  Ursprung 
und  hat  hier^  da  r  bei  lim  ^  "-  ^    und  lim  ff^-r  gegen  Null  konver- 

giert)  zwei  Tangenten,   die  unter  45  und  145^  gegen  die  x-Achfe  ge 

neigt  sind.     In  der  Figur  sind  die  drei         T 

Typen  veranschaulicht.  j» 

164.  Xouchoide.    Mit  diesem  Na-  a'   a C^       A 

men  wird  die  durch  folgende  Konstruktion 
erzeugte  Linie  belegt:  Aus  einem  festen 
Punkte  0,  Fig.  56,  werden  nach  einer 
nicht  durch  ihn  gehenden  festen  Ge- 
raden A'Ä  Strahlen  gezogen  und  auf 
jedem    derselben    vom    Schnittpunkt    ('  '**  ^ 

aus  zwei  gleiche  Strecken  C3/,  CN  von  gegebener  Lange  l  abgetragen; 
die  Punkte  M,  N  gehören  der  Linie  an. 

Die  durch  0  zu  Ä'A  gezogene  nach  rechts  gerichtete  Parallele 
diene  als  Polarachse,  0  als  Pol;  dann  gilt  fDr  die  Punkte  M,  d  i 
über  Ä'A: 


81D  qp  ' 


für  die  Punkte  N,  d.  i.  unter  A' A: 

r  —   .—    —  /, 

sin  <f         ' 

wobei  a  =>=  OB;  beide  Ansätze  sind  aber  in  der  einen  Gleichung 

l     enthalten,  die  auch  in  der  Form 

\  (r-'Y^C  (1) 

I     geschrieben  werden  kann. 

Geht  man  zu  dem  zugeordneten  rechtwinkligen  Sjft«m  Aber,  to 
entsteht  zuerst 


250    (^eoncetrieusw    §2  Analjtiffcbe  Darstellung  geometrisch  definierter  Linien. 


und  daraus  schlieBIich 


ir-'ir^p 


(«•  +  y')(9-  a)'  -  Py>. 


(2) 


Diese  Gleichang  lehrt:  1.  daß  die  Linie  symmetrisch  ist  zur  y- 
Achse,  weil  x  nur  in  gerader  Potenz  vorkommt;  2.  daß  die  Gerade  Ä'A 
eine  Asymptote  ist^  weil  bei  y  =  a  die  Gleichung  nur  bei  unendlichem 
|:r{  bestehen  kann;  3.  daß  der  Ursprung  der  Kurve  angehört. 

Aber  aus 


um  qp 


-/ 


geht  hervor,  daß  r  gegen  Null  konvergiert,  wenn  lim  sin  9  *- |  wird; 

Y 


Fig.  57. 

dazu   gehören    zwei    supplementäre   Werte    von   (p^   sofern  a  <  2;  nur 

der  eine  Wert  9)  =  «»  wenn  a  •-  /;  hingegen  kein  Wert,  wenn  a  >  /; 

im  ersten  I<*aUe  hat  die  Kurve  im  Ursprung  zwei  Tangenten  und  bildet 
hier  einen  Knoteu;  im  zweiten  Falle  berührt  sie  die  y- Achse  zu  beiden 
Seiten  und  bildet  eine  Spitze;  im  dritten  Falle  hat  sie  in  einer  ge- 
wissen Umgebung  des  Ursprungs  keine  weiteren  Punkte,  der  Ursprung 
ist  ein  von  der  Linie  isolierter  Punkt  (^ Einsiedler).  Die  drei  so  unter- 
fchiedenen  Typen 

I.  a  <  i,    IL  a  -  /,    Ul  a>  l. 

sind  in  Fig.  57  zur  Darstellung  gebracht. 

Die  Cassinischen  Linien  und  die  Konchoide  sind  nach  dem  Bau 
ihrer  mit  (2)  bezifferten  Gleichungen  algebraische  Kurven  vierter 
Ordnung. 

166.  Bosette.  Eine  Kurve  werde  derart  erzeugt,  daß  auf  eine 
mit  ihren  Endpunkten  auf  zwei  zueinander  senkrech ten Geraden  ^«t«nde 


itoselte.  A^t«roide. 


251 


Strecke  AB  ="  a  vom  Schnittpunkte  O  dieser  Geraden  eine  Normale 
gefallt  wird;  ihr  Kußpunkt  M  beschreibt  die  Linie  (Fig.  58). 

Auf    das    Polarsystem    OX  bezogen    bat    die 
Linie,   wie  aus   den  rechtwinkligen  Dreiecken   un-       ^ 
mittelbar   /u  entnehmen,   die  Gleichung  b[  .4 


r  «  «  cos  qp  sinqp  ^  ^  sin  '2if; 


(i) 


X 

A 


-►X 


A 

Tig.  sa 


3» 

4    * 


4 


1% 
4 


daraus   ergibt   sich   die  auf  das  zugeordnete  recht- 
winklige System  bezogene  Gleichung 

{x^  +  y^f  »  a»xy.  (2) 

Aus   der  Gleichung  (2)   schließt  man   auf  Symmetrie   besfigUch 

beider  Ach:^n.     Aus  (1)  ist  zu  erkennen:  1.  daß       die  obere  Grenze 

von  r,  die  Kur?e  also  in  einem  Kreise  vom  Radius  ^  eingeschlossen  ist; 

2.  daß  sie  diesen  Kreis  erreicht  an  den  Stellen  (p 

indem   an  diesen  r  ^  a  oder  ^  —  a   wird:  3.  daß  r  bei  lim  ^  =-  0,  *, 

^>  V  ?^g®°   ^xxW.   konvergiert,   die  Kurve,  also 

die   beiden  Achsen    in  0  zu   beiden   Seiten   be- 
rührt.    Fig.  59  zeigt  ihre  Gestalt. 

166.  Asterolde.  So  benennt  man  die  Kurve, 
welche  der  Punkt  F  derselben  Strecke  A  B,  Fig.  58, 
beschreibt;  der  symmetrisch  zu  M  in  bezug  auf 
die  Mitte  von  AB  liegt,  den  man  also  erhält, 
indem  man  aus  der  Ecke  Q  des  Rechtecks  OA  QB 
auf  AB  eine  Senkrechte  fallt. 

Nennt  man  die  auf  dasselbe  Achsensystem  bezogenen  Koordinaten 
von  P|,i7,  so  besteben  zwischen  £,  ij  und  den  Koordinaten  or,  y  von 
M  die  aus  der  Figur  ersichtlichen  Beziehungen: 


Ftf.  6». 


ny 


-^«t 


aus  der  ersten  folgt  mit  Rücksicht  auf  die  beiden  anderm 

J*  -f  1?»  4-  3u'  -  y*)  -  a*, 
und  aus  den  zwei  letzten  allein 

^y  -  ir^ 

trägt  man  dies  in  die  Gleichung  (2)  der  vorigen  Koive  ein,  to  enkiiefat 


[' 


t«  — 


252      Analytische  Geometrie  der  Ebene.    §  H.  Koordinatentransformation. 


als  Gleichung  der  neuen  Kurve;  schreibt  man  dies  in  der  Gestalt 
80  erscheint  {1)  als  das  Ergebnis  der  Kubatur  der  Gleichung 


!•  + 


t         s 


rig.  CO. 


(2) 

die  demnach  auch  als  Darsf^llung  der 
Kurve  gelten  kann. 

Aus  (1)  entnimmt  man,  daß  mit 
J*  -{"  ty*  =  a-  entweder  ^  =  0  oder  i;  ==  0 
notwendig  verbunden  ist,  daß  also  die 
Linie  durch  die  Punkte  {0/a),  {Oj—  a), 
{a/0),(-a,'0)  hindurch  geht.  Ihre  Ge- 
stalt ist  aus  Pig.  60  ersichtlich. 

Die  beiden  zuletzt  vorgeführten  Li* 
nien  sind,  wie  aus  ihren  mit  (2),  bzw. 
(1)  bezeichneten  Gleichungen  zu  erkennen, 
von  der  sechsten  Ordnung. 


§  3.   Koordinatentransformation. 

167.  Allgemeine  BegrlfPsbestinunung.  Schon  die  vorstehen- 
den Beispiele  zeigen  deutlich,  daß  die  Wahl  des  Koordinatensystems 
nicht  gleichgültig  ist  für  die  analytische  Darstellung;  eine  zweckmäßige 
Wahl  kann  wesentliche  Vereinfachung  der  Rechnungen  herbeiführen. 
Darum  tritt  bei  größeren  Untersuchungen  häufig  die  Notwendigkeit 
ein,  das  Koordinatensystem  zu  ändern,  um  eine  sich  einstellende  Frage 
in  möglichst  einfacher  Weiäe  zu  lösen.  Mau  kann  geradezu  die 
passende  Anordnung  des  Koordinatensystems  zu  den  Methoden  der 
analytischen  Geometrie  zählen. 

Bei  dem  Obergang  zu  einem  anderen  Koordinatensystem  handelt 
es  sich  nun  darum,  die  maßgebenden  Gleichungen,  die  sich  auf  das 
ursprüngliche  System  beziehen,  für  das  neue  zu  transformieren.  Die 
Elemeutaruufgabe,  auf  die  das  hinausläuft,  besteht  darin,  die  Relationen 
zwischen  den  ursprünglichen  und  den  neuen  Koordinaten  eines  Punktet 
aufzustellen. 

Nachstehend  soll  eine  Auswahl  häufig  gebrauchter  Transfor- 
mationen behandelt  werden. 

168.  Translation  eines  Parallelkoordinateasystems.  Hier- 
unter versteht  man  den  Lbergung  von  emcm  Paralleikoordinaten 
System  zu  einem  andern  mit  parallelen  und  gleichgerichteten  Achsen. 
Die  gegenseitige  Anordnung  ist  bestimmt,  wenn  die  Koordinaten  x^,  y^ 
des  neuen  Ursprungs  0',  Fig.  <^1,  in  bezug  auf  das  alte  System  XOY 
gegeben  sind. 


Tnntlfttion  aud  Hotation  eines  KoordinAtepeytteBM 


'2n^ 


Vig.  .1. 


Es  seien  x,  y  und  ^  ,^  air  »uf  die  beiden  Systeme  bezflglicben 
Koordiuaten  eine»  Punktes  Mx  dann  eotnimmt  man  der  Figur  un- 
mittelbar, daß 

OF^OAt  O  t 

i'Jtf-  AO'  4-  P  M, 

daß  also 

ar  -  x«  -f  x' 

y-yo  +  .¥';  ^"^ 

daraus  ergibt  sich  die  inverse  Transformation: 
a;'«x  -Xq 

Während  (1)  den  Übergang  vom  alten  System  zum  neuen,  ver- 
mittelt (2)  das  umgekehrte. 

Soll  beispielsweise  die  Gleichung  der  Ellipse  (1S8) 

6-x»  4-  o»y«  «  a«6^ 

auf  den   linken  Scheitel   als  Ursprung  traiisluiiiiieit   werden,    so-  hat 
man  x  =  —  a  -f  x',  y  -=  y'  zu  setzen;  die  Gleichung  lautet  dann: 

169.  Rotation  eines  Cartesiaohen 
Systems  um  den  Ursprung.  Es  ist  dies 
der  Übergang  von  einem  rechtwinkligen  System 
zu  einem  gleich  orientierten  anderen  mit  dem- 
selben Ursprung.  Die  Anordnung  beider  Sy- 
steme ist  durch  den  Rotationswinkel  a  bestimmt, 
worunter  der  Winkel  verstanden  werden  soll, 
durch  den  die  positive  x-Achse  in  positiver  Drehung  in  die  positive 
a:'  Achse  übergeführt  wird  (Fig.  62). 

Man  liest  an  der  Figur  unmittelbar  ab: 

OF^  OF'-  {fF' 
FM^F  F'^  QM, 

d.  h.  iu  den  Größen  x,  y;  x\  y'  und  a  ausgedrückt: 

X  ^  i'  cos «  —  y' sin  « 


Flg.  «i 


y  —  r'  sin  a  -f-  y  cos  u 


(1) 


Die  inverse  Transformation  ergibt  sich  durch  Auflösung  dieaar 
Gleichungen  nach  x'y  y\  aber  auch  durch  die  Bemerkung,  daß  die 
Drehung  des  neuen  Systems   um  —  a  wieder  lum   alten  fahrt;  man 


254       Analytische  Geometrie  der  Ebene.    §  »   KoordinEteDtranstomiation 

braucht  also  nur  x.  y  mit  x.  y'  zu   vertaaschen  und  das  Vorzeichen 
von  a  zu  ändern  und  erhält  so: 

x'  =»  jr  cos  u  -\-  yima 

f/' =- —  jc  Hin  «  4  y  cos « . 

Als   Beispiel   diene   eine    Hyperbel,    bei    der   h  ^  a   ist  —  man 
nennt  sie  eine  gleichseitige  Hyperbel  — ,  deren  Gleichung  also 

x^  —  y^  --  a* 
lautet  (159 j;  das  System,  das  dieser  Gleichung  zugrunde  liegt,  werde 
um  —  —  (also  um  45^  nach  abwärts)  gedreht;  die  Transformation  wird 
dann  durch  die  Substitution 

x' 4-y'  "X'4-y' 

y2    '         ^  y2 

vermittelt  und  verwandelt  die  Gleichung  in 

170.   Allgemeine  Transformation    rechtwinkliger   Koor- 
dinaten.    So    wollen   wir   den   Übergang   von   einem    rechtwinkligen 
System   zu   einem   beliebigen  andern  gleichartig 
orientierten  verstehen.     Die   gegenseitige  Anord- 
nung ist  durch  die  Koordinaten  Xq,  y^  des  neuen 
^jp»      Ursprungs  bezüglich  des  alten  Systems  und  durch 
den  Rotationswinkel   im   vorhin  erklärten  Sinn»* 
->jr   gegeben  (Fig.  63), 

Der  t'bergang  zu  dem  Hilfssystem  X" 0'  1  " 
ist  eine  Translation,  daher 


Fig.  63.  J:  =  JTy  -f  X 

y  "=  yo  +  y"^ 

der  Übergang  von  diesem  zu  X' 0' Y'  ist  eine  liotation,  daher 
a:"=-a;'coBa  —  ^/'siua 
y "  —  x'  sin  «  -I-  y '  cos  a ; 

durch   Superposition   ei-geben    sich   die   endgültigen  Transformations- 

gleichungen:  .  ,  . 

x -■  jpn  4- ir  cos  tf  —  y  sin  a 

y  —  yo  +  a."  sin  «  -f  y  cos  « . 

Die  Gleichungen  für  die  inverso  Transformation  erhält  man  aus 
(2)  der  vorigen  Nummer,  indem  man  x,  y  durch  x  —  r^,  y  —  y^  ereetit; 
sie  heißen  also: 

x'  -  (x  -  «o)  cos  «  +  (y  -  yo)  sin  « 

y'  —  —  (x  —  x^j  sin  t<  +  (y  —  yo)  cos  a . 


Weitere  Trantformationen. 


265 


171.   B«ohtwinklige  und  Polarkoordiiuit«]!.     Bei  der  Eio- 

t'ührimg  des  Pularsvstems  154  ist  bereits»  auf  ein  bestimmtet,  mit 
ihm  znsammenhängeudes  rechtwinkliges  System  hin-  Ya 
gewiesen  worden;  der  Übergang  von  dem  einen 
zu  dem  andern  kam  im  Laufe  der  Beispiele  auch 
wirderholt  zur  Anwendung.  Jetzt  soll  der  all- 
gemeine Fall  erledigt  werden^  darin  bestehend,  daß 
man  von  einem  rechtwinkligen  System  zu  einem 
polaren  fibergeht,  dessen  Pol  0',  Fig.  ß4,  im  alten 
System  die  Koordinaten  j*q,  y^  hat,  und  dessen 
PoIaracLse  gegen  die  gerichtete  .?  -Achse  des  rechtwinkligen  unter  dem 
Winkel  a  geneigt  ist. 

Diese  Transformation  kann  autgelöst  werden  in  die  vorangehende 
und  in  den  darauffolgenden  Übergang  zu  Polarkoordinaten  im  Sinne 
von  154;  demnach  lauten  die  Substitutionsgleichungen: 

j'  =  j'q  -f-  /•  i  cos  «  cos  (f  —  sin  «  sin  (f  i  ~  Jq  ~  /  cos  m  -t  ipj 

y  =  ^Q  +  r  (sin  a  cos  (jr  -f  cos  «  sin  9:)  -=  y^  f  >  sin  (a  -f-  <f)] 


Fig   t4. 


und  für  die  inverse  Transformation: 


r  -=  V(a  -  J-o)«  -h  (y  -  y^)* ,     cos  {a  -f  ^) 


3in(u 


r 


(2) 


die  beiden  letzten  Gleichungen  bestimmen  einen  Winkel  im  Intervall 
(0,2  ä)  eindeutig,  aus  dem  sieb  dann  durch  Subtraktion  von  o  die 
Amplitude  tp  ergibt. 

Als  Beispiel  zu  diesem  Falle  diene  die  Transfonnation  der  Ellipsen- 
gloichung  nach  dem  rechten  Brennpunkt  als  Pol  und  der  gerichteten 
Abszissenachse  als  Polarachse.  Die  zugehörigen  Transformatione 
gleichungen 

X  =»  c  -f  r  cos  y ,      y  =°  rsijup 

verwandeln  die  Gleichung 

in 

r*(b^  cos*  if  4-  a*8in*9)  -|-  26*cr  cos  y  —  M, 

deren  positive  Wurzel 


r  «« 


sich  weiter  vereinfacht  zu 


bei  9>  =-  y  erhalt  r  den  Wert 


a  -f-  rcoiqp' 

—  —  p,  den   man  als  Parameier  der 


256  Analytische  (leometrie  der  Ebene.    |  4.  Die  Qexmde. 


Ellipse  bezeichnet;   führt  man   weiter  das  Verhältnis  —   als  rdaÜve 

oder  numerische  Exzf-ntrUität  mit  dem  Zeichen  e  ein,  so  schreibt  sich 
schließlich  die  Brennpunktsgkichung  der  Ellipse: 

§  4.    Die  Gerade. 

172.  Die  Oleiobiing  ersten  Grades.     Jede  Gleichung  erden 

Grades  in  x,  y  stellt  eine  Gerade  dar. 

Die  allgemeine  Form  einer  solchen  Gleichung  lautet: 

Ax^-By^C^O.  {V) 

Die  Aussage  wird  bewiesen  sein,  wenn  gezeigt  ist,  daß  die  Gleichung 
bei  allen  zulässigen  Annahmen  über  ihre  Koeffizienten  eine  Gerade 
bestimmt. 

1.  il-hO,  /?-(),  C'=fO;  die  Gleichung 

Ax^-C^O  (2) 

führt  zu  -P  ^  ~  -f  und  kennzeichnet  alle  Punkte  mit  einer  und  der 

selben    bestimmten    Abszisse:    ihr   Ort   ist   eine    Gerade  paraüd   der 
Ordinatenachsc. 

2.  il«0,  B'JfO,  C4»0;  die  Gleichung 

-By  +  C'  =  0  (3) 

ergibt  y  »  ^  ^   und  kennzeichnet  alle  Punkte  mit  einer  und  derselben 

bestimmten  Ordinate;  der  Ort  solcher  Punkte  ist  eine  Gerade  parallel 
der  ÄbsJiissenachse. 

3.  A  ^  Oy  B  ^  Of  ('  --  0  führt  zu  Ax  =*  0,  und  dies  kann  nur  mit 

bestehen;  hierdurch  sind  aber  die  Punkte  der  OrdimUenackae  selbst 
charaktersiert. 

4   A  -»  0,  Ä-f  0,  r '  -  0  hat  By  =•  0  und  dies  wiederum 

y-0  (ö) 

zur  Folge;  hiermit  sind  die  Punkte  der  Ahsgissenadisr  gekennzeichnet 
5.  .4  «f  0,  J?  -H  0,  C  «  0  liefert  die  Gleichung 

Äx  +  By  --«  0,  (6) 

aus  der   ^    -  ~  ^.  folgt;  alle  Punkte  aber,  deren  Koordinaten  in  einem 

konstanten    und    bestimmten   Verhältnisse   zueinander   stehen,    liegen 
auf  einer  bestimmten  Geraden  durch  den  Vntpnmg, 


\ 


Segmentgleichnng.    Eiditongtwmkel  der  Gerftden.  257 

6.  ^  4-  0,  B-|.  0,  e  4"  0  endlich  führt  auf 

y--i^-i  (7) 

und  läßt  die  zu  einer  Abszisse  gehörige  OrdinAte  als  Summe  »uf 

Ä  C 

—  ßX  und  —  ß  erscheinen;  das  erste  ist  nach  5.  die  Ordinate  einer 

bestimmten  Qeraden  durch  den  Anfangspunkt^  das  zweite  eine  konstante 
Größe;  es  sind  also  die  Ordinaten  jener  Geraden  um  eine  konstante 

Strecke  verlängert  oder  verkürzt,  je  nachdem  —  -^  positiv  oder  negativ 

ist;  der  Ort  der  so  erhaltenen  Punkte  ist  eine  Gerade  von  (MÜgemeiner 
Lage,  die  parallel  ist  der  durch  den  Anfangspunkt  gehenden  Geraden  (6). 
Hiermit  ist  der  Beweis  erbracht,  und  er  gilt  für  jedes  Parallel- 
ko  ordinatensy  stein . 

173.  Segmentgleiohnng.  Die  zu  y  "-  0  gehörige  Abszisse  a 
und  die  zu  a;  =»  0  gehörige  Ordinate  h  sind  die  Abschnitte  oder 
Segmente,  welche  die  Gerade 

^x  -f  jBy  4-  C  =-  0  (1) 

auf  den  Koordinatenachsen  bildet;  sie  ergeben  sich  aus  den  Ansitzen 

und  zwar  ist 

C  C 

ersetzt   man   also   Ä,  B  in   (1)    durch ,  — -v-   und  unterdröckt 

hierauf  den    Faktor    C  «|-  0,   so   entsteht   die   Segmentgleichung   der 
Geraden: 

Ihre  Herstellung  aus  der  Gleichungsform  (1)  erfolgt  also  mittels 
der  Division  durch  ~  C 

174.  Sichtungswinkel  der  Oera4eii.  So- 
lange eine  Gerade  nicht  gerichtet  ist,  d.  h.  so- 
lange nicht  ein  bestimmter  Sinn  in  ihr  als  posi- 
tiv festgesetzt  ist,  kann  ihre  Richtung  durch 
den  hohlen  Winkel  a,  Fig.  65,  bestimmt  werden, 
den  sie  mit  der  gerichteten  ar-Achse  bildet.  Bei 
dieser  Auffassung  haben  parallele  Gerade  gleiche  ^^,  «&. 
Richtungswinkel. 

Ist  g  durch  Ax  ^By-^-C^Oy  so  ist  die  Parallele  g'  durch  den 
Ursprung  dargestellt  durch  Ax-^-  Bg^O  und 

y       if  P  sm«  _  -^ .  (\\ 

x  ""  ÖP  ^  fiii(Ö-V)  -  "»  -      -JF '  ^  ' 

Osnber,  HMier«  KMh«m«Ük.  t.  A«fl.  17 


258  Analytifche  Geometrie  der  Ebeoe.    §  4.  Out  Gerade. 

mit  Rücksicht  auf  172^  (7)  und  173,  (2)  schreibt  sich  dana  die 
Gleichung:  y  ^  n..  +  b;  (2) 

die  Bedeutung  von  m  geht  aus  (1)  hervor^  und  h  ist  das  Segment  auf 
der  Ordinatenachse. 

Ist  das  Koordinatensystem  rechtwinklig,  also  ö  =  -~ ,  so  ist  ins- 
besondere w  «=  tg  a .  rs) 

Man  nennt  w,  weil  es  in  dem  einen  wie  in  dem  andern  Falle 
lediglich  mit  der  Richtung  der  Geraden  zusammenhangt,  ihren  Bichtunys- 
Icoefpzienlen. 

Anders,  wenn  es  sich  um  eine  gerichtete  Gerade  handelt     Zieht 

man  eine  dazu  parallele  und  gleichgerichtete  Gerade  durch 

2*        den  Ursprung,  so  sollen  die  im  positiven  (oder  negativen) 

h  Drehungssinne  gezahlten  hohlen  Winkel,^  welche  diese  letztere 

\  Gerade   mit  der   gerichteten  x-  und  y-Achse   bildet,  als   die 

\£         Richtuugswinkel  a',/5'  der  ursprünglichen  Geraden  betrachtet 

V-^^•  werden,  Fig.  66.    Unter  der  Voraussetzung  eines 

^      \  Y    rechtwinkligen,  positiv  orientierten  Koordinaten- 

^^  Systems  ist  dann  immer  (eventuell  mit  Außer- 

pig.  60.  achtlassung  von  2  ;r) 

r=«'-^,  (4) 

denn,  fällt  /.  B.  y  in  den  ersten  Quadranten,  so  wird  /?'  als  der 
negativ  gezählte  Komplementswinkel  von  a  zu  nehmen  sein;  ähnlich 
Überzeugt  man  sich  von  der  Richtigkeit  des  Ansatzes  (4)  bei  jeder 
andern  Anordnung. 

Man  nennt  coso^',  cos/3'  die  Hichiungskosimis  der  Geraden  und  hat 
also  iin  rechtwinkligen  System 

cos/3'=  sin«'.  (5) 

Was  nun  den  poüitiven  Sinn  in  einer  nicht  durch  den  Ursprung 
gehenden  Geradon  anlangt,  so  sei  hierüber  folgende  Vereinbarung  ge- 
troffen: Als  positiv  möge  in  einer  solchen  Geraden  derjenige  Siim 
gelten y  bei  dessen  Verfolgung  der  Ursprung  zur  linken  Seite  der 
Geraden  liegt.  Die  Festsetzung  steht  im  Einklang  mit  dem  positiven 
Drehungssinn  der  Ebene. 

Zu  jeder  Geraden  g  gehört  eine  Normale  n  durch  den  Ursprung; 
um  auch  diese  zu  einer  gerichteten  zu  machen,  werde  als  positiver 
Sion  derjenige  bef>tinimt«  der  rtm  Ursprung  £ur  Geraden  führt;  di*^ 
»o  gerichtete  Normale  werde  als  positivf  Normale  bezeichnet.  Diese 
Festsetzung  ermöglicht  es,  die  beiden  Seilen  der  Geraden  voneinander 
zu  unterscheiden;  als  positiv  gelte  diejenige  Seite,  nach  welcher  die 
positive  Normile  verläuft,  die  andere  als  negativ;  letztere  enthält  den 
Ursprung  (Fig.  67). 


Positive  Normale  und  HettMohe  Normalgleichuiig.  S59 

Sind  nunwieyorhina^/S' die  Richtungswinkel  der  gerichteten  Oeraden, 
«,  ß  die  der  gerichteten  Normalen,  so  bestehen  immer  (eventuell  mit  Außer 
achtlassung  von  2x)  die  Relationen : 

a^^^\,    r»/J+j-  (6) 

175.  HesseBohe  Korm&lgleiohung.  ^) 

Man    kann    zur   Beschreibung  einer   Geraden 

die   absolute  Länge  p  der   vom  Ursprung  zu         t:ft ^^^^^tr 

ihr  gefülirten  Normalen   und   die  Richtüngs-      A  ^^ 

Winkel  a ,  /3  ihrer  positiven  Richtung  verwenden ;  **••  •^• 

unter  der  Voraussetzung  eines  rechtwinkligen  Systems  besteht  /.wischen 
diesen  die  Beziehung  174,  (4). 

Sind  üf  h  die  Segmente,  welche  die  Gerade  g,  Fig.  67,  auf  den 
Achsen  bildet,  so  schreibt  sich  ihre  Gleichung: 

'-  +  .»1=0. 
a         0 

Nun  ist  aber  unter  allen  Umstanden 

a  cos  a  ==  6  sin  a  ^  p ; 

erweitert  man  also  den  ersten  Bruch  in  der  vorstehenden  Gleichung 
mit  cosa,  den  zweiten  mit  sin«  und  macht  von  dem  letzten  Ansätze 
Gebrauch,  so  entsteht  die  Gleichung: 

arcosa  +  ysina  —  p  =  0,  (1) 

die  man  als  die  Norinalgleichung  von  Hesse  bezeichnet. 
Um  die  allgemeine  Gleichung 

Ax^-By-^C^O  (2) 

auf  diese  Form  zu  bringen,  wird  man  sie  mit  einem  Multiplikator  l 
multiplizieren,  der  so  gewählt  werden  muß,  daß 

sei,  damit  ).Ay  XB  tatsächlich  den  cos  und  sin  eines  Winkels  dar- 
stellen: die  Unbestimmtheit  des  Vorzeichens  von 

die  durch  den  Zeichenfaktor  i  (-\-  l  oder  —  1)  angezeigt  ist,  behebt 
sich  durch  die  weitere  Forderung,  daß  XG  mit  —  p  übereinstimmen, 
daher  negativ  sein  muß;  sonach  hat  X  das  entgegengesetzte  Zeichen 
von  C  zu  erhalten,  was  durch  den  Ansatz 

f  -  -  sgn  C  (4) 

ausgedrückt  werden  soll. 

1)  Nach  0.  Hesse  benaont,  der  Kur  Ausbildung  der  BoderneB  Methoden 
der  analytischen  Greoinetrie  wesentlich  beigetragen  hat 

17' 


260  Analytische  Geometrie  der  Ebene.    §  4.  Die  Gerade. 

Um  also  die  aUgcmeim  Gleichung  (2)  au/'  die  Eesaesd^e  Normal- 

form  umzuwandeln,  hat  man  sU  durch  —  sgn  CyA*-}-  B^  zu  dividieren. 

Hiernach  sind  die  Richtungskosinus  der  positiven  Normalen  von  (2): 


cos  «  =  sin  /3  -= —7-  .         . ,      cos  /!i  «=  sin  a  = — —. , 

und  wegen  der  Beziehungen  (<))  der  vorigen  Nummer  die  Ricbtungs- 
kosinus  der  gerichteten  Geraden  selbst: 

cos  a  = ,     cos  p 


Nach  der  vorstehenden  Regel  ergeben  sich  beispielsweise  för  die 

Geraden 

3a;  -  4y  -  ö  =  0,        «  +  2y  +  3  =  0 

die  Hesseschen  Normalgleichungeo 

aus  denen  man  ersieht,  daß  das  Lot  der  ersten,  von  der  absoluten 
Länge   1,   vom  Ursprung   aus    in    den    vierten,   das   Lot  der  zweiten,    , 

von  der  absoluten  Länge  ~,  in  den  dritten  Quadranten  verläuft.  1 

176.    Parametrisohe   Darstellung  der  Geraden.     Ist  M^ 

(xj^j^  ein  fester  Punkt  der  gerichteten  Geraden  g^  cc  ihr  Richtungs- 
winkel, s  der  Abstand  des  variablen  Punktes  M{x/y)  von  Mq,  so 
ist  unter  Voraussetzung  eines  rechtwinkligen  Koordinatensystems: 

ä:  —  iCo  -=  s  cos  a,       y  —  ^o  ""  *  ^^^  *^5 

daraus  ergeben  sich  die  parametrischen  Gleichungen  der  Geraden  g: 


a?  =»  afo  +  s  cos  « 


y  =  .Vo  +  ^si'^«) 

s  gilt  darin  als  positiv  oder  negativ,  je  nachdem  die  Strecke  M^M 
die  positive  oder  negative  Richtung  der  Geraden  hat. 

177.  Cheradenbüsohel,  beetimmt  durch  einen  Punkt.     Die 

allgemeine  Gloirhung  .der  Geraden 

Ax  4-  By  4  C      ü  (1) 

enthält  drei  Koeffizienten,   die   sich  auf  Mwei  Konstanten  redozieren 
lassen,   indem   man  durch  einen  von  ihnen  die  Gleichung  dividiert. 


PMnuuetritKsbf.  Dantolliuig.    OeradeabOtofael  ^l 

In  der  Tut  treten  in  den  speziellen  Gleiohungsformeij 

jf^mx  +  b 
X  cos a  +  ysina  —  p-^O 

nur  zwei  Konstanten  oder  Parameter  auf:  die  Gesamtheit  der  Geraden 
in  der  Ebene  ist  von  der  Mäcldigkeit  oo*. 

Daraus  folgt,  daß  eine  Gerade  im  allgemeinen  durch  iwei  Be- 
dingungen bestimmt  ist. 

Ist  der  Geraden  nur  eine  Bedingung  auferlegt,  so  bleibt  einer 
der  Parameter  unbestimmt^  aus  der  Gesamtheit  der  Geraden  ist  eine 
niedere  Gesamtheit  von  der  Mächtigkeit  cx;^  herausgehoben. 

Einen  wichtigen  Fall  dieser  Art  bilden  die  Geraden  durch  einen 
gegebenen  Funkt,  deren  Gesamtheit  man  einen  Geradenbüsckel  nennt. 
Heißt  der  gegebene  Punkt  M^{xjy^j  so  fahrt  die  Forderung,  daß  er 
der  Geraden  angehöre,  zu  der  Bedingung 

M  +  jByj  +  O-O  (2) 

zwischen  den  Koeffizienten,  mit  deren  Hilfe  sich  einer  derselben,  am 
einfachsten  C.  aus  (1)  eliminieren  läßt;  man  erhalt  so 

A{x-x,)  +  B{y-y,)-(i,  (3) 

oder,  indem  man  —  ^  =  w  setzt, 

y-y,^m(x-  z,)  (4) 

als  Gleichung  des  Geradenbüschels  mit  dem  Träger  M^ 

Im  rechtwinkligen  System  kann  derselbe  Geradenbüschel  auch 
durch  die  Gleichungen  (176)        • 

a:  ==  «1  4-  «cos«  .  . 

y  — Vi  +  S8ina 

dargestellt  werden,  wenn  man  darin  nicht  allein  $,  sondern  auch  a  als 
veränderlichen  Parameter  auffaßt;  bei  festgehaltenem  a  und  variablem  f 
bestimmen  die  Gleichungen  (5)  eine  spezielle  Gerade  des  Büschels, 
diejenige,  die  gegen  die  gerichtete  x- Achse  den  Richtungswinkel  a  hat 
178.  Gerade  durch  iwei  Punkte.  Durch  zwei  Punkte 
M^ix^jy^),  Mf{xjyf)  ist  eine  Gerade  bestimmt.  Denn  jede  Gerade, 
die  durch  den  ersten  Punkt  geht,  ist  in  der  Gleichung 

enthalten;  soll  sie  auch  durch  den  zweiten  Punkt  gehen,  so  mümen 
die  Koeffizienten  A^  B  der  Bedingung 


Fig.  68. 


262  AnaljÜtche  Geometrie  der  Ebene.    §  4.  Die  G^erade. 

entsprechen;  aus  beiden  Gleichungen  ergibt  sich  durch  Elimination 
von  Äj  B:  x^x.        «  — « 

-»•        ___    Jgi  «I        MM  \        J 

oder  in  anderer  Anordnung:  • »      -^       y«      yi 

X  .v-y,-^'I^Vaf-x.)  (2) 

/  ^^       als  Gleichung  der  durch  M^  und  3fj  bestimmten 

mZ'.'.'Z".Z^^^igj^^         Geraden. 

^n^'  179.    TeilongsverhältniB  in  der  öe- 

./   ; ^^ u ►T  ra4en.      Ein   Punkt   M  in  einer   Geraden  g. 

Fig.  68,  bestimmt  in  bezug  auf  eine  in  der 
Geraden  gegebene  Strecke  if^Jtf,  ein  Teilungsver- 

häUnis\  es  soll  darunter  das  Verhältnis 

MM,       ^  ^^^ 

yerstandeii  werden.  Umgekehrt  ist  die  Lage  eines  Punktes  in  der 
Geraden  durch  die  Angabe  seines  Teilungsverhältnisscs  bestimmt, 
A  also  eine  Koordinate  des  Punktes. 

Der  Definition  (1)  zufolge  ist  l  positiv  für  einen  Punkt  der 
Strecke  M^M^,  negativ  für  einen  Punkt  außerhalb  derselben  und 
unabhängig  davon,  welche  Richtung  in  der  Geraden  als  positiv  an- 
genommen wird.  Während  der  Punkt  die  genannte  Strecke  durch- 
läuft, variiert  X  von  0  bis  oo,  und  indem  M  den  Punkt  M^  über- 
schreitet, ändert  X  sein  Vorzeichen  und  variiert  bei  der  weiteren  Be- 
wegung von  M  von  —  oc  bis  —  1 ,  und  nimmt  schließlich  die  Werte 
von  —  1  bis  0  an,  indem  M  von  der  anderen  Seite  her  immer  näher 
an  den  Ausgangspunkt  J/,  heranrückt.  Sowie  jedem  andern  Werte 
von  X  ein  und  nur  ein  bestimmter  t^uukt  entspricht,  ordnet  man  auch 
dem  Werte  — ^  1  einen  einzigen  Punkt  zu  und  nennt  ihn  den  unendlich 
fernen  Punhi  der  Geraden.  Dem  Mittelpunkt  von  M^M^  entspricht 
A-1. 

Bezeiclmet  man  mit  xjyj^,  ^tlVtj  ^ly  <ii^  Koordinaten  von  3f,, 
j3f,,  i(f,  und  beachtet  man,  daß  auch 


also 

ist,  so  ergibt  sich; 


Da   durch   diese   Gleichungen,   indem   man  l  von  —  c»  bis  (X> 
variieren  laßt,  nach   and  nach  alle  Punkte  der  Geraden  g  zur  Dar- 


T«üiing8verhiUtiiu  einer  Sireokt  f^ 

steiiung  kommen,  bo  kaum  man  sie  als  parametrim^  Gleichungen  der 
«loreh  <iie  Punkte  3^,  M^  bestimmten  Geraden  aufTassen. 

Zwei  Punkte  JT,  jtf"  mit  den  TeilnngSTeriiaUniisen  X\  X"  be- 
stimmen drts  Dopp^uerhälinis 

Iv'jf,   -V'if,  ""i'»  W 

das  ponÜT  oder  nefcativ  ausfaüt,  je  nadidem  die  Ponkte  in  bezng 
auf  M^,  If,  fiileickartig  oder  ungleichartig  liegen,  d.  h.  beide  innen 
oder  au&en,  oder  einer  innen,  einer  außen. 

Ist  insbesondere  X'  ^  —  X'\  so  nimmt  das  Doppel  Verhältnis  den 
\Vert  —  1  an,  und  man  sagt  dann,  daß  die  Punkte  M\  M"  die  Strecke 
My^M^  harmoniaek  teiltsn;  da  aus  (3)  auch 

MM,  .  if'J^  ^  r 

j9x  I  M       Mf  M  X 

folgt,  SO  teilen  bei  A"  =  —  X'  auch  die  Punkte  Mi,  ü,  die  Strecke 
M' M"  harmonisch,  und  man  sagt  daher,  die  Pnnktepaare  Jf,,  3£, 
und  M\  M"  trennen  einander  harmonisch,  nennt  auch  M^,  3f„  Jf' ,  3f " 
vier  harmonische  Funkte. 

Bezeichnet  man  die  reiatiren  Strecken  M^M^,  M^M',  M^M"  der 
Reihe  nach  mit  s,  s',  s",  so  lautet  der  Ansatz  (3)  für  harmonische 
Punkte  so: 

daraus  ergibt  sich  durch  Umformung  die  für  harmonische  Punkte 
charakteristische  Streckenrelation: 

(4) 


,1, 

ie  auch 

in 

der  Gestalt 

lt+. 

■")- 

1 

8 

Fi«.  «9 

getchrieben  werden  kann.  Den  linksstehenden  Ausdruck  bezeichnet 
man  als  das  harmonische  Mittel  von  s',  s". 

Um  zu  M'  den  rierten  harmonischen  Punkt  in  bezug  auf  If, ,  M^ 
Fig.  69,  zu  finden,  schneide  man  zwei  beliebige  Parallelen  durch  3f„  Mj 
mittels  einer  durch  M'  laufenden  Transversale  ^T^JV,,  abertrage  MfN^ 
nach  MfNi  und  bringe  MiN'i  mit  der  Geraden  zum  Schnitt;  dieser 
Schnittpunkt  ist  der  gesuchte  M",  da  sein  Teilungs Verhältnis,  vom 
Zeichen  abgesehen,  dasselbe  ist  wicf  das  von  M\ 

Dem  Mittelpimkt  von  M^M^  entspricht  der  unendlich  ferne  Pnnkt 
der  Geraden  als  vierter  harmonischer. 


204  Analytische  Geometrie  der  Ebene.     §  4.  Die  Oerade. 

Auf  Ghrund  von  (2)  sind 

^         1-1-1    >      ^       TTT" 

-r"  «  ^  ~^^  «"  -  ^»  ~  ^y« 

^  1-i   '     y T'^TT" 

die  Koordinaten  zweier  Punkte  M\  M'\  die  M^M^  harmonisch  teilen 
in  den  Verhältnissen  X  und  —  il(|Z|  4=  1>  beziehungsweise. 

Als  Beispiel  der  Anwendung  des  Teilungsyerhältnisses  diene  die 
Bestimmung  der  Koordinaten  des  Schwerpunktes  S  eines  Dreiecks 
M^M^M^  aus  den  Koordinaten  seiner  Eckpunkte. 

Der  Mittelpunkt  M'"  der  Seite  3f,  3/j  hat  das  Teilungsverhältnis  1, 
daher  sind 

,,/_  X, -f  o;,        ,,.  _  y, -f-y« 

^  --2    '    ^  — r~ 

seine  Koordinaten;  der  Schwerpunkt  6'  teilt  M'" M^  in  dem  Verhältnis 
- ,  daher  sind 

"'_L   ^  "'4.    ^ 

seine  Koordinaten. 

180.  Abstand  eines  Punktes  von  einer  Geraden.     Die  in 

der  festgesetzten  Art  (174 j  gerichtete  Gerade  g,  Fig.  70,  sei  im  recht- 
Y^  winkligen  System  durch  ihre  Hesse  sehe  Nor- 

malgleichung 

Mf  x  cos  a  •\-  y  sin  «  -  /)  =  0  1 1 ) 

und  der  Punkt  M^^  durch  seine  Koordinaten/ 
^-^X  ^0^  yo  gegeben. 

^^  Projiziert    man    den   Linienzug    OMoMq 

^^  ^^  rechtwinklig  auf  die  positive  Normale  n  von 

Qf   80  ist  die  relative  Länge  der  Projektion 

OQ  =^  Xq  cos  a  -\  y^  sin  a, 

und  setzt  mun  fest,  als  Abstand  ö  des  Punktes  M^  von  g  solle  die 
relative  Strecke  ¥Q  gelten,  so  ist 

ö  ^  OQ-  OP^x^  cos«  -h  yo  siu«  -  P  (2) 

und  fällt  positiv  oder  negativ  aus,  je  nachdem  M^  auf  der  positiven 
oder  negativen  Seite  der  Geraden  liegt. 

Ler  relative  Abstand  eines  Punktes  von  einer  Geraden  wird  also 
erhalten^  indem  man  seine  Kttordmaien  in  die  linke  Seite  der  Hesse- 


HanDonitche  Teilong.  Abttand  einet  Funkte«  von  «iner  Gereden.       26fr 

sdim  Nißmudgiekkung  der  GrraHen  .^taif  da-  verändetlidien  KoördmaUm 
einscist 

Ist  hiemach  die  Gerade  durch  die  (ileicbung 

Äx^By^C-'O  (3) 

gegeben,  so  ist  nach  den  AusfOh rangen  in  175: 

-»gnCVJ«+B«  ^  ' 

Nach  dieser  Vorschrift  findet  man  den  Abstand  des  Punktes 
.¥o(3/5)  Yon  der  Geraden  5x  -  12y  -|-  3  -  0: 

^     -  VJ6-f  144  ""  1»' 

der  durch  sein  Vorzeichen  anzeigt,  daß  der  Punkt  auf  der  positiven 
Seite  der  Geraden  liegt.  Der  Abstand  des  Ursprungs  von  derselben 
(ieraden  ist  3  5 

0  ^  ^y^J^'lÜ  "'  ""  1« 

und  fällt  notwendig  negativ  aus,  weil  der  Ursprung  gemäß  der  ge- 
troffenen Vereinbarung  bezüglich  jeder  nicht  durch  ihn  gehenden  Ge- 
raden auf  der  neorativen  Seite  liegt 

181.  Dreiecksflächa.  Erteilt  man  den  Eckpunkten  eines  Dreiecks 
eine  bestimmt«  zyklische  Ordnung,  so  gibt  man  damit  seinem  Um- 
fang eine  bestimmte  Umlaufsrichtung  und  macht  so  die  Dreiecksfläche 
zu  einer  relativen  Große.  Sie  soll  positiv  sein,  wenn  der  Umlaufs- 
sinn mit  dem  positrven  Drehungssinn  der  Ebene  1!  ^ 
übereinstimmt  ilS3),  im  anderen  Falle  negativ. 

Betrachtet  man  zunächst  ein  Dreieck  OM^M^^  9^ 
Fig.  71,  dessen  eine  Ecke  im  Ursprung  liegt,  so 
wird  seine  Fläche  positiv  ausfallen,  wenn  der  Sinn 

der  Strecke  M^M^  mit  dem  positiven  Sinn  der        V^^^ivT        ^^^^tl 
durch  die  Punkte  M^ ,  Jf,  bestimmten  Geraden 
übereinstimmt,  im  andern  Falle  negativ.  ^  ^** 

Die  absolute  Größe  der  Strecke  M^Mf  ergibt  sich  als  Hypote- 
nuse eines  Dreiecks,  dessen  Katheten  die  absoluten  Koordinatendiffe- 
renzen ihrer  Endpunkte  sind;  ihre  relative  Länge  ist  hieniach 

Da  die  Gleichung  der  durch  Mi  und  If,  laufenden  Geraden  nach 
178,  (2)  in  der  Form 

geschrieben  werden  kann,  so  ist  auf  Grund  der  Schlußbemerkung  in 
180  die  absolute  Länge  des  vom  Ursprung  zu  ihr  gefällten  Per- 
pendikels 


266  ^nalyüiche  Geometrie  der  Ebene.    §  4.  Die  Gerade. 

Daruns  berechnet   sich   die   rehitiye  Oröße   des  Dreieeksinhaltes 
<7-iifi3f,./»,  di. 

Sind  nun  r^Jip^y  Ul^i  ^^^  Polarkoordinilen  Ton  M^,  Mg 
auf  OX,  so  folgt  aus 


bezug 


daß 


co8<]Pi-^,     8in9, -^' 
cos  ^2 «-      ,     «in  ^,  —  ^-*- 


sm(^,-,p,)-^.=:-"'''S 

und  weil  die  Punkte  an  die  Gerade  gebunden  sind,  so  ist    fpi—g>t  \^*y 
folglich 

»gn  (^2  -  ^i)  -  sgn  sin  ((jp,  -  (p^)  -  sgn  {Xi  y,  -  x,  y^\ 

und  da  nach  den  getroffenen  Vereinbarungen 

sgn  (^2  -  9^1)  =  sgn  ^1 3f„ 
so  ist  f'  =  £,  folgHßh 

1  /  X       1  l^iVi' 


^» :  (^lys-^jyi)-  *''"*' 


!  ^%yt  I 


(3) 


Diese  Formel  gibt  also  den  relativen  Inhalt  des  Dreiecks  OM^M^ 
entsprechend  den  über  den  ümlaufssinn  getroff'enen  Festsetzungen. 

Um  den  relatiren  Inhalt  eines  Dreiecks  M^M^M^  in  allgemeiner 
Lage  zu  bestimmen,  braneht  man  sich  nur  zu  denken,  das  Koordinaten- 
system sei  durch  Translfit^on  nach  dem  Anfangspunkt  3f,  yerschoben 
worden  (168);  dann  sind  x^  —  x^ly^  —  y^,  ^t  —  ^nlVt  —  y^  ^^^  Koordi- 
naten der  Punkte  3fj,  üf,  ixn  neuen  System,  auf  das  die  Formel  (3) 
zur  Anwendung  gebracht  wessen  kann;  demnach  ist  nun 

^ -  2  {(^1  - ^t)(3t- Vi)  -  C^s - ^3)(yi - y»)) 

1-^3  y>~y8  1  -  2  ^t^i  1  •    W 
i-«3  ys-Vs  1         ^«ys  1 

Die  geometrische  Tatsache,  daß  bei  Byldischer  Vertauschung  der 
Buchstaben  Jfp  M^j  M^  der  Umlaufssinn  des  Dreiecks  sich  nicht 
ändert^  hat  ihr  arithmetisches  Äquivalen  darin,  daß  die  letztangeschriebeue 
Determinante  bei  zyklischer  Vertanschung  der  Zeilen  ihr  Zeichen  nicht 
ändert;  wohl  aber  ändert  sie  es  bei  Vertauschung  zweier  Zeilen,  es 
kehrt  sich  aber  auch  der  Umlaufsainn  des  Dreiecks  um,  wenn  man 
zwei  der  Buchsbiben  miteinander  vertauscht 


^1  -  ^8  yi  -  y« 
^1-^8  yf-ys 


Dreieckafläche.    Sebnittpirakt  iweier  Gemden. 


267 


Das  Verach winden  der  Determinante  in  (4)  zeigt  an.  dafi  di« 
drei  Punkte  M^y  M^,  Jf,  in  einer  Geraden  liegen;  denn  nor  dann 
wird  eiT-O. 

Haben  M^,  M^  Jf|  beispiele weise  die  Koordinaten  —  1/4^  3/2, 
1  /  —  6,  so  ist 


jr  = 


-1 
3 

1 


4  1 
2  1 
6  1 


-t(4-40)--18; 


-1  4  1 
4-2  0 
2-10  0 

der  Umfang  ron  M^  M^  M^  hat  sonach  den  negatiren  UmlanÜMinn  and 
die  absolute  Große  betragt  18  Flächeneinheiten. 

182.  Schnittpunkt  sweier  Geraden.     Jedes  Wertepaar  x,  y, 
das  die  Gleichungen  zweier  Geraden: 

Jar  +  i^y-fC-O  (1) 

Äx^ITy-^C^i)  (2) 

zugleich  erfüllt,  gehört  einem  beiden  Geraden  gemeinsamen  Punkte  an. 
Die  Gleichungen  geben  aber  eine  Bestimmung  f^  x,  y  nur  dann, 
wenn  (HB) 

A   B  I 

(3) 


(4) 


Man  nennt  den  hierdurch  bestimmten  Punkt  den  SchmUpunki  der 
beiden  Geraden  (1)  und  (2). 

Ist  hingegen  AB  —  A B  =  Oj  d.  h. 

l'-I-  (&) 

während  einer  der  Zähler  in  (4)  oder  beide  nicht  Null  sind,  so  kann 
den  Gleichungen  (1),  (2)  durch  kein  endliches  Wertepaar  Xy  y  genügt 
werden.  Man  behält  die  vorige  Ausdrucksweise  bei,  sagt,  die  beiden 
Geraden  haben  einen  unendlich  fernen  Schuittptnikt  und  bezeichnet  sie 
als  jHirallei  Demnach  ist  (5)  die  Bedinyumj  für  den  ParaUdiemM 
von  (1)  und  (2). 

Wenn  schließlich  neben 

AB-AB-'O 
auch 

JB(7-FC«0 

ist,  so  ist  auch  CA'—  C'A^O'y  denn  ans  den  beiden  letxten  Glei- 


1 

ist,  und  zwar  besteht  dann: 

BC 

CA 

^_    ^(^ 

^AB'-A'B*     y^ 

CA' 
AB 

CÄ-^CA 

^~    AB 

■"  AB'-'-A'B 

AB' 

AB 

268 


Analytische  Geometrie  der  Ebene.    §  4.  Die  Gerade. 


chungen  folgt  ABHC'^  A'BITC,  woraus  tateächlich  AC -  ^'C-0 
hervorgeht.     Die  Folge  davon  ist.  daß 


Ä 
A 


B 


(6) 


daß  also  die  Gleichung  (2)  sich  von  (1)  nur  durch  den  konstanten 
Faktor  h  unterscheidet,  indem  statt  ihr 

k:Ax^By-\-C)'-0 

geschrieben  werden  kann.  Der  Fall  läßt  dann  die  Auffassung  zu^  daß 
beide  Gleichuugen  eine  und  dieselbe  Gerade  darstellen ^  oder  zwei 
vereinigt  liegende  Gerade,  so  daß  jeder  Punkt  der  einen  zugleich  ein 
Punkt  der  andern  ist. 

183.  Draiseitfläche.    Die  Bestimmung  der  relativen  Fläche  eines 
von  drei  Geraden  g^,  ^j,  g^\ 

A,x  +  B,y-]-C\  =  0 

A,x+B,y  +  t\^0  (1) 

A^xi  B.y-hC^'-O 

begrenzten  Dreiecks  ist  mit  Hilfe  der  vorigen  Aufgabe  auf  den  Fall  181 
zuröckführbar.  Bezeichnet  man  die  Schnittpunkte  der  Geradenpaare 
ffiSfzi  9i9\j  9\9%  folgeweise  mit  Jfj,  M^y  M^,  ihre  Koordinaten  mit 
^ilpv  ^x/y»'  ^ilVii  ^^  ergibt  sich  für  diese  mit  Hilfe  der  Unter- 
determinanten von 

D»   Ä^B^Gt  (2) 

z\ifolge  118,  (4)  die  folgende  Darstellung: 


X," 


Xa 


ar.— 


Vi 

y« 

Vi 


».-;., 


y> 


Mithin  ist  der  relative,  tob  der  Ordnung  der  Geraden  und  hier- 
mit von  dem  Umlauftsinn  3f,  Jlf,  Jlf,  abhängige  Fläche  des  Dreiecks: 


«1  ßl  1 

r.  y» 

J~i 

u  ri 

^  A  1 
>•  r» 

«yiVt/« 


«sAyt : 


(^) 


DreiMitfläche     Winkel  tweier  Geraden.  209 

Das  Verschwinden  der  Deteiminante  I)  zeü^  an,  daß  die  drei 
Geraden  (1)  durch  eiuen  Punkt  gehen;  denn  nur  in  diesem  Falle  ist 
die  von  ihnen  umschlossene  Fläche  NuU. 

184.  Winkel  iweier  Oeraden.  Von  dem  Winkel  zweier 
Geraden  kann  in  bestimmter  WeiKc  nur  dann  gesprochen  werden, 
wenn  sie  gerichtet  sind  und  ihre  Reihenfolge  festgesetzt  ist.  Sind 
(/,.  g^  zwoi  gerichtete  Gerade,  g\j  gi  die  gleich  gerichteten  Parallel- 
strahlen durch  0,  o^y  a,  ihre  Richtungswinkel,  so  soll  der  Winkel  a 
T»)n  g^  und  </,  deliniert  werden  durch: 

ö  =  «j.  — «j.  {\) 

Sind  die  Geraden  nicht  gerichtet,  und  ist  ihre  Ordnung  nicht  fest 
gesetzt,  so  bestimmen  sie  zwei  absolute  Winkelgrößen,  die  sich  zu 
180^  ergänzen,  und  eine  davon  ist  durch  den  Winkel  der  positiven 
Normalen  gegeben;  es  ist  diejenige,  in  deren  Winkelftäche  der  Ur- 
sprung nicht  enthalten  ist.  Nennt  man  die  Richtungswinkel  der  Nor- 
malen «i,  «j,  80  ist,  vom  Vorzeichen  abgesehen, 

ö  -»  «i  ~  a{  (2) 

einer  der  Winkel  der  Geraden. 

Hat  man  die  Hessescheii  Norniftlgleichungen  der  Geraden,  so 
enthalten  .sie  unmittelbar  die  Daten  zur  Berechnung  von 

cos  ta'  =  cos  ai  cos  «{  -f-  sin  «j  sin  oi,  (3) 

sin  G}  =  sinai  cos  a[  —  cos  ai  sin  al.  (4) 

Sind  die  Geraden  in  der  allgemeinen  Form 

Ä^xi-B^y^  0,-^0  (5) 

A,x  4-  B,y  -f  C,  =.  0  (Ü) 

gegeben,  so  setze  man  sie  nach  der  in  176  entwickelten  H^el  in  die 
Hessesche  Normalform  um  und  erhält  dann  nach  Vorschrift  von  (3) 
und  (4 ) 

COSCfJ    =»    ^     '    '       *     '  (^\ 

,gnr,C,V{A\  +  ßl)(A\i-Bf)'  ^'f 

Die  beiden  Geraden  (5),  (6)  stehen  aufeinander  senkrecht  j  wenn 
cos  w'  =«  0,  wenn  also 

A,A,+  B,B,~0,  (9) 

und  sie  sind  zueinander  parallel,  wenn  sino'  — Ü,  d.  h.  wenn 


270  Analytische  Geometrie  der  Ebene.    %  4.  Die  Gerade. 

Für  die  Geraden 

3a;  -  4y  -  8  -  0 

5:r  4-  12y  -f  4  -  0 
ergibt  sich  beispielsweise 

16  —  48        83  ,       86  +  20  66 

COSO,  -__g    ^3-^5,     sin«  ---^3---, 

wodurch    der  Winkel   («i,  »,)   als   negativer  spitzer  Winkel  gekenn- 
zeichnet ist;  der  absoluten  Größe  nach  bestimmen  die  Geraden  die 
Winkel  59029'23"  und  120030' 37". 
Die  Geraden 

2a;-3y~ö=-0 

-  4.T -f  6y  +  7  -=  0 

sind  parallel,  weil  ihre  Gleichungen  die  Bedingung  (10}  erfüllen,  und 
die  Geraden 

3a:-f4y-2  =  0 

8ic  -  6t/  +  3  =  0 

stehen  aufeinander  senkrecht,  weil  sie  der  Bedingung  (9)  genügen. 

186.  Oeradenbüschel,  bestimmt  durch  zwei  Gerade.  Zwei 
Gerade  g^,  g.^,  die  durch  die  Gleichungen 

g,^Ä,x-\^B,y-{-C,=-0  (1) 

g,  =  A^x  +  B,y  -r  C^ -=  0  (2) 

gegeben  sein  mögen,  bestimmen  den  Geradenbüschel,  der  ihren  Schnitt- 
punkt zum  Trüger  hat.  Alle  Geraden  dieses  Büschels  sind  in  der 
Gleichung 

g,  -  kg,  =  Ä,x  +  B,y  +  C,  -  X{Ä,x  +  B^y  +  0,)  =  0        (3) 

enthalten,  in  der  l  einen  willkürlichen  Parameter  bedeutet;  denn  diese 
Gleichung  stellt  bei  angenommenem  l  eine  Gerade  g^  dar,  weil  sie  in 
Xy  y  vom  ersten  Grade  ist,  und  da  sie  femer  durch  jenes  Wertepaar 
X,  y  befriedigt  wird,  das  den  Gleichungen  (1)  und  (2)  zugleich  ge- 
nügt, so  geht  gj^  durch  den  Schnittpunkt  von  g^  und  g^. 

Bei  der  hier  eingeführten  Schreibweise  dienen  die  Buchstaben 
(/,,  g^  zur  Bezeichnung  der  Gleichungspolynome  -^jX -|- -B,y -j- Cj, 
A^x -\-  B^y  -{■  C',,  so  daß  mau  die  drei  Geraden  g^y  (gr,,  g^  kurz  dar- 
stellen kann  durch  die  symbolischen  Gleichungen^): 

^i  "  0,    g^  -  0,    ^1  -  A^,  -  0. 

1)  Die  abgekürzte  Schreibweise  der  Gleichungen  ist  su  einer  wichtigen 
Methode  der  analytischen  Geometrie  geworden;  wiewohl  in  ihren  Anfängen  auf 
fransdtiiche  Qeometer  zoriickgehend ,  bat  sie  ihre  Ausbildung  doch  erst  durch 
J.  Flacker  erhalten. 


Q«radAbfi«cbel,  bettimmt  dtirch  twei  0«rtde.  27  t 

Maltipliziert  man  die  erste  GletcbuDg  mit  —  1,  die  /.weite  mit 
Xy  80  geben  alle  drei  zur  Summe  eine  ideDiische  Gleicbuog.  Diese 
Bemerkung  kann  dahin  verallgemeinert  werden,  daß  drei  Gerade  ^,^ 
9if  9s*  zu  deren  Gleiehungen  sich  MnUiplikaioren  fi^,  u^,  /i,  bestimmen 
lassen   derart,  daB 

ist,  durch  einen  Punkt  gehen;  denn  aus  dieser  Relation  folgt 

somit  ist  ^,  -»  0  gleichbedeutend  mit  '**  ^j  +  '^  ^j  »=  0  oder  g^  —  ig^m,  0, 

wenn  '^  -i  —  jl  gesetat  wird;  das  heißt  aber,  daß  g^  dem  Büschel  der 

1*1 
Geraden  g^y  g^  angehört. 

Aus  dem  BQschel  (3)  wird  eine  einzelne  Gerade  durch  Speziali- 
sierung des  Parameters  X  herausgehoben;  so  ergibt  f>ich  mit  A  —  0 
die  Gerade  g^  =  0,  mit  X  ==  oc  die  Gerade  f/j  -*  0,   wie  man  erkennt^ 

wenn  man  (3)  vorher  auf  die  Form       ^i  —  <7s  "=  ^  gebracht  hat.    Ist 

der  Büschelgeraden  eine  Bedingung  auferlegt,  so  bestimmt  sich  durch 
diese  das  X.     Zwei  Falle  mögen  besonders  angefühlt  werden. 

Um  jene  Gerade  des  Büschels  (3)  zu  finden,  die  der  Geraden 

Ä'x  +  B'y  +  C  »  0  (4> 

parallel  ist,  bringe  mnn  (3)  in  die  Form 

{Ä,  -  XA^)x  4-  {B,  -  XB,)y  +  tc\  -  XC\)  =  0 
und  wende  die  Bedingung  184,  (10;  an;  sie  lautet 
A\B,  -  Aß,)  -  B\A^  -  XAt)  -  0 
und  ergibt  £l^i  ~  B"^. 

so  daß  *  ^ 

die  Gleichung  der  g^uchten  Geraden  ist. 

Soll  diejenige  Gerade  des  BQschels  bestimmt  werden,  die  snr 
Geraden  (4)  senkrecht  ist,  so  hat  man  in  Anwendung  der  Bedingung 
184.  (9):  ^,^^^  __  ^^^-  _^  ^,^j^  _  ^^^  _  ^^^ 

mithin  ist  -^'-^  +  ^' J^s ' 

{Ä'A,^-BB,)(A,x-{-B,yi-C,)-{Ä'A,'\'B'B,XA^xi'B,y+C,)^0(6y 
die  Gleichung  der  verlangten  Geraden. 


272  Analjrtische  Geometrie  der  Ebene.    §  4.  Die  Gerade. 

186.   Teilungsverh&ltnla  im  OeradenbüscheL     Die  beiden 
Geraden  ^, ,  //j,  Fig.  72,  welche  das  Strahlenbüschel  liestinunen^  seien 
Tj^  %l^  in    der    174    festgesetzten    Art    gerichtet    und 

^       durch  ihre  Hesse  sehen  Normalgleichungen 

Pi^x  cos  «1  +  y  sin  «1  —  p,  -  0  (1) 

y^  -  X  cos«,  -f  y  sinoä  — JJ,  —  0  (2) 

gegeben.    Sie  zerlegen  die  Ebene  in  Tier  Felder, 
die  sich  in  zwei  Paare  gegenüberliegender  sondern; 
geht  keine  der  Geraden  durch  den  [Jrspning,  so 
«»  "»•  lassen  sich  die  Paare  derart  voneinander  unter- 

scheiden, daß  man  das  den  Ursprung  enthaltende  als  innere  Winkel- 
fläche f  das  andere  als  äußere  Winkelfläche  der  beiden  Geraden  bezeichnet. 

Es  sei  nun  ,  a  /o\ 

dl  =  9i  '-  ^9t  =  0  (3) 

eine  bestimmte  Gerade  des  Büschels  und  M{xjy)  ein  Punkt  derselben; 
dann  haben  die  Ausdrücke  9iy9%j  mit  diesen  Koordinaten  gebildet,  die 
Bedeutung  der  Abstände  dj,  ö^  des  Punktes  M  von  den  beiden  Grund- 
geraden; für  diese  Abstände  besteht  somit  die  Gleichung: 

dj  ~  Id^  =  0, 
aus  der  sich 

ergibt. 

Bei  der  vorausgesetzten  Darstellung  der  Geraden  bedeutet  also 
der  Parameter  k  das  Abstandsverhältnis  eines  beliebigen  Punktes  der 
f/^  von  den  beiden  Grundgeraden,  zugleich  das  Sinus  Verhältnis  der 
Winkel,  in  welche  (^,,  y^)  durch  y^  geteilt  wird.  Man  bezeichnet 
dieses  letztere  Verhältnis  als  das  TeilunysoerhaUnis  der  Geraden  y^  in 
bezug  auf  y^j  g^]  es  ist  positiv  in  der  inneren  Winkelfläche,  n^^tiv 
in  der  äußeren,  weil  im  ersten  Falle  dj,  d^  entweder  beide  positiv 
oder  beide  negativ  sind,  während  sie  im  zweiten  Falle  ungleiche 
Zeichen  haben;  unabhängig  ist  das  Teilungsverhältnis  von  der  Reihen- 
folge der  Grundgeraden. 

Für  die  Halbierungslinie  der  inneren  Winkelfläche  ist  A  =-  1,  für 
jene  der  äußeren  Winkelfläche  ««  —  1 ;  hiemach  sind 

9.-<h'0  (5)     I 

die  Gleichungen  dieser  Halbierungslinien. 

Sind  g\  y"  zwei  Gerade  des  Büschels,  so  nennt  man  den  Quo- 
tienten ihrer  Teilungs Verhältnisse  ihr  Doj^verhälttiis   in   bezug  auf 

^* '  ^*  *  sin  (^,  g) ,  %}n{g,  g'J  ^V  ,gv 


TWhMHMMIlMia 


tn 


rj 

Wi 


;  ftr  4m  DopfdtmUküm  komttt 


fVcst  vme  im  4ie  He»t«*^  III 


ft-J,x  +  il»  +  C,-0,  (8) 

9,-J^  +  li^jr4-C;-0  (») 

m,mmkmHmk(7y. 


^'pM^±M tt         -r>, 


•^c.VM+m    '^tßC^VA-^-^,n»c,yjt+'i 


^     ^CVjH  +  M 


(10) 


274  Analytifcbe  Geometrie  der  Ehene.    %  ^-  ^'^^  Gerade. 

2.  Die  Halbierungslinien  des  Innenwinkels  bei  A^  und  der  Außen- 
winke] an  den  beiden  andern  Ecken  sind  durch  die  Gleichungen 

93-^91-0 
r/i  +  ^»  =  0 

dargestellt)  deren  Summe,  nachdem  man  die  dritte  mit  —  1  multi- 
pliziert hat,  0  -  0  ergibt.  Es  schneiden  sich  also  die  Halbierungs- 
linie eines  Inneuwinkols  und  die  Halbierungslinien  der  beiden  nicht  an- 
liegenden Außenwinkel  in  einem  Punkte  (Mittelpunkte  der  ange- 
schriebenen Kreise). 

3.  Nennt  man  die  Kosinus  der  inneren  Winkel  bei  A^y  A^^  A^ 

der  Reihe  nach  Cj,  Cg,  r^,,  so  sind    ',      ,  ■     die   Teilungsverhältnisse, 

nach  welchen  die  Winkel  des  Dreiseits  durch  die  Hohen  geteilt  werden; 
folglich  sind  die  Höhen  durch  die  Gleichungen 

^s9i  -  c-Ah  =  ö 

Ci9i  -  Cs9i  »0 

^i9i  -  Ci9i  =  0 

bestimmt;  multipliziert  man  diese  mit  c,,  c^,  c^  und  bildet  hierauf  die 
Summe,  so  entsteht  0  =-  0,  womit  erwiesen  ist,  daß  sich  die  Höhen 
in  eifieni  Punkt  schneiden. 

4.  Bezeichnet   man   die   den  Eckpunkten   A^^  A^.  A  gegenüber- 
liegenuen  Seiten  mit  a, ,  e^j,  a^,  so   gehören  zu  den  Mittellinien  des 

Dreiecks  in  bezug  auf  die  Winkel  die  Teilungsverhältnisse  -^,  -',  — ; 

diese  Bemerkung  führt  zu  dem  Nachweis,  daß  sich  die  drei  Mittel- 
linien in  einem  Punkte  schneiden. 

5.  In  bezug  auf  die  Geraden 

6x  -  Hy  +  •^>  =-  0 

iix  -h  4y  -  0  =-  0 
bat  die  ihrem  Büschel  angehörende  Gerade 

i\x  -  8^  -f  3  -f  aa:  +  4y  —  5  -  0, 
d.  i.  9a:  —  4y  —  2  «=  0  das  Teilungsverhältnis 

, yi!+*'   1 

aus  dessen  Vorzeichen  zu  erkennen  ist,  daß  sie  in  der  inneren  Winkel- 
iiäche  liegt. 


Krtiigleiohungen.  275 


§  5.    I>er  Kreis 

188.  Olelohnng  des  Xreiaes  in  rechtwinkUgen  Koordl- 
nateii.  Drückt  man  die  geometrische  Tatsache,  dafi  ein  beliebiger 
Ponkt  M{xly)  des  Kreises  vom  Mittelpunkt  Sl(alh)  die  Entfemang 
r  hat,  analytisch  aus,  so  ergibt  sich  die  Gleichung  des  Kreiaee,  die 
in  rationaler  Form  lautet: 

{X  -  a/  +  (y  -  6)«  ~  r«.  (1) 

An  der  entwickelten  Form 

x'  +  y*  -  2ajr  -  26y  +  a*  +  &«  -  r»  -  0  (2) 

bemerkt  man,  wenn  man  sie  mit  der  allgemeinen  Gleichung  zweiten 

Grades:         ^^,  ^2Bxy  ^  Cy^ 'V2Dx  ^2Ey  ■\- F^O  (3) 

vergleicht,  das  Fehlen  des  Gliedes  mit  xy  und  die  Gleichheit  der 
Koeffizienten  von  x^^  y*,  so  daß  man  die  Kreisgleichung  unter  die  all- 
gememeForm     ^^^  ^  ^  +  2Dx +  2Ey  +  F  ^0  (4) 

stellen  kann.     Mit  (2)  verglichen  föhrt  dies  zu 

—  =.^2a,     j  -  -  26,      j  =  a»  +  6*  -  r», 
woraus  sich 

a  =  -^,    6="-^,    r=»'-:t^ (6) 

ergibt. 

Setzt  man  die  Koeffizienten  in  (4)  als  reell  und  ^4-0  voraus, 
so  sind  die  Koordinaten  von  Sl  reell  und  endlich;  hingegen  fällt  r  nur 
dann  reell  aus^  wenn 

!)*  + i5:*-^F^0; 

tritt  das  Gleichheitszeichen  in  Kraft,  so  wird  r  =  0;  beiD'+  I?-'AF<0 
gibt  es  also  keinen  reellen  Punkt,  der  der  Gleichung  (4)  genOgt. 

um  eine  einheitliche  Ausdrucksweise  zu  haben ^  sagt  man  unter 
allen  Umstanden,  die  Gleichung  (4)  steUe  einen  Kreis  dar,  der  reell, 
ein  Nullkreis  oder  imaginär  sein  kann 

189.  Oleichnng  des  Kreioes  in  schiefs^nkligen  Koordi- 
naten. Bezeichnet  0  den  Koordinaten  winket,  so  erhält  die  geometrische 
Grundeigenschi^ft  des  Kreises  den  analytischen  Ausdruck 

(«-«)«-|.(y~6)«  +  2(x-a)(y-6)c<>s<?-r».  (1) 

Die  entwickelte  Form 
x^  4-  2xy  cos ö  4-  f  -  2(a  +  6  cos^)x  -  2(6  -f  a  co%e)y 

4-  a«  4-  6*  +  2a6  cos^  -  r»  -  0     (2) 


276  Aualytische  Geometrie  der  El>ene.    |  6.  Der  Kreis. 

fällt  unter  den  Typns: 

Ä(x'  4-  y')  -}-  2Bxy  -h  2Dx  -f-  2Ey  -f  F-  0,     'ä\>\B', 
tmd  zwar  ist 


B 
A 
D 
A 
E 


cos^ 

—  (a  -f  &  cos  d) 


^  «.  —  (6  4-  a  cos  ^) 


F 
Ä 


a*  f  fe*  4-  2a6  cos  ö  —  r 


aus  diesen  Gleichungen  ergeben  sich  eosB^  a^  h,  r  als  Funktionen  der 
Eoe^zienten. 

Der  bezeichnende  Unterschied  gegenüber  der  Gleichung  in  recht- 
winkligen Koordinaten  ist  das  Auftreten  eines  Gliedes  mit  ly. 

190.  Polargleiohnng  des  Kreises.  Be 
zeichnet  man  die  Koordinaten  des  Mittelpunktes 
a  mit  c,  y,  den  Radius  mit  a,  Fig.  74,  so  schreibt 
sich  die  Gleichung  des  Kreises: 


r'  -f  c*  —  2cr  cos  (y  ~  y)  —  a*. 


(1) 


Fig.  74. 


Geht  insbesondere   der   Kreis  durch  den  Pol, 
10  ist  e "-  a,  und   die  Gleichung  vereinfacht  sich  dann  auf 

r*  —  2ar  003(9  —  y)  ^  0, 

und  dies  hat  außer  der  von  (p  unabhängigen  Wurzel  r  ««  0  noch  die 

weitere  o  /  \  /o\ 

r  =  2a  cos  {tp  —  y).  (2) 

Liegt  der  Mittelpunkt  des  Kreises  im 
Pol,  so  ist  c  «  0,  und  die  Kreisgleichung  er- 
langt die  einfachst  mögliche  Form  r  '^  a 
(157). 

Von  der  Gleichungsform  (2)  kann,  um 
ein  Beispiel  zu  geben,  bei  Losung  der 
folgenden  AufgabeGebrauchgemacht  werden: 
Durch  den  einen  Schnittpunkt  0  sweier 
Kreise  k,  k\  Fig.  75,  eine  Gerade  zu  fahren,  auf  der  die  beiden 
Kreise  gleiche  Sehnen  abschneiden.  Wählt  man  nämlich  0  als  Pol 
und  einen  beliebigen  von  0  auslaufenden  Strahl  als  Polarachse,  so 
haben  die  Kreise  Gleichungen  der  Gestalt 

r  —  2a  cos  {<p  —  y\ 

r  ■»  2a'  cos  (<p  —  y'). 


PoUrglei« huug     Kr.;-  ^ojpch  dMi  Pimkte.  277 

Ist  q:  die  unbekannt«^  Ampniude  der  einen  Sehne^  so  ist  ^  4-  x  die 
Amplitude    der   andern;   man   hat   alBo   zur  Bettimmung  Ton   ip  die 

Gleichung:  /  .  ,       ^ 

a  cos  [ff      y)  -f  '/  008  (y  -  y  j  ^  0, 

die  sich  umiormen  läßt  in 

(a  foß  y  -f  ö'  cos y')  cos  ^  +  (d  sin  y  +  a'  sin  y)  sin  97  «i  0, 
Horaus  ,     , 

®^  asiny -h  a' nn/' 

Es  sind  aber  a  cof»y/a  sin  y,  a' cosy/a' siny'  die  rechtwinkligen  Ko- 
ordinaten der  Mittelpunkte  Ä,  Ä',  folglich  a  cosy -f- «' cosy/«  »iöy 
-f-a'siny'  die  Koordinaten  der  vierten  Ecke  P  des  aus  Oä,  Oä' 
konstruierten  Parallelognimms;  die  gesuchte  Gerade  sieht  also  senk- 
recht zu  OF. 

191.  Kreis  durch  drei  Punkte.  Die  Gleichung  des  Kreises 
in  recht  winkligen  Koordinaten  enthält  vier  Koeffizienten,  daher,  da 
sich  einer  davon  durch  Division  beseitigen  läßt,  drei  Konstanten. 
Folglich  bestimmen  im  allgemeinen  drei  Bedingungen  einen  Kreis. 
Der  niichstliegende  Fall  ist  der,  ihn  durch  drei  gegebene  Punkte  zu 
führen 

Sind  Mi(Xiiyi){i  ^  l,  2,  3)  diese  Punkte,  so  sind  die  Koefftzienten 
m  der  Gleichung 

A{z^  -h  y*)  +  32>:c  -h  2  J^jr  4-  F -  0  (1) 

so  zu  bestimmen;  daß  die  Gleichungen 

Ä{4  -f  3^j  +  ^Dx,  +  2J5?y,  +  F-  0  (2) 

Ä(ai  +  yj)  +  2Dic,  +  2Ey,  +  F«  0 

bestehen  können.  Durch  diese  Gleichungen  sind  die  Verhaltnisse  von 
Af  J),  Ej  F  bestimmt,  und  dies  reicht  aus,  um  die  Gleichung  (1)  her- 
zustellen. Schließlich  kommt  es  also  auf  die  Elimination  der  Koeffi- 
zienten zwischen  den  vier  Gleichungen  (1),  (2)  an,  und  ihr  Resultat 
<121)  ist  die  Kreisgleichung: 


-  0.  (3) 


Um  sie  in  die  Form  (1)  za  bringen,  hat  man  die  Determinante 
nach  den   Elementen  der  ersten  Zeile  zu  entwickeln;   nur  wenn  d^r 


x»-fy>    X 

y 

1 

irf  +  yf    X, 

Vi 

i 

;rf  +  yl    X, 

y% 

1 

!rf  +  y?   ^ 

y» 

1 

278 


Analjtttche  Geometrie  der  Ebene.    §  6.  Der  Kreii. 


Koeffizient   von  x^  +  y*  nicht  Null   ist,   stellt   die  Gleichung  einen 
eigentlichen  Kreis  dar,  also  nur  dann,  wenn 

^1     Vi     1 


Vi 


+  0, 


d.  h.  wenn  die  drei  Punkte  M^  nicht  in  einer  Geraden  liegen  (181). 
Im  andem  Falle  wird  die  entwickelte  Gleichung  vom  ersten  Grade, 
stellt  also  eine  Gerade  dar.  Außer  den  Punkten  dieser  Geraden  ge- 
nügen ihr  unendlich  ferne  Punkte  der  Ebene,  deren  Ort  man  als  un- 
endlich ferne  Gerade  der  Ebene  erklärt. 

Beispielsweise  hat  der  durch  die  Punkte  (—2/3),  (1/4),  (0/0) 
gebende  Kreis  die  Gleichung 


13 

17 

0 


l\{x^-\-y^--x^^ly^O, 


seine  Parameter  sind  also  a  = 

192.   Der  Kreis  nnd  die  Gerade. 

rade  g  seien  durch  die  Gleichungen 

Ä:  =  (x-a)«  +  (y-&)^ 
(j  =  y  —  mx  —  w  =  0 


1       x_17 
22'  22'    ■  2 


Ein  Kreis  h  und  eine  Ge- 


•»  =  0 


(1) 
(2) 


gegeben. 

Nach  dem  Satze  von  B6zout(132)  haben  eine  Gleichung  zweiten 
und  eine  ersten  Grades  zwei  gemeinsame  Lösungen,  die  gemeinsamen 
Punkten  beider  Linien  entsprechen.  Kreis  und  Gerade  haben  also, 
allgemein  gesprochen,  zwei  Punkte  miteinander  gemein.  Die  Natar 
der  Lösungen  und  dieser  Punkte  hängt  von  den  Gleichnngskoeffi- 
zienten  ab. 

Eliminiert  man  t/,  so  entsteht  die  Gleichung: 

{x  -  ay  +  (ma;  -f-  «  -  6)*  -  r«  -  0, 
die  nach  x  geordnet  lautet: 

(1  +  m«)x*  -f  ^[m(n  -  6)  -  a]x  +  a*  -h  (n  -  ö)«  -  r»  -  0; 
Aber  die  Natur  ihrer  Wurzeln  entscheidet  die  Diskriminante  (133) 
D  «  [w(n  -  6)  -  a]«  -  (1  +  m^)[a^  -f  (tt  -  6)»  -  r«J 
-  (1  +  w")r»  ~  (6  -  ma  -  n)»; 
ist  D  positiv,  also  .  , 


yi+i** 


Kreis  und  Oerade.    Unendlich  ferne  imaginke  Kretspunkie.  ^9 

SO  sind  die  Wurzeln  reell  und  yervchieden;  hingegen  reell  und  ^iob, 
wenn  r— -|^{,  endlich  imaginär,  wenn  r<\d  ]  dabei  bedeutet  (180) 
d  den  Abstand  des  Kreismittelpunktes  von  der  Geraden. 

In  dem  inittlereu  der  drei  unterschiedenen  Fälle  hat  die  Gerade 
mit  dem  Kreise  zwei  vereinigt  liegende  Punkte  gemein,  man  sagt  dann, 
sie  berühre  oder  tangiere  den  Kreis;  die  Bedingung  dafür  drückt  sich 
also  in  dem  Ansätze  aus: 

(1  -f  m*y'  ^(h-ma  -  »)»  (8) 

193.  Dia  onendlioh  fernen  imagiu&ren  Kreispuukte.    Ist 

M{x/ff)  ein  Schnittpunkt  der  Geraden  g  mit  dem  Kreise  k\  wobei, 
wie  im  vorigen  Artikel,  die  beiden  Linien  durch 

Ä;  =-  (ä;  -  a)«  -f  (y  -  6)»  -  r«  =»  0  (1) 

g  ^  y  —  mx  —  »  —  0  (3) 

gegeben  sein  sollen,  so  ist  ^-   -=  ,u  der  Richtnugskoeffizient  des  nach 

ihm  geführten  Halbmessers;  fügt  man  also  zu  den  Gleichungen  (!),• 
(2)  noch  die  dritte 

t/-6~/iÜ-a)  =  0  (S) 

und  eliminiert  aus  allen  drei  Gleichungen  x  --  a  und  y  —  ft,  so  ent- 
steht eine  Gleichung  zwischen  den  Parametern  von  g  und  k  und  dem 
RichbUngskoefHzienten  (i.    Zu    ihrer  Ableitung   bringe   man   (2)    anf 

die  Form  .  /  .   i  /^  /^^^^ 

y  -  b  —  m{x  —  a)  +  6  —  ma  —  n  —  0  (2*) 

tmd  berechne  aus  (3)  und  (2*) 

h  —  tna—n  ,       u(h  —  ma—n) 

X  —  a  == y  —  b  ^  — ; 

m  —  ft^^  »4  —  M 

die  Einsetzung  dieser  Werte  in  (l)  liefert  die  erwähnte  Gleichung: 
8    1  2iMr*  {b  —  ma  —  n)*  —  m*r*        .. 

ihre  Wurzeln  bestimmen  die  Richtungskoeffizienteu  der  nach  den 
Schnittpunkten  von  g  mit  k  laufenden  Kreisradien. 

Nun  ist  aber  (133) 

das  Quadrat  der  Entfernung  des  Kreismittelpunktes  von  y;  fQhrt  man 
diese  Größe  in  die  vorige  Gleichung  ein,  so  lautet  diese: 

Wächst  d  ins  ünendiiihe.  so  konvergiert  der  Koeffizient  von  pt 
gegen  Kuli,  das  absolute  Glied  gegen  1;  folglich  bestimmen  sich  die 


280  Analytische  Oeometrie  der  Bbeoc    0.  Der  Krt>ifi 

RichtungekoeffizieDten  derjenigeti  Radien,  die  nach  den  (imaginären) 
Schnittpunkten  von  Je  mit  der  unendlich  fernen  Geraden  der  Ebene 
laufen,  aus  der  Gleichung 

».'  +  1  -  0,  (5) 

sind    also  selbst  imaginär  und   unäbhätigiy  vmi   den   Parameürn   des 
Kreisen.     Durin  liegt  der  analytische  Grund  für  die  Au^sage^  daß  aUe 
Kreise,  der  Ebene  durch  zwei  feste  Punkte^  die  unendlich  lernen  mögt 
nären  Kriii>jtunkte,  gehen 

194.  Tangentenprobleme.  Die  Differentialrechnung  löst  die 
Aufgahe,  an  eine  Kurve  in  einem  ihrer  Punkte  die  Tangente  zu  legen, 
für  alle  analytiscli  dargestellten  Linien  in  einheitlicher  Weise;  denn 
unter  Voraussetzung  rechtwinkliger  Koordinaten  ist  der  Richtungs- 
koeffizient der  Tangeute  durch  den  Differentialquotienten  y'  von  y 
nach  X  au  der  betreffenden  Stelle  M{x  y)  bestimmt  (56).  Heißen 
also  die  Koordinaten  eines  beliebigen  Punktes  der  Tangente  |,  ?;,  so  ist 

ri'-y^y'il-x)  i) 

deren  Gleichung. 

Über  die  Bestimmung  von  y'  ist  nichts  weiter  zu  bemerken, 
wenn  die  Gleichung  der  Kurve  in  der  Gestalt 

y-t\x)  (2) 

gegeben  ißt  oder  leicht  auf  diese  Form  gebracht  werden  kann. 
Hat  sie  hingegen  die  Gestalt 

A^>y)  -  'N  (3) 

dann  fQhrt  folgende  Betrachtung  zum  Ziele.  Nimmt  man  auf  der 
Linie  neben  M  noch  einen  zweiten  Punkt  M'{x  '\-  h  y  ■{■  k)  an,  so 
besteht  auch  ..     ,    ,        .   ix      a 

und  somit  weiter       ^/     ,   ,        ,   t\      m      \      a 
f{x  -V  h,  y  -r  k)  -  fix,  y)  -  0, 

wofOr  in  erweiterter  Form 

f(x  f-  //,  y  -f-  k)  -  fix,  y  -f  *J)  -f  /*(r,  y^k)-^  f{x,  y)  -  0 

geschrieben  werden  kann     Nach  dem  Mittelwertsatz  73  ist 

f(x^^h,y^-k)^f{x,y^k)^hr,{x^eh,y{-kl    0<e<\, 
fix,y-\-k)^f{x,y)'^kfi{x,y'te,k\    0<Ö,<1, 

wobei  fgj  ff  Zeichen  für  die  partiellen  Ableitungen  von  f^x^y)  nach 
x,  bzw.  nach  y  sind  (55);  infolgedessen  verwandelt  «ich  die  obige 
Glej(!hung  nach  Division  durch  h  in  die  folgende: 


l'angentAijprcMeni*-  28  t 

indem  nun  h  der  Greute  Null  zuatrebt,  wird  auch  k  unendlich  klein^ 
und  sind  überdies  /"i,  /^  stetige  Funktionen  der  beiden  Argumente  x,  *y, 
so  lautet  die  letzte  Gleichnng  an  der  Grenze 

r.(^,!^)-f/;(^,y)'y'-o,  (4> 

uoraua  sich 

ergibt     Durch  Einsetzung  dieses  Ausdruckes  in  (1/  erhalt  man  nun 

(i-^)rx  +  (ij-  .v)/;-o  (6> 

alK  Gleichung  der  Tangente. 

Diese  allgemeinen  Ergebnisse  sollen  nun  auf  den  Kreis  angewendet 
Herden. 

I.  An  den  Kreis 

fix,  ijj  -  (x  -  ay  -f  {y  -  b)*-r'-^0  (1) 

im  Punkte  M{x/y)  die  Tangente  zu  legen. 
Gegenwärtig  ist 

n^2ix-a).  r,-2(jf-h), 

folglich 

(a:-a)(|-x)-f  (y~fe)(i?~y)-0 

die  Tangentengleichung  Man  kann  ihr  übersichtlichere  Gestalt  geben, 
indem  man  für  %  —  x,  r,  —  y  schreibt  i,  ~  a  —  x  —  a,  ij  —  6  —  y  —  ^ 
und  die  Multiplikationen  ausführt;  mit  Rücksicht  auf  fl)  ergibt  sich 
dann 

(«-a)(|-a)  +  (,-6)(,  -6)-r»  (2) 

als  Gleichung  der  Tangente. 

Zur  Mittelpunktsgleichung  des  Kreises: 

:r»  -h  y*  «  r»  (3) 

gehört  also  die  Tangentengleichung 

xii-yfi-  r*:  (4) 

der  nach  dem  Berühningspunkte  gezogene  Radius  hat  in  diesem  Falle 
die  Gleichung 

yi-xfi--  0, 

woraus  nach  184.  (9)  zu  erkennen  ist,  daß  er  auf  der  Tangente  senfe- 
recht  steht. 

BelBpieL  An  den  Kreis  (a;  -  3)*  4-  (y  -  6)»  -  2b  in  den  Punkten, 
in  welchen  er  die  y- Achse  schneidet,  die  Tangenten  zu  legen  und  ihren 
Schuittpunkt  zu  bestimmen. 


282  Analytische  Oeometrie  der  Ebene.    §  ff.   Der  Kreis. 

Diese  Punkte  haben  x  —  0  und  die  am  (y  —  6)'  =-  16  resul- 
tierenden Ordinaten  y,  —  10  und  y,  «  2;  die  Tangentengleichungen 
sind  also: 

-  36  +  4tj  -  40  -  0 

~3£-4i?+   8-0; 

aus  ihnen  erhält  man  durch  Addition  und  Subtraktion 

|-~-3,     '?  =  6 

als  Koordinaten  des  Schnittpunktes. 
n.  An  den  Kreis 

kr^x'-Jfy'-r'^O  (1) 

durch  den  Punkt  F{x^ly^  Tangenten  zu  führen. 

Bezeichnet  M{x/y)  den  noch  unbekannten  Berührungspunkt  einer 
Bolchen  Tangente,  so  muß  ihre  Gleichung 

xi  +  yri'^  r'  (2) 

durch  die  Koordinaten  von  P  befriedigt  werden;  man  hat  also   zur 
Bestimmung  von  x,y  die  beiden  Gleichungen: 

P^xXq  +  yy^  -  r«  =  0,  (3) 

h^x^    -f.V^    ~r2  =  0.  (4) 

Die  erste  stellt  eine  Gerade  p  dar^  die  somit  aus  dem  Kreise  A* 
die  Berührungspunkte  der  möglichen  Tangenten  ausschneidet;  es  können 
demnach  bei  diesem  Problem  dieselben  drei  Fälle  eintreten,  die  in  192 
unterschieden  worden  sind.  Die  Gerade  p,  die  bei  reellen  und  ver- 
schiedenen Tangenten  .^ie  Berührungssehyie  enthält,  bei  reellen  vereinigt 
liegenden  Tangenten  mit  diesen  selbst  zusammenfällt,  bei  imaginären 
Tangenten  aber  an  dem  Kreise  vorbeigeht  und  in  allen  Fällen  auf 
dem  durch  P  laufenden  Durchmesser  senkrecht  steht,  nennt  man  die 
Polare  des  Punktes  P  in  bezug  auf  den  Kreis  Ä,  den  Punkt  P 
ihren  Pol. 

Zur  Konstruhtion  der  Berührungspunkte  im  ersten  Falle  ergibt 
sich  das  bekannte  Verfahren  mittels  der  folgenden  Betrachtung.  Die 
Schnittpunkte  von  k  und  p  genügen  auch  der  Gleichung 

*  -  p  =-  a:*  4-  y*  ~  «Äy  -  yyo  "-  ^• 

diese  aber  stellt  einen  Kreis  dar,  dessen  Parameter  aus  der  umgeformten 
Gieichung 

anmittelbar  abtniesen  sind.     Der  Kreis  (5)  ist  aus  der  Mitte  von  OP 
nit  der  Hälfte  dieser  Strecke  als  Radius  beschrieben. 


Taogenienprobleme.  283 

Beispiel.      An   den  Kreis  2r' +  y' -  25  durch   P(- 8/6)  die 
Tangenten  zu  legen  und  ihren  Winkel  zu  bestimmen. 

Die  Berührungspunkte  ergeben  sich  aus  dem  Gleichungspaai^ 

-^  —  -  8jr  +  6y  -  25, 

:r«  +  y«-25; 

Elimination  Ton  y  führt  zu  der  Gleichung 

ar»  H-  4x  -  "  -  0, 

deren  Wurzeln  x=—2±  ^  V^3  sind;  aus  der  ersten  der  beiden  Gleichungen 

ergeben   sich    die   zugehörigen   Werte  yon  y,  nämlich  y  =-  «^±2/8; 
mithin  lauten  die  Gleichungen  der  beiden  Tangenten: 

(-2+  •  l/3)|+g  +2VS)v-2b, 
(-2-fV3)H-(|-2}/3)i?-25. 
Der  Winkel  der  äußeren  Winkelfläche  findet  sich  mittels 

ist  also   120®,   der  Winkel  der  inneren  Winkelfläche,  zugleich  der- 
jenigen, die  den  Kreis  enthält,  beträgt  daher  60*. 
in.   An  den  Kreis 

/fc  =  a;*  -1-  ys  -  H  -  0  (1) 

sollen  schließlich  die  zur  Geraden 

r/  =  i;~m|-0  (?) 

parallelen  Tangenten  gelegt  werden. 

Ist  M{xjy)  der  Berührungspunkt  einer  solchen  Tangeute, 

also  ihre  Gleichung,  so  erfordert  der  Parallelismus  mit  g^  daß  (184,  (10)) 

=»  —     ,  oder 
y  *'  wy  +  x-O  (3) 

sei.  Es  bestimmen  sich  also  die  Berührungspunkte  der  gesuchten 
Tangenten  aus  dem  Gleichungspaar  (1),  (3),  desaen  zweite  Gleichung 
eine  Gerade  durch  den  Ursprung  darstellt,  die  zu  (2)  senkrecht  steht 
Geometriscli  ergeben  sich  also  die  Berührungspunkte  als  die  End- 
punkte des  zu  y  normalen  Kreisdnrehmessers. 

Beispiel.    Um  an  4en  Ktei»  x*  -f-  y*  —  36  die  gegen  die  positive 


284  AnftlytisGlie  Qeometrie  der  Ebene.    §  6.  Dfr  Kreis. 

a;- Achse  unter  30**  geneigten  Tangenten  zu  beHtiinmen,  bat  man  die 
Gleichungen  ^  4.  yi  «.  36 

aufzulösen;  Elimination  von  ^  ergibt 

jc-  -  9: 

somit  sind  x  f  B  und  y  ^  -  By8  die  Koordination  der  Vn^idcn  Be 
rühmngspuukte  und  . 

die  Tungentengieichungen. 

195.  Potenz  eines   Punktes  in  besag  auf  einen  Kreis. 

Bei  der  He  SS  eschen  Normalgleichung  einer  Geraden  </ (a?,  y)  ~  a  cos  « 
-f  i/sin«  p  =^-  0  kommt  dem  Substitutionsresultat  </(a?o>  Vo)  ®*°^  8®^' 
metrische  Bedeutung  zu:  sein  absoluter  Wert  bedeutet  den  Abstand 
des  Punktes  P^x^jy^)  von  der  Geraden  /?,  und  sein  Vorzeichen  gibt 
Aufschluß  darüber,  auf  welcher  Seite  der  Geraden  der  Punkt  liegt. 

Wir  stellen  nun  die  Frage,  welche  Bedeutung  dem  Subatitutions 
resultat  hix^^y  y^    zukommt,  wpim 

k{x,y)  =  (^x  ~-  ^ff  -f  (y  -  by  -  r*  -  0  ( 1) 

die  Gleichung  eines  Kreises  im  rechtwinkligen  System  ist. 

Da,  mit  bezug  auf  Fig.  TU,  [j-^^  -  af  -f  {y^  —  h^  =  PSV.  so  ist 

^•Uo.  !/ü'^  -^  ^*  - »-' « {-^^  -  nP^  -+  '•; 

HT,.yo^^   PQ'PQ'-PB'PE'  (2) 

Das  für  alle  durch  P  geführten  Sekanten  gleiche   Segmentprodnkt 
PH  PR'  nennt  man  die  Potenz  des  Punktes  P  in  hrzug  auf  dm  Kreis  k. 
Y,  _  »  ^/       ^^  ^^*  «^o  den  Satz:   Das  SuhstihUionsremUUU 

^(^01  yo)   bedeutet   tlU^  Potenss  des  Punktes  Pix^jy^) 
in  heeug  auf  den  Kreis  A*. 

Durch    den   Kreis   wird   die   Ebene    in   zwei 

Gebiete  geteilt;  jenes  Gebiet,  das  den  Mittelpunkt 

U  enthält,  soll  als  das  innere,  daf^  andere  ih  das 

►jr     fiußere  bezeichnet  werden. 


Fi«.  76  Liegt    P    im    äußeren    Gebiet,    wie    in    der 

Figur,    «o    haben    die    Strecken    PR,    PR'    gleiche    liichtujig;    ihr 
Produkt  ist  positiv    und   gleich   dem    Quadrat   der   Tan^^^tenstrecke 

kix.,  yo)  -  i^^.  (3) 

Gehdrt  P  dem  inneren  Gebiet  an,  so  sind  die  Strecken  PB^  P  W 


Potenz.     Radik&lachie.  2B5 

ungleich  gerielitet,  ihr  Produkt  ist  negativ  und  an  Größe  gleich  dem 
Quadrat  der  Hälfte  der  karzesten  durch  F  gehenden  Sehne  SS'y  somit 

Mx^,n)--  1^^''  (4; 

Fällt  P  auf  die  Grenze  beider  Gebiete,  also  auf  den  Kreis  selbst, 
80  ist  jedesmal  das  eine  Segment  Null,  folglich 

*(^o,J^o)      0.  (5) 

An  dem  Substitutionsresuliat  hix^^y^)  ist  also  unmittelbar  auch 
zu  erkennen,  welche  allgemeine  Lage  der  Punkt  P  in  bezug  auf  den 
Kreis  hat 

Die  gleichen  Erwägungen  und  Resultate  gelten  auch  fSr  das  schief- 
winklige Koordinatensystem. 

Die  entwickelte  Gleichung  (1)  lautet: 

Ä:(x,y)  «  or*  -f  3^*  -  2aa:  —  25y  -f  a«  +  6«  -  r»  -  0; 

so  bedeutet  hiernach  a*  -f  &*  —  r*  ^  Ä;(0,0^  die  Potenz  des  Ursprungs 
in  bezug  auf  /r;  bezeichnet  man  diese  mit  x^  so  abreibt  sich  die  Kreis- 
gleichung:        ^^^^^^  -  x»  +  y'  -  2«z  -  2fcy  +  x  =-  ü.  (1  ♦) 

Das  Vorzeichen  von  x  gibt  Aufschluß  darüber,  ob  der  Ursprung 
innerhalb  oder  außerhalb  des  Kreises  liegt;  bei  x  =  0  geht  der  Kreis 
durch  den  Ursprung. 

BeispleL  Es  ist  zu  entscheiden,  wie  die  Punkte  A{—  3/6), 
^(6/  -7),  C(-2/5)  und  0(0/0.  zu  dem  Kreise 

Uegen.  *<^'y '  -  x»  -f  y'  -  8a:  +  6y  -  75  =  0 

Da 
ifc(-3/6)=»30.    ^(6/~7)»-80,    Jk(-2,5)»0,     Ä(0,0)^ 75, 

60  liegen  A  außerhalb,  B  und  0  innerhalb  des  Kreises  und  C  auf 
ihm  selbst. 

106.   Zwei  Kreise  und  ihre  Badikalaohse.    Zwei  Kreise 

k,(x,y)  -  .r«  -f  y«  -  2a,x  -  '2h,y  +  x^  -  0  (1) 

h(x,y)  =>  a;^  -h  y*  -  2a,:r  ~  2&,y  +  x,  -=  0  (2) 

haben,  da  ihre  Gleichungen  vom  zweiten  Grade  sind,  nach  dem  Satze 
von  B^zout  vier  gemeinsame  Punkte.  Zwei  davon  sind  die  unendlich 
fernen  imaginären  Kreispunkte  (193),  die  ja  allen  Kreisen  der  Ebene 
gemeinsam  sind;  es  verbleiben  somit  noch  zwei  Punkte  im  Endlichen, 
die  wieder,  entsprechend  den  Möglichkeiten,  welche  algebraische 
Gleichungen  mit  rellen  Koeffizienten  darbieten,  reell  und  verschieden 
oder  reeU  und  vereinigt  oder  imaginär  sein  können. 


286  Analytuche  Geometrie  der  Eb«ne.     6  5.    Der  Kreis. 

Wie  dem  aber  auch  sei,  immer  genügen  sie  auch  der  Gleicbong 

■B.,{*,y)  -  Ki.^,y)  -  «-.(*,y)  -  o,  (3) 

gehören  also  vermöge  der  im  vorigen  Artikel  erkannten  Bedeutung 
von  k(x,y)  dem  Orte  jener  Punkte  an,  die  in  b^iug  auf  beide  Kreise 
dieselbe  Potenz  haben.  Dieser  Ort  ist  aber,  da  die  »asgeführte  Gleichung 
(3)  lautet: 

eine  Gerade,  die  man  als  Foimzachse  oder  Radikalachse  der  beiden 
Kreise  Ä,,  Je^  bezeichnet.  Schneiden  sich  die  Kreise  reell,  so  verbindet 
sie  die  Schnittpunkte  und  heißt  dann  auch  Chorddle,  weil  sie  die  ge- 
meinsame Sehue  beider  Kreise  enthält;  berühren  sie  einander,  so  wird 
die  Radikalachse  zur  gemeinsamen  Tangente  im  Berührungspunkte; 
haben  die  Kreise  keine  reellen  Punkte  miteinander  gemein,  so  er- 
fordert die  Radikalachse  eine  besondere  Konstruktion. 

Eine  Eigenschaft  derselben  ist  aus  derselben  Gleichung  (4)  un- 
mittelbar zu  erkennen,  wenn  man  sie  mit  der  Gleichung  der  Ver- 
bindungslinie der  Kreismittelpunkte,  der  ZßwfraWmiß  beider  Kreise  (178): 

(^2  -  \)x  —  {a^  —  a^)y  -  a^h^  -f  a^h^  =  0 

vergleicht:  heide  Geraden  stehm  aufeinander  senkrecht ^  weil  ihre  Glei- 
chungen der  Bedingung  184,  (9)  genügen. 

Aus  der  Eigenschaft  der  Radikalachse,  in  allen  ihren  Punkten 
gleiche  Potenz  zu  haben  bezüglich  beider  Kreise,  geht  hervor,  daß 
ein  auf  ihr  angenommener  Punkt  entweder  gleichzeitig  im  Innern  oder 
außerhalb  oder  auf  dem  Umfang  beider  Kreise  liegen  muß.  Liegt  er 
innen,  so  sind  die  durch  ihn  gehenden  kürzesten  Sehnen  der  beiden 
Kreise  gleich  groß;  liegt  er  außen,  so  gehen  aus  ihm  an  beide  Kreise 
gleich  lange  Tangentenstrecken,  er  ist  somit  Mittelpunkt  eines  beide 
Kreise  orthogonal  schneidenden  Kreises. 

197.  Drei  Kreise  tind  ihr  Badikalsentmm.  Drei  Kreise 
A'i ,  Ag,  A",,  deren  Gleicliungen  abgekürzt 

*.(«,y)-o,  (1) 

A-,(af,y)  =  0,  (2) 

hip,y)~o  (») 

gescbrieben  werden  können,  lassen  sich  zu  den  drei  Paaren  A',,  A:,;  A:,, 
^,;  ^11  Ati  vorbinden,  deren  jedem  eine  Radikalachse  zukommt;  die 
Gleichungen  dieser  Radikalachsen  sind: 

Ä..(*,y)-*,(^,y)-*.(»,y)-o 
■Bi.('.y)  -  *i(*,y)  -  *t(*.y)  -0, 


Rftdikftlzentnun.    Ortbogonal-  and  Diimeinükreif. 


287 


und  weil 


Äa(x,y)  +  l?,/x,  r/,  +  12,t(^,y)  =  0, 


80  sehneiden  sich  die  drei  Achsen  in  einem  Punkte.  Man  hat  also 
den  Satz:  Die  drei  Batiikalachsenf  die  drei 
Kreise  paarueise  bestimmen ,  schneiden  sieh 
m  einem  PufütUy  den  man  das  Potenjs-  oder 
Radikahentrttm  der  drei  Kreide  nennt;  ihm 
kommt  als  wesentlich  die  Eigenschaft  zu, 
daß  er  in  hezug  auf  alle  drei  Kreise  die- 
selbe Potenz  hat. 

Dieser  Satz  führt  zu  der  einfachsten 
Konstruktion  der  Radikalachse  zweier  Kreise, 
die   sich   nicht   reell   schneiden.    Man  nehme  einen  sie  schneidenden 
Hilfskreis  Ar,  Fig.  77,  an;   dann  .sind  zwei  der  Radikalachsen,  somit 


Pif .  TT. 


Fig. 


Fi«.  71». 


auch  das  Radikalzentmm  F  bestimmt;  die  dritte,  das  ist  eben  die  ge- 
suchte, geht  durch  F  und  ist  senkrecht  zur  Zentrallinie  Sl^Sl^. 

Das  Radikalzentrum  liegt  in  bezug  auf  alle  drei  Kreise  gleichartig. 

Ist  es  ein  Außenponkt,  so  gehen  von  ihm  gleich  lange  Tangenten- 
strecken aus,  es  ist  also  Mittelpunkt  des  alle  drei  Kreise  rechtwinklig 
schneidenden  Kreises  0,  Fig.  78,  ihres  gemeinsamen  OrthogmalkrHses, 

Ist  es  ein  Innenpunkt,  so  ist  es  zugleich  Mittelpunkt  von  drei  gleich 
langen  Sehnen,  also  auch  Mittelpunkt  eines  Kreises  2),  der  die  drei 
Kreise  diametral  schneidet  und  daher  ihr  gemeinsamer  Diametrallreis 
heißt,  Fig.  79. 

Liegt  das  Radikalzcntrum  auf  den  Umfani^en.  so  kann  es  eh&i- 
sowohl  als  Orthogonal-  wie  als  Diametralkreis  Tom  Radius  Null  an- 
gesehen werden. 

Die  Begriffe  Radikalachse  und  Radikalzentrum  bleiben  auch  dann 
in  Geltung,  wenn  die  Kreise  in  Punktkreise  —  mit  dem  Radius  0  — 
oder  in  Gerade  —  Kreise  mit  unendlichem  Radius  —  ausarten.  Bei 
den  bezüglichen  Konstruktionen  hat  man  sich  folgende  zwei  Sonder- 


288 


Aiialyttsohe  Gkometrie  der  Ebene.    §  6.  Der  Kreif. 


falle  gegenwartig  zu  halten:  Die  Radikalachse  eines  eigentlichen  Kreises 
and  eines  auf  seinem  Umfange  liegenden  Nullkreises  ist  die  zugehörige 
Tangente,  und  die  Radikalachse  eines  eigentlichen  KreiseH  und  einer 
Geraden  ist  diese  selbst 

Um  demnach  die  Radikalachse  eines  Kreises  k  und  eines  Punktes  P 
Fig.  80,  zu  erhalten,  legt  man  durch  P  einen  k  schneidenden  Hilfskreis 

k\  bestimmt  das  Radikalzentrum  von  k,Pyk' 
und  führt  durch  dieses  die  gesuchte  Radikal- 
achse R  senkrecht  zu  Sl  F.  Ihr  kommt  die 
Eigenschaft  zu,  daß  jeder  Kreis,  der  aus 
einem  ihrer  Punkte  durch  P  beschrieben 
wird,  den  Kreis  k  orthogonal  schneidet. 

Die    Radikalachse    zweier   Punkte    ist 
ihre  Symmetrale,  das  Radikalzentrum  dreier 
***^  ^'  Punkte  der  Mittelpunkt  des  durch  sie  be- 

stimmten Kreises. 

Das  Radikalzentrura  eines  eigentlichen  Kreises  oder  eines  Null- 
kreises und  zweier  Geraden  ist  der  Schnittpunkt  der  letzteren,  das 
Radikalzentrura  dreier  Geraden  der  Inkreismittolpunkt  ihres  Dreiecks. 

Mit  Hilfe  dieser  Bemerkungen  kann  bei- 
spielsweise die  Aufgabe  gelöst  werden,  zu  zwei 
Kreisen  k^y  k^  den  Orthogonalkreis  zu  zeichnen, 
der  durch  einen  gegebenen  Punkt  geht.  Der 
Mittelpunkt  des  gesuchten  Kreises  ist  das  Radi- 
kalzentrum  r  von  k^,  k^  und  P. 

Femer  die  Aufgabe,  zu  einem  Kreise  k  und 
einer  Geraden  g  den  Orthogonalkreis  zu  zeichnen, 
der  durch  einen  gegebenen  Punkt  P  geht.  Mittel- 
punkt des   gesuchten   Kreises  0   ist  das  Radi- 
kalzentrum r  von  kf  (jy  P,  Fig.  81. 

198.  KraisbftsoheL  Wir  knüpfen  an  die  einleitende  Bemerkung 
Ton  191  au,  wonach  ein  Kreis  im  rechtwinkligen  Koordinatensystem 
im  allgemeinen  durch  drei  Bedingungen  bestimmt  ist.  Sind  weniger 
als  drei  Bedingungen  Torhanden,  so  genügt  ihnen  nicht  ein  Kreis, 
sondern  ein  System  von  Kreisen. 

Insbesondere  bezeichnet  man  die  Gesamtheit  der  Kreise,  die  durch 
zwei  gegebene  Punkte  gehen,  als  einen  Kreisbiischd,  die  gegebenen 
Punkte  als  dessen  Orundpunkte.  Diese  Definition  ist  jedoch  nur  dann 
geometrisch  unmittelbar  zu  verwenden,  wenn  die  Grundpunkte  reell 
sind  und  auch  da  nicht  etwa  als  Endergebnis  eines  Grenzprozesses 
▼ereiiiigt  liegen. 

Eine  alle  Fälle  umfassende  Definition  erhält  man,  indem  man 
die   Grundpunkte    nicht    als    solche,    sondern    als    die    gemeinsamen 


Fig.  81. 


Spezielle  RadikAUcbien  nnd  -Zentr».     KieiibtUebel.  289 

Funkte  zweier  Kreise  oder  eines  Kreises  und  einer  Geraden  angibt; 
:::ie  können  dann  sowohl  reell  nod  getrennt,  wie  aach  i%ell  and  in 
bobtimmter  Weise  vereinigt^  wie  auch  imaginär  sein. 

'•  ^""^    t,(*,y)-««  +  y«~2a,a:-2S,y  +  «, -0  (l) 

^(«,»)-«*  +  y'-2a,a!-2b,y  +  x,-0  (2) 

die  Qletcbung«ii  zweier  Kreise,  so  ist  jeder  Kreis  Jbj,  der  dorch  ihr« 
gemeinsamen  Paakte  gebt,  in  der  Gleichung 

*,(x,y)-lii(«,y)-0  (3) 

enthalten;  denn  diese  Gleichung  heiBt  entwickelt: 
(1  -  iX««  +  y»)  -  2(fl,  -  Aa,)x  -  2(5^  -  lb,)y  +  *,  -  A«,  ~  0,   (4) 
stellt  somit  wieder  ei/iea  Kreis  vor,  und  da  sie  durch  die  gemeioüamen 
Punkte   von  A,,  A*,   befriedigt  wird,    so   geht    der   Kreis   durch  bliese 
Punkte.     Die  Normalform  seiner  Gleichung  ist 

A-.(x.y)-*^^-"'*i-!p-^'"-o..  (4*) 

sein  Mittelpunkt  iQ^  hat  die  Koordinaten 

liegt   also   in  der  Zentralliuie   der  Grundkreise   Jc^,  k^   und    teilt    die 
Strecke  Sl^Sl^  im  Verhältnis  X  in  dem  Sinne,  daß  -^~-^~  =  X  ist  (179). 
Erteilt  man  der  Gleichung  (4*)  die  Fori» 

80  liest  man  unmittelbar  ah,  daß  jeder  Punkt  der  Kadikalachse  von 
ib|  nnd  k^  in  bezug  auf  einen  helicbigea  Kreis  des  ßüscheb  dieselbe 
Potenz  hat  wie  in  bezug  auf  k^,  also  auch  in  bezug  auf  ly^  denn  ist 
xjy^  ein  Punkt  dieser  Achse,  so  wird  für  ihn 

Man  nennt  ans  diesem  Grunde  die  Gerade  lii^(ß''fy)=^0  die  RadÜMi- 
ochse  des  Büsche!^ 

"*  ^'""^     k{x,y)^x'-^y'~^^..~-Uy-r^-^0  (1) 

g(x,  y)^  y  -mx-H'^O  (2) 

die  Gleichungen  eines  Kreises  und  einer  Geraden,  so  erkennt  man 
darch  die  gleichen  Schlüsse  wie  oben,  dafi 

k,(x,  y)  «  Hx,  y>  ~  Xg{x,  ^  )  «  0  (3) 

Csu^er,  Hah«r»  MftthMnatilc    S.  AaS.  19 


^<)0  Aoalytbche  Geometrie  der  Ebene.     §  Ö.  Der  Kreis. 

bei  Tariablem  X  die  Gesamtheit  aller  Kreise  darstellt,  die  dnrcli  die 
gemeinBainen  Punkte  von  k  und  g  gehen,  und  daß  jeder  Punkt  Ton  g 
in  bezog  auf  jeiien  dieser  Kreise  dieselbe  Potenz  bat  wie  in  bezug 
auf  kj  daß  also  (j{x,  y)  —  0  die  Radikalachse  des  Kreisbüschels  (3)  ist. 
Was  dessen  Zentrailinie  anlangt,  so  entnimmt  man  der  aus- 
geschriebenen Gleichung  (3): 

x*-\-  y*-  (Jüa  -  Xm)x  ~  (21  -t  Ijy  -^  x  +  Xn  ^  0 

die  Koordinaten  des  Mittelpunktes  von  k^: 

km 

n-i  +  r, 

durch  Elimination  ron  X  ergibt  sich  daraus  als  Ort  der  Mittelpunkte 

J  -  «  4  m{r,  ~  ^)  «  0, 

also  eine  Gerade,  die  durch  den  Mittelpunkt  Sl  von  k  geht  und  auf  </ 
senkrecht  steht. 

111.  Man  hat  drei  Arten  von  Kreisbüscheln  zu  imterscheiden : 
1.  Büschel  mit  reellen  und  getrennten  Grundpunkten;  2.  solche  mit 
reellen  und  vereinigten  Grundpunkten;  3.  Büschel  mit  imaginären 
Gruudpunkten.  Ein  Kreisbüschel  kann  als  gegeben  betrachtet  werden 
durch  einen  seiner  Kreise,  k,  und  die  Radikalachse  B;  im  FaUe  1.  wird 

k  von  B  geschnitten,  im  Falle  2.  berührt,  im 
Falle  3.  üaben  k  und  R  keinen  eigentlichen 
Punkt  gemein.  Die  Zentrallinie  geht  in  allen 
Fällen  durch  i^  senkrecht  zu  R. 

Durch  einen  Punkt  3/,  der  weder  k  noch 
R  angehören  soll,  geht  ein  und  nur  ein  Kreis 
des  Büschels.  Über  seine  Konstruktion  in 
den  Fällen  1.  und  2.  braucht  nichts  be- 
merkt zu  werden;  im  Falle  (3)  führt  dazu 
folgende  Erwägung.  Der  aus  dem  Schnitt- 
punkte A  der  Zentrallinie  c  mit  R,  Fig.  82, 
''  beschriebene    Orthogonalkreis     0    zu    k    ist 

Oi-thogonalkreis  zu  allen  Kreisen  des  Büschels;  somit  können 
diese  Kreise  definiert  werden  als  solche,  die  0  und  C  orthogonal 
schneiden;  die  Aufgabe,  den  Büschelkreis  durch  3f  zu  bestimmen, 
kommt  also  darauf  hinaus,  den  durch  M  gehenden  Orthogonalkreis 
zu  k  und  c  zu  bestimmen;  diese  Aufgabe  ist  aber  am  Schlüsse  von 
197  gelöst  worden. 

Die  Schnittpunkte  G^,  O^  von  0  mit  c,  als  Nullkreise  aufgefaßt, 
HrfüUen  die  Forderung,  0  und  c  orthogonal  zu  schneiden,  gehören 
also  dem  Büschel  an  und  heißen  seine  GretiMpunkte,  Jeder  durch  sie 
gelegte  Kreis  k  hat  seinen  Mittelpunkt  in  R  und  ist  somit  Orthogonal- 


/       e 

;v 

1           / 

<r                     1 

A 

•       \a 

oi 

R       1 

*   ^ 

& 

y 

Alien  der  Kreitbüschel.    Pol  und  Polare  291 

kreis  zu  allen  Kreisea  des  BQschels  {k,  R),  weil  er  OHhogonalkreis 
zu  Gj,  G,  ist.  Es  entstehen  solcher  Art  zwei  Kreisbüschel,  die  in 
folgender  Beziehung  zueinander  stehen:  das  Büschel  der  Kreise  h  mit 
der  Zentrallinie  c,  der  Radikalachse  R  und  den  6V^mjpunkten  Gp  G^, 
und  das  Büschel  der  Kreise  !  mit  der  Zentrallinie  Ry  der  Radikal- 
acbse  C  und  den  6'rtin(/punkten  G,,  G^  verhalten  sich  so,  daß  jeder 
Kreis  des  einen  Büschels  alle  Kreise  des  andern  orthogonal  schneidet 
Man  nennt  Kreisbüschel,  die  einander  in  dieser  Weise  zugeordnet 
sind,  konjugierte  Kreisbüschd. 

199.  Fol  und  Polare.  Zu  dieser  Begrififs Verbindung  hatte  daa 
Problem  Anlaß  gegeben,  durch  einen  Punkt  F^xjy^  Tangenten  an 
einen  Kreis 

t(x,y)-.(x-a)'+(y-6)'-r»-0  (1) 

zn  legen  (194,  II).  Drückt  man  die  Forderung  aus,  die  Tangente 
in  einem  noch  unbestimmten  Kreispunkte  Mixjy): 

(^_a)(|-o)  +  (y-6)(,-ft)-r»=0 

habe  durch  P  zu  gehen,  so  ergibt  sich  zur  Bestimmung  von  M 
nebst  (1)  noch  die  Gleichung: 

(a:-a)(a:.-a)  +  (y-6)(yo-ft)-r'-0,  (2) 

die,  weil  vom  ersten  Grade  in  x,  i/,  eine  Gerade  vorstellt,  die  man 
als  Polare  des  Punktes  P  in  bezug  auf  den  Kreis  k  bezeichnet 

In  entwickelter  Form  lauten  die  Gleichungen  (l)  und  (2),  wenn 
man  Yon  der  Abkürzung  d^  •\- h^  —  r^  ==  x  Gebrauch  macht: 

k{x,  y)^x^'\'y'^2ax-2by  +  n^  0,  (l*) 

p(Xy  y)  -  x^x  -f  y^y  -  a{x  +  j^)  -  6(y  -f  yo)  +  «  =•  0.       (2») 

Wir  bringen  nun  mit  dem  System  dieser 
zwei  Linien  den  Geradenbüschel  mit  dem 
Trager  P  in  Verbindung,  dessen  parametrische 
Gleichungen  lauten: 

a;-Xo  +  5co8a 

y  =  yo  4-«8intf. 

Substituiert  man  (3)  in  (1*),  so  ergibt 
sich  die  in  bezug  auf  s  quadratische  Gleichung  **«•  •*• 

<»-  2[(a  -  a?o)  cos«  +  (6  -  y^)  sin«]  8  +  h{x.,  y^)  -  0; 

ihre  Wurzeln  s\  s"  bestimmen  die  Abstände  der  Schnittpankte  My  If 
des  Strahls  (c)  mit  dem  Kreise  Ä:,  vom  Punkte  P  aus  gemessen, 
Fig.  83;  es  bestehen  also  zwischen  diesen  Abständen  die  Relationen: 

s  +  r  «  2[(a  --  *o)  cos«  i-  (6  -  yo)  »"»«],     ss'  -  *(«^,  y.).    (4) 

10* 


292     Anftlytiicbe  Geometrie  der  Ebene.    §  6.  Die  Linien  zweiter  Ordnung. 

Substituiert  man  (3)  in  (2^),  00  ergibt  sich  die  in  bezog  auf  8 
lineare  Gleichung: 

1(^0  -  ö)  cos  «  -f  Oo  ~  ^)  «in  cc]8-\-k{xQ,  y^)  -  0,  (5) 

deren  Wurzel  den  Abstand  des  Schnittpunktes  Q  des  nämlichen  Strahls 
mit  der  Polare  p  bedeutet. 

Aus  (4)  und  (ö)  folgt  die  von  a  unabhängige  Beziehung: 

8{s'  +  8")  -  2s'8'\ 

in  der  man  die  charakteristische  Streckenrelation  eines  Systems  har> 
monischer  Punkte  erkennt  (179,  (4)). 

Dies  gibt  den  Satz:  Die  Schnittpunkte  der  von  einem  Punkte  P 
a/usgeltenden  Strahlen  mit  dem  Kreis  k  tverden  durch  die  zugeordnete 
Polare  p  von  dem  Punkte  P  harmonisch  getrennt. 

Auf  dieser  Grundlage  läßt  sich  die  Polare  eines  im  Innern  des 
Kreises  gelegenen  Punktes  P  konstruieren;  man  führt  durch  P  eine 
beliebige  Gerade,  bestimmt  den  harmonischen  Punkt  Q  zu  P  in  bezug 
auf  die  Schnittpunkte  der  Geraden  mit  dem  Kreise;  dann  ist  die  durch 
Q  zn  SIP  geführte  Senkrechte  die  Polare. 

§  6.    Die  Linien  zweiter  Ordnung. 

200.    Die    allgemeine   G-leiohung  zweiten   Orades.     Die 

allgemeine  Gleichung  zweiten  Grades  in  den  Parallelkoordinaten  Xy  y 
umfaßt  sechs  Glieder:  drei  vom  zweiten,  zwei  vom  ersten,  eines  Tom 
nuUten  Grade;  sie  lautet: 

f{x,  y)^Ax^-\-  2Bxy  ^  Cy^  ■\-2Bx -\-2Ey -\- F  ^  0.        (1) 

Aue  Gebilde,  die  durch  eine  in  dieser  allgemeinen  Form  ent- 
haltene Gleichung  dargestellt  sind,  nennt  man  „Linien  zweiter  Ordnung.'' 

Die  Koeffizienten  A,  B, , .  ,F  werden  als  reelle  Zahlen  Toraus- 
gesetzt.  Da  einer  von  ihnen  durch  Division  auf  1  reduziert  werden 
kann,  so  enthält  die  Gleichung  fünf  Konstanten.  Dies  hat  zur  Folge, 
daß  eine  Linie  zweiter  Ordnung  im  allgemeinen  durch  fünf  Bedin- 
gungen bestimmt  ist. 

Jede  in  Form  einer  Gleichung  ausgedrückte  Beziehung  zwischen 
den  Koeffizienten  vermindert  die  Anzahl  der  Konstauten  um  eins. 
Insbesondere  führen  bei  rechtwinkligen  Koordinaten  die  Beziehungen 

A^C,      J9  -  0 

nir  allgemeinen  Gleichung  des  Kreises  (188),  die  nur  noch  drei 
Konstante  enthält 

Zu  einer  geometrischen  Gmndeigenschaft  der  Linien  zweiter  Ord- 
nung führt  die  Verbindimg  der  Gleichung  (1)  mit  der  Gleichung 

!?(^iy)-<»«  +  &y  +  <?-0  (2) 


Disknssion  der  »UgemeiDen  Glekhung  S.  Grades  in  s.  y.  298 

einer  Geraden.  Nach  dem  Satze  von  Bezoüt  (133)  haben  die  Glei- 
chungen (1)  and  (2)  allgemein  gesprochen  zwei  Lösnngen.  Jede 
Linie  ßweiier  Ordnung  wird  also  von  jeder  Geraden  ihrer  Ebene  in  ztcei 
unkten  yesdinitten^  wobei  iniagixmre  und  unendlich  ferne  Punkte 
ebenso  gezählt  werden  wie  eigentliche  Punkte. 

Die  Diskussion  der  Gleichung  (1)  läuft  auf  die  Erforschung  der 
Abhängigkeit  des  y  von  x  hinaus;  diese  Untersuchung  gestaltet  sich 
verschieden,  je  nachdem  die  Gleichung  in  bezug  auf  y  quadraÜHch  oder 
vom  ersten  Grade  ist,  d.  b.  je  nachdem  C-fO  oder  (7 -=  0  ist.  Der 
Fall,  daß  die  Gleichung  y  überhaupt  nicht  enthält  {B  —  0,  0 «» 0, 
JE7  —  0),  läßt  sich  unmittelbar  erledigen:  sie  stellt  dann  zwei  zur 
y-Achse  parallele  Gerade  vor,  die  getrennt  oder  vereinigt  sind,  je  nach- 
dem I)^'-AF>0^)  oder  D^-AF^O^  ist;  bei  7>--^F<U 
wird  ihr  durch  keinen  reellen  Punkt  genügt. 

201.  Brater  Hanptflall:  0>f  0.  Nach  y  geordnet  schreibt 
sich  die  Gleichung  (1): 

Cy -h  2(J9x  4-  E)y  -h  ^a:*  -f  2Dx  -f  i'  =  0 

und  gibt  fßr  y  die  explizite  Darstellung: 

—  (Ba?  -f  JE)  ±  yiBx^'E'f-'  C{Äa^±  2  Üx-^F)    • 

der  mit  den  Abkürzungen: 

M-B'-AC 

N^BE-GI)  (3) 

die  Form:  X^Mx^^2Nx^l>  (4) 

gegeben  werden  kann.  Hiernach  erscheint  y  als  Summe  und  Differenz  von 
und 


(6)  aber  stellt  unter  allen  Umstanden  eine  im  Endlichen  liegende 
Gerade  dar;  in  be/.ug  auf  diese  ist  also  wegen  des  oben  angeführten 
Sachverhaltes  das  Gebilde  symmetrisch,  wobei  die  Ordinatenachse  die 
Richtung  der  Symmetrie  anzeigt.  Diese  Gerade  soll  im  folgenden 
konsequent  mit  d  bezeichnet  werden. 

1)  Bei  A'-^O  wird  die  eine  Gerade  uneigentlich,  indem  sie  ins  Unendliche 
nickt. 

2;  Bei  il  =  0,  Z>=»0  werden  beide  Gerade  uneigeutlich,  indem  sie  in«  Un- 
eudliche  rücken. 


\ 


und  die  Abkürzung 
weiter  vereinfacht  zu 

JV»  -  Jlf  P  -  ^ 

X-ilf|»-| 

294      Analytische  Geometrie  der  Ebene.    §  6   Die  Linien  zweiter  Ordmmir- 

Das  weitere  Verhalten  von  y  hängt  von  Y  und  dieses  wiederum 
Yon  der  im  allgemeinen  quadratischen  Funktion 

X'^Mx^-\'2Nx^F  (4) 

ab.  Hierbei  sind  die  Falle  ilf  +  0  und  J!f  —  0  wesentlich  zu  unter- 
scheiden. 

Wenn  M^O  ist,  so  kann  X  umgesetzt  werden  in 

V       W     .    NV      N*-MP 

wa»  sich  durch  die  Substitution 

(8) 

(9) 

(10) 

Die  Substitution  (8)  bedeutet  eine  Translation  des  Koordinaten- 

Systems  parallel  zur  Abszissenachse  um  die  Strecke  —  ^  (168),  und 

die  Gleichung  (10)  zeigt,  daß  nun  auch  in  bezug  auf  die  neue 
Ordinatenachse  Symmetrie  stattfindet,  wobei  die  Gerade  d  die  Symmetrie- 
richtung bezeichnet. 

Es  kann  nun  X  folgende  Verhaltungsweisen  zeigen: 

I.  Ist  3f  <  0  und  a)^  >  0,  so  ist  X  eine  Differenz,    die  ihren 

größten  Wert  —  ^  erlangt,  wenn  der  variable  Subtrahent  verschwindet, 
also  bei  J  =-  0;  femer  hat  X  die  beiden  reellen  Nullstellen 

zwischen  denen  es  positiv,  außerhalb  deren  Intervall  es  negativ  ist 
Bei  b)  ^  <  0   ist  X  die   Summe  zwei  negativer  Größen,   bleibt 

beständig  negativ  und  T  imaginär. 

Schließlich,  wenn  c)  ^  —  0,  reduziert  sich  X  auf  ein  negatives 

Glied ,  das  fOr  £  -«  0  verschwindet;  infolgedessen  ist  Y  imaginär  bis 

auf  die  Stelle  |  «>  0,  an  der  es  »-  0  ist. 

II.  Ist  3f  >  0  und  a)  ^  >  0,  so  erscheint  X  als  Differenz  mit 
einem  variablen  Minufnd,  hat  die  reellen  Nullstellen 

xwiigcheu  denen  es  negativ  ist,  wahrend  es  außerhalb  ihres  Interrallt 
positiv  bleibt. 

Wenn  b)  z/  <  0,  wird  X  eine  Summe  von  zwei  positiven  Größen, 


Ditknision  der  allgemeinen  Oleichang  2.  Grftdet  in  x,  ff.  295 

die  ihren  kleinsten  Wert  —  ^  annimmt^  wenn  der  variable  Sommand 

verschwindet,   d.  i.  bei  $  —  0;   im  übrigen   ist,   da  X   positiv   blaibt, 
Y  durchaus  reell. 

Ist  endlich  c)  ^  —  0,  so  reduziert  sich  .Y  auf  das  positive  Glied 

If {•,  Y  auf  das  durchwegs  reelle  (   -^  • 

in.  Wenn  Jf  —  0,  hingegen  -Y  4-  0,  so  laßt  sich  X  auf  die  Form 

bringen  und  ist  a)  bei  iV>0  so  lange  positiv,  Y  so  lange  reell,  als 

p 
x^  —  Yx-j  hingegen  b)  bei  ^<  0  so  lange  positiv,  Y  so  lange  reell, 

Bleibt  noch  der  Fall  c)  .V  —  0  übrig,  in  welchem  sich  X  auf 
das  absolute  Glied  P  reduziert,  Y  somit  konstant  und  reell  ist,  wenn 
P^O,  imaginär,  wenn  P<0. 

£6  handelt  sich  jetzt  darum,  diese  algebraischen  Resultate  ios 
Geometrische  zu  übertragen;  dabei  möge  die  obige  Reihenfolge  der 
Falle  beibehalten  werden. 

Falll. 

!•):  M<0,  ^ > 0.  Die  Punkte,  welche  der  Gleichung  f{x,  yW 0 
anter  diesen  Voraussetzungen  genügen,  sind  symmetrisch  zur  Geraden  d: 

V--— ^  (11) 

in  der  Richtung  OY  und  symmetrisch  zur  Geraden  d': 

X--I  (12^ 

in  der  Richtung  (^.angeordnet  und  eingeschlossen  einerseiti  von  den 
Geraden  u^^^/ä  Y 

parallel  zu  d\  andererseitt  von  den  Ge-  '  •■   i^^'^^T!^^^ 

raden  ,      r--.  t  ■  yf^^  J  •*'       i^ 

y-,±c]/-»  (14)         Jjp^>k^^ 

parallel    zu    d,    Fig.   84      Die    darge-  /  Kj.':f..-'J^;;^;;ii^--i'''' 

stellte    Linie    ist    somit    zentralsymme*       .J-l-""!^        • 
trisch   in   bezug   auf  den    Schnittpunkt      <y  •'  ^F 


cw)^^^  (^^)  '^^  ^^^^' 


der  ihren  MiUdpunkt  bildet     Sie  heiBt  Ellipse. 

P):  M<0,  J  <0,    Bei  diesem  Verhalten  der  KoefBzienten  gibt 
es  keinen  reellen  Punkt,  der  der  Gleichung  fix^  y)  —  0  genügt. 


290      Analytiflche  Qeometri«  der  Ebene.    §  6.  Die  Jüinien  zweiter  Ordnung. 


r):  Jtf  <  0,  ^  —  0.     In  diesem  Falle  ist 


y-'?± 


0 


g«-tir 


Bx-{-E  .    YM 


0 


± 


(--^-a^ 


^--M 


dies  hat,  was  das  Auftretei^  Ton  ar,  y  anlangt,  die  Form  der  Gleichnngen 
zweier  Geraden;  wegen  des  imaginären  Koeffizienten  y  M  aber  spricht 
mau  von  imaginären  fieraderi;  nichtsdestoweniger  kann  ?on  einem 
reellen  Schnittpnnkt  derselben: 

N                 BN --KM 
if  ^ Tfi/" 

gesprochen  werden,  und  dieser  ist  diet  einzige  reelle  Pnnkt  überhaupt 
welcher  der  Gleich img  f{oc,  y)  ^  0  genügt. 

Um  für  diese  drei  durch  das  gemeinsame  Merkmal  JLT  <  0  ge- 
kennzeichneten Fälle  auch  eine  einheitliche  Ausdrucksweise  zu  haben, 
kann  man  bei  b)  von  einer  imftginären,  bei  c)  von  einer  punktförmigen 
Ellipse  sprechen  und  1.  als  den  FaU  der  Ellipse  bezeichnen. 

Fall  II. 

II*):  Jf  >  0,  -^  >  0.  Die  Symmetrieverhältnisse  in  bezug  auf 
die  Geraden  rf,  d'j  Gleich.  (11)  und  (12),  bestehen  fort;  der  Schnitt- 
punkt ß  der  letzteren  ist  Mittelpunkt  des  Gebildes:  reelle  Punkte  aber 
liegen  nur  außerhalb  des  von  den   Geraden  (13)  begrenzten  Streifens. 


M 


wächst  mit  j  1 1  über  alle  Grenzen,  und  es  ist  bestand  ig 

l/x<syif; 


ty^it-Yx 


Fig.  85. 


,  Y^ 


aber  der  Unterschied 

_     M 

gV'^  +  VX 

wird  mit  wachsondem  |  J  |  beliebig  klein; 
das  Gebilde    nähert   sich    also  unaufhör- 
lich   und     unbegrenzt    den    beiden     Ge- 
raden a,  a': 
V  Bx-^E      VM/     ,   N\  ,,-. 


C        -^0 

die  man  als  Asymptoten  der  Linie  bezeichnet;  die  Linie  selbst  heißt 
Hyperbel^  Fig.  85. 

Aus  den  Gleichungen    der  Asymptoten  ersieht  man  unmittelbar, 
daß  sie  sich  in  dem  Punkte  mit  den  Koordinaten 


Ni  BN --EM 

M       "'  C'M' 


DisjuukticD  TOQ  EUipte,  Hyperbel  und  Parabel.  297 

d.  i.  im  Mittelpunkte  Sl  echueideu,  und  daß  aio  symmetriDch  7m  deu 

Geraden  d^d'  in  demsolben Sinne  angeordnet  gind  wie  das  Gebilde  selbst. 

11**):  lf>0,  J<0.     SymmetarieverhältniMe  und  Mittelpunkte 

bleiben  aufrecht j  reoUa  Punkte  liegen   aber  nur  auEerhalb   des   von 

dep  Geraden  (14)  begreuzten  Streifens.     j^X  —  ^^  3f 6*  —  w    ^»«i**>st 

mit  II     ins  Unendliche;  jetzt  ist  aber 
bestandiff 

und  der  Unterschied 


wird    mit    wachsendem     5       beliebig 

klein.     Die    Geraden    (15)   sind    aych 

jetzt  Asymptoten  der  Linie,  habci)  aber  gegen  diese  eüj-.  au^rre  Lage 

als  im  Falle  11*)  (Fig.  86).     Die  Linif   ist  eine  Hyperbel  in  anderer 

Lage  gegen  das  Koordinatensysteu;. 

II'^):  3/>0,  z/ «  0.  Nunmehr  ist  A  -  A/^*,  folglich  yx  -  i}/  V j. 
und 

d.  h.  die  Linie  fix,  y)  ^  0  zerfallt,  wenn  dio  Koeffizlenttii  diese 
Bedingungen  erföUen,  in  zwei  mch  schneidende  Gerade.  Ed  *»ind,  was 
den  Bau  der  Gleichungen  betrifFl,  dieselben  Geraden,  die  in  den  Falicu 
II •)  und  IT**),   wo  ^^«4*  0  war,  als  Asymptoten  aufgetreten  sind. 

Um  eine  einheitliche  Ausdrucksweise  t\\  haben,  kann  man  die 
beiden  Geraden  des  Falles  11")  als  eine  zerfallene  Hyperbel  bezeich- 
nen und  demgemäß  den  Fall  II  als  Fcdl  der  Hyperbel  erklären. 


Fall  III. 

^  In    diesem    Falle    bleibt   nur    die    Symmetrie   in    bczug   aut   die 

j    Gerade  d  bestehen.     Im  übrigen  findet  folgendes  statt. 

'  ni*):  Jlf  «-i  0,  ^y  >  0.     Y  hftt  von  o;  —  —  '-j.r  angefangen  reelle 

Werte,  die  mit  wachsendem  x  dem  Betrage  nach  beständig  und  Über 
jede  Grenze  hinaus  wachsen,  Fig.  87. 

Die  zugehörige  Linie  filhrt  den  Namen  Farahd. 

m^):  3f  -  0,  JV<0.     r  hat  nur  bis  x ^^  reelle  Wert«, 

I    die  mit  wachsendem    x    beständig  und  über  jeden  Betrag  zunehmen. 


298      Analytische  Geometrie  der  Ebene.    §  6.  Die  Linien  zweiter  Ordnong. 

Die  zagehörige  Linie  ist  eine  Parabel  in  anderer  Lage  gegen  das 
Koordinatensystem,  die  als  der  früheren  entgegengesetzt  bezeichnet 
werden  kann,  Fig.  88. 


FI».  87.  Fig.  M. 

m*'):  ir=»0,  iV«0.    In  diesem  Falle  wird 

y  —  -       ^  , 

und  dies  stellt,  zunächst  wenigstens  vermöge  seiner  Form,  zwei  parallele 
Gerade  dar;  wirkliche  Gerade  sind  es  aber  nur  dann,  wenn  P  >  0  oder 
P  «"•  0,  unter  der  ersten  Voraussetzung  getrennt,  unter  der  andern 
vereinigt;  bei  P  <  0  kann  von  imaginären  parallelen  Geraden  ge- 
sprochen werden. 

Um  auch  hier  eine  einheitliche  Ausdrucksweise  zu  haben,  faßt 
man  die  unter  lU^)  aufgezählten  Gebilde  als  zerfallene  Parabeln  auf 
und  nennt  sonach  den  Fall  III  den  Fall  der  Parabel. 

202.  Zweiter  Hanptfall:  C  =  0.  Die'  nach  y  geordnete  Glei- 
chung (1)  lautet  nun: 

2  (Bx  +  E)y  -h  .4a:»  -h  2  Da:  +  F  -  0.  (16) 

Das  Trinom  Äx^  4-  2  Dx  4-  F  ist  entweder  teilbar  durch  das  Binom 
Bx  -f  Ef  oder  es  ist  nicht  teilbar.  Darnach  sind  zwei  F&lle  zu  unter- 
scheiden. 

IV*)  Ist  Bxi-E  nicht  Teiler  von  Äx' -^^  2  Dx -^  F,  so  bleibt 
bei  der  Division  ein  konstanter  Rest  Qbrig,  und  e«  kann  das  Trinom 
anf  die  Form 

Ax^+2Dx  -f  F 2(Bx  +  E){mx  +  n)  -  Ä 

gebracht  werden;  dann  folgt  aus  (16): 

8B(xH-f) 
y  erscheint  also  als  Snmme  von 

rj  —  mx  -r  «  (18) 

und 

r—     /  ^c'  (lö) 


FortsettuQg  der  Disjunktion.  299 

Die  Gleichung  (18)  stellt  eine  Gerade  a  dar^  Fig.  89,  und  das 
ZU  ihrer  Ordinate  hinzutretende  Y  hat  das  Vorzeichen  von  ^  ,  so 
lange  a;  >  —  -j^  ,  das    entgegengesetzte, 

lange  ^  <  —  ß  y  ^i'd  bei  lim  x  »-  —  ^  ±0 

unendlich  mit  dem  eben  unterschiedenen  Vor- 
zeichen,   ist   dem   Betrage   nach  gleich   für 

gleiche  Werte  von  |  ^^  -f  -g    und  konvergiert 

gegen   Null,    wenn     ^-f«-      unaufhörlich 

wächst.     Die  Linie   ist   eine  Hyperbel   mit  den    Asymptoten  a :  y » 

mx-\-n  und  aiZ"^^,  und  mit  dem  Mittelpunkt  —  ^ j^ — , 

Fig.  89. 

IV^)  Ist  Bz-\-E  Teiler  von  Äx*-^ '2Dx -^  F,  so  kann  dieses 
Trinom  auf  die  Form 

Ax*  +  2Dx  +  F=  -  2(Bx  -f  E)  (mx  +  w) 
gebracht  werden;  die  Gleichung  (16)  schreibt  sich  dann 

{Bx  -\-E)(y-  mx  -  n)  «  0 
und  zerfällt  in  die  beiden:  „ 

^  =  -B 

y^mx-\-n, 

von   denen  jede   eine  Gerade   darstellt.     Im  Sinne  einer  vorhin  ein- 

geftlhi-teu  Redeweise  hat  man  es  also  mit  einer  zerfallenen  Hyperbel 

zu  tun. 

V.  Ist  neben  C  —  0  auch  J5  ==  0,  so  läßt  sich  der  Gleichung  (16) 

die  Gestalt 

y  =  ax»-f  2fea;-he  (20) 

geben,  wofür  weiter  .,,  ,. 

geschrieben  werden  kann.  Mit  Hilfe  der  Substitution  x  •\ —  —  {  er- 
kennt man,  daß  das  betreffende  Gebilde  bezüglich  der  Geraden  o;  =»  — 

symmetrisch  ist  in  der  Richtung  der  a:- Achse:  y  wächst  mit  zu- 
nehmendem i  1 1  über  alle  Grenzen.  Man  hat  es  mit  einer  Parabel  in 
einer  dritten  Lage  zu  tun. 

203.  Begenerierte  Ijinien  iweiter  Ordnung.  Die  vor- 
stehende Untersuchung  ergab,  daß  die  Gleichung  zweiten  Grades  außer 
Kreis,  Ellipse,  Hyperbel  und  Parabel  auch  zwei  Gerade  darstellen  kann, 
die  entweder  reell  und  getrennt  oder  reell  und  zu  einer  vereint  oder 
imaginär  sein  können,  in  welch  letzterem  Falle  sie  einen  reellen  Punkt 


300      Analjtisi'hc  Geometkie  der  Ebene.    §  6.  Die  Liuien  zweiter  Ordnimg. 

gemein  haben  als  das  einzige  reelle  Gebilde^  das  der  Gleichung  genügt. 
Man  unterscheidet  deaigemäß  zwischen  eigenüichen  und  degenerieren 
Linien  zweiter  Ordnung. 

Die  Bedingungen,  unter  welchen  Linien  der  letzteren  Art  auftreten^ 
sind  im  ersten  Hauptfalle,  C4»0; 

P):  Jlf<0,    ^-0 

ip):  jyr>o,  j^o 

IIP):  Jf-O,     N^O: 
mit  Rücksicht  darauf,  daß  jd  ^  N^—  MFj  ist  die  Bedingung 

Z/-0  (21) 

allen  drei  Fällen  gemeiosam;  —  im  zweiten  Hauptfalle,  C«»0: 
IV^'):  Teilbarkeit  von  Ax^-^  2Dx  +  F  durch  Bx  -f  E. 
Diese  Teilbarkeit  föhrte  zu  dem  Ansätze: 

Äx^  i'  2I)x  4-  F  -  -  2{Bx  4-  E){mx  -f  »), 

der  bei  beliebigem  x  nur  dann  besteht,  wenn 

2Bm  +  ^  =  0 

Em  +  -ö«  -f  i>  «  0 

2in  +  F-0; 

und  die  notwendige  Bedingung  für  die  Koexistenz  dieser  Gleichungen 
lautet  (m,ni):  ^^      ^    ^, 

E      B     i)i=»0, 

;     0    2E     F 

ausgeführt: 

JE«+B«jP~2JBDE-0.  (22) 

Diese  Bedingung  ist  aber  in  der  vorigen,  (21),  enthalten.  £& 
ist  näralich 

^  »(j9js;~- 02>)«-(ü*  -  ^  o)(je;«~  CF) 

^C[AE^^B^F'{^CD*-A0F'-2BDE\, 

und  da  im  ersten  Hauptfalle  C-f  0,  so  ist  hier  die  Bedingung  für 
den  Zerfall: 

AE''^BF^CD^^ACF--^2B]JE^0,  (28) 

und  dies  geht  tatsachlich  in  dem  zweiten  Hauptfialle,  wo  C  <—  0,  in 
(22)  über. 

Man  kann  sich  umgekehrt  die  Frage  vorlagen,  unter  welcher 
Bedingung  die  allgemeine  Gleichung  (1),  f{x^  y)  —  0,  zwei  Gerade 
darstellt;  notwendig  und  ausreichend  hierfür  ist,  daß  sich  die  quadra- 
tische Funktion  f{Xy  y)  in  Rwei  lineare  Faktoren 

g  -  «a?  -f-  /3y  -I-  y 

g'^ux-k-ß'y-itY' 


Degenerierte  Linien  zweiter  Ordnung.  301 

mit  reellen  oder  imagiaären  Koeffizienten  zerlegen  lasse,  daB  also 

sei.  Daraas  ergeben  sich  durch  partielle  Differentiation  nach  x  und  y 
die  ebenfalls  identischen  Gleichungen: 

2Ax  +  2By  -f-  2D  -  ttg'  +  a'g 

2Bx  +  2Cy  ^2E=^  ßg'  +  ß'g-,  ^    ^ 

bringt  man  aber  f{x,  y)  einerseits  und  gg*  anderseits  in  die  Gestalt: 

f(x,y)^{Ax'^By'\-D)X'\-{Bx'\-Cg  +  E)y+Dx^Ey-^F 

gg'^{ax-hßy)g'-^(axi-ß'y)g-\~y9'-{-/g, 

so  ergibt  sich  daraus  und  aus  (24)  mittels  eines  einfachen  Schlusses, 

daß  auch  identisch        or»     .  ot?     ,  or^         '  .     /  /«j^x 

2Dx'^2Ey^-2F'^yg  -^y  g  (24*) 

sein  müsse. 

Da  nun  g^^O  und  ^'-»0  unter  allen  Umständen  einen  reellen 

Punkt,  sei  es  im  Endlichen  oder  Unendlichen^  gemein  haben,  so  existiert 

ein  Wertepaar  r,  y,  das  die  drei  Gleichungen 

Ax-^By  +  1)^0 
BT-\-Cy  -^  E-^O 
Dx-^Ey-^F-^O 

zugleich  be&iedigt,  was  aber  nur  dann  geschehen  kann^  wenn  fUl,  III j 

Ä    B    D| 

B     C    E  -0  (25) 

D    E    F 

ist.  Die  Entwicklung  dieser  Determinante  stimmt  aber,  vom  Vor- 
zeichen abgesehen,  mit  der  linken  Seite  Ton  (23)  überein. 

Man  nennt  die  Determinante  in  (25),  deren  Verschwinden  also 
den  Zerfall  der  Linie  anzeigt,  die  Diskriminante  der  Gleichung  (1). 

204.  Beispiele.  Es  sollen  nun  die  vorstehenden  Kriterien  auf 
eine  Reihe  von  speziellen  Gleichungen  zur  Aowendimg  gebracht  werden. 

1.  In  der  Gleichung  o;*  -  2a:y -f  4y»  ~  6«  +  4y -f  3 -=  0  ist: 

^-1,    B 1,    C«4,    D 3,    E-2,    F«3; 

j|f.-3,    J\r«10,    P=~8; 
^-76; 

man  hat  es  mit  dem  Fall  I')  zu  tun,  die  Gleichung  stellt  eine  wirk- 
liche Ellipse  dar. 


302      Analytiscfae  Geometri«  der  Ebene.    $  6.  Di«  Linien  zweiter  Ordnung. 

2.  Zu  der  Gleichung  a:*-2a:y4-4y*--6a:-f  4y-f  10-0  gehören 
die  Zahlen:  ^^^3^     ,^^  ^^^     p^^^^. 

es  findet  der  Fall  P)  einer  imaginären  Ellipse  statt. 

3.  Bei  a:«  -  2xy  +  4y»  -  6j;  4-  4y  +  ?  -  0  hat  man 

Jf--3,     iV^-10,     P-=~^f; 

A-=0; 

die   Bedingungen    des  Falles   P)    sind  erfüllt,   x  ^^^,  y  —  i  i**   ^«' 
einzige  reelle  Punkt,  welcher  der  Gleichung  genügt. 

4.  2a:>  +  4a;y +  y»-2jc-4y  +  1-0;  M ^  2,  i^=--3,  P-3, 
A  —  3;  Fall  II')  der  Hyperbel  in  der  ersten  Lage. 

5.  2a;>  +  4a?y-hy«-2a;-4y~l  =0;  3f  =  2,  JV=-3,P-5; 
A  ■«  —  1;  Fall  IP)  der  Hyperbel  in  der  zweiten  Lage. 

6.  2a;«  +  4a:y  +  y*-2ar-4y-|-0;  i¥=2,  i^--3,  P-|; 
A  —  0;  Fall  U'^)  der  in  zwei  Gerade  zerfallenen  Hyperbel;  diese  Ge- 
raden sind:  _ 

y--(2Tl/2)a:  +  2T|V2. 

7.  4a:»-4a;y4-y*-4a;-8y-2-0;  3/=-0,  iV- 10,  P-18; 
Fall  IIP)  der  Parabel  in  der  ersten  Lage;  die  reellen  Punkte  be- 
ginnen bei  a?  —  ~  /q. 

8.  4a:«-4a:y  +  y*-4a;  +  8y~2-0,  Jf-O,  iV--6,  P-18; 
Fall  IIP),  Parabel  in  der  zweiten  Lage,  die  reellen  Punkte  reichen 
bis  rc  —  |. 

9.  4;it_4^y^^*_4^^2y~2-0;  Jtf  -  0,  JV^-O,  P-3; 
Fall  HI*'),  eine  in  zwei  parallele  Gerade  zerfallene  Parabel,  und 
zwar  sind 

y-2x-l±V3 

diese  Geraden. 

10.  Die  Gleichung  3a;y  —  4x  -f  2y  -  6  -  0  f&llt  unter  den  Ty- 
pus IV*)  und  stellt  eine  Hyperbel  dar,  deren  Asymptoten  y  —  ^^ 
o;  -"  —  I  sind;  der  rechte   Ast  liegt  oberhalb  der  ersten  Asymptote. 

11.  8«»  -  4x  -  2y  +  1  -  0  fallt  unter  den  Typus  V  und  zeigt, 
auf  die  Form 


spezielle  Diejouktionen.    Koordmatentranilation.  808 

gebracht,  daß  die  Parabel  Rjmmetrisch  ist  in  bezug  auf  die  Qende 
X  "^  \,  wobei  die  x- Achse  die  Richtung  der  Symmetrie  angibt,  und 
daß  die  reellen  Punkte  auf  und  tiber  der  Geraden  y  —  |  liegen. 

205.  Translation  des  Koordinatensystems,  Die  folgenden 
Untersucbuugen  werden  es  häufig  uotwendig  machen,  zo  einem  pa- 
rallelen und  gleichgerichteten  Koordinatensystem  überzugehen.  Sind 
^;>/  die  Koordinaten  des  neuen  Ursprungs,  x'/y'  die  neuen  Koordinaten 
des  Punktes  x/y,  so  gelten  die  Transformationsgleichungen  (168): 

diu-ch  deren  Anwendung  sich  die  Gleichung  (1)  verwandelt  in: 
fix'  +  t  y'  +  1?)  -  Äx'*  -f  2Bx'y'  4-  Cy'«  +  2(Ai  -H  Br,  -|-  D)x' 

+  2{^Bi  -f  C'i?  +  E)y'  4-  f'ilfl)  -  0; 
dies  kann  noch  kürzer  dargestellt  werden,  wenn  man  beachtet,  daß  aus 

/X«,i?)  «  äV  +  2Bly  -f  Cti'  -i-  2Di  -f  2Et;  -j-  F 
durch  partielle  Differentiation  nach  J  und  rj  erhalten  wird: 

f:,ii,ri)^2{Bi+Cr,  +  E); 

die  transformierte  Gleichung  lautet  dann  endgiltig: 

Ax'*  +  '2Bx'y'  +  Cy'«  +  /K«,  «j)*'  +  m,ri)y'  +  /•«,,)  -  0.   (1*) 

Hieran  ist  als  bemerkenswert  hervorzuheben:  1.  daß  die  Koeffi- 
zienten der  quadratischen  Glieder  gegenüber  der  Transformation  in- 
variant sind;  2.  daß  das  absolute  Glied  in  das  Substitutionsresultat  der 
Koordinaten  |,  ij  in  die  linke  Seite  der  ursprünglichen  Gleichung 
übergeht,  somit  verschwindet,  wenn  der  neue  Ursprung  auf  der  Linie 
selbst  liegt. 

206.  Mittelpunkt.  Bei  dem  Kreise,  der  Ellipse  und  Hyperbel 
hat  die  Untersuchung  zentrale  Symmetrie,  also  das  Vorhandensein 
eines  Mittelpunktes  ergeben.  Die  Frage  seiner  Bestimmung  soll  nun 
selbständig  auf  Grund  der  allgemeinen  Gleichung 

f{x,y)  -  Ax''  -f  2Bxy  -f  Cy^  ^  2Dx  -f-  2£y  +  F -  0  (1) 

gelöst  werden.' 

Wir  gehen  dabei  von  dem  Gedanken  aus,  daß  der  Ursprung  dann, 
aber  auch  nur  dann  Mittelpunkt,  also  Zentrum  der  Symmetrie  des 
Gebildes  (1)  ist,  wenn  die  Gleichung  bloß  Glieder  zweiten  Grades 
enthält;  denn  nur  dann  wird  sie,  wenn  durch  x/y  befriedigt,  auch 
durch  —  x/—  y  erfüllt;  Bedingung  für  die  erwähnte  Anordnung  ist 
also  das  Fehlen  der  Glieder  ersten  Grades,  d.  h. 

Z)=-0,    J5;-0. 


304     Analjtieche  Geometrie  der  Ebene.    §  2.  Die  Linien  ssweiter  Ordnxing. 

Ist  xjy^^  der  Mittelpunkt,  so  mu&  die  nach  ihm  transformierte 
Gleichung 

Ax'  -f  2Bxy'  -f  Cy'*  +  n^^o^Vo)^'  +  /;.K,yo)y'  +  fi^o^yo)  "  ^ 
diese  Beschaffenheit  haben,  es  muß  also 

ns^ofy,)-^^ 

sein;  mit  andern  Worten,  die  Koordinaten  des  Mittelpnnktes,  falls  ein 
solcher  vorhanden,  genügen  den  Gleichungen 

Äx.  +  By.  +  D'^O 

Bx,  i-Cy^-\-E^O,  ^  ^ 

Jede  dieser  Gleichungen  stellt  bei  variabel  gedachten  x^,  y^  eine 
Gerade  dar,  die  Aufgabe  der  Bestimmimg  von  XQ/yo  kommt  also  geo- 
metrisch auf  die  Bestimmung  der  gemeinsamen  Punkte  zweier  Geraden 
hinaus;  die  in  182  hierüber  angestellte  LTntersuchung  hat  zu  folgenden 
Ergebnissen  geführt. 

Es  existiert  ein  und  nur  ein  bestimmter  Punkt  im  Endlichen, 
der  den  Gleichungen  (3)  genügt,  wenn 

AB  ,,      ^ 

\  B  C  \ 

ist,  also  in  den  Fällen  1,  II  (Ellipse,  Hyperbel). 

Die  Gleichungen  (3)  bestimmen  einen  imendlich  fernen  Punkt, 
wenn  M  =^  0  und  eine  der  Zählerdeterminanten  nicht  verschwindet.  Ist 
beispielsweise 

\B  D        ,,     ^ 

80  erkennt  man,  daß  vermöge  3f  =-  0  auch  die  zweite  Zählerdetermi* 
nante  von  Null  verschieden  ist;  man  hat  es  mit  einem  der  Fälle  III*), 
IIP),  Parabel  in  der  ersten  und  zweiten  Lage,  zu  tan.  Den  vor- 
stehenden Bediugimgen  ist  auch  dann  entsprochen^  wenn  B  — 0,  (7««0 
ist;  denn  dann  wird  Jlf  und  die  erste  Zählerdeterminante  Null,  wahrend 
die  zweite  von  Null  verschieden  ist;  die  erste  der  Gleichungen  (3) 
liefert  für  x^  einen  endlichen  Wert,  der  zweiten  kann  aber  nur  durch  ein 
unendliches  y^  g^^nügt  werden;  es  ist  dies  der  Fall  V  einer  Parabel 
in  der  dritten  Lage. 

Den  Gleichungen  (3)  genügen  unendiich  viele  Punkte,  wenn  sie 
eich  nur  durch  einen  konsUmten  Faktor  voneinander  unterscheiden, 
wenn  also 

B       C       £       . 
i  *"  JB  ""  Jf)  ■"  ^ 


MittelpttoktbeitimmaDg.  305 

ist;  die  Punkte  erfQUen  die  einzige  durch  (3)  bestimmte  Gerade.  Weil 
nun  sowohl  M -^  B*  —  AC  als  auch  N  —  BE  -  CD  —  0.  so  tritt 
der  Fall  JiV)  ein,  der  auf  zwei  parallele  (Gerade  f&hrt. 

Ist  die  erste  der  m  rorstebender  Untersuchung  unterschiedenen 
Möglichkeiten  eingetreten  and  z^^  y^  bestimmt,  so  ist  mit  der  Be- 
rechnung von  fix^ftfü)  die  TransformtUton  tum  Mitteipunkie  —  so  soU 
die  Translation  des  Koordinatensystems  nach  dem  Mittelpunkte  heißen 
—  vollzogen. 

Die  eigentlichen  Linien  zweiter  Ordnung  scheiden  sich  hiemach 
in  zwei  Klassen:  solche  mit  einem  Mittelpunkt  im  Endlichen  —  Kreis, 
Ellipse  und  Hyperbel  —  und  solche  mit  einem  Mittelpunkt  im  Un- 
endlichen —  Parabel. 

207.  Beispiele.    1.  Fär  die  204  unter  1.  behandelte  Gleichung 

ix^-2xy-\-  4y'  -  6a?  -f  4y  -f  3  -  0 

ergeben  sich  zur  Bestimmung  des  Mittelpunktes  die  Ansätze: 

^0  -  yo  ~  3  -  0 

-^0-^4^0  +  2-0, 

aus  denen  x^  «»  y,  y^  —  j  folgt;  da  weiter  /(a?o,  y^)  —  —  ^},  so  lautet 
die  zum  Mittelpunkt  transformierte  Gleichung: 

2.  Die  Gleichung  4.  in  204: 

2x*  +  4ary  +  y^  -  2a;  —  4y  -f-  1  -  0 

i^t  als  die  einer  Hyperbel  erkannt  worden;  aus  den  Gleichungen 

2x^  4-2^0-1-0 

2a;o  4-  yo  -  2  »  0 

el-hait  man  den  Mittelpunkt  a;^  —  |,  y^  —  —  1,  und  da  f{x^,  y^)  —  \, 
80  ist 

2x'^  -f  4jcy  4-  y'«  +  I  -  0 

die  zum  Mittelpunkt  transformierte  Gleichung. 

208.  Durchmeseer.  Im  Laufe  der  Diskussion  der  allgemeinen 
Gleichung  zweiten  Grades  sind  gerade  Linien  erkannt  worden,  in  be- 
zug  auf  welche  Symmetrie  nach  einer  .bestimmten  Richtung  stattfindet, 
mit  andern  Worten  gerade  Linien,  welche  Sehnen  einer  bestimmten 
Richtung  halbieren.  Dies  soll  Anlaß  geben  zur  Erörterung  der  Frage 
nach  dem  geometrischen  Ort  der  Halbierungspunkte  paralleler  Sehnen 
irgend  einer  Richtung;  ein  solcher  Ort  möge  den  Namen  Jhsrt^meiaer 
erhalten. 

Die  nun  folgenden  Untersuchungen  setzen  ein  rechtwinkliges 
Koordinatensystem  voraus. 

Oa«b«T,  Hoher«  IC&thenatik   I.  Atafl  90 


306     Analytische  Geometrie  der  Ebene.    §  6.  Die  Linien  zweiter  Ordnung. 

\rerbindet  man  mit  der  Gleichung 

f{x,  y)  -  Ax'  4-  '^Bxy  -f-  Cy*  +  2Z)a:  +  2l?y  +  2^  -  0         ( l) 

die  pai-ametri sehen  Gleichungen  (177) 

a;  -  S  +  <  cos  « 

y  *«  1]  -\-  s  am  cc 

der  Geraden,  die  durch  den  Punkt  |/ij  geht  und  mit  der  i^Achse  den 
Winkel  a  bildet,  so  liefert  die  Gleichung 

f(i  +  s  cofla,  ^i  4  s  sin a)  —  (-4  cos^«  -f  - jB  cosa  sin«  -f  C  sin*«)«* 

-f  [A'(S,  V)  cos  a  4-  fijii,  v)  sin ajs  +  /(£, i?)  -  0  (3) 
in  ihren  Wurzeln  s,,  5g  die  Abstände  des  Punktes  l/t^  von  den 
Schnittpunkten  3/i,  ilfg  der  Geraden  (2)  mit  der  Linie  (1).  Der 
Punkt  i/7j  ist  insbesondere  der  Mittelpunkt  der  Sehne  M^M^,  wenn 
fij,  ^  entgegengt^setzt  bezeichnet  und  dem  Betrage  nach  gleich  sind^ 
und  dies  findet  dann  statt,  wenn  die  Gleichung  Cd)  rein  quadratisch,  also 

/i(|, Ti)  COS  a  4-  f'.ily  n)  sia «  =  0  (4) 

ist.  Diese  Gleichung  stellt  den  Ort  der  Mittelpunkte  aller  Sehnen 
vom  Richtungswinkel  a  oder  vom  Richtungskoeffizienten  w=«tga 
dar;  ersetzt  man  /g,  /",'  durch  ihre  Ausdrücke,  so  wird  aus  (4) 

{A  4-  Bm)l  4-  (B  4-  Cm)),  -[  I>  4  Em  =-  0.  (5) 

Hiermit   ist    erwiesen,   daß   die  Ditrchmeaser  einer  Linie  zweiter 

Ordnung  gerade  Linien  sind.   Die  Gleichung  (5),  in  symbolischer  Form 

stellt  bei  variablem  m  einen  Geradenbüschel  dar,  dessen  Trager  durch 
Hie  Gleichungen        ^(^^  ,^)  ^  ,^        /■;(.,  ,^)  .  0 

gegeben  ist;  diese  Gleichungen  bestimmen  aber  (206)  den  Mittel- 
punkt. 

Die  Durchmesser  dne)'  Linie  zweiter  Ordnung  bilden  demnach  einen 
Gerndenbüschd ,  d fassen  Träger  der  Mittelpunkt  der  lAnie  ist;  bei  den 
Linien  mit  einem  Mittelpunkt  gehen  also  alle  Durdimesser  durcii  einen 
eigentlichen  Punkt,  bei  der  Parabel  sind  sie  untereinander  paralld. 

209.  Paar«  konjugierter  Durohmesser.  Der  Durchmesser^ 
der  die  Sehnen  vom  KirhtungskoefHzieuteii  m  halbiert,  hat  selbst,  wie 
aus  seiner  Gleichung  (5)  hervorgeht,  den  Richtungskoeffizienten 

m'  Hudert  sich  mit  7^;  nur  dann,  wenn 


Durchmesaer.     Koigugierte  Darchmeflier.    Achten  307 

ist,  also  bei  der   Ellipse   and  Hyperbel;   ist  hingegen   M  -^  0,   also 

4        £ 
^  —  ^,  -»  Ä:,  80  bleibt  m'  konstant  —  —  Ä:. 

Von  diesem  Falle  abgesehen  besteht  zwischen  dem  Richtungs- 
koeffizienten der  Sehncuschar  und  dem  Richtnngskoeffizi eilten  des  zu- 
gehörigen Durchmessers  die  Gleichung: 

6'mm '  -h  B{in  -f  m)  +  il  -  0.  (6) 

Diese  Gleichung  hat  einen  solchen  ßau^  daß  sie  sich  nicht  ändert, 
wenn  mau  m  und  m  miteinander  vertauscht;  daraas  entspringt  der 
folgende  Sachverhalt:  Wählt  man  von  zwei  Zahlen  m,  m\  die  der 
Gleichung  (6)  gejiögen,  die  eine  als  Uichtungt^koefiizienten  einer 
Sehnenschar ^  so  bedeutet  die  andere  den  Richtungskoeffizienten  des 
die  Sehnenschar  halbierenden  Durchmessers. 

Die  Durchmesser  einer  Linie  zweiter  Ordnung  mit  eigentUchem 
Mittelpunkt  ordnen  sich  hiernach  zu  Paaren  solcher  Art^  daß  der  eine 
die  zu  dem  andern  parallelen  Sehnen  halbiert.  Man  bezeichnet  die 
Durchmesser  eines  solchen  Paares  als  kottjugierte  Durchmesser. 

Der  Durchmesser  vom  RichtungskoefEzienten  m  schließt  mit  dem 
ihm  konjugierten  zwei  supplementäre  Winkel  ein,  deren  einer,  o,  durch 

bestimmt  ist. 

210.  AohseiL  Daran  knüpft  sich  naturgemäß  die  Frage  nach 
solchen  Paaren  konjugierter  Durchmesser  an,  die  aufeinander  senk- 
recht stehen;  derartige  Durchmesser  sind  Achsen  orthogonaler  Sym- 
metrie und  werden  darum  als  Achsep  der  betreffenden  Linie  bezeichnet. 

Zufolge  der  Formel  (7)  haben  die  Richtungskoeffizienten  der 
Achsen  der  Gleichung 

2^m»-|-(-4-0)m-jö-0  (8) 

zu  genügen. 

Diese  Gleichung  ist  identisch,  d.  h.  durch  jeden  Wert  von  m,  er- 
füllt, wenn  gleichzeitig       A^C         -B  —  0 

ist,  Bedingungen,  die  den  Kreis  kennzeichnen  (188,  200).  Der  Kreis 
hat  sonach  unendlich  vide  Ächsenpaarey  mit  andern  Worten,  von 
welchem  Durchmesser  man  auch  ausgeht,  der  dazu  konjugierte  sieht 
immer  senkrecht  auf  .ihm. 

In  den  Fallen  der  Ellipse  und  Hyperbel  gibt  es  nur  ein  Paar  ron 
Achsen,  denn  die  Gleichung  (8)  liefert  dann  stets  ein  Paar  reeller 
Wurzeln  m^,  m^,  die  die  Eigenschaft  haben,  daß  m^  f>/| -*  —  1  ist; 
diese  Wurzein  sind  in  der  Formel 


„I «  nur-  ^  ±  vl(4  ~.9_V+  *-»•  (9) 

nthalten.  ** 

20* 


308    Analytische  Oeometrie  der  Ebene.    {  6.  Die  Linien  zweiter  Ordnung. 

Bei   der  Parabel  sind   alle  Durchmesser   parallel  und  derjenige 

unier  ihnen,  der  die  ztigehörigen  Sehnen  rechtwinklig  halbiert^  ist  die 

einzige  Achse.     In  der  Tat  gibt  die  Formel  (9),  wenn  3f««0,  also 

B*  '^  AC  ist,  die  beiden  Werte 

A       O 

deren  einer  -^  —  k,  gleich  dem  Richtungskoeffizienten  der  Durchmesser 
ist  (209),  während  der  andere  die  dazu  senkrechte  Richtung  be- 
stimmt. 

211.  Transformation  der  Ellipsen-  und  Hyperbelgleichung 
sn  den  Achsen.  In  den  Achsen  ist  für  die  genannten  Linien  ein 
natürliches  rechtwinkliges  Koordinatensystem  gegeben,  bei  dessen  An- 
wendung ihre  Gleichungen  eine  besonders  einfache  Gestalt  annehmen. 
Da  nämlich  der  Mittelpunkt  dann  Ursprung  ist,  entfallen  die  Glieder 
ersten  Grades  in  x,  y,  und  da  weiter  bezüglich  beider  Koordinaten- 
achsen Symmetrie  herrscht,  ist  die  Gleichung  rein  quadratisch  in  be- 
zug  auf  X  sowohl  ^,ls  «/,  es  entfällt  also  auch  das  Glied  mit  dem 
Produkt  xy. 

Ist  die  Gleichung  bereits  zum  Mittelpunkt  transformiert,  also  auf 
die  Form 

Ax'  -f  2Bxy  -f  cy  -h  ö^  =  0  (1) 

gebracht  (200),  so  handelt  es  sich  um  eine  solche  Rotation  des 
Koordinatensystems  um  den  Ursprung,  daß  das  Glied  mit  dem  Pro- 
dukt der  nfjuen  Koordinaten  ausfällt;  ist  ^  der  Rotationswinkel,  so 
lauten  die  Transformationsgleichungen  (169): 

X  =»  x'  cos^  —  y'  sind 

y  ^  x'  sin  ^  -\-  y'  cos  d, 

durch  die  (1)  verwandelt  wird  in: 

(^  ros'd  -f  2B  cosd  sind  -f  asin*^)^:'^ 

—  2[A  coB  9-  sind  ~  5(cos*d  —  sin-d)  —  C  cos  d  sin  d]a;y 

-f  (A  sin'd  —  2i?co8d  sin  d  -f  Ccos^d)^'^  +  ö  —  0; 

die  angestrebte  Form 

^V*-f  i^'f/'«  +  (?-0  (2) 

tritt  also  ein,  wenn  man  d  derart  bestimmt,  daß 

^j^j  {A  -  C)  sin 2d  -  2 /?  cos  2d  -  0  (3) 

Diese  Gleichung  läßt  d  unbestimmt,   wenn  gleichzeitig  A^  C 
und  ^  —  0  ist,  also  im  Falle  des  Kreises. 
In  jedem  andern  Falle  gibt  sie  in 


TruisfoniiAtion  zu  den  AohMn.  309 

die  Bestimmung  zweier  Winkel,  die  sich  um  180®  Ton  einander  unter- 
scheiden, also  zweier  Wert©  von  &,  die  um  90®  differieren;  mit  dem 
einen  i»t  der  andere  gegeben.  Behält  man  den  hoMen  Winkel  bei, 
so  folgt  aus  (4) 

8in2d-     -7 — ~ ^,    0082^«    •  _jf:^?__. ,   £-.8gnÄ  (5) 

Die  in  (2)  eingeführten  neuen  Koeffizienten  A\  C  haben  zunächst 
folgende  Bedeutung: 

-1'—  ^C08*d^  -i-  2jöcosd8ind  -f  ^'«in*^ 

C"-  ^sin»^  -  2Bco8dbind  +  Ocos«^; 

daraus  ergibt  sich  durch  Addition: 

A'^C'^A^-C,  (6) 

und  durch  Subtraktion,  wenn  mau  gleichzeitig  auf  der  rechten  Seite 
von  den  Formeln  (5)  Gebrauch  macht: 

A'  -C'^B V(A ::rö*T4J5*;  (7) 

aus  (6)  und  (7)  erhält  man  schließlich: 

C  =  i-  [A+C-  sV{A~'-^CY'i^49\ . 

Aus  der  hieraus  folgenden  Relation 

A'C'^'AC^B'^-M 

geht  hervor,  daß  bei  der  Ellipse  A'  und  C  gleich,  bei  der  Hyperbel 
ungleich  bezeichnet  sind. 

Es  nimmt  also  (2)  im  Falle  der  eigentlichen  Ellipse  schließlich 
die  Form  ^^i         ^t 

im  Falle  der  Hyperbel  eine  der  Formen 

-4 ^  Z —  s>   1 

-^  o«  ^   6«        ^ 

an,  wobei  in  Keiden  Gliedern  entweder  dos  obere  oder  das  untere 
Zeichen  gilt. 

Hiermit  ist  der  An^hluß  an  die  Definitionen  gewonnen,  aus 
welchen  die  letzten  Gleichungen,  ursprünglich  abgeleitet  worden  sind 
(158, 169).  ' 

Aus  dem  Gange  der  Untersuchung  in  206  und  in  diesem  Ar- 
tikel geht  hervor,  daß  das  absolute  Glied  F  der  Gleiohung  weder 
auf  die  Lage  des  Mittelpunktes,  noch  auf  die  Uichtung  der  Achsen, 
noch  auf  das  Verhältnis  der  Acbsenl&ngen  Einfluß  hat;  dezm  auf  die 
Koordinaten  des  Mittelpunktes  wirken  alle  Koe^zienten  mit  AuäBcbiuB 


310     Analjtiicbe  Geometzie  der  Ebene.    §  6.  Die  Lioien  zweiter  Ordnung. 

Yon  F,  teuf  die  Richtungswinkel  der  Achsen  und  das  Verhältnis  ihrer 
Längen  nar  die  Koeffizienten  A,  jB,  C  der  quadratischen  Glieder  ein. 

Hiemach  stellen  Gleichungen  der  Form  (1),  die  sich  nur  in  F 
unterscheiden,  Ellipsen  und  Hyperbeln  dar,  die  im  Mittelpunkt,  den 
Achsen  und  dem  Verhältnis  ihrer  Längen  übereinstimmen.  Man 
nennt  Linien  dieser  Art  homothetisch. 

QISL.  Solieitelgleichung  der  Parabel.  Wegen  der  Beziehung 
M '"  B*—  äC^O,  die  die  Parabel  kennzeichnet,  kann  deren  all- 
gemeine Gleichung  auf  die  Form 

C(y  4-  J  ip)'+  2Dx  4-  2Ey  -f  F«  0  (1) 

gebracht  werden;  es  ist  also  ein  charakteristisches  Merkmal  der  Parabel- 
gleichung,  daß  in  ihr  die  Glieder  zweiten  Grades,  eyentuell  nach  Ab- 
sonderung eines  konstanten  Faktors,  ein  vollständiges  Quadrat  bilden. 
Als  Richtungskoeffizient  der  Parabeldurchmesser,  also  auch  der 

Parabelacljse,  ist  —  «,  das  gleich  ist  —  tt,  gefunden  worden  (210); 

bezeichnet  man  ako  den  hohlen  Richtungswinkel  mit  d;  so  ist 

tord  — —  7,,     sin^^  -  ; -^,    cos^  =--;—-  — ,   £«=~-8gn^  (2) 

Die  Rotation  des  Koordinatensystems  um  diesen  Winkel  ver- 
wandelt die  Gleichung  (1)  in  die  folgende: 

-^y'*-f  2(Z>cos^4-JS^sin^)a:'-|-2(-I>sin^-f-Ecosd)y'-|-F-0, 

deren  allgemeine  Gestalt  durch 

Cy>-f  2Z)'a;'-f  2Ey+F==0  (3)     ' 

bezeichnet  ist,  wobei  unter  Berücksichtigung  von  (2) 

Übt  man  jetzt  eine  Translation  nach  dem  noch  unbeetimmten    | 
Ursprung  x^jy^  aus,  so  verwandelt  sich  (3)  weiter  in 

Cy"'  4-  ^Dx"  -h  2{C'y,  +  E')y''  +  CVo  +  2D'^  -h  2E'y^  +  F-  0, 
und  verfügt  man  über  den  neuen  Ursprung  derart,  daß 

^eyi-\-2Ux,^2E'y,^F^0  ^ 

wird,  80  vereinfacht  sich  die  Gleichung  schliefilioh  auf 

(7y'»+2DV'-0.  (6) 

Die  zweite  der  Gleichungen  (5)  läßt  erkennen,  daß  der  Ursprung 


Timntformation  zur  Achte  und  som  8ch«itel. 


811 


der  Parabel  selbst  angehört,  uaii  für  seine  Koordinaten  ergeben  sieb 
aas  (5)  die  Werte:  ,„ 

es  ist  jener  Pankt,  in  welchem  die  Parabel  von  ihrer  Achse  ge- 
schnitten wird,  da  vermöge  der  jetzigen  Gleich ungsform  in  bezug  auf 
die  ar- Achse  orthogonale  Symmetrie  besteht.  Man  nennt  den  Punkt  (7) 
den  Scheiid  der  Parabel,  (6)  ihre  Scheitelgleichung. 


In  der  Form 


1  o  -ö'     ' 


labt  sie  ihre  Übereinstimmung  mit  jener  Gleichung  erkennen,  die  aus 
der  ursprünglichen  Definition  abgeleitet  worden  ist  (160). 

Wie  die  Ansätze  dieses  Artikels  zeigen,  hat  das  absolute  Glied  i^ weder 
auf  die  Richtung  der  Achse,  noch  auf  die  Ordinate  y^  des  Scheitels  (im 
System  x,  y\  also  auf  die  Lage  der  Achse,  noch  auf  den  Parameter  Einfluß. 

Es  gehören  demnach  Gleichungen  der  Form  (1),  die  sich  nur  in 
dem  absoluten  Gliede  unterscheiden,  Parabeln  an,  die  dieselbe  Achse, 
denselben  Parameter  und  nur  verschiedene  Scheitel  haben.  Man  be- 
zeichnet derartige  Parabeln  als  homothetisch. 

213.  Beispiele.     1.   Um   die  Ellipse,  die  durch   die  Gleichung 

bestimmt  ist,  auf  die  Achsen  zu  transformieren,  transformiere  man 
sie  tuerst  zum  Mittelpunkt  \^/^;  dies  ist  in  207,  1.  geschehen  und  hat 
—  mit  Unterdrückung  des  Akzents  —      y 

x^-2xy  +  Af-'l^i) 

ergeben. 

Zur  Bestimmung  der  Bich- 
tung  der  Achsen  hat  man 

tg2^=si, 

und  für  die  endgiltigen  Koeffi- 
zienten ergeben  sich  aus  211,  (8) 
die  Werte:         ^-.j^s.yiB^, 

die  Achsengleichung  lautet  abo: 
und  läßt,  in  der  Gestalt 


Flf .  Ml 


S8 


-4- 


V 
u 


-1 


S(6— yiS)        8(6-h|/lS) 


312     Asalytische  Geometrie  der  £bene.    §  6.  Die  Linien  xweitcr  Ordnnng. 


geschrieben,  unmittelbar  die  HsMyachaenlängen  y ~j=^mm^fi\ 


-  - 1^1 


erkennen. 


8(6 -fyl») 
2.  Die  durch  die  Gleichung  204,  4.: 

2a:*+4a:y-|-y»—  2ar— 4y  h  1  -0 

dargestellte  Hyperbel  ist  in  207,  2.   zum   Mittelpunkt  1/-—  1   trans- 
formiert worden,  und  es  ergab  sich,   wieder  in  x,  y  geschrieben,  die 

Gleichung: 

2a:H4a:y  +  y*+|-0. 
Die  Richtung  der  Achse  ist  durch 
tg2d=-4 
bestimmt;  ferner  hat  man 
4'-i(3+>/T7), 

und  hiermit  ergibt  sich  die  Achsen- 
gleichung: 

(Vl7+3)ar'» 

-(Vi7-3)y"  +  3-0, 
wofür  geschrieben  werden  kann: 

y"        *'*   -1. 

S  8  ^' 

ya — 8    yi7  -f  8 


die  reelle  Halbachse  hat  sonach  die  Länsre  1/-— ^ —  —  1,63  •  •  •  und 
ffilit  in  die  y '-Achse,  die  imaginäre  Halbachse  betragt 

.65.  •. 


^  yi7+8 


Die  Konstruktion  gestaltet  sich  in  den  beiden  Fällen  wie  folgt. 
Nachdem  mau  den  Mittelpunkt  Sl  mittels  seiner  Koordinaten  ^^/y  in 
Fig.  HO,  y/-~  1  iu  Fig.  91  aufgetragen,  konstruiert  man  den  Winkel 
2d  «^  OpTK  aus  seiner  Tangente,  \  in  dem  einen,  4  in  dem  andern 
Falle,  halbiert  ihn  und  führt  durch  Sl  die  Parallele  zur  Halbierungs* 
linio  J/i,  so  ist  damit  die  eine  Achse^  zugleich  die  ^- Achse  des  neuen 
Koordinatensystems  gefunden;  die  andere  steht  auf  ihr  senkrecht 
Durch  Abtragen  der  Halbachsenl&ngcn  ergeben  sich  die  Scheitel  J.,  A''^ 
Bj  B'  in  Fig.  iK),  A,  Ä  (und  die  uaeigeptlichen  B,  B')  in  Fig.  91; 
in  der  letzten  Figur  liefert  das  Aohsenrechteck  in  seinen  Diagonalen 
6}.t  Asymptoten  a,  a. 


Spedelle  Gleicbuugeu. 


aiH 


Fl«.  M. 


3.  Um  für  die  Parabel  204,  8.: 

Ax^-  4xy  4-  f/-  4a:  +  8y  -  2  «  0 

die  Scheitelgleicbimg  herzustellen,  hat  man  zuerst  mittels 

~  -^  tgd-2 

die  Achsenrlchtung  zu  hestiraraen    und  die  Koeffizienten  T',  IX,  E' 
zu  berechnen;  man  findet:  i; 

hieraus   ergeben  sich  die  Koordinaten  des 
Scheitels  in  dem  um  Ö"  ge<lrehten  System  y 
und  der  Parameter: 

.V,--.\V^ 0,72--., 

^,  =  _«>/5=.-0,54  ... 

Konstruktiv  geht  man  80Tor,daßman  zu- 
erst den  Winkel  0^  mittels  des  rechtwinkligen 
Dreiecks  OJK,  Fig.  92,  dessen  Katheten 
OK,  OJ  im  Verhältnis  2  :  1  zu  einander  stehen,  herstellt,  und  daß 
man  sodann  in  dem  Koordinatensystem  X'OY\  das  um  diesen  Winkel 
gegen  das  ursprüngliche  gedreht  ist,  den  Scheitel  mittels  seiner  Koor- 
dinaten aufträgt,  in  diesen,^  das  endgiltige Koordinatensystem  X"A  F" 
verlegt  und  mit  Benützung  von  p  den  Brennpunkt  F  der  Parabel 
einzeichnet,  mit  dessen  Hilfe  diese  selbst  konstruiert  werden  kann. 

214.  Identität  der  Xiinien  zweiter  Ordnimg  mit  den 
SegelBChnittsIinien.  Es  soll  nun  gezeigt  werden,  daß  alle  die 
Gebilde,  die  durch  eine  Gleichung  zweiten  Grades  darstellbar  sind, 
erhalten  werden  können,  indem  man  den  geraden  Kreiskegel  und  den 
geraden  Kreiszylinder,  der  als  eine  Ausartung  des  Kegels  aufgefaßt 
werden  kann,  in  geeigneter  Weise  mit  Ebenen  schneidet.  Dieser  Um- 
stand rechtfertigt  es,  die  erwähnten  Gebilde  als  K&jdsdmiUe  zu  be- 
zeichnen. 

Vom  Kreise  selbst  braucht  nicht  mehr  gesprochen  zu  werden, 
weil  er  den  genannten  Flächen  ihrem  Entstehungsprinzip  nach  zu- 
grunde liegt  und  darum  diesem  Prinzip  entsprechend  aus  ihnen  wieder 
gewonnen  werden  kann. 

Um  für  die  Ellipse,  Hyperbel  und  Parabel  den  Nachweis  zu 
führen,  wollen  wir  den  Gleichungen  dieser  Linien  eine  einheitliche 
Form  geben,  und  diese  Form  wird  in  der  Scheitelgleichung  zu  ünden 
sein.     Um  die  Ellipsengleichung 


314     Analjtiäche  Geometrie  der  Ebene,    f  6.  Die  Lioien  zweiter  Ordnung. 


auf  di;n  linken  Scheitel  zu  transformieren;  bat  man  x  durch  x  —  a  z\x 
ersetzen;  die  transformierte  Gleichung 

nimmt  nach  Einführung  des  Parameters 

6'  e 

ü  =»      und  der  relativen  Exzentrizität«  =- 
^        a  a 

(171)   die  Gestalt  an: 

Die    Transformation    der    Hyperbel- 
gleichung 

^'  -  ^1  «.  1 

Fig.  93. 

auf  den  rechten  Scheitel  geschiebt,  indem  man  x  durch  x  -\-  a  ersetzt; 
sie  führt  wieder  auf  (1),  doch  mit  der  Maßgabe,  daß  i  nunmehr  ein 

unechter  Bruch  ist,  während  es  bei 
der  Ellipse  einen  echten  Bruch  be- 
deutet. 

Die  Gleichung  (1)  umfaßt  also 
Ellipse,  Hyperbel  und  Parabel,  in- 
dem man  der  Reihe  nach  f  <  1,  >  1 
und  *»  1  festsetzt,  und  ist  deren  ye- 
meinsame  Scheitelgleicfmng.  Sie  umfaßt 
auch  den  Kreis,  den  sie  dann  dar- 
stellt, wenn  man  e  •-  0  setzt. 

Ein  gerader  Kreiskegel  werde  nun 
mit  einer  durch  seinen  Scheitel  S 
gelegten  Ebene  in  Verbindung  ge- 
bracht; diese  kann  mit  ihm  a)  nur  den  Scheitel,  ß)  zwei  yerschiedene 
Seitenlinien,  y)  »wei  vereinigt  liegende  Seitenlinien  gemein  haben,  in- 
dem sie  ihn  berührt.  Es  soll  nun  unter- 
sucht werden,  wonach  eine  %u  der  ge- 
dachten parallele  Eben«  den  Kegel  in  den 
drei  Fällen  schneidet 

In  den  Figuren  93, 94, 96,  die  den  FSHen 
a),  ß)y  y)  entsprechen,  stellt  E  die  Spur  der 
schneidenden,  zur  Zeich^nebene  senkrechten 
Ebene  dar;  MN,  M*y  ein  Paar  von  Kreis- 
schnitten des  Kegels,  von  denen  je  eine 
Hälfte  parallel  zur  J^eichenebene  gedreht  ist, 
um  die  Ordinaten  PQ.P'Q'  der  betreffen- 
de Punkte  der  Schnittlinie  ersichtlich  zu 
y^  ^  macheu;    als    Abszissenachse    dient    dabei 


Fig.  M. 


Kfgfldubiiitte  515 

der  Achsenschnitt  der  Ebene  mit  dem  Kegel,  als  Ursprung  dor 
Pnnkt  A. 

In  Fig.  93  ist  P(^*  -  MP  Py,  P'Q'^  «  M'P'    P'y\   woraus 
PQ*         MP     :FN         IIP     PA     ^  ,  r  ,     •  . 
FV'  -  U'P'  '  P'l<'  -  BP'  ■  P'.V  ^^^^^^  »«* 

Tq^  --k'BPPA, 

d.  i.,  wenn  BA  '^2a  gesetzt  wird: 

y«  =  k(2a  -  x)x  -  2kax  -  kx*,  (2) 

InFig.94i8tp^|.,--^^,p,  p,^,«p,^^^,al80  P^J  =^l  PB  PA, 
und  wenn  AB  *«  2a  gesetzt  wird, 

y*  -  k(2a  +  ^)a;  =  2itau:  +  kx^.  (3) 

T    T?      n;^i-  1  ^^'         MP   PN        PN       PA     t       x>/i»      /    DJ 

InFig.95hatmanp^7,-3^.|y7p,^«p,^,-yv34,a'8oPe  =A.P^ 

oder 

y'  =  *x.  (4) 

Setzt  man  im  ersten  and  zweiten  Falle 

«a  =  p  —  -  ,  so  wird  A:  =  -„ 

also  bei  der  Ellipse  k  =»  — ^-  =  1  —  f ',  bei  der  Hyperbel  Ar  —  — , 

•«  {*  —  1,  und  hiermit  gehen  die  Gleichungen  (2),  (3)  tatsachlich  in 
(1)  über. 

Im  dritten  Falle  braucht  nur  k  =  2p  gesetzt  werden,  um  auf  die 
frühere  Form  zu  kommen. 

Wollte  man  da^  Quadrat  über  y  in  ein  inhaltsgleiches  Rechteck 
verwandeln,  dessen  eine  Seite  x  ist,  so  würde  die  zweite  Seite  bei  der 
Ellipse  anter  2p,  bei  der  Hyperbel  über  2p,  bei  der  Parabel  gerade 
2p  betragen,  daher  an  2p  gemet^en  bei  der  Ellipse  etwas  ubrigUtsseity 
bei  der  Hyperbel  darüber  hinansreichen,  bei  der  Parabel  gerade  aii- 
li^fjcn.  Aus  diesem  Sachverhalt  sind  die  klassischen  Namen  der  dr*i 
Spezies  von  Kegelschnitten  hervorgegangen. 

Wird  an  Stelle  des  Kegels  der  Zylinder  zur  Grundlage  genommen, 
so  kann  der  Schnitt  mit  einer  Ebene  außer  dem  Kreise  und  der  Ellipse 
auch  ein  Paar  von  parallelen,  reellen  oder  imaginären,  Geraden  sein. 

Hiermit  sind  aber  alle  Gebilde  erschöpft ,  die  in  der  allgemeinen 
Gleichung  zweitem  Grudes  enthalten  Sein  können.*) 

215«  Tangentenproblein«.   L  Bei  gegebenem  Berührungspunkt 


i)  Bis  auf  den  imaginären  Kreis  und  die  imaginäre  EUipte,  die  auf  diesem 
We^e  nicht  znstan'lekommen. 


S16     AnalytiNche  Geometrie  der  Ebene.    $  6.  Die  Linieji  zweiter  OrdDoog. 

xjy  stellt  sich  die  Tangente  au  <}ie  Linie  f(ac,y)  «  0  durch  die  Glei- 
chang  (194) 

dar.     Dies  auf  die  allgemeine  Gleichung  zweiten  Grades 

f{x,y)  ^Äx'^  2Bxy  +  Cy«  +  2Dx  +  2Ey  +  i^«  0         (1) 
angewendet,  führt,  da 

fi{x,y)^2{Bx  +  Cy^E), 
zunächst  zu  der  Gleichung: 

2(Ax  +  By\-  2>)£  +  2(Bx  -f-  Cy  +  E)^  -  W  +  vQ  =  0;     (2) 
es  ist  aber 

^f'm  +  yfy  -  2(^ir*  -f-  2Bxy  +  Cy»  4-  Da:  +  i»  -  -  2(Dx  -h  -Ey  +  -F), 
infolgedessen  schreibt  sich  die  Gleichung  der  Tangente  endgiltig: 
{Äx  ->rBy-r  B)l  +  {Bx  -f-  Cy  +  E)ri  +  {Dx  ^  Ey  i- F)  -  0.  (3) 
Nach  Xj  y  geordnet  lautet  sie: 
{Ai  -i-Bri-i-  D)x  -f  (Bl  +  Ct?  +  E)y  +  (D|  +  Eij  -f  F)  =  0,   (3*) 

der  Vergleich  mit   (3)  zeigt   die  Vertauschbarkeit   von  xjy  und  J/i^. 
n.    SoQen  die  Tangenten  durch  einen  gegebenen  Punkt  F{Xf^ly^ 
gelegt  werden,  so  hat  man  zur  Bestimmung  ihrer  Berähningspunkte 
xjy  außer  der  Gleichung  (1)  die  aus  (3*)  resultierende  Gleichung 

{Äx^  +  By^  +  B)x  +  {Bx^  -f  Cy^  +  E)y  +  {Bx^  +  Ey,  -f  i^)-0,  (4) 

die  eben  die  Forderung  ausdrückt,  daß  die  Tangente  durch  P  zu  gehen 
hat.  Bei  veränderlichem  x,  y  stellt  diese  Gleichung  eine  stets  reelle 
Gerade  p  dar,  die  in  ihren  Schnittpunkten  mit  (I)  die  gesuchten  Be- 
rührungspunkte liefert;  je  nachdem  diese  Schnittpunkte  reell  und  ver- 
schieden und  vereiuigt  oder  aber  imaginär  sind,  gibt  es  zwei,  eine 
oder  keine  Tangente  durch  P. 

Man  nennt  die  Gerade  p  die  Folarc  von  P  in  bezug  auf  den 
Kegelschnitt  (1),  P  den  Pol  von  p 

Die  vorhin  bemerkte  Vertauschbarkeit  der  beiden  Koordinaten- 
paare in  (4)  hat  folgendes  zu  bedeuten:  Die  Polare  eines  Punktes 
von  p  geht  durch  P  und  der  Pol  einer  Geraden  durch  P  liegt  auf  p. 
III.  Sollen  die  Tangenten  «*iner  gegebenen  Geraden  parallel  sein, 
also  einen  bestimmten  Richtungskoeffizienten  m  haben,  so  dient  zur 
Bestimmung  ihrer  Berührungspunkte  xjy  neben  der  Gleichung  (1) 
noch  die  aus  (3)  resuUierende  Gleichung 


TftDg^nteoprobleme.    Pol  and  Polare.  317 

die  den  Ausdruck  för  die  eben  gestellte  Fordemng  bildet;  in  der 
Qestalt 

(A  4-  Ii*n)x  -f  (i?  -f  Cm)y  4-  7)  +  -Em  -  0 
geschrieben   erkennt  man    in    ihr  die  Gleichung  jenes  Durchmessers, 
der  die  Sehnen  Tom  Hicbtungekoefüzieuten  m  halbiert  (208;.    Dieser 
Durchmesser  bildet   die  Polare  zu   dem  unendliek  fcmm  Punkt  der 
Geraden,  der  die  Tangenten  parallel  sind. 

216.   Pol  und  Polare.     In  bezug  auf  den  Kegelschnitt 

f{x,y)  -  ^x*  -f  ^Bxy  +  Cy*  +  2I)x  +  2Ey  +  F-  0        (1) 
hat  der  Punkt  F{xQly^  die  Polare 

p{x,y)'^{Ax^^1iy^^'B)x^{Bx^^-Cy^•\•E)y^^{Dx^^-Ey^^^F^ 
Mit  diesen  beiden  Gebilden  bringen  wir 
nun   den   Geradenbüschel    aus   P,   der 
parametrisch 

X  ^  x^-t  s<tQsa 

\      -  (3) 

geschrieben  werden  kann,  in  Verbindung. 
Gleichung  (1)  geht  durch  die  Sub- 
stitution (3)  in  die  bezüglich  *"  quad- 
ratische Gleichung  (208): 

{A  cos*  a  -1-  2  .B  cos  a  sin  «  -f  C  sin^a)  s* 
■i-[r^^coBa+f',^»ma]3^f(Xf^,yf,)'^Ö{4) 

über,  deren  Wurzeln  s',  s"  die  Strecken  zwischen  P  und  den  Schnitt- 
punkten M',  M"  der  Geraden  (a)  mit  dem  Kegelschnitt  Q>  bedeuten, 
Fig.  96. 

Gleichung  (2)  verwandelt  sich  durch  dieselbe  Substitution  in 

{Ax,,  -f  By^  4-  D)x^  +  {Bx^  +  Cy^  -h  E}y^  ^'  (Dx,  +  Ey.  4-  F) 

-I-  [{Ax^  4-  By^  -f  D)cosa  -f  (Bx^  -f  Cy^  4-  7i:)8in«].^  -  0, 
d.  i.  in 

(Z*;^  cos  a  -f  /y^sin  cc)  3  -f  2f(XQ,  y^)  —  Ü;  (5) 

las  hieraus  berechnete  s  bestimmt  die  Strecke  zwischen  P  und  dem 

Schnittpunkt  Q  der  Geraden  (a)  mit  der  Polare  p. 

Nun  folgt  aus  (4),  daß 

f*  C08  (/  -^  fl  ein  a 

*"       Aco9* a -^  2 B  COB  a  Bin  €i]-^C  ein*  tt' 

^®         AeoB^a-^tBeoiarnntz-finui^a'  ^^ 

wonach  also 


318        Analytifche  Geometrie  des  Baame«,    §  1.  Der  Koortlinatenbegriff. 
andererseits  fuhrt  (5)  auf 

demnach  ist 

Dadurch  ist  ri79)  erwiesen,  daß  die  Schnittpunkte  einer  jeden 
Geraden  durch  P  mit  dem  Kegelschnitt  Ton  P  und  seiner  Polaren 
harmonisch  getreaat  werden.  Dieser  Sachverhalt  kann  dazu  verwendet 
werden,  die  Polare  von  P  auch  dann  zu  konstruieren,  wenn  aus  P 
keine  reellen  Tangenten  an  den  Kegelschnitt  gehen. 

An  die  Gleichung  (6),  die  das  Produkt  PM'  •  FM"  der  Seg- 
mente hestimmt,  sei  die  folgende  Bemerkung  geknüpft. 

Bei  dem  Kreise,  wo  A^^C  und  P=0  ist,  hängt  dieses  Produkt 
von  der  Richtung  des  Strahls  nicht  ab  und  führt  zu  dem  Begriff  der 
Potenz  (196).  Zugleich  zeigt  die  Gleichung  (6),  daß  in  diesem  Falle 
der  Ort  der  Punkte  xJyQ^  die  in  Bezug  auf  den  Kreis  /'(x,y)=*0 
gleiche  Potenz  haben,  ein  mit  ihm  konzentrischer  Kreis  ist. 

Bei  den  anderen  Kegelschnitten  ist  das  Segmentprodukt  ds"  von 
der  Richtung  des  Strahls  abhängig;  halt  man  diese  Richtung  fest 
und  setzt  s'ii''{A  cos*a -f  2Bcoe  a  sin«  -f  Csin* a)  =-  ky  so  schreibt  sich 
der  Ort  von  Punkten  ^^oj  ^*"'  ^^^  ^^  Segmentprodukt  bei  der  an- 
genommenen Richtung  a  konstaut  ist, 

/(^o;yo)=-*- 
Dies  stellt  aber  nach  den  Bemerkungen  am   Schlüsse  von  211  und 
212  einen  zu  /(ir,y)  =  0  homotbetischeu  Kegelschnitt  vor. 

Es  gehört  also  zu  jedem  Kegelschnitt,  der  mit  einem  Grund- 
kegelschnitt  homothetisch  ist,  eine  (und  wegen  der  Symmetrie  eine 
aweite)  Richtung,  bei  welcher  der  erstgedachte  Kegelschnitt  der  Ort 
von  Punkten  ist,  denen  in  Bezug  auf  den  Grund kegelscbnitt  ein  kon- 
stantes Segmentprodukt  8  8*'  zukommt. 


IX.  Abschnitt. 

Analytische  Geometrie  des  Raumes. 

§  1.  Der  Koordinatenbegriff. 

217.  Da«  rechtwinklige  Koordinateneystem.  Nimmt  man 
im  Räume  drei  gerichtete  Gerade  an,  die  durch  einen  Punkt  gehen, 
und  deren  jede  auf  den  beiden  anderen  senkrecht  steht,  wählt  den  ge- 
meinsaroen  Punkt  fQr  alle  drei  Gferaden  als  Nnllpunkt  (Anfangspunkt) 


i  ■ 

/; 

/ 

y 

0 

. 

/ 

,/'■ 

\ 

^ 

Dm  rechtwinklige  Ka)mikoordinat«DsjtteiD.  319 

oiid  eine  Strecke  als  Einheit^  so  sind  damit  die  drei  Geraden  zu  Zahlen- 
linien  ausgestattet  und  geeignet,  ein  Koordinatensystem  zu  bilden. 
Man  nennt  die  Geraden  die  KoordinatencichseUf  ihren  gemeinsamen 
Punkt  Anfangspunkt  oder  Ursprung,  die  drei  durch  sie  bestimmten 
Ebenen  die  Koordinaienebenett.  Die  Achsen  soDen  der  Reihe  nach 
als  X-,  y-,  ir- Achse,  die  Ebenen  als  yg-,  $X'y 
:r//- Ebene  bezeichnet  werden,  Fig.  97. 

Projiziert  man  einen  Punkt  M  des 
Raumes  mit  Hilfe  von  Ebenen,  die  zu  den  /» 
Achsen  senkrecht  stehen,  auf  diese,  so  ge^ 
hört  zu  der  Projektion  Q^  auf  der  a;- Achse 
eine  bestimmte  Zahl  x,  zu  der  Projektion 
Q^  auf  der  y- Achse  eine  Zahl  y  und  zu 
der  Projektion  Q^  auf  der  ;r- Achse  eine  y^^  Fi*  »7. 
Zahl  f,  und  diese  drei  Zahlen  x,  y,  ß  sind 
geeignet,  die  Lage  des  Punktes  M  zu  beschr'eiben.  Denn  nicht  allein 
gehört  zu  jedem  Punkte  des  Raumes  ein  und  nur  ein  solches  Zahlen- 
tripel;  auch  umgekehrt  führt  ein  gegebenes  Zahlentripei  nur  zu  einem 
Punkte  des  Raumes,  dem  0  gegenüberliegenden  Endpunkte dts  Parallel- 
epipeds  mit  0Q^==  Xy  OQ^^y^  OQ^^  e  als  Kanten. 

Bei  dem  beschriebenen  Vorgang  entstehen  auch  die  Projektionea 
P^yP^,  Pj  des  Punktes  3/  auf  den  drei  Koordinatenebenen  ys.eXy  xy. 
Diese  Projektionen  haben  in  den  betreffenden  Ebenen  die  Koordinateii 
ylzy  z/Xy  xiy,  wenn  x/y/x  die  Koordinaten  von  M  sind. 

In  dem  Linienzuge  OQ^P^M  sind  alle  drei  Koordinaten  des 
Punktes  M  zur  Anschauung  gebracht:  x  in  OQ^^y  y  in  Öi-P«»  ^  ^^  P^M. 
In  der  Folge  wird  daher  in  der  Regel  dieser  Linienzug  allein  verzeichnet 
werden. 

Durch  die  drei  Koordinatenebenen  ist  der  Raum  in  acht  Fächer 
—  Oktanten  —  geteilt,  und  jedem  derselben  entspricht  eine  andere 
Verbindung  der  Vorzeichen  bei  den  Koordinaten  seiner  Punkte. 

Liegt  ein  Punkt  in  einer  der  Koordinatenebenen,  so  ist  eine 
seiner  Koordinaten  Null;  so  bedeutet  M{alb/0)  einen  Punkt  der 
xy 'Ebene. 

Liegt  der  Punkt  in  einer  der  Achsen,  so  sind  zwei  seiner  Koordi- 
naten Null;  so  ist  z.  B.  3/(0/6/0)  ein  Punkt  der  y- Achse. 

Nur  im  Ursprung  sind  alle  drei  Koordinaten  Null. 

Durch  itf(a/^>/f),  N(a/hl—c)  ist  ein  zur a?y- Ebene,  durch  ilf(a/6/tf), 
N{a!—h!~c)  ein  zur  a:- Achse,  durch  3/(a/6/c),  N(-'a/  —  h/—e)  ein 
zum  Ursprung  symmetrisches  Punktepaar  bestimmt 

218.  Abstand  eines  Punktes  vom  ITrsprnng.  Die  Strecke, 
die  den  Ursprung  mit  dem  Punkte  M  verbindet^  erscheint  als  Diago- 


320        Analytische  Geometrie  det  Raumes.    |  1.  Der  Koordinaienbegriff. 

nale  in  dem  zugehörigen  KoordinatenparallelepipedL  Bezeichnet  man 
ihre  absolute  Länge  mit  r,  die  Koordinaten  von  M  mit  x,  y,  ^,  so  iit 

r  -  VöP» -f  7 -f  "^^  (1) 

die  Quadratwurzel  mit  dem  absoluten  Betrag  genommen. 

Faßt  man  x,  y,  s  als  variabel  auf,  bo  ist  durch  die  Gleichung 

a:*  -f  .V*  +  n^  --  r»  (2) 

der  Inbegriff  aller  Punkte  gekennzeichnet,  die  vom  Ursprung  den  Ab- 
«taud  r  haben;  ihr  Ort  ist  die  mit  dem  Radius  r  um  0  beschriebene 
Kugel,  (2)  also  die  Gleichung  dieser  Kugel. 

219.  Abstand  siweier  Punkte.  Legt  man  durch  zwei  Puukte 
Jlfj(a:,/y, /rj),  ^ti^^lVil^^)  ^u  den  Achsen  senkrechte  Ebenen,  so  be- 
grenzen diese  bei  allgemeiner  Lage  der  Punkte  ein  Parallelepiped, 
desseji  Kanten  an  Länge  gleich  sind  den  absoluten  Koordinatendiffe- 
renzen der  bx?idon  Punkte.  Demnach  ist  die  absolut-e  Länge  d  der 
Strecke  M^M^  bestimmt. durch 


d  =-  y{x,  ^  x,y  +  (y,  -  3/,  )*  +  (A  -  ^2  )'•  (3) 

220.    Bichtnngsvrinkel   einer  Geraden.     Eine  Gesamtheit 
von  parallelen  und  gleiohgeifichfceten  Geraden  des  Raumes  ist  hinsicht- 
z  lieh   ihrer  Eichtung   durch   eine    unter  ihnen 

^^  i<y  bestimmt;   als   solche  werde   diejenige,  g,  ge- 

V '  wählt,  die  durch  den  Ursprung  geht,  Fig.  98. 

Die   hohlen  Winkel,   welche  g  mit  den 
•z  positiven   Richtungen   der  Achsen  bildet,  — 

,;      Q     ^    sie  seien  tt,  ßy  y  —  bezeichnet  man  nicht  nur 
:    .^  als  ihre  eigenen,  sondeni  auch  als  die  Bichtungs- 

P  wMel  jeder  Geraden  aus  der  erwähnten  Gfe- 

lig.  98.  samtheit. 

Durch  eine  gerichtete  Grerade  sind  die  drei  Winkel  «,  /9,  y  ein- 
deutig bestimmt.  Das  ümgeTcehrte  trifil  nicht  zu.  Sind  «,/)  ge- 
geben, so  kommt  es  darauf  aii,  körperliche  Ecken  zu  konstroieron, 
deren  eine  Seite  XOF  ist,  während  die  den  Kanten  OY,OX  gegen- 
fiberliegenden  Seiten  t^  ß  sind;   das  ist  jedoch   nur   möglich,   wenn 

a  -\-  ß  '^-^  -  ist*,  gilt  das  obere  Relationazeicheu,  ho  ergeben  sich  zwei 

körperliche  Ecken,  also  auch  zwei  Gerade  mit  den  Richtungswinkeln 
«,  ßy  deren  dritter  Richtungswinkel  schon  bestimmt  ist;  gilt  das  untere 
Zeichen,  so  fäili  die  Ecke  in  die  :ry> Ebene  zusammen,  es  gibt  nur 

eine  Ecke  mit  den  Richtungswinkeln  a,  /),  während  der  dritte  ^  ist    Ist 


1)  Und  '.  eikr  c  -h  |.  ^  ft  /J  4- 1  ä. «. 


RichtujigtoosiDiM  einer  Geraden. 


821 


-hiiigegen  a  +  /J  <  ^,  so  iflt  keine  Ecke  konstruierbar,  »omit  aach  keine 

Gerade  mit  den  Richtungswinkeln  u,  ß  möglicL 

Die  Richtungswinkel  einer  Geraden  sind  also  nicht  unabhängig 
voneinander. 

Die  Art  der  Abhängigkeit  ergibt  sich  aus  folgender  Erwägung. 
Trägt  man  auf  der  Geraden  die  positive  Strecke  OJf  —  r  ab,  so  sind 
(leren  Projektionen  auf  den  Achsen  die  Koordinaten  x,  y,  s  de.s  Punktes 
Mf  mithin  ist 

jc  =»  rcosa 

y  =«  rcos/) 

M  —  rcosy; 

die  Quadratsumme  dieser  Gleichungen  ergibt   mit  Rücksicht  auf  (1): 


cos*  ft  -f  cos'  ß  4-  cos*  y  =  1. 

Man  nennt  coso,  cos/3^  cos^  die  Ridi- 
twngskosinus  der  Geraden  g  und  jeder  mit  ihr 
parallelen  und  gleichgerichteten.  Es  besteht 
also  der  Satz:  Jv}  rechtwinkligen  Sy.^tem  ist 
die  Summe  d*>r  Quadrate  der  RiMungskosinus 
einer  jeden  Geraden  gleich  1. 

Ißt  beispielswe:  o  «  =-  45*,  ß  —  60^,  so 
hat  man      ,    ,    j    .        .  - 


(4) 


Fig.  M. 


woraus  cos  y  =-  i  ^;  es  j^ibt  also  zwei  Ge- 
rade, die  der  gestellten  Bedingung  genügen,  und  ihre  Richtungswinkel 
sind  45°,  6(y>,  60<>  und  45«   00°,  120°. 

221.  Winkel  zweier  Geraden.  Um  den  Winkel  m  zweier 
gerichteten  Geraden  ^j,  '^„  Fij».  99,  aus  ihren  Richtungskosinus  zu 
bestimmen,  verlege  man  sie  nacb  dem  Ursprung  und  trage  auf  jeder 
Tom  Ursprung  aus  in  positiver  Richtung  die  Längeneinheit  auf;  die 
Endpunkte  Jtf^,  M^  dieser  Strecken  haben  dann  die  Koordinaten 
cusaj/cos/Jj/cosyp  cosa^/cDs/J, /c^^y,;  folglich  ist  das  Quadrat  der 
sie  verbindenden  Strecke  d  (219): 

iJ}  ».  (cos  Oj  —  cos  a^f  +  (cos  ß^  —  cos  /J,)*  -|-  (cos  y,  —  cos  y,)* 
—  2  —  2(co8«j  009  a,  -f  cos  ß^  cos  ft  +  oos  yj  cos  y,) ; 

andererseits  folgt  aus  dem  Dreieck  OM^M^x 

^  —  2  —  2coscj; 
mithin  ist 

cos  w  =  cos  ttj  cos  a,  +  cos/J^  cos  ß^  +  cos  y^  cos  y,. 

Os»¥eT,  UMMr«  lUthMiAtlk.  t.  AbS.  21 


(1) 


322       Analytische  Gftomefcrie  tlei  Raumes.    §  1.  Der  KoordiLatenbegriff 

Daraas  berechnet  sich  (116) 

sin'  6J  »=  1  -  (co8«,  CO«  cf,  +  C08  ß^  cos  /3,  -f  cosyi  cos  y,)' 

—  (^cos*iv'i  4-  co8*/Ji  +  cos'y,)  (cos*«,  -f  cos*/J,  -f  cos^y«) 

—  (coscf,  coB«,  +  C08/3,  co8/5f,  -f  cosy,  cosj^j)* 

—  i^co8/3j  cosy,  "  cos/^,  cosy,)*  4-  (cos^i  C08«,  —  cos  y,  cosaj/ 

-f  (cosß.  cusiSL  —  cos«/,  cos  Ay, 
woraus 

8in(D  = 

y(co8^jrosy,. -co8/},cosyj*4-(co8yiCOSß,--co8yjC08a,)*-f-(co8ß|C08/52--coBa,cos^i) 

die  Wurzel  positiv  genommen,  weil  cj  unter  allen  Umständen  hohl  ist. 
Aus  (1)  ergibt  sich  die  Bedingung  für  das  Senkrechtsteheu: 

cos  «IC,  cos  ßj  -f-  cos  ßt  cos  6^  -f-  COS  y,  C08  y,  =^  0,  (ti) 

ans  (2)  die  för  den  Parallelismns: 

cos  a,  __  cos  ^,        c^s  7^  ^ -N 

COB  Cf,  cos  jÜ,  CO«  y,  '  ^    '' 

sind  die  Geraden  auch  gleich  gerichtet,  so  habon  die  drei  Quotienten 
den  Wei-t  1,  im  «indem  Falle  den  Weit  —  1. 

222.  S&nmUohe  Polarkoordinaten.    Die  Lage  eines  Punktes 
iJ^  ^^  im   Räume    kann    in  ])ezug  auf  ein  recht- 
winkliges Koordinatensystem  auch  in  folgen- 
der Art  beschrieben  werden.    Man  gibt  die 

^'^    ':  Länge  r  der  Strecke  an,  die  den  Punkt  M 

mit  dem  Ursprung  verbindet  (den  Radius 
ö     vektor),  ferner  den  Winkel  9:,  den  die  Rich- 
tung OP  mit  der  po.sitiven  Richtung  der 
..'.  a;-Achse,   endlich   den  Winkel  ö,   den  die 

^  Richtung  OM  mit  der  positiven  Richtung 

«f  Joo-  der  -?- Achse   bildet,   Fig.  100.     Die   drei     \ 

Zahlen  r,  9,  6  hszeichnet  man  als  die  räumlichen  Polarhoordittatm  des 
Punktes  31  und  schreibt  M(r/(p/6). 

Um  alle  Punkte  des  Raumes  beßchreiben  zu  können,  genQgt  es, 
0  auf  das  Intervall  (0,  .-r),  <p  auf  das  Intervall  (0,  2x)  zu  beschränken, 
während  r  alle  Werte  aus  (0,  00;  annehmen  kann. 

223.  Fl&ohen.  L  Eine  Fläche  ist  geometrisch  definiert,  wenn 
ein  Kon«trnktionsverfahren  angegeben  ist,  durch  das  beliebig  viele 
ihrer  Punkte  bestimmt  werden  können. 

Bezieht  man  eine  40  definierte  Fläche  auf  ein  KoordinateuHTstem, 
io  hat  dit'  Eiuhritlichkeit  des  Konstruktion« verfahren«  zur  Folge, 
dafi  zwischen  den  Koordinaten  einvs  Punktes  der  Fläche  eine  für  alle 
pQikkte  gleiohlanteTide  Gleichung  besteht,  die  man  als  die  Gleidiumj 
dtr  FUkhe  bczeiihuet. 


Winkel  zweier  Geraden.    Fläcbengleicboogeo. 


323 


Umgekehrt  entspricht  einer  Gleichung  zwiecheu  den  Koordinaten, 
wenn  man  sie  in  einem  Sjstem  deutet,  im  allgemeinen  eine  Pliche^ 
unter  Umständen  ein  Sjstem  Ton  Flächen. 

Diese  letztere  AuRsage  soll  nun  näher  erörtert  Werden. 

1.  Enthält  die  üleichung  nur  eine  der  Koordiuaten,  lautet  sie  c.  B. 

l'Y«)-.0,  (1) 

so  liefert  die  Auflösung  nach  x  eine  oder  mehrere  Gleichungen  Ton 
der  Form 

wobei  nur  reelle  Lösungen  in  Betracht  gezogen  werden  sollen; 
das  Gebilde  aber,  dessen  sämtliche  Punkte  ein  und  dasselbe  x  haben, 
ist  eine  zur  a;- Achse  senkrechte  £bene;  sind  mehrere  Lösungeu  Tor- 
lianden,  so  bestimmen  sie  ebenso  viele  £benen  dieser  Art. 

2.  £nthält  die  Gleichung  zwei  Koordinaten,  lautet  sie  beispiels- 
weise 

^(*,»)-0,  (2) 

80  bestimmt  sie,  auf  die  x*iy-£bene  bezogen,  eine  Linie;  es  genügen 
ihr  aber,  da  sie  e  nicht  enthält,  auch  alle 
Punkte  des  Raumes,  die  sich  in  Punkte 
dieser  Linie  projizieren;  der  Ort  solcher 
Punkte  ist  jene  Zylinderfläche,  die  die  ge- 
dachte Linie  zur  Leitlinie  hat,  und  deren 
Seitenlinien  der  ir- Achse  parallel  sind,  Fig.  101. 

3.  Sind  alle   drei   Koordinaten  in   der 
Gleichung  enthalten,  hat  sie  also  die  Fonn  ^ 

Bo  stelle  man  folgende  Betrachtung  an.  Punkte  des  Raumes,  deren 
z  ^  c^  ist,  und  die  zugleich  der  Gleichung 

F(*,y,c,)-0 

genügen,  liegen  auf  einer  Linie  /j,  die  sich  in  der  zur  :ry-£bene 
paraHelen  £bene  im  Abstände  c^  befindet,  Fig.  102;  in  gleicher  Weise 
fuhrt  die  Annahme  ;&  =-  c,  zu  einer  Linie  /,,  deren  ar,  y  der  Gleichung 

gendgen ;  zu  einer  dritten  solchen  Linie  l^  gelangt  man  durch  die  An- 
nahme s  ^  Cy  USW.  Die  Punkte  aller  dieser  Linien  entsprechen  der 
Gleichung  (3).  Stellt  man  sich  nun  vor,  daß  statt  des  unstetigen 
Übergangs  von  einem  Werte  des  e  zum  anderen  eine  stetige  Änderung 
erfolgt,  so  werden  auch  die  Linien  /  stetig  aufeinander  folgen  und 
eine  Fläche  beschreiben,  deren  Punkte  der  Gleichung  (3j  genügen. 
Diese  Betrachtung   gibt   zugleich  einen  Weg  an,  wie  man  sich 


T' 


324        Analytische  Geometrie  des  Baume«     §  1.  Der  Koordinatcnbegriff. 

eine  VorBtellung  von  der  Gestalt  einer  Fläche  verschaifen  kann,  deren 
Gleichung  gegeben  ist 

IL  Ist  die  Gleichung  F(Xf  y, ;?)  —  0  in  bezug  auf  die  Koordinaten 
algebraisch  und  vom  «-ten  Grade,  so  wird 
die  zugehörige  Fläche  eine  algfbraische Fläche 
n-ter  Ordnu/ng  (oder  w- Grades)  genannt. 

Auf  Grund  der  Gleichung  {2),  218  ist 
die  Kugel  als  algebraische  Flache  zweiter 
Ordnung  zu  bezeichnen. 

224,   Linien.    Eine  Linie  im  Uauiue 
^^  erscheint  häußg  und  kann  immer  aufgefaßt 
K«.  102.  werden   als   Schnitt  zweier  Flächen.     Ihre 

analytische  Darstellung  bestehtdaherinzwei 
koexistierenden  Gleichungen  zwischen  den  Koordinaten,  hat  also  im 
allgemeinen  die  Form 

F(x,y,B)^0)^ 

Eliminiert  man  eine  der  Koordinaten,  so  ergibt  sich  der  Ort  der 
Projektionen  der  Punkte  der  Linie,  also  deren  Projektion  selbst,  auf 
der  Ebene  der  beiden  andern  Koordinaten;  so  bestimmt  die  Gleichung, 
die  aus  der  Elimination  von  z  resultiert  —    sie  heiße 

9(rr,y)»0  (2) 

—  die  Projektion  der  Linie  (1)  auf  der  xy -Ebene. 

Da  nun  zwei  Projektionen  im  allgemeinen  ein  Gebilde  im  Räume 
bestimmen,  so  sind  zwei  derartige  Eliminationsresultate,  etwa: 

(p{x,y)^0  ) 

t{x.z)^0\  ^^ 

im  allgemeinen  geeignet,  die  Linie  im  Räume  zu  beschreiben. 

Die  Gleichungen  (3)  lassen  noch  eine  andere  Auffassung  zu. 
Nach  223,  2.  stellt  jede  derselben  eine  Zylinderfläche  dar,  die  erste 
eine  solche  parallel  zur  ^-,  die  zweite  parallel  zur  y-Aohse,  und  die 
Linie  im  Räume  erscheint  als  Durchschnitt  beider.  Es  ist  aber  zu 
beachten,  daß  die  beiden  Zylinderflächen,  zu  denen  die  Linie  im  Räume 
geführt  hat,  außer  ihr  noch  eine  andere  Linie  gemein  haben  können; 
so  schneiden  sich  die  zwei  projizierenden  Zylinder,  die  man  durch  einen 
Kreis  im  Räume  parallel  den  genannten  Achsen  legt,  im  allgemeinen 
noch  nach  einem  zweiten  Kreise,  und  es  bedarf  einer  weiteren  An* 
gäbe,  wenn  man  den  ersten  Kreis  allein  zur  anahüschen  Darstellung 
bringen  will. 

Far  die  Untersuchung  der  Flachen  sind  deren  ebene  SdmiUe  von 
betonderer  Wichtigkeit.     Hier  sollen  zunlchst  nnr  die  Schnitte  mit 


Linieugleichungen.    Tranglation  des  KoordinaUiMjtiemit. 


825 


den  Koordinatenebenen  betrachtet  werden.  Man  erhält  sie,  indem  man 
die  Gleichung  der  Fläche:  F{x,  y,  ß)  -^  0,  der  Reihe  nach  mit  a:  —  0, 
y  '^  0,  j9  »  0  Terbind'et.  Ist  die  Gleichung  F  {x,  y,  z;  -«  0  algebraisch 
▼om  ii-ten  Grade^  so  werden  es  im  allgemeinen  auch  die  Gleichnngen 

F(0,y,  ^)-0 

F{x,  0.  iP)  -  0 

F(a:,y,  0)-0 

sein.  Eint-  algebraische  Fläche  n-ter  Ordnung  schneidet  also  die  Koor- 
dinatenfhenm  im  aUgenieinen  nadi  algebraischem  Linien  n-ter  Ordnung. 


M 

0 


^  2.    Koordinatentransformation. 

226.  Translation  eines  rechtwinkligen  Koordinaten- 
systems. Der  Übergang  von  einem  rechtwinkligen  Koordinatensystem 
OXYZy  Fig.  103,  zu  einem  andern  0'X'Y'Z\  das  mit  ihm  parallel 
und  gleich  gerichtet  ist,  ist  bestimmt, 
sobald  die  Koordinaten  a;^,  y^,  Zq  des 
neuen  Ursprungs  0'  in  bezug  auf  das 
alte  System  gegeben  sind.  Zwischen 
den  Koordinaten  Xj  y,  z  und  x\  y\  z' 
eines  Punktes  M  in  den  beiden  Sy- 
stemen bestehen  dann  die  unmittelbar 
abzulesenden  Gleichungen : 

x^x^-\-x' 

y-y,-\-y'  (i)  ^ 

die  den  Übergang  vom  alten  System  zum  neuen  vermitteln;  die  invenc 
Transformation  geschieht  durch  die  Substitution 


^ 


^ 


^X 


« 


^X 


X  =  a;  -  of  0 

y'-^y-y^ 

z'  =  z  —  g^ 


(2) 


226.  Botation  eines  rechtwink- 
ligen Koordinatensystems.  Die  ge- 
genseitige Lage  zweier  rechtwinkligen 
Koordinatensysteme  OX  FZ,  OX'TZ', 
Fig.  104,  ist  bestimmt,  wenn  die  Rieh-  Y^ 
tungswinkel  oder  die  Richtungskosinus  der 
gerichteten  Achsen  des  zweiten  Systems, 
als  welches  wir  das  neue  ansehen  wollen,  in  bezug  auf  das  erste,  das 


Fif .  IM. 


326      AnalytiBcbe  Geometrie  des  Banaiei.    |2.  Koor^inatentransforraation. 

ursprüngliche,  gegeben  sind.     Es  seien  demnach 

aj,  6j,  fj  die  Richtungskosinuß  von  0X\ 

ferner 

0",  y,   if    die  Koordinaten  von  M  im  alten, 

rc',  y',  0'    ^  „  „     3f   „    neuen  System. 

Die  Projektion  des  Linienzugs  OQ'T' M  auf  die  ic-Achse  ist  die- 
selbe wie  die  Projektion  der  Strecke  OM  auf  die  nämliche  Achse, 
und  diese  ist  x\  man  hat  also  die  Gleichung  x  ^  a^x' ■\- a^y' -{•  a^e' \ 
ähnliche  Gleichungen  ergeben  sich  durch  Projektion  desselben  Linien- 
zugs auf  die  ;/-  und  ^-Achse;  man  hat  abo  für  den  Übergang  vom 
alten  zum  neuen  System  die  Substitution: 

x^a^x  -\-  a^y'  -\-  a^z' 

y^h^x'-^-h^y'  4-  \e'  (1) 

z  -  c^x'  -f  c^y'  -f  c^z\ 

Zwischen  den  Koeffizienten  dieser  Gleicliungen  bestehen  aber  ver- 
möge ihrer  Bedeutung  als  Richtuugskosinus  dreier  paarweise  zueinander 
senkrechter  Geraden  die  folgenden  Beziehungen  [220,  (4.);  (221,  (3.)]: 

af  -f-  6J  -h  c\  ==  1  a^a^  -f  h^li;^  -f  fjC,  =  0 

«2  +  K-hi-l      (2)  a,a,-Vh,h,^c^c,^0  (3) 

«J  +  ^s  +  ^3  -  1  a,a^^W^c,c^^O 

Es  ist  eine  Folge  dieser  Beziehungen,  daß 

x^^y^-^e^^x'^+y'-^a'^  (4) 

ist;  diese  Gleichung  drückt  die  geometrisch  evidente  Tatsache  aus,  daß 
der  Punkt  M  vom  Ursprung  des  neuen  Systems  denselben  Abstand 
hat  wie  vom  Ursprung  des  alten  (218). 

Man  nennt  eine  Transformation  der  Koordinaten  von  der  Form  (1), 
bei  der  also  die  Transformationsgleichungen  in  bezug  auf  beide  Systeme 
vom  ersten  Grade  sind,  eine  lineare  Tratisformation,  insbesondere  eine 
oriiiogonak,  wenn  sie  durch  den  Ansats  (4),  oder,  was  dag  gleiche 
besagt,  durch  die  Relationen  (2),  (3)  gekennzeichnet  ist. 

Multipliziert  man  die  Gleichungen  (1)  der  Reihe  nach  mit  ^i,  ^^j,  c^ , 
dann  mit  a»,  &,,  c^,  schließlich  mit  o,,  6,,  c,,  und  bildet  jedesmal  die 
Summe,  so  ergeben  sieh  mit  Rücksicht  auf  (2),  (3)  die  Gleichungen: 

y' -  a,«  4- &,y  +  c^i(f  (1*) 

z' '^  a^x -i- h^y -^  c^M  , 
welche  die  mverse  Transformation  vermitteln.     Da  die  Eigenschaft  der 


Rotation  des  Koordinatensjtipmfl.    Orthogonale  Trannformation.        327 


Orthogoiialität  eine  gegenseitige  ist,  wie  die  GesUlt  von  (4)  zeigt,  so 
bestehen  zwischen  den  Koeffizienten  aach  die  Itelationen: 


aj  -f  o»  -}■  «*J  -  1  b^c^  -f  6,Cb  i-h^c^^O 

2^  +  ^J  -h  ^;  »  1       (2*)        <^a,  -i-  c^a^  ^e^a^^O 
cj  4-  cj  +  e{  -  1  «i^  +  /y^ft,  -f-  a,6,  -  0 

Die  Determinante  der  neun  Koefiizienteu : 


(»•) 


R 


gibt  zum  Quadrat  (116). 
JR*-    a,as4-6i6,-hc,c, 


«l 

6. 

«I 

". 

ft* 

«t 

«. 

t, 

<i 

öi««  +  ^^  +  qfj    a,a,  +  6,Ä,+  c,(?, 

«J     -4-^     +c;       a,<«,rft,6,+  <^c. 

a,a,  +  fcA-f<^<<^«     aj     -h  ftj     +  <?; 

1     0     0 

1 

0     0 

0 

1     0 

0 

0     1 

-1; 


es  hangt  somit  der  Wert  von  R  von  den  speziellen  Werten  der 
Koeffizienten  nicht  ab  und  kann  nar  1  oder  —  1  sein.  Dies  hangt 
noch  von  der  Orientierung  der  Systeme  ab. 

Man  sagt,  das  System  OX'Y'Z'  sei  mit  dem  andern  gleich 
orientiert,  wenn  man  durch  Drehung  bewirken  kann,  daß  die  gleich- 
namigen und  gleichgerichteten  Achsen  sich  decken:  es  kann  also  dann 
OX'Y'Z'  in  eine  solche  Lage  gebracht  werden,  daß 

a^-l,    6,  =  0,    r,-.0 

a,  =  0,    &,-l,    (^-0 

0,-0,    6,-0,    <^-=l, 
und  dann  ist  R»l. 

Bei  ungleicher  Orientierung  kann  man  die  x- Achsen  gleichgerichtet 
zusammenlegen  und  dann  durch  Drehung  um  diese  gemeinsame  Achse 
auch  noch  die  y- Achsen  gleichgerichtet  zor  Deckang  bringen;  die  #- Achsen 
werden  dann  wohl  auch  in  eine  Gerade  fallen,  aber  ungleich  gerichtet 
sein;  es  kann  also  das  System  OX'Y'Z'  in  eine  solche  Lage  gebracht 

werden,  daß 

a,-l,    6^-0,    Cj-O 

0,-0,    5,-1,    c,-0 

0,-0,    6,-0,    c,— -  1, 

und  dann  ist  i{  —  —  1 . 

Bei  gleicher  Orientierung  der  Systeme  ist  also  /{ —  1 ,  bei  un- 
gleicher Orientierung  Ä  —  —  1 . 


828     Asaljtüdie  Geometrie  des  Baumes.    §3.  Koorduiftteutrftnsformatioii. 

227.  Allgemeine  Tranaformation  rechtwinkliger  Koor- 
dinaten. Der  Übergang  von  einem  rechtwinkligen  System  zu  einem 
andern,  dessen  Ursprang  die  Koordinaten  ^Tq,  ^q,  z,^  hat,  and  dessen 
Achsen  die  Richtungskosinus  a^^  6,,  c^  (i  —  1,  2,  3)  besitzen,  läßt  sich 
als  eine  Sukzession  von  Translation  und  Rotation  darstellen;  die  zu- 
gehörigen Substitutionsgleichungen  ergeben  sich  daher  durch  Verbindung 
der  Gleichungen  225,  (1.)  mit  226,  (l.j  und  lauten: 

a;  -=  a:^  ■+-  a^x'  -f  a^y'  +  a^z' 

Die  inverse  Substitution  geht  daraus  durch  denselben  Prozeß 
hervor,  der  in  226  befolgt  wurde,  und  lautet: 

y'-  a,(ar-a:o)  +  h^{y-   Vo)  +  ^2(^-^0)  (2) 

z'  -  a,(ir -  Xo)  -{-hiy-  yo)  +  c^{z  -  Zo)  • 

Im  Anschlüsse  an  die  oben  vorgeführten  Transformationen  recht- 
winkliger Koordinaten  sei  das  folgende  bemerkt. 

In  allen  Fällen  war  die  Substitution  bezüglich  der  neuen  und  alten 
Koordinaten  linear.  Die  Einführung  einer  solchen  Substitution  in  eine 
algebraische  Funktion  »-ten  Grades  ändert  an  deren  Charakter 
nichts,  d.  h.  führt  wieder  zu  einer  algebraischen  Funktion  des- 
selben Grades.  Daraus  geht  hervor,  daß  die  Ordnung  einer  algebraischen 
Fläche  unabhängig  ist  von  dem  zugrunde  gelegten  (Parallel-)Koor- 
dinatensystem,  daß  sie  also  eine  der  Fläche  als  solcher  zukommende, 
eine  rein  geometrische,  Eigenschaft  bezeichnet. 

228.  Bechtwinklige  und  Folarkoordinaten.  Der  Zusammen- 
hang zwischen  den  rechtwinkligen  Koordinaten  eines  Punktes  und  den 
auf  dasselbe  Achsensystem  bezogenen  Polarkoordinaten  ergibt  sich 
aus  Fig.  100.  Aas  den  rechtwinkligen  Dreiecken  OFM  und  OQP 
folgt: 

X  ^rmi  6  cos <p 

y -^  r  Bm  d  Bin  tp  (l) 

!«-=»•  COfl  ß . 

Die  inverse  Substitation  wird  durch  folgende  Gleich  angen  ver- 
mittelt, die  sich  in  leicht  ersichtlicher  Weise  aus  (1)  ergeben: 


-,     ,     sin  o 
cos  Ö  —  ■  , 


COS  «p  -• -;r:u.- -        ,       sin  Cp  ->     ,-  -  .,  (2) 


Weitere  TransformationeD     Gleichung  enien  Gnuiei  in  x,  y,  i .       329 

die  auftretenden  Quadratwurzeln  absolut  genommeTi.  Das  mittlere 
Gleich ungspaar  bestimmt  tp  eindeutig  in  dem  Intervall  (0,  2x). 

-^—  §  3.    Ebene  and  Gerade. 

229.  Die  Gleiohang  ersten  Chrades.    Jede  Oleickung  ersten 
Grades  in  den  Koordinaten  x,  y,  e  sleüt  eine  Ebene  dar. 
Die  allgemeine  Form  einer  solchen  Gleichung  ist 

^x  +  Äy  +  Cxr-i- D-0.  (1) 

um  den  Satz  zu  erweisen,  gehen  wir  Yon  der  Gleichung 

ar «  0  (2) 

aus^  die  sämtliche  Punkte  der  yr-Ebeiie  unseres  Koordinatensystems 
und  nur  diese  kennzeichnet,  also  eine  Ebene  darstellt. 

Durch  die  allgemeine  Transformation  des  Koordinatensystems  ge- 
langt diese  Ebene  in  eine  allgemeine  Lage  gegen  das  neue  Koordinaten- 
system, in  welchem  ihr,  vermöge  der  in  Kraft  tretenden  ersten  Transfor- 
mationsgleichung 227,  (1.),  die  Gleichung 

zukommt.  Sowie  sich  aber  die  geometrische  Bedeutung  der  Gleichung 
(2)  nicht  ändert,  wenn  man  sie  mit  einer  Konstanten  q  multipliziert, 
so  gilt  dies  auch  von  der  letzten  Gleichung,  die  dann  lautet: 

ga^x  -\-  ga^y' -\-  ga^z' -\-  gx^^  0; 

schreibt  man  fSr  die  Zahlen 

P«j*     Q<h^     9^zf 
die  der  Bedingung  unterliegen,  daß  ihre  Quadratsumme  g^  sein  muß^ 
die  Buchstaben  a       n      n 

und  fiir  gx^^  den  Buchstaben  D,  und  betrachtet  man  das  neue  Koor- 
dinatensystem als  das  ursprüngliche,  so  gelangt  man  tatsächlich  za 
der  Gleichung  (Ij. 

Übt  man  auf  (2)  statt  der  allgemeinen  Transformation  eine  Ro- 
tation aus,  so  geht  die  Ebene  durch  den  Ursprung  des  neuen  Ko- 
ordinatensystems; da  in  diesem  Falle  Xq,  also  auch  D  Null  ist,  so 
entspricht  Ax+By+  Cz  -  0  (8) 

einer  Ebene,  die  durch  den  Ursprung  geht 

Auf  Grund  der  in  223  gepflogenen  Betrachtungen  erkennt  man 
weiter,  daß  eine  Gleichung  ersten  Grades,  die  nur  eine  dar  Koordi- 
naten enthält,  eine  zur  Ebene  der  beiden  andern  pandlele  Ebene  dar- 
stellt, also  z.  B.  die  Gleichung 

-4«  -f  D  -  0  (4) 


3B0         Aoalytiitohe  Geometrie  des  Raumes.    §  3.  Eb^oe  and  trerade. 

eioe  zur  jr-Achse  senkrechte  Ebene;  und  daß  weiter  eine  Gleichung 
ersten  Grades  mit  zwei  Koordinate»  einer  Ebetie  zugehört,  die  auf 
der  Ebene  dieser  Koordinaten  normal  steht  und  zu  den  beiden  andern 
Koordin^tenelienen  geneigt  ist:  so  entspricht  der  Gleichung 

Jar-f  %-f  2>-0 

eine  Ebene,  die  zur  j: //-Ebene  senkrecht,  zur  yz-  und  ;era;-Ehene  ge- 
neigt ist. 

Am  Schlüsse  von  224  ist  festgestellt  worden,  daß  eine  algebra- 
ische Flüche  n-ter  Ordnung  durch  eine  Koordicatencbene  nach  einer 
algebraischen  K^urve  w-ter  Ordnung  geschnitten  wird.  Da  nun  durch 
eine  Koordinatentranätbrmation  einerseits  die  Ordnung  der  Fläche 
nicht  geändert  wird  (227),  andrerseits  die  schneidende  Ebene  in  eine 
allgemeine  Lage  zum  Koordinatensystem  gelangt,  so  ist  es  ein  Merh- 
null  da'  al(/e}trnischen  Flächen,  daß  sie  durch  Ebenen  nach  aigdtraisdu^n 
Kurven  der  (flekhen  Ordnwifj/  yesdmiiien  uerdm. 

230.  Anzahl  der  Konstanten.  G-leiohnng  der  El>enen 
durch  einen  Punkt.     Die  allgemeine  Ebeneugleichung 

enthält  vier  Koeffizienten,  die  sich  aber  auf  drei  Kon^itanten  reduzieren: 
es  geht  dies  aus  der  im  Gange  ihrer  Ableitung  229  j^emachten  Be- 
merkung hervor,  daß  nach  erfolgter  Wahl  von  q  die  Koeffizienten  Ä,  B,  C 
einer  Bedingtmg  unterliegen,  leuchtet  aber  auch  daraus  ein,  daß  man 
durch  einen  Koeffizienten  dividieren  und  die  drei  entstehenden  Koeffi- 
zienteuverhiiltnisse  als  neu«^-  Konstanten  einföhren  kann. 

Daraus  folgt,  daß  durch  drei  Bedingungen  eine  Ebene  im  all- 
gemeinoii  i^ein-  oder  mehrdeutig)  bestimmt  ist.  Sind  ihr  weniger  als 
drei  Bedina;ungen  auferlegt,  so  bleibt  eine  Unbestimmtheit  übrig,  die 
zur  Folge  hat,  daß  man  zu  einem  unendlichen  System  von  Ebenen 
geführt  wird,  die  den  Bedingungen  genügen. 

Wird  von  der  Ebene  verlangt,  sie  solle  durch  einen  gegebenen 
Punkt  M^^^l^  y^  «arj  gehen,  so  vermindert  sich  die  Zahl  der  Konstanten 
um  eine,  und  es  bleibt  eine  zweifache  Unbestimmtheit  übrig;  denn  die 
Forderung  fdhrt  zu  dem  Ansätze 

und  bei  seiner  Subtraktion  von  (1)  entftillt  />;  die  entstandene  Glei 

""^""^  A(x  -x,)-\'B(jy--y,)-j^C{,^M,)^(J  (i) 

enthalt  nur  mehr  drei  Koeffizienten,  also  zwei  Konstanten. 

Die  Gesamtheit  der  Ebenen  durch  emen  Punkt  M^  nenut  luau 
einen  Ehtnenhündel,  M^  seinen  Träger;  (2)  is^  also  die  Gleichung 
eines  Ebenenbündels. 

231.  Qleiohung    der   Bbene,    die    durch    drei    gegebene 


Ebenenbundel.    Ebene  durch  drei  Punkte. 


831 


Punkte  geht.  Soll  die  Ebene-  außer  dur^h  3fi  noch  durch  die 
Punkte  -Mi(Xfly^lz^)  und  M^{xJy.Je^  gehen,  so  gilt  es,  aus  dem 
Ebenenbündel  (2)  diejenige  Ebene  auszulösen,  die  dieser  Forderung 
genügt;  für  sie  muß  notwendig 

Ä(x,^x,)  +  B{y,  -  y,)  +  C'(J,-  #,)  -  0 

A(x,  -  X,)  +  B{y,  -  yj  +  C{m^- z,)  -  0 

sein.  Durch  dieses  Gieichungspaar  sind  die  Verhältnisse  der  Koeffi- 
zienten, diese  selbst  also  bis  auf  einen  konstanten  Faktor,  der  x  heißen 
möge,  bestimmt;  es  ist  nüinlicb 


;/8-yi    '»-^1 

,  J?»x 

6^»x 

• 

^8-^1 

(x  — aj 

,)  + 

h-»l         ^8- 

+ 

^2- 
^8- 

^1          ^8-^1 

Demnach  lautet  die  Gleichung  der  verlangten  Ebene: 

iy-yi) 

a^s  -  a^i       Vj  —  yi 
kürzer  geschrieben 

^j-^1      Vt-Vx      ^t-^1    ==0, 

«8-^1    y3-.Vi    ^t-^i 

und  nach  einer  weiteren  Umformung  (107): 

X   y    z    l 


(3) 


0. 


(3*) 


^  yi  ^1  1 

^  y,  if,  1 

^  yi  ^8 1 

Für  die  Durchführung  in  speziellen  Fallen  ist  die  Form  (3)  be- 
sonders geeignet.     Soll  beispielsweise  die  durch 

J»f,(4/-2/     3) 

Af,(5/-l/-2) 

gehende  Ebene  bestimmt  werden,  so  bilde  man  die  Differenzen  aus 
den  Koordinaten  des  zweiten  und  dritten  Punktes  gegenüber  dem  ersten: 

-2     -4         4 

-1     -3     -1 


832         Anolytischt:  Qeometrie  des  Raumes.    §  8.  Ebene  und  Gerade. 

imd  aa»  dieser  Matrix  die  drei  Determinanten  zweiten  Grades: 

16-6        2; 
dann  ist 

16(i;  -  6)  -  6(y  -  2)  +  2(£'  +  1)  -  0 

und  in  endgiltiger  Form 

8a?  -  3y  +  -?  -  41  -  0 

die  Gleichung  der  Ebene. 

232.  8effm«ntgleiohimg  der  Ebene.  Eine  Ebene,  die  durch 
den  Urspniug  des  Koordinatensystems  geht,  schneidet  die  Koordinaten- 
ebenen nach  drei  Geraden,  die  ebenfalls  im  Ursprung  sich  schneiden. 
Bei  allgemeiner  Lage  der  Ebene  bilden  aber  diese  Schnittlinien  ein 
Dreiseit,  das  Spurendreiseit,  dessen  Ecken  Äy  By  C,  Fig.  105,  in  den 
Achsen  liegen.  Die  Abstände  des  Ursprungs  von  diesen  Eckpunkten, 
als  relative  Strecken  aufgefaßt,   nennt   man  die  Achsensegmente  der 

Ebene;   sie   mögen   mit   a,  ^,    c   bezeichnet 
werden. 

Die  Gleichung  der  Ebene  mit  diesen 
Segmenten  als  Konstanten  darstellen  kommt 
darauf  hinaus,  die  Gleichung  der  Ebene  zu 
bilden,  die  durch  die  drei  Punkte 

^-^  ^(a/0/0) 

B{0!h/0) 

geht.     Wendet  man  hierauf  das  eben  erklärte  mechanische  Verfahren 
an^  so  gelangt  man  zuerst  zu  den  Koordinatendifferenzen 

-a     6     0 

—  a    0    c, 
dann  zu  den  Determinanten 

hc    ac    ah 

und  schließlich  zu  der  Gleichung  der  Ebene 

be{x  —  a)  -f  cay  -f-  ahi  —  0, 

die  nach  DiTision  durch  a 6c  die  Gestalt 


-  -f  ^-  -f  '  -  1 


(1) 


annimmt.  • 

Um  die  allgemeine  Gleichung 

uix  +  By  +  Ol  +  D  -  0 

auf  diese  Form  zu  bringen;  hat  man  durch  —  2)  zu  diTidieren;  mit* 


Besondere  GleicbuDgtformen  der  Ebene.  SM 

hin  drücken  sieh  die  Segmeute  durch  die  Koeffizienten  wie  folgt  aot: 

«-_;,     ,„_J,     c»-?.  (2) 

Beispielsweise  hat  die  Ebene  2x  —  8y  -f  4f  +  12  ^  0  die  Seg- 
mentgleichung 

»US  der  man  sich  über  die  Lage  der  Ebene  rasch  orientiert. 

233.  Hessesohe  Vomuügleioliang.  Zur  Unterscheidung  der 
beiden  Seiten  einer  Ebene^  die  nicht  durch  den  Ursprung  geht,  kann 
man  ihre  Lage  gegen  diesen  benützen.  Wir  setzen  fest,  die  yom 
Ursprung  abgewendete  Seite  gelte  als  die  positive,  die  ihm  zugewendete 
Seite  als  die  negative. 

Damach  kann  nun  auch  die  Normale  der  Ebene  in  bestimmter 
Weise  gerichtet  werden.  Als  positive  Richtung  der  Normalen  gelte 
diejenige,  die  von  der  negativen  Seite  der  Ebene  zur  positiven  ver- 
lauft: die  positive  Normale  durch  den  Ursprung  geht  also  von  diesem 
gegen  die  Ebene  hin. 

Bei  einer  Ebene,  die  durch  den  Ursprung  geht,  muß  hierüber 
eine  besondere  Festsetzung  getroffen  werden. 

Man  kann  nun  zur  Beschreibung  einer  Ebene  die  Richtungswinkel 
oder  Richtungskosinus  ihrer  positiven  Normale  und  die  absolute  Länge 
des  vom  Urspiomg  zu  ihr  geführten  Perpendikels  benützen. 

Sind   a,   ß,   y   die   Richtungswinkel    der    positiven   Normale   «, 
Fig.  106,    ist  p    die    absolute    Lange    des 
Perpendikels  ON  und  bezeichnen  a,  hy  c  die 
Achsensegmente,  so  gelten  unter  allen  Um- 
ständen die  Ansätze: 

p^a  cos  a  =  b  cos  ß  ^  c  cos  y. 

Erweitert    man    also   in   der  Segment- 
gleichung 

a^  b  ^  c  ~~  ^  Fig.  10«. 

die  Glieder  der  linken  Seite  der  Reihe  nach  mit  cosa,  cos^,  cos;', 
80  geht  sie  unter  Beachtung  der  vorstehenden  Relationen  über  in 

j?  cos  «  -f-  y  cos  /S  4-  ir  cos  y  —  p  —  0.  (1) 

Diese  Oleichungsform  der  Ebene  wird  ab  deren  Hessesdte  Normal- 
gleichung bezeichnet. 

Um  die  allgemeine  Gleichung 

Ax-\-By-hCM-\'D^O  (2) 

auf  diese  Form  zu  bringen,  hat  man  sie  mit  einem  derart  gewählten 


334  Analjiische  Geometrie  des  Raumes.    §  8.  Ebene  und  Gerade. 

Faktor  X  za  mtütipliuerei),  daß 

sei,  damit  XÄ^  XBy  XC  die  Kosinus  einer  Geraden  vorHieUen;  die 
positiTe  Richtung  dieser  Geraden  Hangt  davon  ab,  für  welchen  der 
beiden  Werte  von 

man  eich  entscheidet;  hier  steht  aber  die  Wahl  nicht  mehr  frei,  weil 
XI)y  das  die  Bedeutung  von  —  p  hat,  negativ  sein  muß;  mithin  ist 

g  =.-  —  ßgn  D  (4) 

zn  nehmen.  Hiernach  lautet  die  Gleichung  der  obigen  Ebene  (2) 
\xi  Hessescher  Normalform: 

Beispielsweise    kommt    der    Ebene    2a;  —  3y  —  5;?  +  6  «-=  0    die 
Hessesche  Normalgleichung 

2j  — 8y—  6^-t-6  ^  ^ 

— j/ss" 

zu,  aus  der  man  unmittelbar  abliest: 

2.                 .          3                             5                      6 
C08«  =  7:^,       C0S/5=— =rr       COSy=-— =,       »  =      , : 

234.  AbBtand  eines  Paukte»  von  einer  Ebene.    Die  Ebene 
sei  durch  ihre  Hessesche  Norraalgleichung  O 

a:  COS  «  -f  y  cos  /3  -f  ;?  cos  y  —  |)  =-  0,  (1) 

^er  Pimkt,  J/g,  durch  seine  Koordinaten  x^j  y^  0q  gegeben.    Er  kann, 

wenn  er  nicht  in  der  Ebene  liegt,  auf  der 
positiven    oder    negativen    Seite  derselben 
o  liegen;  die  Bestimmung  des  Abstandes  soll 

so  geregelt  werden,  daß  sich  dieser  Lagen- 
unterschied im  Vorzeichen  ausdrOckt.    Dies 
wird  in  folgender  Weise  erreicht 
^^ST  Projiziert  man  den  Linieuzug  0  Q^ ^o-^ti 

Fig.  107,  dessen  Seiten  die  relativen  L&ngen 
^J^  x^f  ifQ,  Sf^   besitzen    und    mit  n   der  Reihe 

'''^  '°"  nach  die  Winkel  «,  ß,  y  oder  deren  Supp- 

lemente eiaschließenje  nach  der  Richtong  der  Strecken  OQ^,  Q^F^,P^Mf^, 
auf  n,  so  hat  die  Projektion  OM  unter  allen  Umständen  die  relative 
Größe 

OM  ■•  .«0  cos  «  -j-  2/o  ^'^  P  "^  ^0  ^^*  y> 
und  zwar   fällt   sie  positiv  oder  negativ  aus,  je  nachdem  OM  die 


He«««'iiche  Nonnalg)ei<'hnng.     Punkubi^tand  von  einer  Ebene.  335 

RichtuDg  von  n  hat  oder  d'w  entgegengesetzte.  Subtrahiert  man 
hierToa./)^  so  ergibt  sich  der  Abstand  d  «le«  Punkte»  üf^  von  der 
Ebene  mit  dem  positiven  oder  negativen  Vorzeichen,  je  nachdem  M^ 
auf  der  positiven  oder  negativen  Seite  der  Ebene  liegt;  es  ist  also 
mit  dieser  Unterscheidung 

d  —  jTo  cofc  a  +  yp  cos ß -h  '^coi^y —P'  (2) 

ErseUi  man  also  in  der  IMcn  Seite  der  hrss^  selten  Normal- 
ffhiehung  einer  Ehen^  die  veränderlichen  x,  y,  z  durch  die  Koordinaten 
irtfend  eines  Punktes,  so  erpifA  der  Aitsdntek  den  Ahstand  dieses  Punktes 
von  der  Ebene,  und  zwar  mit  dem  ptfsHivtn  oder  negativen  Zeichen^ 
jtf  naehdem  der  Punli  auf  der  positiven  oder  nefjaticen  Seite  der  Ebene 
Jiegt 

Ist  die  Gleichung  der  Ebene  in  der  Allgemeinen  Form 

Äx  -^Bij-hCx-h  D^O  (H) 

gegeben,  so  hat  man  sie  nach  dem  in  233  angegebenen  Verfahren  in 
die  Normalform  überzuführen;   darnach  erhält  man 

Von  der  Ebene  '2x-~y-ls  -f-  0  -^  0  haben  die  Punkte  P,  (-  3/4/5X 
P,/4/-2/-l)  folgende  Abstände: 

d   ^—      6  ^        ^^' 

es  liegt  als  P,  auf  derselben  Seite  der  Ebene  nvie  der  Urtprung,  P| 
auf  der  entiyegengesetzten. 

235.  RantnlTihalt  eines  Tetraeders.  Es  seien  vier  Pnnkte 
durch  ihre  Koordinaten  gegeben: 

K(^i'tfi!^i)^     •  =  1,2,  ^,4; 

man  soll  das  Volumen  des  Tetraeders  bestunraen,  dessen  Erkpnnkte 
sie  sind 

Wählt  man  das  Dreieck  l/^Ji/^ilf^  als  Basi«*.  bezeidinet  seine  ab- 
solute Fläche  mit  z/,  den  Ahstand  des  vierten  Punktes  Jf,  von  der 
Ebene  dieses  Dreiecks  mit  d,  so  kann  man  für  den  Inhalt  die  Formel 

ansetzen;  dadurch  ist  J  als  eine  relative  (7W)ße  dargestellt,  deren  Vor- 
zeichen mit  d.'m  Vorzeichen  des  d  übereinstimmt 

Schreibt  man  die  Gleichung  der  Dreieckj^obene  M^M^M^  in  der 
Form  23X,  (3*): 


336         AnaljÜBche  Geometrie  des  Raumes.    §  3.  Ebeoe  und  Gerade. 


X 

y  ^  1 

^t  y%  ^f  1 

x^  y,  ir,  1 

-0, 

^4  y*  ^i  1 

bezeichnet   die   Koeffizienten  von  x,  y,  z  mit  z/^,,  ^,,,  J     und  da» 
absolute   Glied    mit   J^,    so   ergibt    sich    nach    der    Yorsohrifb    von 
283,  (6j: 

^1  yi  ^i  1 

^2  y«  ^2 1 

^8  y8  ^8  1 

Nun  aber  bedeui 

^4  y*  ^4  1 

ken 

y%  «t  1 

\z,x,l 

UVtl 

-^M- 

Vi  ^8   1 

y         -^.x  =     ^s  ^s  1 

»     ^.r  =  i  ^  y»  ^ 

^4^*1 

1^4 

^4 

l 

!  ^4  y*  1 

die  doppelten  Inhalte  der  Projektionen  des  Dreiecks  M^M^M^  auf 
den  Ebenen  yz,  zx,  xy  (181);  diese  Projektionen  ergeben  sich  aber 
auch  durch  Multiplikation  von  J  mit  den  Richtungskosinus  der 
Normale  von  M^M^M^^  infolgedessen  ist  V  Jl»  +  J]»  4-  dlf  =■  2z/. 
Setzt  man  dies  in  den  Ausdruck  für  d  und  diesen  sodann  in  die 
Gleichung  (1)  ein,  so  wird 

•^1  yi  ^1  1 


J-  -  sgn^i-J; 


darin  ist 


^  y«  ^2  1 

^  yi  ^8  1 

i  *4  y4  'a  ^ 


^1-- 


^»yb^t 
^y»*8 

^4  y4  ^4 


Fällt  der  Punkt  M^  in  den  Ursprung,  so  gibt  die  Formel  für 
J  den  Inhalt  des  Tetraeders  aus  M^yM^^M^  und  0,  nämlich 

0  0  0  1 


Ji-~8gn^,  •  i 


«f  yi*!  1 


^Vz 


f.  1 


"-^•goz#,  .^/^ }|4 


1  !» 


»4  y4  '4   1 1 


der  bei  den  getroffsnen  Festsettungen  notwendig  negaÜT  ausfallt. 


Tetraedenrolomen.    Winkel  zweier  Ebenen. 


8S7 


Ein  neues  zeichenbestimmendes  Moment  f&r  J  ergibt  sieh,  wenn 
man  auf  der  positiven  Seite  der  Ebene  M^M^M^  eine  positire 
Drehungsrichtung  anuiniuit  und  nach  dieser  das  Vorzeichen  von  d 
bestimmt  flU).     Setzt  man 

j  -^'i  Vi  ^1   1  j 
X,  y,  #,  1  j 

•»•4  ^4  ^4  1 


./«= 


W 


so  gibt  die  Formel  den  Rauminhalt  des  Tetraeders  je  nach  seiner 
Anordnung  gegen  das  Koordinatensystem  positiv  oder  negativ;  ein 
spezieller  P'aU  wird  darüber  näheren  Aufschluß  geben.  Verlegt  man 
ifcf,  nach  0,  jlfj,  M,,  M.^  in  die  positive  ar-,  bzw.  y-  und  ir- Achse  in 
den  Abständen  a,  6,  c  vom  Ursprung  (a  >  0,  ft  >  0,  c  >  0),  so  gibt 
die  Formel  (2) 

1000  1 


\ahc, 


a  0  0  1 
'^-^    0  6  0  1 

OOr  1 


also  ein  negatives  Resultat:  das  Dreieck  M^M^M^  zeigt  jetzt,  von  O 
aus  betrachtet,  den  entgegengesetzten  ümlaufsinn  des  Uhrzeigers, 
während  es  von  der  positiven  Seite  der  Ebene  aus  gesehen,  den 
Drehungssinn  des  Uhrzeigers  selb.st  aufweist. 

Es    gibt   also   die  Formel  (2)  den  Inhalt  des  Tetraeders  positiv, 
wenn  von  M^  aus  der  ümlaufssinu  von  M^M^M.^  als 
der  des  Uhrzeigers  erscheint,  im  andern  Falle  negativ.*) 

236.  Winkel  iweier  Ebenen.  Solange  die 
Seiten  der  Ebenen  nicht  unterschieden,  ihre  Normalen 
also  nicht  gerichtet  sind,  kann  von  einem  bestimmten 
Winkel  der  Ebenen  nicht  gesprochen  werden.  Hat 
man  aber  för  jede  Ebene  die  positive  Seite  und  damit  für  ihre 
Normale  die  positive  Richtung  festgesetzt,  clann  soll  unter  dem  Winkel 
der  beiden  Ebenen  der  (hohle)  Winkel  ihrer  positiven  Normalen  ver- 
standen werden. 

Hält  man  an  den  Festsetzungen  in  288  fest^  und  sind  die  Ebenen 
in  der  Normalform 


Flg.  IM 


1)  Diese  Kegel  gilt  für  die  hier  gewühlte  Oricntianing  des  Koordinaten- 
systems, bei  der  Toni  Ursprung  aus  betrachtet  die  positive  jp-,  y-  and  r- Achse  im 
umgekehrten  Sinne  der  ührzeigerdrebaug  aufeinander  folgen;  ftndert  man  die 
<  >rientierang  nach  der  Art  der  Fig.  108,  so  kehren  sich  die  Angaben  um.  (Vgl. 
<\  Staude,  Analjt.  Geometrie  etc.,  Leipsig  1906,  p.  161}. 

Osnber,  Höhere  HathemaUk.  |.  AoB  22 


S88         Analytidcha  Geometrie  des  Baomep.    §  S.  Ebene  und  Gerade. 

xcos«!  4- ycosft -f /cosy,  —  l>i  —  0  (1) 

a:coia,  +  ycosft -f /cosy,  —  p,  —  0  (2) 

gegeben,   so   hat   man   fßr  den    definierten  Winkel  anmittelW   d^n 
Ansatz  (221): 

C08C)  —  C08«iC08«,  4-  COS/Jj  COS  ^j  +  COfl>'i  cosy,.  (3) 

Von  da  aus  gestattet  auch  der  allgemeine  Fall,  daß  die  Ebenen 
durch 

Ä,xi-Bip-^C,g-\-D,^0  (4) 

A,x  +  JS,y  +  C^z  +  2>,  -  0,  (6) 

gegeben  sind^  einfache  Erledigung;  man  denke  sich  diese  Gleichungen 
auf  die  Normalform  zurückgefQhrt  und  hat  dann 

cos«  = ^,^  +  B,B,^fiC;  ^^^ 

daraus  berechnet  sich 

,  jAl  -\-B\  +  d)  iA\  4-  B\  +  q)  -  (A,  Ä,  -f  A  i^t  -f  C\  C,)« 

*"^  *"  "■  {A\  4-  B?  4-  C\)  {AI  4-  Bl  4-  Cl 

und  schließlich  (U6) 


.  1  /(B,  C,  -  B,  C\)«  4-  (C\  ^  ~  CtA)*  4-  (A  -B,  -  A  B,}*         f^. 

8inco=-|/  (^J  +  £14-Cf)(^«4-B|4-Cl)  '       ^'^ 

die  Wurzel  positiv  genommen,  weil  o  ein  hohler  Winkel  ist. 

Läßt  man  in  der  Formel  (6)  den  Zeichenfaktor  weg,  so  bestimmt 
sie  einen  der  Winkel  der  ungerichteten  Normalen;  Formel  (7)  bestimmt 
beide  als  suplementäre  Winkel. 

Für  die  Ebenen 

3ir  -  2y  -  4jf  4- 3  -  0 

a:4-oy-2ir-4-0 

ergibt  sich  beispielsweise 

1 

cos  fi)  — ==- 

V870 

und  (0  —  91®56'34",4    als  Maß  des  Keils,    dem  der  Ursprung  nicht 
angehört. 

237.  Senkrecht«  und  parallele  Bbenen.  Aus  den  eben  ab- 
geleiteten Formeln  lassen  sich  die  Bedingungen  ablesen,  unter  welchen 
zwei  Ebenen 

^^j;4-^iy4-6>^A-0  (4) 

aufeinander  senkrecht  stehen,  beziehungsweise  parallel  sind. 

Formel  (6)  zeigt,  daß  die  Ebenen  aufeinander  smkredtf  stehen, 
wenn 


Winkel  zweier  Ebenen.    EbenenbOtelial.  B89 

weil  dann  und  nur  dann  cos  o  —  0  ist;  and  Formel  (7),  daß  sie  pa- 
rcUlel  sind,  wenn 

weil  dann  und  nur  dann  sin  &  »  0  ist. 

Auf  Grund  dieser  Merkmale  erkennt  man  also  die  Ebenen 

8x  -  2y  +  2f  -  1  -  0 

4x  +  4y  —  2-r  -f-  3  -  0 

als  aufeinander  senkrecht,  die  Ebenen 

2x-3y-jer  +  4«0 

-  4«  4-  6.V  +  2£r  ~  5  -  0 
als  parallel 

238.  Ebenenbüschel,  bestimmt  dnroh  iwei  Ebenen.    Zwei 
Ebenen 

E,  -  A,x  -h  fi^y  -f  C^r  +  A  -  0  (1) 

jE:,«  ^a:  +  B^y  +  ^,/  -f  D,"  0  (2) 

bestimmen  einen  Ebenenbüschel  als  Gesamtheit  der  Ebenen,  die  dorch 
ihre  Schnittlinie  gehen.     Alle  diese  Ebenen  sind  in  der  Gleichung 

E^-XE^''Ä,x  +  B,y-{'C^g-^D,'-X(A^x-^B,yi-C,g-tD,)^Ö  (3) 

enthalten.  In  der  Tat  stellt  diese  Gleichung,  weil  Tom  ersten  Qnd 
in  X,  y,  #,  eine  Ebene  dar,  und  da  sie  durch  jeden  Punkt  befriedigt 
wird,  der  (1)  und  (2)  zugleich  erfüllt,  so  enthält  die  Ebene  die  ge- 
meinsamen Punkte  der  Ebenen  £*},  E^,  geht  also  durch  deren  Schnitt- 
linie. Durch  Spezialisierung  des  Parameters  X  wird  eine  bestinunte 
Ebene  aus  dem  Büschel  herausgehoben;  bei  >l=-:0  ist  es  die  Ebene  £„ 
bei  ;i  =»  oo  die  Ebene  E,. 
Die  drei  Gleichungen 

haben  die  Eigenart,  daß  sie  nach  Multiplikation  der  ersten  mit  —  1 
und  der  zweiten  mit  X  zur  Summe  eine  identische  Gleichung  haben; 
man  kann  diese  Bemerkung  dahin  y erallgemeinem,  daß  drei  Ebenen 
^2,  Ef,  J?„  zu  deren  Gleichungen  sjch  Multiplikatoren  ft,,  ^,  ii^  be- 
stimmen lassen  derart,  daß 

fi,E,  +  (i,E,-\-IHE,^0 
ist,  durch  eine  Gerade  gehen.     Denn,  aas  dieser  Identität  folgt 

somit  ist  JE;-0  gleichbedeut«id  mit  ^  ^i-f-***  £,-Ooder  i^- i^-O, 

2«* 


340         Analytiscbs  Geometrie  des  Baumes.    §  :i.  Ebene  und  Gerade. 

wenn  ^  ^  -  k  gesetzt  wird;  das  heißt  aber,  daß  E^  dem  Büschel 

der  Ebenen  E^^  E^  angehört. 

Durch  eine  Bedingung  ist  eine  Ebene  des  Büschels  bestimmt. 

Verlangt  man  diejenige  Ebone,  die  durch  den  Punkt  M^ix^/y^/Zf^) 
geht^  so  bestimmt  sich  A  aus  der  Forderung 

^1^0+  Ayo+  O.zo-^  A  -  ^i^i^o-^  ^.^0+  ^'«^0+  A)  -  0, 

die  Gleichung  der  betreffenden  Ebene  kann  also  in  der  Form 

Ä,x  +  B^y  -^  C,e  4-  A    ^^  +  B^y  +  C,z  +  A^  _  ^       ^ 

A^o  +  Biyo  +  <^i^o -f  A  ^j^o+  Ayo+  ^>o+  A t " 

geschrieben  werden. 

Soll  diejenige  Ebene  des  Büschels  bestimmt  werden,  die  zu  der 
Ebene 

Äx-\-  By-^  Cz-\-  D^O  (5) 

senkrecht  steht^  so  hat  man  die  Bedingung  für  die  senkrechte  Stellung 
der  Ebenen  f3)  und  (5)  aufzustellen,  die  da  lautet: 

(4  -  XA^)A  +  (B,  -  XB,)B  +  (Cj  -  AC,)C  =-  0; 
bringt  man  sie  in  die  Gestalt 

^4^  +  j^A  +  CC,  -  X{ÄA^  4-  BB^  4-  CCj)  -  0, 
und  eliminiert  aus  ihr  und  (3)  den  Parameter,  so  ergibt  sich 
^  A,x  +  ß^y -^  C^z -h  D,    A^x -Jf  B^y  +  CfZ  +  D^   ^ 

AA^-\-BB,^CC,  AA^-^- BB^-\- CC,  ^^ 

als   Gleichung  der  verlangten  Ebene. 

239.  TeilungBverhältnis  im  Ebanenbüsohel.     Die   beiden 

Grundebenen  des  Büschels  seien  in  der  Hepseschen  Normalform  gegeben: ' 

A  ="  ^  cos  «1  -h  y  cos  /3i  -I- ;?  cos  yi  —  Pi  —  0  (1) 

A  =■  a?  cos  a,  +  y  cos  /J^  -f  5  cos  yj  —  pj  —  0;  (3) 

dann  ist 

A-A-^^i-0  (3) 

die  Gleichung  des  Büschels. 

Die  Grundebenen  teilen  den  Raum  in  ?ier  WinkelrUume,  die  sich 
in  zwei  Paare  einander  gegenüber  liegender  Räume  unterscheiden  lassen, 
wofern  keine  der  ICbenen  durch  den  Ursprung  geht:  jenes  Paar,  dem 
der  Ursprung  angehört,  heiße  der  innere^  da?  andere  der  äußere  Winkel- 
raum. Dem  inneren  Winkelraum  wenden  beide  Ebenen  gleichartige, 
dem  äußeren  ongleichartige  Seiten  za. 

Ist  A  ®*Q^  bestimmte  Ebene  des  Büschels  und  M{x/y/ß)  einer 
ihrer  Punkte,  der  nicht  zugleich  A  ^^^  A  c^chört,  so  haben  die 
Ausdrücke  A^  A  °^^^  seinen  Koordinaten  geschrieben  die  Bedeutung 


Teiliiogdverh&ltnii  im  Ebencnbflschel.  341 

der  relatiTen  Abstände  d^,  6,  des  Punktes  M  Ton  den  Grundebenen 
des  Bflschels,  somit  gilt  in  Beziehung  auf  die.^en  Pnnkt  die  (ileichung: 


aus  der 


*» 


'-T. 


folgt;   ~   ist   aber   auch    daä    Sinus  Verhältnis   der   Flachenwinkel,    in 
welche  die  Eben»»  Bj^  den   Flachen winkel  l//j//fj  teilt,   so  daß  auch 

ist,  Fig.  109. 

Durchsetzt  //^  den  inneren  Wirkel- 
raum, 80  sind  d|,  d|  gleich  bezeichnet  A 
daher  positiv;  durchsetzt  i7^  den  äußeren 
Winkelraum,  so  sind  dj,  d,  ungleich  be- 
zeichnet, l  also  negativ. 

Sind  insbesondere  dj,  d^  dem  Betrage  nach  gleich,  so  halbiert 
die  Ebene  H,  den  betreffenden  Winkelraum  und  ist  im  innem  Kamne 
durch  1»>1,  im.  äußeren  durch  A  =  — 1  gekennzeichnet,  so  daß  die 
Gleichungen  dieser  zwei  Winkelhalbierenden  Ebenen  symbolisch 

Ä,-//,=  0  (5) 

H,+  H,=^0  (6) 

i  EU  schreiben  frind. 

Bei  der  allgemeinen  Darstellung  der  Grundebenen: 

je;  =  ^,x  -f  J?,y  +  Gl-»  +  2),  -  0  (7) 

E^^  A^x  +  B,y  -^  C,M  ^  D,^  0  (8) 

:  hat  man  sich  zn  erinnern,  daß 

w  „ "^»         «0     jy  =  — ~ ^ «=  0 

ihre  Normalformen  sind;  infolgedessen  schreibt  sich  die  Gleichung 

inonmehr  so* 
I    sgn/),  .  ff,yj\TW^~C\  -  AsgnZ>, .  fl;]/^«  +  B{  +  CJ  -0, 

■nd  es  hat  jetzt  Jl  die  folgende  Bedeutimg: 

1 


""  igii/),  KiR  ^  +  ^  ""  *^  ^«> 


Die  Gleichungen  der  Winkelhalbierenden  Ebenen  aber  lauten  in  gjm- 
bolischer  Schreibweise: 


542         Aoaljtigche  Geometrie  des  R»aine«.    §  3.  Eben«  nad  Gerade. 


^' 0,  (10) 


^ -^ ^ 0.  (11) 


340.  Bb^nenbündel,  battimint  duroh  drei  Bbenen.  Drei 

Ebenen                  ^^  _  ^^^  4,  ^^y  4.  C,;.  +  A  =  0  (1) 

JE7,=  ^x-f  ja,y4-Ciif4-A-0  (2) 

J5i-jl5a:-fi?,y+C,xr  +  2),-0  (3) 

bestimmen  einen  Ebenenbündel  als  Gesamtheit  der  durch  ihren  gemein- 
samen Punkt  gehenden  Ebenen.  AUe  diese  Ebenen  sind  in  der  mit 
den  unbestimmten  Multiplikatoren  Xj  fi  gebildeten  Gleichung 

E.'-XE.-'iiE^'^O  (4) 

enthalten;  denn  diese  Gleichung  stellt  bei  jedem  X,  fi  eine  Ebene  dar 
und   wird   durch   dasjenige   Wertsystem  x,  y,  z  be^edigt^   das   den 
Gleichungen  (1),  (2),  (3)  zugleich  genügt. 
Die  Tier  Gleichungen 

Ei  =  0,    ^8  =  0,    ^,=  0,    E^-lE^-iiE^-^O 

geben,  nachdem  man  die  erste  mit  —  1 ,  die  zweite  und  dritte  mit  Xf 
bzw.  fi  multipliziert  hat,  zur  Summe  eine  identische  Gleichung,  um- 
gekehrt, besteht  zwischen  vier  linearen  Funktionen  E^  E^,  JS^,  E^ 
von  Xy  y,  a  eine  identische  Gleichung  von  der  Form 

so  laßt  sich  eine  der  vier  Gleichungen  jK,— 0,  z.  B.  JS*^— 0,  durch 
die  andern  in  der  Gestalt  (4)  darstellen;  denn  aus  der  Identität  folgt 

und  die  Gleichung  E^^  0  ist  hiemach  gleichbedeutend  mit 

E.^XE.-fiE.^O, 

wenn  ^'  —  —  A,  —  —  —  /a  gesetzt  worden  ist 

Man  kann  also  sagen:  Wenn  sichsu  ilen  GfeicÄttfi^nJE'<—0(f  — 1,2,3,4) 
von  vier  Ebenen  Multiplikatoren  x^,  x,,  Xj,  x^  bestimmen  lassen  derart, 

^^  XiEi  +  x,E,+  x,^,-hx,£,sO 

ist,  80  (felwn  die  vier  FJ>cnen  durch  eiften  Punli. 

241.  Beiipiele.  1.  Die  Halbierungsebenen  der  Flachenwinkel 
eines  Dreikants  schneiden  sich  in  einer  Geraden. 

Ordnet  mau  das  Koordinateosystem  so  an,  daß  sein  Ursprung  im 
Lauern  des  Dreikants  liegt,  und  sind 

i/^«0,    F,-0,    F,-0 


Ebenenbasobel.    Merkwürdige  Tetraederpankte.  343 

die  Hessesclien  NormAlgleichung^  der  drei  Seiten,  so  sind 

die  Halbierungsebenen  der  inneren  Winkelränme,  die  durch  die  drei 
Seitenpaare  bestimmt  sind,  und  da  ihre  Summe  eine  identische  Glei- 
chung ergibt,  so  gehen  diese  drei  Ebenen  durch  eine  Gerade. 

2.  Die  Halbierungsebenen  der  Fläcbenwinkel  eines  Tetraeders 
schneiden  sich  in  einem  Punkte  (Mittelpunkt  der  dem  Tetraeder  ein- 
geschriebenen Kugel). 

Der  Ursprung  sei  wieder  im  Inuern  des  Tetraeders  und  die  Seiten- 
flächen mögen,  in  Hessescher  Normalform  geschrieben,  die  Gleichungen 

H.^Oy    1^-0,     ffj-O,     ^,-0 
besitzen. 

Bringt  man  die  vier  Seitenflächen  in  irgend  eine  Reihefolge 
«,  ß,  Yf  df  so  sind  damit  vier  Kanten  (aß),  (ßy),  {'y^)f  'da)  be«timmt, 
die  einen  zusammenhängenden  sich  schließenden  Kantenzug  bilden, 
und  die  Halbierungsebenen  längs  dieser  Kanten  schreiben  sich: 

da  die  Summe  dieser  Gleichungen  identisch  verschwindet,  so  gehen 
die  vier  Ebenen  dnri'h  einen  Punkt.  Diesem  Punkt  kommt  aber  die 
Ton  der  Wahl  der  Reihenfolge  unabhängige  Eigenschaft  zu,  daß  er  von 
allen  Tetraederseiten  gleichen  Abstand  hat;  denn  im  Smne  der  letzten 
Gleichungen  ist,  mit  seinen  Koordinaten  geschrieben:  H^^  H^^  H  »  Uy, 
folglich  gehen  durch  diesen  Punkt  alle  sechs  HalbieruDgsebenen. 

3.  Die  Halbieningsebent^n  von  drei  inneren  Fläch^'n winkeln  eines 
Tetraeders  schneiden  sich  mit  den  Halbierungsebenen  der  äußeren 
Flächenwinkel  an  den  drei  übngen  Kanten  in  einf'.m  Punkte  (Mittel- 
pujikte  der  dem  Tetraeder  angeschriebenen  Kugeln). 

Die  Anordnung  des  Koordinatensystems  geschehe  wie  vorhin.  Die 
Tialbierungsebenen  der  inneren  Flächenwinkel  zwischfin  den  Seitt»o 
/i^,  //^.  H,  haben  die  Gleichungen 


344         Analytiiche  Geomttrie  dei>  itaiime«.    §  8.  Ebene  und  Gerade. 

die  Halbieruugsebenen  dc-r  äuBeren  Winkel  an  der  Seite  U^  sind  dann: 

Kombiniert  mau  korrespondierende  Paare  aus  beiden  Tripeln, 
also  z.  B. 

ßo  ist  leicht  zu  erkennen,  daß  die  betreffenden  vier  Ebenen  durch 
einen  Punkt  gehen;  man  braucht  nur  jeweilen  die  letzte  Gleichung 
mit  —  1  zu  multiplizieren,  um  eine  identische  Snniniengleichung  zu 
erbalten.  Nun  hat  aber  der  Schnittpunkt  eine  von  der  Wahl  der 
Paare  unabhängige  Eigenschaft;  denn  im  Sinne  der  letzten  Ansätze 
ist,  mit  seinen  Koordinaten  geschrieben,  H^^  ^fl^  H^=-^  —  H^\  folg- 
lich gehen  aUe  sechs  Ebenen  durch  diesen  einen  Punkt. 

242.  Die  Oerade  als  Schnitt  zweier  Ebenen.  Der  geome- 
trischen Tatsache,  daß  zwei  Ebenen  sich  nach  einer  Geraden  schneiden, 
entspricht  die  Aussage,  daß  zwei  Gleichungen  ersten  Grades  in  .r,  y,  g\ 

eine  Gerade  bestimmen.  Jede  der  Gleichungen,  für  sich  betnichtet, 
stellt  eine  Ebene  dar,  und  indem  sie  als  koexistent  aufgefaßt  werden^ 
genügen  ihnen  die  Koordinaten  solcher  und  nur  solcher  Punkte,  die 
beiden  Ebenen  angehören,  also  der  Punkte  einer  Geraden. 

24r3.  Bie  Gerade,  dnrch  ihre  Projektionen  dai^gestelit. 
Leitet  man  aus  den  Gleichungen  (1)  durch  Elimination  von  y  eine 
neue  Gleichung  ab,  so  genügen  dieser  die  Projektionen  der  Punkte 
der  Geraden  auf  der  ;era:-£bene,  folglich  stellt  sie  die^e  Projektion  selbst 
dar;  ebenso  liefert  die  Elimination  von  g  die  Gleichung  der  Projektion 
d^r  Geraden  auf  der  ory -Ebene. 

Diese  Gleichungen  aber  lauten: 

ist  B^  C|  —  £^  (?]  «f  0,  so  nehmen  sie  nach  Division  durch  diesen  Koeffi- 
sienten  die  Gesteh  an: 


y-m,d?-f  H, 


I  ^^^ 


Dar«tellungBformen  der  Gei»deu  im  Ramiie.  345 

Wem)  hingegen  J5,  C,  —  iy,C, —  0,  so  ergeben  Iwide  Elimnations- 
pjozesse  ein  imd  dieselbe  Gieicbang  von  der  Form  x^^n^  die  aber 
iii  verschiedenen  Koordinatenehenon  zu  deaten  ist;  beidemal,  ifowohl  in 
der  ZX'  wie  in  der  a;y-Ebene  bedeutet  sie  eine  zur  :r- Achse  senkrechte 
Gerade;  diesmal  ist  die  Gerade  im  Räume  durch  die  genannten  zwei 
Projektionen  nicht  bestimmt,  es  muß  die  dritte  Projektion  herangezogen 
werden,  die  sich  durch  Elimination  von  x  aus  (1)  ergibt 

Nach  dem  erläutorteu  Vorgange  findet  man  beispielsweise,  da^ 
das  Ebenenpaar 

2x  -  3y  -  4if  -f  ö  =  0 

3a?  4-    y  -  2^  ~  3  =  0 
eine  Gerade  mit  den  Projektionen 

^  10**'  6 

y — l*  +  V 

darstellt,  das  Ebenenpaar 

3ar  +  2y -h  42  -  2  -  0 
4x  +  3y  +  6ir  4-  «^  -=  0 

aber  eine   Gerade,  deren  Projektion  auf  der  ex-  und  ory-Ebene  die 
Gleichung 

a:=  16, 

auf  der  yr -Ebene  aber  die  Gleichung 

besitzt. 

244.  Gerade  dnrch  einen  Pnnkt.  Hebt  man  in  der  Geraden, 
die  durch  das  Ebenenpaar 

A,x  4  B,y  +  C^fr  +  A  *-  0 


bestimmt  ist,  einen  Punkt  i(^o(^o/yo7'o)  ^61*^08,  so  kann  mit  seiner 
Hilfe  dasselbe  Ebenenpaar  auch  durch  die  Gleichungen  (280) 

A,{x-x,)  +  B,(»-y,)  +  C,(#-*,)  -  0  I 

^(*-x.>  +  i^(y-y,)  +  C,(,-*o)  -  0  I  ^^ 

dargestellt  werden;  diese  Gleichungen  aber  bestimmen  die  VerhäliniMe 


von  x  —  x^j 

y-Vo, 

#  — fj,,  indem 

(laa. 

i.) 

B,C,^ 

y« 

"^,B. 

-^Ä, 

bezeichnet 

man  die  Nenner  mit  p 

>  5^»  *•» 

80  hat 

man  in 

P 

r 

(») 


346 


Analytiflcbe  Qeoraetrie  des  Raame«.    §  8.  Ebene  und  Gerade. 


eine  weitere  Darstellung  der  Geraden.  Weil  bei  einer  Geraden,  die 
durch  einen  gegebenen  Punkt  gefahrt  wird,  nur  noch  die  Richtung 
frei  bleibt,  so  ßind  die  Nenner  p,  q,  r  bestimmend  fiir  die  Richtung 
der  Geraden.  Bei  unbestimmtem  p,  9,  r  sind  in  (3)  alle  Geraden 
dnrch  den  Punkt  M^  enthalten,  ihre  Gesamtheit  heißt  ein  Gfradmbündel. 

In  dem  Ansatz  i  3j  sind  zwei  voneinander  unabhängige  Gleichungen 
enthalten;  die  drei  Gleichungen,  die  sich  daraus  ablesen  lassen,  be- 
stimmen die  Projektionen  der  Geraden  auf  den  drei  Koordinatenebenen. 

Um  z.  B.  die  Gerade 

a:  +  3y  —  2x:  -  7  =- 0 

in  der  Form  (3)  darzustellen,  muß  erst  ein  Punkt  auf  ihr  bestimmt 
worden;  nimmt  man  Xq'^O  (oder  sonst  beliebig)  an,  so  hat  man  zur 
Berechnung  von  y^,  g^  die  Gleichungen: 

aus  denen  sich  ^o"  ^y  ^o^~^  ergibt;  die  Nenner  sind  die  Deter- 
minanten zweiten  Grades  aus  der  Matrix 

1  3     -2 

2  -4     -3; 
mithin  lauten  die  Gleichungen: 

17  ""       1       "^      10     * 

245.  Parametrische  G'leichnngen  der  Q^raden.  Die  drei 
Quotienten,  die  in  den  Gleichungen  (3)  auftreten,  ändern,  während  der 
Punkt  M{xiylB)  die  Gerade  durchläuft,  ihren  gemeinsamen  Wert; 
bezeichnet  man  diesen  mit  u,  so  löst  sich  der  Ansatz  (3)  in  die 
Zi  Gleichungen  auf: 

X^X^'\'PU 


Diese  Darstellung  der  Geraden  heißt 
eine  paranietrische,  weil  die  Koordinaten 
^^  ^'°  des  laufenden   Punktes   der  Geraden   als 

Funktionen  des  veränderlichen  Parameters  a  gegeben  erscheinen. 

Eine  andere  parametrische  Darstellung  ergibt  sieh  durch  folgende 
Betrachturjg.  Bezeichnet  man  den  variabh^n  Abstand  des  laufenden 
Punktes  IT,  Fij?.  110,  von  dem  festen  Punkte  M^  mit  s,  dabei  .s  als 
relative  Größe  aufpassend,  die  positiv  ist,  wenn  die  Strecke  M^M  mit 


PurametriBche  DftrateHungen  der  Geraden.  347 

der  Geraden  gleich  gerichtet^  negativ,  wenn  sie  entgegengeriohiet  ist, 
80  ergeben  sich  durch  Projektion  der  genannten  Strecke  auf  die 
Achsen  folgende  Beziehungen: 

X  — ap^— scosa 

jr—  f^—  «cosy; 

dabei  sind  cosa,  cos/S,  cos;'  die  Bichtungskosinus  der  gerichteten 
Geraden. 

Dies  fQhii;  zu  der  folgenden  parametrischen  Darstellung  der  Geraden: 

*  -■  ar^  -h  s  cos  a 

y^y9-\-  scosß  (5) 

j?  =»^r^  +  «  cos  y . 

Aus  den  beiden  Darstellungsweisen  (4)  und  (5)  schließt  man  auf 

pu  *»  «cos« 
qu'»  s  cos  ß 
ru  ^  8  cosyy  -, 


woraus  sich 
nnd  weiter 


tt  — 


cosa  = 


^Vl>'  +  3'  +  f' 
P 


*V/>'-f2'4-r 


cos  ß  « —       ^  (^\ 


r 
cosy 


*V;>'-f- «'  +  »'' 
ergibt. 

Hiermit  sind  die  Richiungskosinus  der  durch  die  Gleichungen  (3) 
dargestellten  ungerichteten  Geraden  bestimmt,  so  lange  man  bezüglich 
des  c  keine  Wahl  trifft;  entscheidet  man  sich  f&r  einen  der  beiden 
Werte  +  1  oder  —  1 ,  so  ist  damit  eine  Richtimg  als  die  positive  fest- 
gesetzt. 

Als  Beispiel  diene  der  folgende  Fall.     In  der  Geraden 

4     —     ö     —   — 8 

soll  jene  Richtung  als  die  positive  gelten,  die  mit  der  positiTen 
j?- Achse  einen  spitzen  Winkel  bildet;  es  sind  ihre  Richtung:*kusinus 
und  ihre  Richtungswinkel  zu  bestimmen. 


348         Analytibohe  Geometrie  des  Räume«.    §  8.  Ebeno  and  Gerade. 

Da  nach  dieser  Festsetzung  cosy  notwendig  positiv  ist,  hat  man 
£-«  — 1  zu  nelimeD;  die  Kichtungskosinns  sind  also: 

4^1  8 

cos  a  -« >  ,        cos  p  — p  ,        C08  r  «= ;:.  , 

die  Winkel  selbst:  a  -  124027',  ß  -  135^  y  «  64«Ö3'44". 

246.  Angahl  der  Konstanten.   Gerade  durch  zwei  Punkte. 

Die  einzelnen  Darstellungsfonjien  der  Geraden  unterscheiden  sich  von- 
einander durch  die  Zahl  und  Bedeutung  der  in  ihnen  auftretenden 
Konstanten.  Nicht  immer  sind  diese  sämtlich  unabhängig  voneinander 
und  nicht  immer  sind  sie  auf  die  kleinste  Anzahl  reduziert.  So  ent- 
hält die  Darstellung  (242,  1.)  sechs  Konstanten,  aber  durch  den  in 
243  ausgeführten  Eliminationsprozeß  sind  sie  auf  vier  reduziert;  in 
der  Form  (244,  3.)  erscheinen  auch  sechs  Konstanten;  doch  kann  aus 
der  Gruppe  x^^,  y^j  z^  eine  willkürlich  angenommen  werden,  und  die 
Gruppe  py  q,  r  läßt  sich  auf  zwei  Ko)istanten  reduzieren,  z.  B.  auf  die 

Verhältnisse    '^ , 

Die  kleinste  Zahl  unabhänngiger  Konstanten,  mit  deren  Hilfe  bick 
eine  Gerade  im  Baume  analytisch  darstellen  läßt,  beträgt  vier. 

Da  zwei  unabhängige  Gleichungen  vorhanden  sind,  so  ist  im 
allgemeinen  eine  Gerade  durch  zwei  Bedingungen  bestimmt. 

Der  einfachste  Fall  ist  der  einer  Geraden  durch  zwei  gegebene 
Punkte  M^ixjyjz^),  M^{xjyjz,). 

Der  Bündel  der  Geraden  durch  J/,  ist  in  den  Gleichungen 

^r  i^  _  y  r:  y»  «  f  r*  'i 

p  q  r 

bei  unbestimmten  p,  q,  r  dargestellt;  diejenige  unter  den  Geraden,  die 
durch  Jif|  geht,  erfüllt  die  Bedingungen: 


f« nfH  ^  yt-yi  ^  fi_~ 


P  9  r      ' 

durch  Dirision  beider  Ansätze  ergeben  sich  die  Gleichungen  der  Ver- 
bindungsgeraden von  Jf}  und  Jf,: 

und  die  Riohtungskosinus  sind  (245,  218): 

coBcr-*!-;^«.,      coBfi^^^y/\      cosy-*'«-*«,  ^^^ 

247.  Sohnittpnnkt  einer  Oeraden  mit  einer  Bbene.  Dem 
Wesen  naoh  kommt  dieee  Aufgabe  auf  die  Lösung  dreier  Gleichungen 
ersten  Gradee  in  x,  y,  e  hinaus:  der  Gleichung  der  Ebene  und  der 
beiden  die  Ge^-ade  darstellenden  Gleichungen. 


Gerade  dotcb  zwei  Punkte.    G«nid«  ood  Ebene  549 

Die  LösuDg  nimmt  ^loe  übersichtliche  (festalt  an,  wenn  man  den 
OeradengleiohuDgen  die  pararof^trische  Form  ?erliehen  hat. 
Sind  mtmlich  Ebene  und  Gorade  durch 

-i«  -f  Ify  +  C?j  +  Z)  -  0  (1) 

^  —  ^0  +  ^«*  ) 
gegeben,  so  führt  die  Substitution  von  (l^)  in  (1): 

Äx^-Jr  By^-f  eif„+  />  -f  (^P  -I-  B^  +  Cr)u  -  0  (3) 

auf  eine  Gleichung,  aus  der  sich  der  zum  ^>chDittpunkt  gehörige 
Parameterwert  bestimmt.  Die  Bestimmung  ist  aber  nur  dann  möglich, 
wenn  Ap  -j-  Bq  -{-  Cr  '^  Oj  und  zwar  ist  dann 

durch  Einsetzung  dieses  Wertes  in  (2)  ergeben  sich  die  Koordinaten 
des  Schnittpunktes. 
Ist  jedoch 

^p  -f  jB(?  4-  Cr  =™  0 ,  (5 1 

gleichzeitig  aber  Ax^  -f  By^  -f  Czq  +  D  «H  0,  so  kann  der  Gleichung  *  3; 
nur  durch  eiuen  unendlichen  Wert  von  u  genügt  werden,  folglich 
ergeben  sich  dann  auch  für  die  Koordinaten  des  Schnittpunktes  un- 
endliche Werte.  Man  sagt,  die  Gerade  habe  mit  der  Ebene  einen 
unendlich  fernen  Punkt  gemein  und  bezeichnet  sie  als  ßur  Ebene 
paraJM. 

Wenn  endlich  neben  (p)  auch 

Ax^'\-By^^C3,^D^0  (6) 

ist,  so  wird  (3)  durch  jeden  Wert  von  n  befriedigt,  alle  Punkte  der 
Geraden  gehören  der  Ebene  an,  die  Gerade  liegt  in  der  Ebene. 

Die  Beziehung  (5)  allein  zeigt  also  den  Parallelismus  an;  (6)  für 
sich  besagt,  daB  der  Punkt  XQ-y^'z^  der  Geraden  auch  der  Eben»? 
angehört;  beides  zusammen  hat  das  Ineinanderliegen  zur  Folge. 

248.  Ebene  durch  eine  Gerade  und  einen  Punkt.  Von 
den  eben  erkannten  Bedingungen  kann  Gebrauch  geiUHcht  werden  zur 
Lösung  der  Aufgabe:  Die  Gleichung  der  Ebene  aufzustellen,  welche 
durch  die  Gerade 

x  —  jco       yj-?5  «.'"Lf»  (i) 

p'    ""fr  ^ 

und  den  Punkt  ^fi(a:i/yi//,)  geht. 
Sieht  man 

^x  H-  Jy  -I-  Cf  -h  D  -  0  (2) 


350         AiuIytiBche  Geometrie  deu  Räume«.    §  3.  Ebene  und  Qetmde. 


ala  Gleichung  der  gesachten  Ebene  an,  so  erfüllen  die  Koeffizienten 
folgende  Bedingungen: 

Ap  •\-Bq  •\'Cr  -  0 

^a:o+Byo-f  C/o+D-0  (3) 

die  beiden  ersten  betreffen  das  Ineinanderliegen  yon  Gerade  und  Ebene^ 
die  letzte  das  Ineinanderliegen  von  Punkt  M^  und  Ebene. 

Durch  das  Gleichungssystem  (3)  sind  die  Verhältnisse  der  Koeffi- 
zienten Ay  Bf  Cy  D  bestimmt,  und  das  genügt  zur  Durchführung  der 
Gleichung  (2);  schließlich  kommt  es  darauf  an,  aus  (2)  mit  Hilfe  ?on 
(3)  die  Koeffizienten  zu  eliminieren;  das  Resultat  dieser  Elimination 
ist  (121); 

X   y    z    l 

p    q    r    0 


^0  Vo  ^0  1 
^1  Vi  ^1  1 


=  0 


(4) 


und  stellt  die  verlangte  Ebene  dar. 

Hiernach  schreibt  sich  die  Gleichung  der  Ebene  durch 

x—2        8(y  — 4)       4(jr4-3) 
4      ""         6         ""        8 


3f.(B/~4/3) 

zunächst  in  folgender  Gestalt: 

X      y      z  l 

4      i      1  0 

2      4-3  1 

6-4      3  1 

durch  Zeilensubtraktion  wird  daraus 

x-2    y~4    £  +  3 

4          i          i 

-4          8      -6 

6 

-4          3 

0; 


-0 


und  nach  Entwicklung  der  erübrigenden  Determinante  dritten  Grades: 

-  16(a:-2)  +  2Uy-4) -h  i^(#  +  3)  -  0. 

also  schließlich: 

48^^  -  63y  -  116jp  -  192  -  0. 

249.  Winkel  einer  Oeriden  mit  einer  Bbene.     Von  dem 

Winkel  einer  Geraden  nut  einer  Ebene  kann  in  bestimmter  Weise  erst 


Ebene  durch  Oermde  und  Punkt»    Winkel  iwueben  Gerade  und  Eben«.    351 

dann  gesprocheD  werden,  weon  die  Gerade  geriehtet  und  bei  der 
Ebene  die  positive  Seite  Ton  der  negativen  untencbieden  ist  Der 
bohle  Winkel  a  zwischen  der  gerichteten  Geraden  und  der  potiÜTen 
Nonnale  der  Ebene  ist  dann  spitz  oder  stampf,  je  nacbdeni  dt» 
positive  Ricbtung  der  Geraden  von  der  negativen  Seite  der  £l)eDe 
zur  positiven  oder  umgekehrt  verläoft;  das  Komplement  d  diese» 
Winkels,  also 

»-^-a,  (1) 

soll  als  Winkel  der  Geraden  mit  der  Ebene  erklärt  werden;  d  ist  der 
Größe  nach  spitz,  und  sein  Vorzeichen  belehrt  über  die  Anordnung 
beider  Gebilde  zueinander  in  dem  angegebenen  Sinne. 

Der  absolute  Wert  von  ^  wird  gemeinhin  als  Neigtmgstcinkd  der 
Geradeik  zur  Ebene  bezeichnet. 

Es  sei  nun 

Ax-^By-^  Cz  +  D'^0  (2) 

die  Gleichung  der  Ebene,  während  die  Gerade  durch 

p  q  r  ^  ^ 

bestimmt  sein  möge;  gerichtet  sei  sie  durch  die  Wahl  eiues  bestimmten 
Wertes  für  e  (M6);  dann  sind 

P  <l  >• 

^VF+l^TT»'      «Vp'  +  3*-fr*'      fVi)'-h3'  +  r* 

ihre  Richtungskosinus,  während  die  der  positiven  Normale  zur  Ebene 
die  Ausdrücke  haben: 

A B r 

-8gnZ>V.4»-l-B«-f  C»'      -BgoD)/lHrBM^'     ~  sgn  Dy'iM^lBM^ 

Daraus  bestimmt  sich 

•    ^  Äp^Bu-\-Cr  ... 

sin ^  —  cos ü  — :        .      .^    .       I  ==l  W 

- i  »gn  DViA*  +  i^'  +  n(p« -h «•  -f  r*)  ^  ^ 

nnd  (vgl.  236) 


Aus  (4)  folgt  die  Bedingung  für  den  Parallelismus  zwischen  Ge- 
rade  und  Ebene  (^  —  0): 

Ap  +  Bq-^-Of^O  (6) 

in  Übereinstimmung  mit  247;  aus  (5)  die  Bedingung  für  die  Perpen- 
dikularität  der  Geraden   zur  Ebene  (^  —  ^j : 

^«^»?.  (7) 

p         q         r 


352         Analytische  Qeometrie  des  Raumes.    %  8.  Ebene  und  Geca>le. 

Als  Beispiel  diene  die  folgende  Aufgabe.    Es  ist  der  Winkel  der 
Gei*aden 

—  3  *"    4  '       —  » ' 

die  so  gerichtetet  ist,  daß  sie  mit  der  positiven  x-Aehse  einen  spitzen 
Winkel  bildet,  mit  der  Ebene 

2a;  -  y  ~  6£  +  3  -  0 
zu  bestimmen. 

Diesen  Angaben  gemäß  ist  £  =  —  1  zu  nehmen;  da  ferner  sgn3  —  -f  ^ 
ist^  so  hat  man 

»in  ^ ««    ^ 

1/82 

und  0"  =  26^  12 '53";  die  Gerade  verläuft  also,  in  ihrer  positiven  Rieh 
tung  ve?*folgt,  von  der  negativen  Seite  der  Ebene  zur  positiven. 

250.   Abstand  eines  Punktes  von  einer  Geraden.    Die  Ge- 
rade sei  gegeben  durch  die  Gleichungen 

p  q  r     ^  ^  / 

der  Punkt  3/j  durch  seine  Koordinaten  x^^y^yZ^  Um  seinen  Abstand 
Yon  der  Geraden  zu  erhalten,  lege  man  durch  ihn  eine  zur  letzteren 
senkrechte  Ebene  und  bestimme  den  Schnittpunkt  P  beider;  dann  ist 
die  Strecke  FM^  der  gesuchte  Abstand. 

Vermöge  der  Bedingungen  (7)  in  249  hat  die  beschriebene  Ebene 
die  Gleichung 

p{x  -  Xi)  +  ?(y  -  yj  +  r{e  -  B,)  -  0.  (2) 

Aus  den  Gleichungen  (1)  folgt: 

x-x^  -f^- «,  ^  y  -  Vi  -f-  y^  -  y^^z  -Jx±hrri9. 
P  q  r 

p(x~  X,)  -h  qitf  —  y}X±!:('  -i|)-hy(g,~  X.)  -f  t(y,  — jr,)^^  r(<|— J») 

und  indem  man  diesen  Ansatx  mit  (2)  zugleich  bestehen  läßt,  werden 
Xf  y,  M  die  Koordinaten  des  Schnittpunktes.    Mit  der  Abkürzung 

*•  +  «•  +  «••  "^  ^ 

hat  man  also: 

Jp  — «,  — pÄ-(«i  -a;^ 

y  -  y,  -  gÄ  -  (yi  -  y.) 

f  -  ^  -  rJB  -  (01  -  f^), 


Abataad  »wi«chen  Punkt  und  C^ntde  B53 

die  Quadrateamme  der  linken  Seiten  int  schon  dta  Quadrat  det«  Ab- 
Standes  d,  so  daß 

und  mit  Rücksicht  auf  die  Bedeutung  von  ff: 

^'  -  (^1  -  <)•  +  (yi  -  y,y  +  {z,  "  M,y  -  (^»  +  gt  4-  r*)  Ät;     (4) 

ersetzt  man  hierin  li  durch  seineu  Ausdruck^  so  wird  schließlich  (110) 

/>•  +  «• -fr*  -^ 


f 


!>•  +  «' -fr«  -— 
Die  positiTe  Quadratwurzel  hieraus  ist  ö  selbst. 
Die  Zwischenforrael  (4)  ist  wie  folgt  zu  deuten:  Da  die  Summe 
der  ersten  drei  Glieder  der  rechten  Seite  das  Quadrat  von  M^M^  gibt, 
so  bedeutet  (p*  +  Ö^  +  O^*  ^*®  Quadrat  des  Abstandes  des  Punktes  M^ 
Ton  der  Ebene  (2),  wie  auch  unmittelbar  aus  den  Ausführungen  in 
234  hervorgeht. 

Die  rechnerische  Durchföbrung  der  Formel  (5)  gestaltet  sich  ein- 
fach; man  schreibt  die  Matrix 

^1  -  -^0    ?/i  -  yo    ^1  -  <«^o 

p  q  r 

an,  bildet  die  Quadratsumme  ihrer  Detenuinanten  zweiten  Grades  und 
dividiert  sie  durch  die  Quadratsumme  der  Elemente  der  zweiten  Zeile. 
Soll  also  beispielsweise  der  Abstand  des  Ursprungs  von  der  Ge- 
raden 

bestimmt  werden,  so  heißt  die  Matrix 

5-2      3 

2       -3      4, 
ihre  Determinanten  sind  1,  —  14,  —  11,  folglich  ist 

,       1  -f  196  -f- 121       318 
— .   4^94.16     "^  2« 

und  d-3,  311... 

2B1.  Zwei  Gherade  im  Baume.   Zwei  Gerade  im  Räume  haben 

im  allgemeinen  keinen  Punkt  miteinander  gemein;  man  sagt  dann,  sie 

kreuzen  sich.    Schiteiden  sich  die  Geraden  in  pinem  eigentlichen  oder 

einem  unendlich  fernen  Punkte,  so  bestimmen  sie  eine  Ebene.     Et 

handelt  sich   um  die  Feststellung  der  analytischen   Bedingungen  fQr 

diese  Sonderföile  und  um  die  Bilduog  der  Ebenengieichung. 

C  B  n  b  e  r ,  Höhere  M»thMn»tik.  t.  kaA.  t% 


(6) 


554         Analytiiche  Geometrie  des  lUutnos.    §  d.  Ebene  und  Gerade. 


(2) 


Die  Geraden  seien  paranietrisch  gegeben  durch  die  Gleichungen: 
a:  —  a?i  -I-  Pi u  j  x  ^  x^-^-  p^u 

jf  —  #1 -I- r,i< )  5— jiTj  -fr^w. 

Sie  haben  dann  und  nur  dann  einen  gemeinsamen  Punkt,  wenn 
es  Parameter  werte  u^^u^  gibt,  die  in  (1),  beziehungsweise  (2),  ein- 
gesetzt, zu  demselben  Wertsystem  Xj  ?/,  a  führen,  fjo  daß  also  die  Glei- 
chungen bestehen: 

Xi—  X2+  PiU^  —  PtUi  --=  0 

g^  —  ^8  -f  n'^i  —  ^«8  ="^^- 

Die  Bedingung  für  die  Koexistenz  dieser  Gleichungen,  d.  i.  (121^  IH) 

x^  -  x^     Pi      P2 1 


B 


Vi -Vi 


7i 


0, 


(3; 


'1  "2  '1  '2  I 

ist  zugleich   die  anal  tische  Bedingung  dafür,   daß  die  Geradeu  eine 
Ebene  bestimmen. 

Hierin  ist  sowoil  der  Fall  des  eigentlichen  Schneidens  als  auch 
jener  des  Parallelismas  enthalten;  denn  der  letztere  tritt  (245)  dann 
ein,  wenn 


V\''Vi''rx=^ih''(l'i''i\, 


(4) 


und  bei  diesem  Verhalten  verschwindet  die  Determinante  i?  ohne  Rück- 
sicht auf  die  Werte  der  Elemente  der  ersten  Kolonne. 

Man  kann  auch  von  folgender  Erwägung  ausgehen,  die  zugleich 
auf  die  Gleichung  der  Ebene  der  beiden  Geraden  hinführt,  falls  sie 
sich  schneiden.     Die  Bedingungen  dafür,  daß  die  Ebene 

Ax-\-  By-^Cz-^  D==0 

sowohl  die  Gerade  (1)  als  auch  die  Gerade  (2)  enthalte,  lauten  (^247): 

Äx,  +  By,  -f-  C'jer,  4-  i>  -  0 

Ax^  -f  l^y,  -f  Ci',  +  2)  -  0 

Ap,  -f  Bq,  +  CVi  -  0 

^P%  +  Bq^  4-  Cr,  -  0; 

der  Bestand  dieser  Gleichungen  erfordert  aber,  daß 

^1      Vi      h       1 

^t      yi      h      1 


Px 
Pf 


Vi 
Vi 


-0 


i 


Zwei  Gerade  im  Rauue. 


855 


sei;  dies  föhrt  wieder  zu  der  früheren  Bedingringsgleichang  (3),  wi« 
man  sich  Oberzeagt,  indem  man  die  zweite  Zeile  tod  der  ertten  sub- 
trahiert. 

Ist  aber  die  letzte  Gleichung  in  Kraft,  so  sind  die  Verhilinisae 
von  AjBfCf  I)  durch  die  Unterdeterrainanten  ans  irgend  drei  2^ileo 
der  links  stehenden  Determinante  bestimmt  (121,  I);  man  kann  alao 
die  Gleichung  der  Verbindungsebene  auch  schreiben: 


1 


^i 

Vi 

^1 

1 

Pl 

Qi 

n 

0 

Pi 

9t 

^t 

0 

-0. 


(5) 


252.  Kürzester  Abstand  sweier  Geraden  im  Baume.   Auf 

jeder  Transversale  zweier  Geraden  ist  eine  Strecke  begrenzt;  die  kleinste 
unter  diesen  Strecken  wird  als  der  kürzeste  Abdand  der  beiden  Ge- 
raden bezeichnet.  Schneiden  sich  die  Geraden  in  einem  eigentlichen 
Punkte,  so  ist  ihr  kürzester  Abstand  Null:  sind  »ie  parallel,  so  er- 
scheint ihr  kürzester  Abstand  auf  jeder  Transversale,  die  zu  beiden 
senkrecht  ist. 

Kreuzen  sich  die  Geraden,  so  existiert  nur  eine  Transversale  von 
dieser  letzten  Eigenschaft;  sie  enthält  den  kürzesten  Abstand.  Die 
beiden  Geraden  bestimmen  nämlich  in  dieser  Anordnung  zwei  parallele 
Ebenen,  deren  jede  durch  eine  der  Geraden  geht  und  der  andern 
parallel  iet;  legt  man  durch  die  Geraden  zwei  weitere  Ebenen,  die  zu 
dem  erwähnten  Ebenenpaar  senkrecht  sind,  so  ist  deren  Schnittlinie 
diejenige  und  die  einzige  Transversale,  die  die  Geraden  unter  rechtem 
Winkel  schneidet.  Der  kürzeste  Abstand  der  Geraden  ist  zugleich  der 
Abstand  der  beiden  parallelen  Ebenen. 

Die  Geraden  seien  durch  die  (Ueichungen 

(1) 

(2) 
gegeben. 

Die  Stellung  einer  Ebene  ist  durch  die  V^erhältnisse  der  Koeffi- 
zienten A.BjC  bestimmt;  soll  die  Ebene  den  beiden  Geraden  parallel 
sein,  so  haben  diese  Koeffizienten  den  Bedingungen  (247) 
.^jPi  -f  Bq,  -f  Cr^  -  0 
Ap,  +  Bq^  +  ^r,  -  0 
zu  genügen:  daraus  aber  folgt: 


Pl 

^y_ 

» 

z  —  z, 

Pt 

^y 

- 

AiBiC^ 


9i 


i^f 


Pl 
Pi 


\Pi    «1 
\Pt    9» 


«3* 


356  Analytische  Gkometri«  de»  Räumet.    |  3.  Ebene  und  Gerade. 


Hieraach  sind 


9i 

n 

9i 

»•» 

<li 

n 

9t 

U 

(^-^i)-h 

n 
U 

Px 

{x^x,)-\- 

^i 
U 

Pl 
P% 

(y 


(» 


1/,:^  + 

Pl 
Pt 

1i 
9f 

y,)  + 

Pl 
Pt 

9f 

(/-#.)-0  (4) 


die  Gleichungen  der  parallelen  Ebenen,  deren  erste  darch  Cl),  deren 
zweite  durch  (2)  geht. 

Da  es,  wenn  es  sich  nur  um  die  Größe  des  kürzesten  Abstände» 
handelt,  auf  die  Entfernung  dieser  Ebenen  ankommt,  so  braucht  man 
nur  den  Abstand  des  Punktes  x,  j  y,  /  z^  von  der  Ebene  (3)  oder  des 
Punktes  Xj  /yi  /^i  von  der  Ebene  (4)  zu  bestimmen;  es  ist  also  (234) 


d- 


(«,  —  j:,)-|- 


Px 

Pt 


(y.-y.)4-i 


P%    9t 


('!-'•) 


(5) 


A  i"    ,    l'^i    Pi\'   ^\Px     «1  i- 

»•j '        »"t   Pt         Pt  9t 

wobei  c  <«>  +  1  oder  »  —  1  zu  nehmen  ist,  je  nachdem  der  Zähler 
positiv  oder  negativ  ausfallt.  Der  Zähler  dieses  Bruches  ist  die  Ent- 
wicklung der  in  251  aufgetretenen  Determinante  Jß,  deren  Ver- 
schwinden    als    Merkmal     des    Schneidens     erkannt    wurde,     sofern 

P\'^\'^\'¥Pt''Qi''W'i  ^^  *^®^ Pi'<l\''^\  ^ Pt'^%' ^iJ  ^^  welchem  Falle 
die  Geraden  parallel  sind,  so  verschwindet  auch  der  Nenner  in  (5)  und 
d  erscheint  in  unbestimmter  ij^orm. 

Soll  .man  auch  die  Loge  des  kürzesten  Abstandes  ermitteln,  so 
ergibt  sich  hierzu  der  folgende  Weg.  Schreibt  man  die  Gleichungen 
(1),  (2)  in  parametrischer  Form: 

y-Vi-f^it*      (!♦)  y-yt  +  q,^]  (2*) 

z  ^  Zi  -\-  r^u  \  f  —  *,  -f-  r,t;  J 

80  drücken  sich  die  Koordinatendifferenzen  der  Punkte  m,  r  wie  folgt  aus : 

diete  Differenzen  sind  aber  den  Richtungskosinus  der  Verbindungs- 
L'nie  der  beiden  Punkte  proportional  (246);  soll  diese  Verbindnnga- 
linie  den  kürzesten  Abstand  enthalten,  so  muß  sie  auf  den  beiden 
Geraden  senkrecht  stehen;  mithin  ergeben  sich  die  Parameterwerte  zu 
den  Endpunkten  des  kürzesten  Abstandes  aus  dem  Gleichungspaar: 

l>i(*i~^-H;>,w-/),r)-fg,(y,-y,+3,«*-g,f)4-ri(i,~f,+riM~r,ü)-0 

A(*i~^i+Pi«*-AO-l-«t(yi-yi+«i«*-«f»)+r,(f,-ir,+r,ii~r,v)-0, 


Zwei  Gerade  im  lUume.     K(lrz«^«ter  AbvUnd 


357 


das  geordnet  lautet: 

(p!  +  ^f  +  i)«  -  {PiPt  -♦-  «i^f  -f  n  r,)r 

-f-  A(^i  -^)  +  ^i^yi  -9%)  -f  r^{»x-H)  -  0 

seine  negative  Determinante 


(«) 


ist  von  Null  verschieden,  wenn  die  Geraden  nicht  parallel  sind. 

Hat  mau  aus  (6)  die  Werte  von  Uy  v  berechnet,  so  gibt  ihre 
Einsetzung  in  (1*),  (2*)  die  gesuchten  Fußpunkte, 

Zur  Illustration  diene  das  folgende  Beispiel.  Die  zwei  Geraden 
seien  durch  je  zwei  ihrer  Spuren,  und  zwar  die  erste  durch 

^(0/1/5),    £(3/5/0), 
die  zweite  durch 

(?(0/4/4),    J){2/0/l) 

gegeben,  Fig.  111;  ihre  Gleichungen  lauten 

dann  (246): 

X        y  —  1      i  —  6 
—  s  ="  HT  ■"  "6 

_  a  '='      4      "*      3 

Die  Determinanten  aus  der  Matrix 

-3     -4     5 

-2        4     3 

haben  die  Werte 

-32     -1     -20, 

die  Koordinatendiiferenzen  von  A  und  C  sind 

0    -3  1; 


-^X 


hiermit  ist  das  Material  anr  Durchführung  der  Rechnung  gebildet 

Man  hat  nun 

»  — to  17 

^^ E^      I    ■    äM^t      •       •      • 


d- 


-0,46. 


yiön+l  4:400     6167 
des  weitem  lauten  die  Gleichungen  (6)  im  vorliegenden  Falle 

50u-    bv 17 

5m  -  29p  -        0 


^8  Analytische  Creometrie  des  Raumes.    §  i.  Krumme  FlächcD. 

und  besitzen  die  Wnrzeln  «  — —  j^^,  ^'^"iSif  ^^^  deren  Hilfe  sich 
die  Koordinaten  der  Fußpankte^)  berechoen,  und  zwar 

in  (1):  }{[J-1,13...,  SM=-2,51...,  tS5^=-3,ll  ••., 

in  (2):  jJS*0,7o..,  JS?=-2,49...,  Jg,^ » 2,87 •  • . 

§  4.    Kramm<;  Flächen. 

253.  Brzeagung  von  Fl&ohen.  Das  wichtigste  Erzeugungs- 
prinzip von  Fluchen  ist  das  durch  Bewegung  von  Linien. 

Eine  Linie  im  Räume  ist  in  allgemeiner  Form  (224)  durch  zwei 
Gleichungen  zwischen  den  Koordinaten  x^  y,  z  dargestellt.  Enthalten 
diese  Gleichungen  außerdem  einen  veränderlichen  Parameter  u,  so  ist 
durch  sie  nicht  eine,  sondern  eine  einfach  unendliche  Mannigfaltigkeit 
von  Linien  bestimmt;  anders  aufgefaßt:  Geht  man  in  dem  Gleichungspaar 

Fix,  y,  j,  m)  ==  0 


G(x,y,z,u)=^0\  ^^^ 

Ton  einem  Werte  des  Parameters  u  aus  und  zu  einem  andern  Wei-te 
stetig  über,  so  voüfüihrt  die  durch  das  Gleichungspaar  dargestellte 
Linie  eine  stetige  Bewegung  und  beschreibt  eine  Flädie. 

Gleichung  der  l^läcfie  ist  die  von  den  variierenden  Werten  des  u 
unabhängige  Beziehung  zwischen  vT,  y^ ;?;  sie  wird  erhalten,  indem  man 
zwischen  den  Gleichungen  (1)  den  Parameter  u  eliminiert,  und  heiße 

0{x,y,a)^O.  (2) 

Die  bewegliche  Linie  (1)  bezeichnet  man  als  die  Erzeugende  der 
Flüche  (2). 

Enthalten  die  Gleichungen  der  Erzeugenden  zwei  veränderliche 
Parameter  ti,  v,  so  daß  sie  allgemein  lauten: 

so  ist  dnrch  sie,  so  lange  nichts  weiter  bestimmt  wird,  eine  zweifach 
unendliche  Mannigfaltigkeit  von  Linien  dargestellt;  löst  man  aber 
daraus  nach  einem  bestimmten  Gesetze  eine  einfach  unendliche  Mannig- 
faltigkeit aus,  so  führt  diese  wieder  zu  einer  Fläche;  das  Gesetz  ist 
durch  eine  Bcdingtmgsgleiehung  zwischen  den  Parametern  bestimmt 
und  heiße 

ip(u,v)~0.  (4) 

Die  Eliminution  von  u,  v  zwischen  den  Gleichungen  (3)  und  (4) 
führt  zur  Gleichung  der  Fläche. 

Geometrisch  wird  die  Autlösung  der  einfach  unendlichen  Mannig- 

1)  Aus  ihnen  kann  d  ebenfalls  berechnet  werden. 


ErzenguDg  von  Flächen  350 

faltigkeit  in  der  Regel  dadurob  hewerkatelligt,  daß  man  vorschreibt, 
die  Linien  des  Systems  (3)  solleu  eint  ffrgd)ene  Linie,  die  man  dann 
LeiÜinie  nennt,  echneiden.    Ist  die  Leitlinie  durch  das  Gleichongspaar 

dargestellt,  so  heißt  dies  analytisch  so  viel:  es  muß  Wertsysteme  x,  v,  9 
geben,  durch  welche  die  yier  Gleichungen 

F(x,  y,  Zy  M,  t;)  -  0 

G{Xy  y,  e,  fi,  t?)  -  0 

L%{^\  y,  £r)  =»0 

gleichzeitig  befriedigt  werden.  Eliminiert  man  also  x,  y,  r,  so  erhält 
man  eine  Gleichung  zwischen  m,  r,  und  diese  ist  die  der  Leitlinie 
adäquate  Bedingungsgleichung  (4). 

Enthalten  die  Gleichungen  (Ij  drei  Parameter  u,  y,  u?,  so  sind 
zur  Aushebung  einer  einfach  unendlichen  Mannigfaltigkeit  zwei  Be- 
dingungsgleichungen zwischen  w,  t;,  iv  erforderlich;  man  kommt  zu 
ihnen  auch  durch  die  geometrische  Bedingung,  daß  die  Erzeugende 
zwei  Leitlinien  zu  schneiden  habe;  denn  jede  Leitlinie  führt  zu  einer 
Relation  zwischen  den  Parametern. 

Lidem  man  diese  Betrachtung  verallgemeinert,  kann  man  ihr 
Ergebnis  in  folgendem  Satze  zusammenfassen: 

ErUhalt^n  die  Gleichwigcn  <lcr  Erzeugenden  n  verändert icfif  Para- 
meter, so  sind  n  —  1  Beding ungsgleichungen  zwischen  diesen  erforder- 
lich, und  die  ElimivcUion  der  Parameter  aus  den  Bedingungsgleichungen 
und  den  Gleichungett  der  Erzeugenden  liefert  die  Gleichung  der  FUicite. 

Eine  vorgeschriei>cne  Leiüinie  führt  zu  einer  Bedingungsgleirhung 
zwischen  dm  Parametern ,  die  Bewegung  einer  von  n  Parametern  ah- 
hängigen  Erzeugenden  ist  somit  durcJi  w  —  1  Leitii^iien  im  ailgemeinm 
bestimmt 

Flächen,  die  sich  durch  Bewegung  einer  Geraden  ei^seugen  lassen, 
nennt  man  Begelflächen.  Da  die  Gleichungen  einer  Geraden  im  Räume 
vier  unabhängige  Parameter  enthalten  (246;,  so  bedarf  eine  gerade 
Erzeugende  zur  Regelung  ihrer  Bewegung  dreier  Leitlinien. 

Ein  fester  Punkt,  durch  den  die  Erzeugeude  zu  gehen  hat,  führt 
zu  zwei  Bedingungsgleichungen,  ersetzt  also  zwei  Leitlinien:  die  An- 
zahl der  Parameter  muß  in  solchem  Falle  mindestens  drei  betragen. 
Sind  nämlich 


G(x,y,ZyH,  r,  us---)^0) 
die  Gleichungen  der  Erzeugenden  und  .i^,  y^,  z^  die  Koordinaten   des 


360  ADalytische  Geometrie  des  lUuiiues.    §  4.  Krumme  Fläcben. 

fdBleo  Punktes^  eo  führt  die  gestellte  Forderung  zu  zwei  Bedingung»- 
gleicbungen  zwischen  den  Piirametem^  nämlich: 

-'^(^o>yo»'o»«»^«',-"}-0  (7) 

^^(^o^yo.-^orW^^w'r-O-O.  (8) 

254.  KegelflÄohan.  Wenn  eine  Gerade  um  einen  in  ihr  liegen- 
den festen  Punkt  eine  räumliche  Drehung  vollführt,  80  heißt  die  von 
ihr  beschriebene  Fläche  eine  Kegdfläche.  Der  feste  Punkt  heißt  ihr 
Scheiid]  er  zerlegt  die  Erzeugende  in  zwei  Strahlen,  deren  jeder  einen 
Mantel  der  Fläche  beschreibt. 

Sind  Xq,  pQf  £q  die  Koordinaten  des  Scheitels,  so  schreiben  sich 
die  Gleichungen  der  Erzeugenden: 

P  q  r     ' 

wobei  p,  Qf  r  zunächst  völlig  wiüktlrlich  sind;  föhrt  man  die  Verhäli- 


y  -  i/o 
Ist  nun 


nisse      =»  «,      « t;  als  Parameter  ein,  so  kann  man  statt  dessen  schreiben : 
P  P 

i,      '"''^v.  (1) 


fp(u,  v)^0  (2) 

die  Bedingungsgleichung,  die  die  Bewegung  regelt,  so  folgt  aus  ihr 
durch  Elimination  von  m,  v  mittels  (l)  die  Gleichung  der  Kegdflädis: 

Verlegt  man  insbesonderere  den  Ursprung  de«  KoordinatenBystc'ms 
in  den  Scheitel,  so  nimmt  die  Gleichung  die  Gestalt  an: 

Das  analytische  Merkmal  der  Kegelgleichung  besteht  also  darin, 
daß  die  Koordinatendifierenzen  x  —  x^^y  —  y^jg-^s^y  bzw.  die  Koor- 
dinaten ü?,  y,  Zy  nur  in  den  Verbindungen  ^'~^*  ^  ■  ~^* ,  bzw.  -~ ,  -- 

X  ——  X^       X  —  X^  *  X 

auftreten;  man  bezeichnet  eine  Gleichung  dieses  Baues  als  in  bezug 
auf  die  genannten  Argumente  honutgen. 

Die  unmittelbare  Angabe  der  Bedingungsgleichung  (2)  kann  da- 
durch ersetzt  sein,  daß  eine  LeiÜinie  gegeben  ist  Durch  Scheitel  und 
Leitlinie  ist  die  KegelÜäche  bestimmt. 

Beispidr.  1.  Die  Gleichung  der  Kegelfläche  aufzustellen,  deren 
Scheitel  der  Ursprung  und  deren  Leitlinie  ein  Kreis  vom  Halbmeeser  a 
im  Abstände  c  von  der  ory- Ebene  ist;  der  Mittelpunkt  des  Kreises 
liegt  in  der  A--Achß#>. 


Keg«lilüche«.  301 

Eliminiert  man  au«(  den  Gleichungen 

—  r 


X 

der  Erzeugenden  und  den  Oleichuugen 

^  •—  c 

der  Leitlinie  x,  y,  m,  so  ergibt  sich  die  Bedingungsgleichung 

1    ,     t      «'p' 

1  4.  w*—    -, 

und  aus  dieser  die  Gleichung  der  beschriebenen  Kegelfläche: 
in  anderer  Anordnung 

2.  Der  Scheitel  einer  Kegelfläche  befindet  sich  im  Ursprung  und 
ihre  Leitlinie  ist  der  Kreis  in  der  Ebene  x  •\'  y  -\-  z  ^^  Uy  der  die 
Koordinatenebenen  berührt;  es  ist  ihre  Gleichung  abzuleiten. 

Die  Gleichungen  der  Erzeugenden  lauten  wie  vorhin 

^-  ^ti        —  -=  f, 
jene  der  Leitlinie 

^*  +  r  +  ^«-y; 

die  zweite  drQckt  die  Tatsache  ans,  daß  der  gedachte  Kreis  auf  einer 
Kugel  vom  Radius  —  um  den  Ursprung  liegt  (218 1. 
Hieraus  ergibt  sich  die  Bedingungsgleichnng 

und  in  weiterer  Folge  die  Kegelgleichung 

(ar-hy-h-p)"=-2(a:»  +  y*  +  ^'). 

256.  Zylinderflächen.  Eine  Gerade  kann,  ohne  ihre  Richtung 
zu  ändern,  in  sich  selbst,  oder  in  einer  Ebene,  oder  im  Kaume  sich 
bewegen;  die  im  letzten  Falle  von  ihr  beschriebene  Flache  heißt  eine 
Z^miwfikke  (233,  2^ 

Die  Gleichungen 

stellen  her  variablem  «,  v  jede  für  sich  ein  System  paralleier  Ebenen, 


362  Analjrtiiche  Qeometrie  de*  Raum««.     §  4.  Krumme  Fl&rheu. 

zQsammen  ein  zweifach  xmendliches  System  von  purallelen  Geraden 
im  Räume  dar;  aus  diesem  wird  durch  die  Bedingungägleichnng 

<3P(u,  v)  -  0  (2; 

ein  einfach  unendliches  System  aasgelost,  dessen  Ort  die  Zylinderfläche 
ist;  ihre  Gleichung  lautet  demnach: 

(p(ax  -f  ^y  +  cg,   a'x  -f  h'y  -{-  c'd)  —  0.  (3) 

Dif»  Gleichung   einer  Zylinderfläche    ist  also  analytisch  dadurch 

gekennzeichnet;  daß  ihre  linke  Seite  (bei  Reduktion   auf  Null)  eine 

Funktion  von  zwei  linearen  Ausdrücken  in  x^y^e  ist. 

Fehlen  in  diesen  Ausdrücken  die  Glieder  mit  einer  der  Koordi- 

dinaten,  z.  ß.  mit  z^  so  ist  die  Zylinderfläche  der  betreffenden  Achse 

parallel;  so  stellt  eine  Gleichung  von  der  Form 

ff{ax-\-hyy  a'x-i-  b'y)^0 

eine  zur  ry  Ebene  normale  Zylinderflache  dar.*) 

Die  Bedingungsgleichung  (2)  kann  indirekt  dadurch  gegeben  sein, 
daß  die  Erzeugende  an  eine  Leitlinie  gebunden  wird.  Durch  Leitlinie 
und  eine  Richtung  ist  somit  eine  Zylinderfläche  bestimmt. 

Beispiele.  1.  Es  ist  die  Gleichung  jener  Zylinderfläcbe  aufzu- 
stellen, deren  Leitlinie  ein  mit  dem  Radius  r  in  der  xy- Ebene  ans 
dem  Ursprung  beschriebener  Kreis  ist,  und  deren  Erzeugende  mit  der 
X',  y- Achse  Winkel  von  00°  bzw.  45°  und  mit  der  ;?- Achse  einen 
spitzen  Winkel  bilden. 

Man  kann  die  Erzeugende  durch  die  Gleichungen 

_  —^  — 

darstellen,  wenn  man  den  Nennern  die  durch  die  Daten  vorgezeich- 
neten Verhältnisse  gibt,  nämlich  p\q:r^\  :  }/2 :  1  (990),  also  durch 
die  Gleichungen 

X  —  3  =*  U 

y~#>/2«t;; 
die  Leitlinie  ist  durch 

bestimmt.  Die  Elimination  von  x^  y^  z  führt  zu  der  Bedingungs- 
gleichung 

«t  4-  t'*  -.  r«, 

somit  lautet  die  Zyl indergleich ung: 

(x  -  if  +  (y  -  BVif  -  r«. 

I)  Durch  eine  KoordtnateDtraiuformation  (x'  =«  ax  4*  ^y»  y*  ^a'  x-^-h' y) 
kann  der  Glcichaog  die  Oeetalt  F[x,  y>  ^  0  gegeben  werden  (32$,  S). 


Zjlinderfl&chen.  3(;3 

2.    Durch  die  Ellipse 

siul  /v linderflächen  zu  legen,  die  von  der  yz-,  bzw.  5X-Ebene  nach 
Kreisen  geschnitten  werden. 

Aus  den  Torstehendeu  Gleichungen  der  Leitlinie  und  den  Glei- 
chungen der  Erzeugenden: 

y^v-^ßjs 
ergibt  sich  folgende  Bedingungsgleichung  zwischen  den  Pammetem: 

Mithin  lautet  die  allgemeine   Gleichung  einer   durch   die  obige 
Ellipse  gelegten  Zylinderfläche: 

b*(x  -  az?  -h  a«(y  -  ßef^  a'h\ 

Ihre  Schnittlinie  mit  der  yz -Ebene: 

ist  dann  ein  Kreis,  wenn  (^188) 

/3  =  0 

und  die  Sclinittlinie  mit  der  iro;- Ebene: 

6«x»-  2b*axz  -f  {h'a'  -\-  a^ß')z'  =  a*6» 
dann,  wenn 

im  ersten  Falle  ist  a-  =»  -l  -^     im  zweiten  ß  =-  -i-  -  • 

Es  bilden  also  die  beiden  Paare  von  Zylinderflächeu 

die  Losung  der  Aufgabe. 

256.  Konoide.  Die  Bewegungen  der  Geraden,  durch  welche 
die  Kegel-  und  Zylinderflächen  erzeugt  werden,  sind  dadurch  gekenn- 
zeichnet, daß  jede  zwei  La^n  der  Geraden  einen  festen  Punkt  mit- 
einander gemein  haben:  bei  der  Erzeugung  einer  Kegelfläche  liegt 
dieser  Punkt  im  Endlichen  und  die  Bewegung  ist  eine  drehendex  bei 
der  Erzeugung  einer  Zylinderfläche  liegt  er  im  Unendlichen  und  die 
Bewegung  ist  eine  fortschreitende.     Bei  der  drehenden  Bewegung  be- 


364  AnaljÜKche  Geometrie  des  Raomei.    §  4.  Kramme  Fl&cbeu. 

schreiben   die   einielnen  Punkte  der  Geraden   ähnliche,  bei  der  fort- 
schreitenden Bewegung  hmgrwmte  Bahnen. 

Eine  Bewegung  der  Geraden,  bei  der  zwei  beliebige  Lagen  keinen 
gemeinsamen  Punkt  besitzen,  wird  eine  schraubende  Bewegung  ge- 
nannt; eine  solche  Bewegung  kann  als  Zusammensetznng  der  drehenden 
mit  der  furtschreiteudeu  Bewegung  aufgefaßt  werden.  Sind  nämUch 
9\9  tft  '^^^  beliebige  Lagen  der  Geraden,  so  kann  man  g^  in  g^  da- 
durch überführen,  daß  man  mit  g^  zuerst  längs  einer  gemeinsamen 
Transversale  tou  <7i  und  g^  eine  fortschreitende  Bewegung  ausführt,  j 
wodurch  //i  in  die  Lage  g[  kommen  möge,  in  der  es  mit  g^  einen  '■ 
Punkt  gemein  hat;  und  daß  man  sodann  g'x  in  der  Ebene  (<(//,  g^  durch 
Drehung  um  den  letztgenannten  Punkt  in  g^  überführt.  I 

Zur  Regelung  einer  schraubenden  Bewegung  bedarf  ee  im  all-  1 
gemeinen  dreier  Leitlinien.  Ist  eine  dieser  Leitlinien  eine  Gerade  im 
Endlichen,  eine  zweite  eine  Gerade  im  Unendlichen,  so  heißt  die  be- 
schriebene Flache  ein  Konoid.  Anders  ausgedrückt:  Ein  Konoid  ent- 
steht, wenn  eine  Gerade  liings  einer  geraden  und  irgendeiner  zweiten 
Leitlinie  sich  bewegt  und  einer  festen  Ebene,  der  Bichtebeney  parallel  j 
bleibt.  ^ 

Wenn  die  gerade  Leitlinie  auf  der  Kichtebene  senkrecht  steht,  so 
heißt  das  Konoid  ein  gerades,  sonst  ein  sdikfes.  J 

Bei  einem  geraden  Konoid  wird  die  einfachste  Anordnung  gegen       1 
das  Koordinatensystem  darin   bestehen,  daß  man  die  gervde  Leitlinie       | 
in  eine  der  Koordinatenachsen  legt;  die  dazu  Henkrechte  Koordinaten- 
ebene  kann  danach  als  Richtebene  aufgefaßt  werden. 

Fällt  die  gerade  Leitlinie  in  die  a;-Ach8e,  so  schreiben  sich  die 
Gleichungen  der  Erzeugenden: 

'^"  I  (*>  i 

hat  sich  mit  Hilfe  der  zweiten  Leitlinie  die  Bedingungsgleichung 

fp(u,v)^0  (2) 

B wischen  den  Parametern  ergeben,  so  liefert  die  Elimination  von  ti,  r 
zwischen  (1)  und  (2)  die  Gleichung  des  Konoids: 

nach  X  aufgelöst: 

.-/(;)•  (3-)  i 

Hat  die  y-,  bzw.  die  ier- Achse  als  gerade  Leitlinie  gedient,   s«      | 
kommt  als  Gleichung  des  Konoids  eine  Gleichnng  von  der  Form 


Konoid«.  355 

immer  ist  aIbo  bei  dieser  Anordnung  des  Koordintttensjstems  die 
eine  Koordinate  eine  homogene  Funktion  der  beiden  anderen  (2ft4). 
Boiapiele.  1.  Die  Gleichung  eines  geraden  Konoidn  zu  bilden, 
dessen  geiüiit»  Leitlinie  die  x  Achse ^  dessen  zweite  Leitlinie  ebeu&lls 
eine  Gerade  ist,  die  die  j^Achse  im  Abstände  b  vom  Ursprung  recht- 
winklig schneidet. 

Eliminiert  man  aus  den  Gleichuugeii  der  Knseagenden 
ar  -  I*,      #  —  ry 
und  den  Gleichungen  der  zweiten  Leitlinie 

y  *»hf      X  ^  me 
Xj  tfy  Mj  SO  kommt  mau  zu  der  Bedingungsgleichung 

u  =  mhv, 
und  aus  dieser  ergibt  sich  die  Gleichung  des  Konoids: 

x^mb-'  (1) 

Da  man  dieser  Gleichung  auch  die  Gestalt 

y-^mb^  (\*) 

geben  kann,  so  wird  dasselbe  Konoid  auch  dadurch  erzeugt,  daß  die 
y  Achse  als  gerade  Leitlinie,  die  ^o^-Ebene  als  Richtebene  und  die 
Gerade 

o:  =  6,      y  =  mg 

als  zweite  Leitlinie  verwendet  wird. 

Es  enthält  also  die  durch  eine  der  Gleichungen  (1),  (1*)  oder 
durch  die  adäquate  Gleichung 

xy^mbg  (1**) 

dargestellte  Fläche  zwei  Scharen  von  Geraden,  die  eine  parallel  der 
yz-,  die  andere  parallel  der  ^eror-Ebene.  Man  nennt  sie  ein  hyper- 
bolisches Farahcloidy  weil  sie  durch  Ebenen  nach  Hyperbeln  und 
Parabeln  geschnitten  wird. 

Verbindet  man  nämlich  die  Gleichung  (1**)  mit  der  allgemeinen 
Gleichung  der  Ebene 

^x  -f  By  +  C/  -f  I>  -  0  (2) 

and  eliminiert  eine  der  Variablen  x,  y,  z.  B.  y,  so  ergibt  sich  (mit 
mbB'^B')  die  Gleichung 

Äx^  +  Cxz  +  Da?  +  B'#  -  0  (») 

als  Gleichung  der  Projektion  des  Schnittes  von  (!♦♦)  mit  (2)  auf  der 
jPX- Ebene.  Diese  Gleichung  entspricht  aber  dem  zweiten  Hauptfall 
(202)  bei  Linien  zweiter  Ordnung  und  stellt  daher  eine  (eigentliche 
oder  degenerierte)  Hjperbel  oder  eine  Parabel  dar. 


366  Analytische  Geometrie  des  Ranzueü.     §  4.  Krumme  Fluches. 

2.  Ein  gerades  Konoid  habe  die  .?- Achse  zur  geradeo  Leitlinie, 
und  die  Erzeugende  bewege  sich  so,  daß  die  fortschreitende  und  die 
drehende  Bewegung  gieichforniig  und  beständig  in  demselben  Sinne 
erfolgen. 

Die  durch  diese  regelmäßige  Schraubenbewegung  erzeugte  Flache 
wird  gerades  Schraubenkonoid,  gerade  Schraubenfläche  oder  Wendel- 
fl'äche  genannt. 

Schreibt  man  die  Gleichungen  der  Erzeugenden 

//-^tg.. 

so  drückt  sich  das  Bewegungsgesetz  in  dem  Ansätze 

-l-h  (2) 

aus,  wenn  angenommen  wird,  daß  die  o?- Achse  eine  Lage  der  Er- 
zeugenden bildet.  Bei  positivem  h  steigt  die  Erzeugende  bei  positiver 
Drehung  und  sinkt  bei  negativer  Drehung. 

Aus  (1)  und  (2)  folgt  durch  Elimination  von  u,  v  die  Gleichung 
der  geraden  SchraubenflUche 

/-JArctg^.  (3> 

Entsprechend  der  unendlichen  Vieldeutigkeit  der  Funktion  Arctg 
(43)  macht  die  Fläche  unendlich  viele  Windungen  um  die  j9- Achse, 
die  als  ihre  Achse  bezeichnet  werden  soll. 

Die  Schnittlinie  der  geraden  Schraubenfläche  mit  einem  um  ihre 
Achse  gelegten  Kreiszylinder  wird  Schraubenlinie  genannt. 

Ist  a  der  Radius  des  Zylinders,  so  lautet  seine  Gleichung 

in  Verbindung  mit  (1)  und  (2)  führt  sie  zu  der  folgenden  parame- 
trischen  Darstellung  der  Schraubenlinie: 

x  «=  a  cos  u  I 

y  —  a  sin  w  1  ,  (6) 

jer  —  6m         J 

wobei  der  Drehungswinkel  n  als  Parameter  vei-weudet  ist 

3.  Die  Gleichung 

stellt,  da  ihre  rechte  Seite  auch  in  der  Form ,  geschrieben  werden 

kuin,  ein  geradt«  Kuuuid  dar,  desMen  gerade  Leitlinie  diu  /-Achw  iet 
(s.  Gl.  (4),  «56). 


Konoide.     Gerade  HchraubenflBche  und  Scbraubenliiiie. 


367 


Um  Hieb  von  der  Gestalt  dieser  Fläche  eine  Vorstellung  zu  bildeu« 
führe  man  in  der  xy- Ebene  statt  der  rechtwinkligen  Polarkoordinaten 
ein,  indem  .luin  setzt: 

X  ^  r  cos  y ,     1/  —  r  sin  fp ; 

dadurch  ergibt  sich  für  z  der  Aasdruck 

2r  — sin29,  (2) 

der  unmittelbar  erkennen  läßt,  daß  die  Fläche  zwischen  den  Ebenen 
jt  «  —  1  und  jEf  —  1  enthalten  ist. 

Schneidet  man  die  Fläche  femer  mit  dem  um  die  xr- Achse  ge- 
legten Kreiszjhnder 

80  entsteht  eine  Kurve,  die  sich  auf  die  y^-y  bzw.  ^x- Ebene  in  die 
Linie  vierter  Ordnung 


Fig.  HS. 


projiziert.  Auf  dem  längs  der  Mantellinie  a*  =  —  1 ,  y  =  0  auf- 
geschnittenen und  abgewickelten  Zylinder  stellt  sich  diese  Kur?e  ver- 
möge der  Gleichung  (2)  in  zwei  Zügen  der  Sinuslinie  dar,  Fig.  112. 
Mit  dieser  Kurve  als  Leitlinie  ist  es  möglich,  sich  von  dem  Verlauf 
der  Fläche  eine  Vorstellung  zu  bilden. 

257.  Sotationsfl&oh«n.  Eine  Rotationsfläche  entsteht  durch 
Umdrehung  einer  Linie  um  eine  mit  ihr  fest  verbundene  fixe  Achfe^ 
die  Botationsachse.  Jeder  Punkt  der  erzeugenden  Linie  beschreibt 
einen  Kreis,  deasen  Ebene  auf  der  Rotationsachse  senkrecht  steht  und 
dessen  Mittelpunkt  in  dieser  Achse  selbst  liegt;  wegen  dieser  An- 
ordnung heißen  die  Kreise  TarallelkrtUe.  Es  kann  demnach  dieselbe 
Fläche  auch   durch  die  Bewegung   eines  (im    allgemeinen)  variablea 


368  Analytische  Geometrie  des  Hattmeft.    §  4.  Krumme  Flächen. 

Kreise«  ereengt  werden,  dessen  Mittelpunkt  eine  feste  Gerade  durch- 
läuft und  dessen  Ebene  auf  dieser  Geraden  senkrecht  bleibt;  zur 
Regelung  der  Größe  dieses  Kreises  kann  einf^  Leitlinie  dienen.  Gerade 
diese  Auffassung  eignet  sich  zur  analytischen  Darstellung. 

Jede  von  der  Rotationsachse  ausgehende  Halbebene  schneidet  die 
Rotationsfläche  nach  einer  Linie,  die  man  alH  einen  Meridian  he- 
zoichnet;  es  ist  in  der  fintstehungsweise  der  Fläche  begründet,  daß  alle 
Meridiane  kongruent  sind,  so  daß  die  Fläche  auch  durch  Umdrehung 
eines  Meridians  erzeugt  werden  kann. 

Ordnet  man  das  Koordinatensystem  derart  an,  daß  die  Rotations- 
achse mit  der  /r-Achse  zusammenf^t,  so  läßt  sich  der  erzeugende 
variable  Kreis  durch  die  Gleichungen 


nämlich  als  Schnitt  einer  variableu  Kugel  um  den  Ursprung  und  einer 
beweglichen  zur  r- Achse  senkrechten  Ebene  darstellen. 

Ist 

<p{u,  v)^0  (2) 

die  unmittelbar  gegebene  oder  mittels  der  Leitlinie  abzuleitende  Be- 
dingungsgleichung zwischen  den  veränderlichen  Parametern,  so  ergibt 
sich  durch  Elimination  von  «,  v  zwischen  (1)  und  (2)  die  Gleichung 
der  Rotationsfläche  zunächst  in  der  Form 

und  bei  Auflösung  nach  z  erhält  man  eine  Gleichung  von  der  Struktur 

z^O^x^^tf^),  (3) 

Es  kann  also  (3)  als  die  allgemeine  Gleichung  der  Rotationsflächen 
angesehen  werden,  die  die  ;;-Achse  zur  Rotationsachse  haben. 

Ist  insbesondere  ein  Meridian,  beispielsweise  der  in  der  irx-Ebene 
liegende,  als  Leitlinie  gegeben,  deren  Gleichungen  also 

y-0,    F(t,m)^0  (4) 

sein  mögen,  so  fuhrt  die  Elimination  von  x,  ff,  m  aus  (1)  und  (4)  auf 
die  Bedingungsgleichung 

F(>/|*»~-V,  t;)-0,  (2*) 

ans  der  sich  wiederum  durch  Elimination  von  m,  t;  die  Gleichung  der 
Rotationsfläche  ergibt: 

F(>/?Ty*,f)-o.  (3*) 

Dieses  Ergebnis  läßt  sich  su  einer  einfachen  Regel  formulieren, 
die  so  lautet:  Um  die,  Gleichung  der  durch  Umdrehung  der  Linie  y  —  0, 
F(a;,f)  — 0  um  die  g-Adm  erzeugten  RotaHonsflädic  zu  erhaUeny  hai 
man  in  der  Idzigeschriebenen  Qldchung  x  durch  V^i*  +  y'  ««  eraeUen. 


ZjIiodcrS&cbeu  9Q^ 

Es  iit  nicbt  schwer,  diese  Hegei  auf  Jie  apdem  Koordiimtenebeiien 
und  Koordinatenachsen,  falls  sie  als  Meridianebeuen  und  RoUdoas- 
achsen  Torweudet  werden,  zu  Übertragen. 

Beispiele.  1.  Als  Hotationiachse  diene  die  z- Achse,  als  Eraeugende 
die  die  x- Achse  senkrecht  schneidende  Gerade 

a?  —  a ,    y  —  »•# .  (n) 

Aus  diesen  und  den  Gleichungen  (1)  ergibt  sich  dann  die  Bedingaugs- 
gleichung 

aus  der  wiederum  durch  Elimination  von  u,  v  die  Gleichung 

a:»+y*~mV===.a«  iß) 

der  beschriebenen  Fläche  resultiert. 

Da  die  Gleichung  (ß)  unverändert  bleibt,  wenn  man  m  durch 
—  m  ersetzt^  so  enthalt  die  Fläche  ewei  Scharen  von  Geraden,  nämlich 
alle  Lagen,  in  welche  die  Gerade  (a\  und  auch  alle  Lagen,  in  weiche 
die  Gerade 

x^üy    y^  —  ms  (ß') 

während  der  Rotation  gelangt. 

Aus  iß)  ergibt  sich  mit  y  -*  0  die  Gleichung 

der  in  der  ^vx- Ebene  befindlichen  Meridiane,  die  somit  die  beiden  Äste 
einer  Hyperbel  bilden,  deren  reelle  Achse  2a  in  der  x- Achse  liegi^ 
so  daß  die  Fläche  auch  durch  Umdrehung  dieser  Hyperbel  um  ihre 
imaginäre  Achse  beschrieben  wird. 

2.  Durch  Rotation  der  Parabel 

um  ^^  r- Achse  entsteht  die  Fläche  vierter  Ordnung 

3.  Durch  Rotation  des  Kreises 

(a?  —  a)* -f  #* -"**  (««ff) 

um  die  ^- Achse  entsteht  die  als  ToruB  benannte  Flache  Tierter  Ord- 
ntmg,  deren  Gleichung  nach  der  obigen  Regel 

und  in  rationaler  Form 

(^  -f  y*-f  ^-f  a«~  r»)»-  4a«(jt'-|-  ^ 
lautet. 

258.  AfÜnitftt.     Denkt  man  sich  den  Raum  auf  ein  rechtwink- 

0s«b«r,  UOhn«  M«th«aiA«lk.  t.AidL  14 


i 


Pf 

0. 


870  Analvliscbo  Qeometrie  des  Raomet.    §  4.  Kzornme  Flächen. 

liges  Koordinatensystem  bezogen  nnd  ordnet  jedem  Punkte  Myxlyli) 
einen  Punkt  M'{x'  ly* je')  nach  dem  Ge«etae 

x'^kx,    y'=»y,    ^r'— IT  (1) 

zxXf  so  sagt  man^  der  Raum  sei  affin  transformiert  worden;  Fig.  113. 
Man  hat  sich  den  liaum  zweimal  zu  denken^  einmal  als  Ort  der  Punkte  3/, 
ein  zweitesmal  als  Ort  der  Punkte  M' \  in  diesem  Sinne  spricht  man 
von  zwei  affinen  Bäumen. 

Bei    der    angegebenen    Transformation    bleiben    die   Punkte    der 
y^er-Ebene  in  Ruhe,  weil  mit  a;  =  0  auch  x'^O  wird,  sie  heißt  die 
Z  Affinitätsebene.    Außerhalb  dieser  Ebene  liegende 

•^  ,     Punkte   erleiden   eine  Verschiebung    parallel   der 

o- o       a?- Achse,  die  die  Affinitätsrichtung  bezeichnet;   das 

Maß  dieser   Verschiebung    hängt    außer    von   der 

^jj  Entfernung  des  betreffenden  Punktes  von  der  Af- 

„.    _.  finitätsebene   auch  von  der  Konstanten  /.*  ab,  die 

man  das  Affinüätsverluiltnis  nennt;  stellt  man  sich 
vor,  M  rücke  ins  Unendliche,  so  gilt  dasselbe  von  M\  und  halt  man 
an  der  Vorstellung  (179)  fest,  eine  Gerade*  enthalte  nur  cii^en  unend- 
lich fernen  Punkt,  so  kann  man  sagen,  daß  auch  die  unendlich  fernen 
Punkte  des  Raumes  bei  i>iner  affinen  Transformation  in  Ruhe  bleiben. 
Je  nachdem  Ä'  <  1  oder  >  l ,  findet  eine  Verkürzung  oder  Ver- 
längerung der  Strecken  FM  statt ;  bei  Ä  =  1  bliebe  alles  unverändert 
(identische  Transformation). 

Die  aftinen  Transformationen  bezüglich  der  zx-  und  der  ^y- Ebene 
sind  durch  die  Substitutiotisgleicbungen 

x'^^x^    y'^lcyy    £—   Zy  (2) 

gekennzeichnet.  '^     i     J  ~    V  ^        ""'  \. 

Man  kann  jede  Ebene  zur  Affini tütsebene  und  jede  ihr  nicht  an- 
gehörende Richtung  zur  Affinitätsrichtung  wählen. 

Denkt  man  sich  auf  alle  Punkte  eines  geometrischen  Gebildes 
eine  affine  Transformation  ausgeübt,  so  entsteht  ein  neues  Gebilde, 
das  zu  dem  ursprünglichen  affin  1)cißt;  insbesondere  entsteht  aus  einer 
Fläche  wieder  eint?  Flüche  und  ans  einer  Linie  wieder  eine  Linie. 

Bezüglich  des  Zusammenhangs  affiner  Gebilde  sind  intbeaondere 
die  folgenden  Tat.^uchen  hervorzuheben. 

Ans  einer  Ebene  entstM  durch  affine  Transformation  wieder  eine 
l'lmxe,  die  sich  mit  d*r  urspriinqlichen  in  der  AffmUätsehene  sd^neidet. 

Die  Gleichung      ^^  +  ^^  ^.  p,  + /,  „  0 
vei-wandelt  sich  nämlich  durch  die  Substitution  (1)  in 
f.i'f  £?y'-rCV-f/>-.0, 


Af&iitftt  im  Raiune.     Fliehen  cweitar  Ordnung.  371 

und  da  mit  x^O  aucli  z'— 0  ist,  so  haben  beide  Ebenen  dieselbe 
Vir-Spar:  Brj  -\-  Ol  -\-  D  ^  0;  ist  eine  der  Ebenen  der  Affinitätsebene 
parallel,  so  ist  es  auch  die  andere. 

Infolge  dieses  Sachrerhaites  ist  auch  das  afÜne  Gebilde  einer  Ge- 
raden wieder  eine  Gerade,  die  sich  mit  der  urspranglichen  in  der 
Affinitätsebene  (im  Endlichen  oder  Unendlichen)  schneidet. 

Weil  femer  die  der  affinen  Transformation  entsprechende  Snb- 
KtitutioD  linear  ist,  eine  algebraische  Gleichung  aber  bei  einer  linearen 
Substitution  ihren  Grad  nicht  lindert,  so  ist  die  zu  einer  Fläche  n^ter 
Ordnumf  affine  Fläche  wieder  von  der  n-ten  Ordminfj.  Ebenso  bleibt 
bei  der  affinen  Transformation  einer  algebraischen  Linie  tleren  Ordnung 
erhalten. 

259.  Die  Fl&chen  zweiter  Ordlnimg.  Jede  Fläche,  deren 
(xleichung  in  den  Koordinaten  Xy  y,  e  vom  zweiten  Grade  ist,  wird 
eine  FUHie  zweiter  Ordnung  (auch  zweiten  Grades)  genitnnt. 

I.  Aus  der  Kugd 

X'+.y^^f^^a*  (\) 

entstehen,  wenn  man  auf  sie  affine  Transformation  bezüglich  der  xy- 
Ebene  mit  k  =       anwendet,  die  Botatmtsdlipaoide 

die  unterschieden  werden  in  verlängerte  oder  oblonge  (wenn  r  >  ö) 
und  in  abgeplattete  oder  Sphäroide  (wenn  c  <  a). 

Wird  auf  ein  Rotationsellipsoid  nochmals  affine  Transformation 
in  bezug  auf  eine  andere  Koordinatenebene,  z.  B.  in  bezug  auf  die  gx 

Ebene,  mit  dem    Verhältnis  k'  =       angewendet,  so  entsteht  das  <rf/- 

gemeine  oder  dreiachsige  EUipsoid 

Die  Rotationsellipsoide  werden  unmittelbar  erzeugt  durch  Um- 
drehung der  Ellipse  -,-  -f-    ,  —  1  um  die  5- Achse  (257). 

II.  Durch  Umdrehung  der  Hyperbel  ^^  —  ^^  «.  1  um  die  jf-,  also 

die  imaginäre  Achse  entsteht  das  einmantelige  oder  einschalige 
Rotationshyperhohid 

Diese  Gleichung  geht  durch  die  Substitution  ^  —  tw  in  die  Gleichung  (ß) 

in  257  über,  von  der  erkannt  wurde,  daß  sie  einer  Fläche  mit  zwei 
Scharen  von  Geraden  angehört 


372  Analytische  Geometrie  de«  Raumes.    |  i.  Kromme  Flächen. 

Wendet  man  auf  (4)  affine  Transformation  bezüglich  der  ^x- Ebene 
mit  dem  Verbal  tu  is  k«»-^  an,  so  entsteht  das  alhemeine  einschalige 
Hyperboloid 

da  bei  der  affinen  Transformation  Gerade  wieder  zu  Geraden  werden, 
80  enthält  auch  diese  Fläche  zwei  Scharen  von  Geraden. 

X*        e* 
III.    Durch  Umdrehung   der    Hyperbel     ,  —    , -=  1    um    die   x-, 

also  um  die  reelle  Achec  entsteht  das  zweimantelige  oder  sweischalige 
Moiationsfij^erboloki 

««  -     ..«     "==  ^-  W 


Wird  auf  dieses  affine  Transformation   bezüglich   der  ;fic- Ebene 
iem  Verhältnis 
schalige  Hyperboloid 


mit  dem  Verhältnis  A'  =       ausgeübt,  so  entsteht  das  ailyemeine  etcei 


IV.  Durch    Umdrehung  df'r  Parabel   2pz  =  x^  um   die  z- Achse, 
die  zugleich  Achse  der  Parabel  ist,  erhält  man  das  BotcUionsparaholoid 

2pj^^x''  +  yl  (8) 

Seine   affine  Transformation    bezüglich    der   ^x- Ebene    mit   dem 
Verhältnis  k  =       führt  auf  das  ellipUsche  Faraboloidf  dessen  Gleichung 

sich,  wenn  mau       ««  c  setzt,  schreibt: 

c        a«  +  fc»  w 

V.  Unter  den  Konoiden  befindet  sich  auch  eine  Fläche  zweiter 
Ordnung,  für  welche  dort  (2S6,  1.)  die  Gleichung 

tnhz  ^  xy 

gefunden  und  die  als  Träger  zweier  Scharen  Ton  Geraden  erkannt 
wurde,  deren  eine  der  yz-,  die  aaadere  der  #j7-£bene  parallel  ist;  mit 
Rücksicht  auf  die  Art  ihrer  ebenen  Schnitte  erhielt  die  Fläche  den 
Kamen  hyperbolisches  Paraboloid. 

Dreht  mau  das   Koordinatensystem    um    die    #- Achte    um    den 
Winkel  von  46^*,  so  lautet  die  zugehörige  Subetitution  (169): 

x'  —  w'  ar'4-  y'  ' 


Flächen  nreit«!  Ordnung. 


378 


die  Gleichung   unserer  Flache    verwimdelt  sich  dadurch,    wsnii 
mh^p  tetzt  und  den  Akzent  onierdracki,  iu 

2p  f  -  X*  -  y«.  (10) 

Man  nennt  die  durch  diese  Qleichnng  dargestellte  Flache  das  gleid^ 
smHge  hifperholiache  Parabdoid  —  seine  Richtehen«n  sind  ^  —  y  «*  0 
\ind  X  4-  y  »0  und  stehen  aufeinander  senkrecht;  und  diejenige  FUche, 
die  aus  dieser  durch  affine  Transformation    bezüglich  der  j9x- Ebene 

mit  dem  Verhäilziis  k  «-  entsteht,  und  deren  Gleichung  sich  mit  der 
Abkürzung   „  «-  c  schreibt: 

111) 


u 


m«.  114. 


das  allgemeine  hyperMisehe  Paraholoiä]  auch  dieses  enthalt  zwei 
Scharen  von  Geraden,  ist  in  zweifacher  Weite  ein  schiefes  Konoid 
mit  den  Richtebenen  6x  —  ay  =«  0  und  hx  -\-  ay  ^  0.  Figur  1 14 
bringt  einen  durch  Schnitte  parallel  z\i  den  Koordinatenebenen  be- 
grenzten Teil  dieser  Fläche  zur  Anschauung;  aoch  ein  der  Fliehe  an- 
gehörendes Geradenpaar  ist  darin  vei-zeichnet 

VI.    Durch  Umdrehung  der  Geraden  ir  —      a;  um  die  ir- Achse  ent- 
steht der  Rotations-  oder  Kreiskegd,  dessen  Gleichung  lautet: 


*!J-y»_ 


(12) 


(ygL  254,  1.).  «■  ^ 

Übt  man  auf  ihn  alfine  Transformation  besEfiglich  der  #4?- Ebene 
mit  dem  Verhiltnis  k^       ans,  so  ergibt  sich  der  aJUgememt  Kegd 


374  Analytische  Geomeidrie  des  Raames.    %  4.  Erumme  Flächen. 

9%eeäer  Ordnung 


•:+?::-:::•  (13) 


VU  Die  Zylinder  zweiter  Ordnung  mit  zur  xr- Achse  paral- 
lelen Seitenlinien  «ind  in  den  Gleichungen  der  Linien  zweiter  Ord- 
nu2}g.  besKOgen  auf  die  a^^-Ebene^  enthalten,  also  in  den  Gleichungen: 

ÄJ*  +  y*  =*  ö* 

y*=-  2p  X. 

Yül.  Die  Gleichungen  (1)  bis  (14)  beziehen  sich  jeweüen  auf 
ein  spezielles  Koordinatensystem,  das  den  Symmetrie  Verhältnissen  der 
betreffenden  Fläche  angepaßt  ist  und  darum  zu  einer  besonders  ein- 
fachen Gleichungsform  ffihrt.  Sowie  man  das  Koordinatensystem 
ändert,  kompliziert  sich  die  Gleichung,  ohne  jedoch  ihren  Grad  zu 
ändern.  Wie  auch  das  (rechtwinklige  oder  Parallel-)Koordinaten8ystem 
angeordnet  werden  möge,  immer  ist  die  Flächengleichung  in  der 
allgemeinen  GMchung  gweitefi  Grades  zwischen  x,  y,  z^  nämlich  in: 

Ax^^A'y^^  ^V+  2By3  -f-  2B'zx  4-  2B"xy 

^2Cx^2C'y^2C"z-^F'^0  ^    ^ 

enthalten.  Diese  Gleichung  ist  demnach  die  allgemeine  Gleichung  der 
Flächen  zweiter  Ordnung.  Da  sie  zehn  Koeffizienten,  also  neun  Kon- 
stanten enthält,  so  ist  eine  Fläche  zweiter  Ordnung  im  allgemeinen 
durch  neun  Bedingungen,  insbesondere  durch  neun  ihrer  Punkte, 
bestimmt. 

Auch  der  Komplex  zweier  Ebenen,  dargestellt  durch 

(ax  -\-hy^cz-\-  ä)(a'x  -f  h'y  -f  c'z  -|-  d')  -  0,  (16) 

ist  in  (15)  enthalten,  weil  die  Auaftlhrnng  der  Multiplikation  zu  einem 
Ausdruck  zweiten  Grades  führt;  der  Komplex  zweier  Ebenen  bildet 
also  eine  Degenerationsform  der  Flächen  zweiter  Ordnung  (ygl.  hierzu 

ao3). 

d60.  TftiigentUleb«ntii.    Auf  der  Fl&ohe 

/(^,y,^)-0  (1) 

liege  der  Punkt  M{x/y/M),  In  seiner  Nachbarschaft  werde  ein  iweiier 
Punkt  M\x  -{■  h  /  y  •{- h  /  g  '\- 1)  angenommen,  so  daß  auch 

/(«  +  *,,  +  *,  *  +  J)-0  (2) 


Fttcben  zweiter  Ordnung.     TangwiiMJebeiten,  875 

ist     Die  VerbindoDgsgerade  beider  Ptmkt«,  dargeftellt  durch  (MS) 

heiSt  eine  Sekaate  der  FlSche. 

AoB  den  Gleichungen  (1)  und  (2)  folgt,  daß  auch 

Ax  -f-  Ä,  //  -f  /:.  iJ  4-  0  -/(x,  y,  g)  -  0. 
daher  auch 

/(x  +  /',  y  +  k,  si-l)  -/(«,  y  -f  A:,  ir  -h  0 

ist;  für  die  drei  Differenzen,  aus  denen  sich  die  linke  Seite  zusammen- 
setzt, kann  nach  dem  Mittel wertsatze  (73)  der  Reihe  nach 

k/Jx  +  ÖÄ,  y  +  *,  ^  +  Q 

k/,;(x,y-\'e,k,g'yl) 

l/:(x>  y,  z  -r  Ofl) 

geschrieben  werden,  wobei  0,  ß^y  0^  positive  echte  Bruche  bedeuten;  es 
ist  also  auch 

/iix.-h  ßh,  y  -f  /.',  z  +  l)  -f /;(a:,  y  ±  ß,k,  ^  +  Ox  + 

,  (4) 

Nähert  raan  den  Punkt  M'  dem  festgehaltenen  Punkte  M  längs 
der  Flache  unbegrenzt  derart,  daß  y  gegen  die  Grenze  t  kouTergierty 

so  wird  auch  -,    im  allgemeinen  einer  Grenze  u  und  die  Sekante  einer 
Grenzlage  sich  uähem,  die  durch 

Lzl,3^f.C-I  (5) 

dargestellt  ist  und  als  eine  Tangente  der  Flache  im  Punkte  M  be- 
zeichnet wird. 

Zwischen  dem  beliebig  festzusetzenden  i  und  dem  u  besteht  aber, 
sofern  die  partiellen  Ableitungen  y„  /l,  f,  stetige  Funktionen  ihrer 
Argumente  sind,  vermöge  (4)  die  Beziehung: 

yx-f/;-^4-/;«*-o.  (6) 

Ohne  Rücksicht  auf  die  spezielle  Wahl  von  /  herrscht  also 
zwischen  |,  ij,  £,  d.  i.  zwischen  den  Koordinaten  der  Punkte  aX^ 
Tangenten  in  M  die  aus  (5)  und  (6)  resultierende  Gleichung 

(I -*)/;  +  («»-*)/;+ «-')/-«,  (7) 

die  eine  durch  M  gehende  Ebene  darstellt. 


376  AnalytiBche  Geometri«  de«  Raumes.    |  4    Krumme  Flächen. 

Das  Ergebnis  der  Betrachtung  geht  alf^o  dahin,  daB  alle  Tan- 
genten in  einem  Fläcbenpnnkte  im  allgemeinen  —  ein  besonderes 
Verhalten  der  Ableitungen  /i,  /y,  J\  ausgeachlosuen  —  in  einer  Ebene 
liegen,  die  man  als  die  Tangenten-  oder  Tangeniiak^ftne  der  Flüche  im 
Punkte  M  bezeichnet;  (7)  ist  ihre  Gleichung. 

I.  lat  der  Punkt  M  gegeben,  so  erfordert  die  Bestimuiung  der 
Tangentialebene  lediglich  die  Ausführung  der  Gleichung  (T). 

BeispieL     Ist  M  ein  Punkt  des  dreiachsigen  Ellipsoids 

/(«,y.')-S  +  ^'  + '1-1-0, 

SO  ergibt  sich  die  Gleichung  der  Tangentialebene  daselbst  zunächst  in 
der  Form: 

und  bei  weiterer  Ausführung  lautet  sie  einfacher: 

a«  +  b«  +  c*       ^* 

II.  Sollen  an  die  Flache  durch  einen  Punkt  P(aro/yo/j8^o)  Tangential- 
ebenen gelegt  werden,  so  haben  deren  unbekannte  Berührungspunkte 
x/y/z  außer  der  Gleichung  der  Fläche 

noch  der  Gleichung 

(^,-=0)/. + («,-y)/;+  («»-  ^)/;  -  0 

zu  genügen.  Ihre  Gesamtheit,  durch  dieses  Gleichungspaar  bestimmt, 
ist  eine  auf  der  Fläche  liegende  Kurve,  die  Beriihrungshirve  des  Kegels, 
der  der  Fläche  aus  dem  Punkte  F  umschrieben  ist,  indem  seine  Be- 
rührungeebenen zugleich  Tangentialebenen  der  Fläche  sind. 

BelApi«L  Bei  dem  Ellipsoid  des  Torigen  Beispiels  lautet  das 
Gleichungspaar  zur  Bestimmung  der  Berührungskurve: 

a*   ^    M   +  -i   -  A, 

die  zweite  Gleichung  bestimmt  bei  variablem  x,  y,  /  eine  (stets  reelle) 
Ebene,  deren  Schnitt  mit  dem  Ellipsoid  die  Berührungskurve  bildet. 
Man  nennt  die  Ebene  die  Pohrthene  des  Punktes  P  in  bezug  auf  das 
Ellipsoid,  P  ihren  Pd,  Ein  analoger  Sachverhalt  ergibt  sich  für  jede 
rlftche  «weiter  Ordnung,  wie  man  an  der  allgemeinen  Gleichung  (16), 
K  erweisen  kann. 

III.  Sind  ai)  die  Hache  Tangentialebenen  au  legen,  die  einer  ge- 


TAngentüÜMbeoes.  377 

gebeneu  Geraden  — ^  —  —  parmllel  siod,  so  mfliisen  »leren  noeh 
unbekannte  Berflhrungspnnkte  xjyJM  außer 

auch  noch  die  Gleichnng 

erfüllen,  welche  die  Forderung  ausdrückt,  daß  die  Ebene  (7;  der  ge- 
gebenen Geraden  parallel  sei  (249).  Die  Gesamtheit  der  Berührungs- 
punkte, durch  das  vorstehende  GleichuogHpaiir  bestimmt,  erfüllt  ein» 
auf  der  Flache  liegende  Kurve,  die  Berührungjkurve  des  der  Fläche 
parallel  zu  der  Geraden  uroBchriebenen  Zylinders. 

Beispiel.     Bei   dem  Eliipsoid   der  vorigen  Beispiele   heiBt  dae 
Gleichungspaar 

„«  +  ftt  i-  ^..  -  "> 

die  zweite  Gleichung  gehört  bei  variablem  x^  y,  js  einer  durch  den 
Ursprung  gehenden  Ebene  an^  die  die  verlangte  Berührungskurve  au»- 
schneidet. 


Sachregister. 


(IHe  Zahlen  b«>ieh6n  tioh  aaf  die  S«it«n.) 


Abbildung  von  Mengen  2;  —  des  8y- 
gtems  der  reellen  Zahlen  19;  —  kom- 
plexer Zahlen  28. 

Abgeleitete  Funktion  96. 

Abstand  eineü  Punktes  von  einer  Geraden, 
in  der  Ebene  264;  —  von  einer  Ebene 
834;  —  Tou  einer  Geraden,  im  Räume 
352;  —  zweier  Geraden  im  Räume  866. 

Abtzisse  241. 

Achsen  307. 

Addition  4. 

Affinität  im  Räume  869. 

Algebraische  Funktionen  66;  — -  Glei- 
chungen 196;  —  Zahlen  239. 

Algebraische  Linien  246;  —  Flächen  824. 

Alternierende  Reihen  46. 

Amplitude  einer  komplexen  Zahl  24;  — 
im  Polarsystem  242. 

Anzahl  8. 

Approximationämathematik  20. 

Arithmetische  Reihen  vexschiedeuer  Ord- 
nung 219. 

Assoziatives  Gesetz  der  Addition  5;  — 
der  Multiplikation  6. 

Asteroide  261. 

Asymptoten  296. 

Basis  einer  Potenz  7;  —  der  Logarith- 
men 20. 

Bedeutung  de^^  Differentialquotienten  90 
bis  9R. 

Bedingt  konvergente  Reiben  45—46. 

Bewegungen  einer  Geraden:  drehende, 
fortschreitende,  schraubende  86H— 864. 

Binomialformel  Ton  Moivre  26. 

Bipolare  Koordinaten  248. 

Brache  10. 

Cardaniscbe  Formel  227—229. 
Cassinische  Linien  248. 
Casus  irreducibilis  229. 
Chordale,  s.  Radikalachse. 

Pegenorierte  Linien  2.  Ordnung  299. 

Deritierte  Funktion  96. 

Determinante  der  odjnngierten  Matrix  187. 

Determinanten  16H;  Definition  161—168; 
Bexoiohnung  168 ;  t*  mformuog  und  Aus- 
rechnung 177—180. 


Dialytische  Methode  der  Resultantenbil- 
dung 207. 

Diamotralkreis  su  drei  Kreisen  287. 

Differential  101. 

Differentiale,  höhere  181. 

Differentialkoeffizient  102. 

Differentialqaotient  93 ;  Bedeutung  seines 
Vorzeichens  120;  rechter,  linker,  eigent- 
licher —  94;  partieller—  96;  —  einer 
Konstanten  96 ;  —  der  Variablen  selbet 
96;  —  einer  Summe  103;  -—  eines  Pro- 
duktes 103;  —  eines  Quotienten  106; 

—  inverser  Funktionen  106;  —  zu- 
sammengesetzter Funktionen  107;  — 
der  Potenz  108;  —  des  Logarithmus 
109;  —  der  Exponentialfunktion  111; 

—  der  trigonometrischen  Funktionen 
112;  —der  zyklometrischen  Funktio- 
nen US. 

Differentialquotienten,  höhere  126;  — 
ihre  Herlcitung  12>^. 

Differentiation  102. 

Differenz  8. 

Differentiierbarkeit  einer  Funktion  94;  — 
und  Stetigkeit  99. 

Differenzenreihen  218. 

Diskontinuität  89. 

Diskriminante  209;  —  der  Gleichung 
2.  Grades  in  x,  y,  301. 

Distributives  Gesetz  der  Multiplikation  6. 

Divergenz  einer  Reihe  88;  —  emee  un- 
endlichen Produkts  49. 

Division  10. 

Doppelverlukltnis  268,  272. 

Drehungssinn,  positiver,  in  der  Ebene  242. 

Dreiecksflache  266—267. 

Dreiseitfläehe  268. 

Dreiteilung  des  Winkels  281. 

Durchmesser  806;  koujugierte  —  806. 

Ebene  829;   —  durch  drei  Punkte  881; 

—  durch  eine  Gerade  und  einen  Punkt 
849 

Ebenenbflndel  880;    —  bestimmt  durch 

3  Ebenen  842. 
Ebenenbaschel  889. 
Einheit  1;  imaginäre  —  22. 
Elemeniarreihe  17. 


BacKfegisirr. 


379 


Eüiuinante  eines  System»  liueurer  Qlei* 

chuDf^u  198. 
Ellipse  243,  296,  315 
Ellipsoide  871. 

Endverlauf  einer  Funktion  74. 
Krseugende  einer  Flftche  85b. 
Enlerscbe  Formel  für  die  biquadratischa 

Gleichung  235—236. 
Explizite  Funktionen  63. 
Exponent  7. 

Exponentialfunktion  60,  f>7,  79. 
Extremwerte  s.  Maxima-Minima. 

Faktoren  6. 

Flächenerzeugung  358. 

Flächen  zweiter  Ordnung  371—874. 

Flneote,  Fluxion,  FloxionskalkOl  98. 

Fundamentalreihe  16. 

Funktion,  logarithmische  67;  Exponen- 
tial  —  67. 

Funktionen,  einer  Variablen  56;  —  zweier 
Variablen  Gl ;  ~  von  drei  und  n  Va- 
riablen 62;  zwei-  und  mehrdeutige  — 
64;  elementare  —  65;  explizite  und 
implizite  —  63;  algebraische  und  trans- 
zendente —  65;  rationale,  ganze  und 
gebrochene  —  65—66;  irrationale  — 
Üo ;  inverse  —  67 ;  trigonometrische  — 
58;  zyklometrische  —  68—71;  stetige 

—  85;  zusammengesetzte  —  107. 
Funktionsbegriff  55. 
Funktionsstreifen  60. 
Funktionszeichen  bü. 

Geometrie,  analytische,  synthetische  240. 

Geometrische  Reihe  86. 

Gerade,  gerichtete  240,  2'i6. 

Gerade  im  Räume  844;  —  durch  einen 
Punkt  846;  —  durch  zwei  Punkte  348. 

Geradenbfindel  346. 

Geradenbaschel  261,  270. 

Gleichmäßige  Stetigkeit  88,  02. 

Gleichung,  kubische  226;  reduzierte  ku- 
bische —  226;  biquadratische  —  288: 
reduzierte  biquadratische  —  284;  — 
einer  Linie  243;  —  ersten  Grades  in 
X,  y,  256;  ~  zweiten  Grades  in  x,  y, 
392;  —  einer  Fläche  322;  ~  ersten 
Grades  in  x,  y,  2r  889. 

Gleichungen  188;  lineare  nichtbomogeae 

—  188;  lineare  homogene  —  190; 
höhere  algebraische  —  196;  reziproke 

—  205;  —  höheren  als  4.  Grades  288; 
reduzible  und  irreduzible  —  282;  — 
einer  Linie  im  Räume  824. 


I  Grad  einer  Wurzel  18. 

Grenze  16;  —  einer  R«ibe  88;  —  eint*» 
unendlichen  Produkt«  49 

Grenaen  der  Wurzeln  einer  algebraischen 
Gleichung  212. 

Grenzwerte  von  Funktionen,  im  Endli- 
chen 71;  —  im  Unendlichen  74;  — 
von  Funktionen  zweier  Variablen  %0. 

Grenzpnnkte  einet  KreisbOicIielf  290. 
;  Grundpunkte  einet  KreitbOtcbelt  288. 

Gmndfunktionen,  symmetrische,  der  Wux- 
sein  208. 

Harmonische  Punkte  2S8. 

Harmonische  Reihe  87,  40. 

Harmonische  Strahlen  278. 

Hauptglied  einer  Determinante  162. 
:  Hauptsatz  der  Algebra  196. 

Haupteätze  über  Detr^rmlnanten ,  enter 
1      171;  zweiter  172. 

I  Hauptwerte  der  zyklometriüchen  Funk> 
!     tionen  69—70 
:  Hessesche  Normalgleichung  der  <jcra«ltn 

259;    -   der  Ebene  888. 
1  Homotbetische  Ellipsen  und  Hyperbeln 
'      310;  —  Parabeln  311. 

Ilornersches  Di visiont verfahren  199. 

Hyperbel  245,  297,  816. 

Hyperbelfunktionen  114—117. 

Hyperbolische  Amplitude  117. 

Hyperbolisches  Paraboloid  866. 

Hyperboloide  371—872. 

Identität  von  Lagrange  186. 

Imaginäre  Zahlen  21—22. 

Implizite  Funktionen  63 

Infinitesimale  Grüßen  verschiedener  Ord- 
nungen 84. 

Inkommensurable  Zahlen  16. 

Interrali,  abgeschlossenes  und  nichtabge- 
schlo«senes  '>!. 

Inverse  Funktionen  67. 

Inversionen  1'>Ü. 

Irrationale  Zahlen  15—16. 

Kardinalzahl  3. 

KegelflScben  360—861. 

KegeLichnitte  818. 

Koeffizienten  einer  algebraischen  Glei- 
chung 196. 

Kolonnen  einer  Determinante  161. 

Konimntativet  Getett  der  Addition  6; 
—  der  Multiplikation  6. 


B80 


Sacbregitter. 


Kompleie  Zahlen  21-22;  höhere  —  22: 
ihre  trigonometriarho  Form  24:  geo- 
metriicbes  liechuen  mit  ihnen  *29. 

Konchoide  249. 

Koigngierte  Durchmeaser  806. 

KoqJQgicrt  komplexe  Zahlen  28. 

Konoide  863—307. 

Konstanz  des  Differentials  der  unabhän- 
gigen Variablen  183. 

Konvergenz  einer  Reihe  82;  —  einer 
Zahlenfolge  31;  —  eines  unendlichen 
Prodakti  48—60. 

Konvergenzkriienen  für  R<nh(?n  mit  po- 
sitiyen  Gliedern  38— 48;  —  für  Reihen 
mit  positiven  und  negativen  OHedem 
43—46;  —  für  alternierende  Rt'ihen 
46;  -  für  unendliche  Produkte  50— 68. 

Koordinaten  240,  318 

Koordinaten sTstem,  positiv  und  negativ 
orientiertes  242;  räuialichea  —  318. 

Koordinatentraniformation  262—266;  325 
—829. 

Koordinatenwinkel  242. 

Kreis  244,  276;  —  durch  drei  Punkte 
277;  —  und  Gerftdo  278. 

Kreisbüschel  288;  konjugierte  ~  291. 

Kreispunktc,  unendlich  ferne  imaginäre 
279. 

Kürzester  Abstand  zweier  Geradon  im 
Räume  355. 

Leitlinie  859. 

Leitstrahl  242. 

Lemniskate  249. 

Linien  zweiter  Ordnung  292;  degene- 
rierte —  299. 

(x)ganthmieren  SO. 

Logarithmus  21 ;  natfirlicher  —  110;  ge- 
meiner —  HO. 

Hatiiz  161. 

Mazima-Minima    explisiter    Funktionen 

einer  Variablen  146;  gewöhnliche  Fälle 
^147;  außergewöhnliche  Fälle  167. 
Mehrfaohe  Wurzeln  201. 
Menge  1—2. 
Meridiane  868. 
Merkwürdige  Dreieckspunkte  278—274; 

—  Telraederponkte  848-344. 
Methode  der  unbestimmten  Koeffiicienten 

901. 
MittelwerteatB  der  Differentialrechming 

128;  erweitexter  —  196. 
Mittelpunkt  bei  den  Linien  2.  (.)rdnung808. 


Modul  der  Addition  9;  —  der  Multipli- 
kation 6;  —  einer  komplexen  Zahl  24; 
—  der  Logarithmen  110. 

Moivresche  Biuomialformel  26. 

Multiplikation  6. 

'  Näherungsverfabren  zur  Wurzelausrech- 
I      nuug  221.  s.  Newtousches  Nlherungs- 
'      verfahren,  Regula  fuki. 
{Natürliche  Logarithmen  80. 

Natürliche  Potenz  80. 

Nenner  10. 

Newtonscbes  Näherung;« verfahren  222. 

Newtonsche  Regel  zur  Beatimmung  der 
Wnrzelgrenzen    einer     algebraischen 
'      Gleichung  212. 

Norm  einer  komplexen  Zahl  28. 

Null  8;  —  als  Divisor  12. 
i  NuUdeterminaiiten  175;  ihr  Rang  176. 
;  Nullstellen  einer  Gleichung  197. 

j  Ordinalzahl  4. 

;  Ordinate  241 

I  Orthogonale  Transformation  826 — 327. 

;  Orthogonalkreis  zu  drei  Kreisen  287. 

Parabel  246,  298,  316. 
I  Paraboloid,  elliptisches  872,  hyperboli- 
i     scbes  373. 

Parallelkoordinaten  241. 

Parallelkreise  368. 

i  Parametrische  Darstellung  der  Geraden 
j  in  der  Ebene  260,  268;  —  im  Baume 
I      846. 

Partialprodukt  60. 

Partialsumme  83. 

Permutationen f   gerade,   ungerade  159; 
1     tyklische  —  160. 

Fol,   Polare    in    bezug    auf    den  Kreis 
891;  —  in  bezug  auf   Kegelschnitte 
817. 
,  Polarkoordinaten  in  der  Ebene  249;  — 

im  Räume  392,  828. 
;  Polargleiohung  det  Kniises  976. 
,  Potenz  7 ;  —  einet  Punktes  in  bezug  auf 
!     einen  Kreis  284. 
'  Potensaehse,  s.  Kadikaiachse. 
I  Potenzieren  7. 

Potenzzentrum,  s.  Radikalzeatmm. 

Pr&sidonsmathematik  20. 

Prinzip  der  Permanenz  8. 

Produkt  6. 

Produkt  zweier  Determinanten  189. 
!  Produkte,  unendliche  48. 
'  Punktkoordinaten  240. 


S»elu«giiter. 


581 


<liiftlitfti  einar  Menge  S. 
QualiUVtoxeichen  8. 
Quantität  einer  Meng«  8. 
Quantiiätszeichen  8. 
Qaotieni  10. 

Radikal Aohie  zweier  Kreise  %Sb;  — *  einet 

KreiflbfiQchels  289.  j 

Badikalzentrum  dreier  Krciie  88ft. 

Radizieren  Id;  —  komplexer  Zahlen  26. 

R&ndem  einer  Oetenninante  174. 

Rang  einer  Nulldeterminante  176. 

Rationale  Fanktionen  66—66;  ~  Zahlen 
12. 

Regelfiächen  369.  : 

Regula  falsi  222.  | 

Reihe,  geometrische  86 ;  h  armenische — 37 . 

Reihen  81—32;  ihre  Konvergenz  und  Di- 
vergenz 82;  —  mit  positiven  Gliedern 
38;  —  mit  positiven  und  negativen 
Gliedern  43:  alternierende  —  46;  un- 
bedingt und  bedingt  konvergente  — 
45—46. 

Resolvente,  quadratische,  einer  kubi- 
iechen  (ilcichung  227;  knbieche  —  einer 
biqnadrati sehen  Gleichung  236. 

Rest  12;  —  einer  Reihe  83;  —  eines 
unendlichen  l^rodukts  50. 

Resultante  eines  Systems  linearer  Glei- 
chungen 193;  —  zweier  algebraischer 
(vleichungen  205. 

Richtebenc  eines  Konoids  364. 

Richtungskosinus  der  Geraden  im  Räume 
;i21. 

Richtungswinkel  der  Geradon  257 ;  —  im 
Räume  320. 

Bichiungsxahlen  29. 

Rosette  260. 

Rotation  eines  Koordinatensystems  86S, 
826. 

Rotationsflächen  867. 

Hat/  von  Rolle  122;  —  von  Lagrange  12S; 

von  Bezout  über  Permntationen  169: 

-  von  Bezout  ober  Gleieb^mgspaare 

208 ;  —  von  Descartes  Ober  Gleichnnga- 

wurzelu  218. 
Sätze  von  Jacobi  aber  Detnrotinanten  182. 
Scheitel gleicbung  der  Para>>el  810;    — 

der  Kegelschnitte  814> 
Schnitt  14,  16 
Schnittpunkt  sweier  Geraden  in  der  ßbene 

•267;  --  einer  Geraden  mit  einer  ~ 

348. 


dchraubeeiAcbe,  gTade  »66. 

Schraubenlinie  866. 

Segmentgleichung  der  Oeradeii  Wli  — 
der  Ebene  i$%. 

Stetigkeit  der  FusktioneD  85;  gleich- 
mäßige  —  88;  —  von  PnnktioMa 
xweier  und  mehrerer  Variablen  91. 

Stetigkeit  des  Systems  der  reellen  Zah- 
len 20. 

Strecke,  gerichtete  29«  240. 

Siropboide  246. 

Subti-aktion  7. 

Summe  5. 

Symmetrische  Funktionen  208. 

Tangentenprobl«>me,  allgemein  280:   — 

für   den   Kreis  281—284;    —   für   die 

Linien  zweiter  Ordnung  316—317. 
Tangentialebenen  374. 
Teihingnverbüitnis  in  der  Geraden  262; 

—  im  Gcradenbüschel  272;     -  im  Elbe- 

nenbüschel  340. 
Tetraedervolum««  88a--387. 
Toms  369 
Transformation  zum  Mittelpunkt  806:  — 

zu  den  Achsen  808. 
Translation    eines    Koordinatensystems 

262,  326. 
TranspoeitioB   von  Klemeoten   in   einer 

Permutation  159. 
Tran^sendente  Funktionen  6^;  —Zahlen 

239. 
,  Trennung  der  Wurzeln  221. 

i  Uabedingt  konvergente  Reihen  45—46. 
)  Unbestimmte  Formen  186;  -  186 — IM; 
!      ^189— 14«;0    3C142— 148;  OO  — (XJ 

148—144;  0»,oc*,  1«  146—146. 

Unendlichkeitsstelle  91. 

Unendlich  kleine»,  Unendlicb^rodet  SS; 
eigentliches  und  uneigentbehea  Un- 
endlich 82—88. 

Unstetigkeit  89. 

Unterdeterminanten  167;  a^iiuigierie — 
167  —  170. 

Urspmng  241 

Tariable  66;  stetige  und  unstetige  —  67. 

Vielfache«  6. 

Vorseichen  desDifrerenitalqiioiieBienl20. 

Winkel    zweier  Geraden  in  der  Kb<?De 
269;  —  im  Räume  821 ;  —  zweier  Kbe- 
I     Ben  887;  —  einer  Garaden   mit  einer 
!     Kbene  860. 


382 


Sacbregisfeer.  —  Nameiuftgister. 


WnrzellS;— eineiGleicbungsavsfcemslSS; 

—  einer  algebraischen  Qleicbang  197. 
Wurzelfaktor  198 
Wurzeln,  mehrfache  201:   komplexe  — 

208;    von   numeriechen    Gleichungen: 

ganzzahlige  —  216;  gebrochene  — 216; 

irrationale  —  218. 

Zabibegriff  1. 

Zahl  e  als  Grenzwert  77. 

Zahlen,  natürliche  1 ;  positive  und  nega- 
tive —  8;  relative  —  9:  ganze  und 
gebrochene  —  10;  rationale  —  12; 
irrationale  —  lö;  reelle  —  li»;  im»- 
ginure  und  komplexe  ~  21. 


Zahlenebene  28. 

Zahlenfolgen  16, 31 ;  divergente  und  kon- 
vergente —  31:  monotone  —  82. 
ZahlkOrper  18,  19. 
Zahlwörter  3. 

Zahlzeichen  8 ;  beeondere,  allgemeine  —  i. 
Zeichenwechsel,  Zeichenfolge  218. 
Zeilen  in  einer  Determinante  161. 
Zentrallinie  zweier  Kreise  2H6. 
ZisBoide  247 

Zyklische  Pennutationen  160. 
Zyklometrigcbe  Funktionen  68—71. 
i  Zylinderaächen  361—368. 


Namenregister. 


(Die  Zahlen  beitiehen  «ich  »ttf  die  Seiteu ) 


Abel  N.  H.  --»as. 
Arbogast  L.  F.  A.  95. 
Argand  J.  R.  28. 

Beraoolli  Jak.  87. 
BemouUi  Joh.  87,  56,  187 
Bemoulli  Nik.  88. 
B^zout  K.  169,  208. 
Bolzano  B.  33. 


€antor  G.  19. 

Cardano  H.  226,  228,  284.  i 

Cauchy  A.  28,  38,  43,  46, 

126,  163. 
Cayley  A.  183. 
Cosö.to  E.  100,  124,  185. 
Clairaut  A.  C.  56. 
Cramer  G    168,  198. 


Euler  L.  22,  24,  26,  40,  56, 
79,  234,  286. 

Fermat  1\  66,  242. 
Ferrari  L.  234. 
Ferro,  Scipione  del  226. 
Forti  117. 

I  GaußC.F.22,28, 163. 197. 
I  Grandi  G.  36. 
I  Gregory  J.  88. 


Hankel  H.  8. 
Hesse  ü.  269. 
Horner  W.  G.  199. 
Hadde  J.  227. 
Huygens  Ch.  227. 


Bedekind  K.  14,  20. 
De  Moivre,  s.  Moivre. 
DeMartes  R.  22,  66,  201, 

218,  242. 
Dirichlet    P 

46,  58. 


!  JacobiC.G.J.96,168,182. 
Kronecker  L.  168. 


Lacroix  8    F.  102. 
G.  Lejenne-  |  Lagrange  J.  96,  128,  186. 
I  Lambert  J.  H.  114,  117. 


Leibniz  G.  W.  46, 56, 96, 9<*, 
101—102,180—188,16:), 
198. 

Moivre,  A.  de  26. 

Newton  J.  98,  212,  222. 

I  Pascal  E.  99. 
!  Plücker  J.  270. 

Biccati  Y.  114 
Riemann  B.  46. 
Rolle  122. 
Raffini  P.  288. 

Samis  164. 
Stande  0.  887. 
Sylvester  J.  207. 

Tartaglia  N.  226. 

VieU  F    86,  49. 

Wallis  J.  64. 
Wessel  K.  28. 
Wright  E.  117. 


Vorlesungen  Ober  Differential-  U.Integralrechnung.  Von  Hofrat  Dr. 
E.  CMuber,  Prof.  a.  d.  Teclm.  Hocbsck  Wien.  I.  Bd.  gr.  8.  4.,  »mgf.  durchmt. 
Aufl.  Miii28Fi(r.  rXIIu.569S.]  1918.  Geh.  M.80.— ,  gcb  M.96.~.  U.Band. 
5.  Aufl.  Mit  119  Fig.  (XI  u.  599  S.J  1931.  Geh  M.  80.—,  geb.  M.  104.— 
^Di«  DartteUung  isi  «nKMOMa  kUr  und  «drUdi,  Um  Anordonnc  de«  Scoifi  «mMarlufk,  dl«  A»> 
waodai^ia«« t»«>fcttd«r«  aus  ttem  Oebtr t»  der  G«>c>tn«trle,  vortreffÜt  b  aiwgowihll  aud  viaHack  daivi» 
»usorigiaeO.  Ar.cb  die  AiufUhrunf  dar  sithlreicbea  rifureniat  Mtob«R.**< Archiv  d.Math.u.Pby«.) 

E.  Pascals  Rcpertorium  der  höheren  Mathennatik.  3.,  völüg  um- 
gearbeitete  Auflage  der  deutschen  Ausgabe.  Unter  Mitwirkung  zahlreicher 
Mathematiker  herausg.  von  Dr.  P.  Epstein,  Prof.  an  der  Univ.  Frankfurt  a.  M., 
und  Dr.  H.  E.  Timirding,  Prof.  an  der  Techn.  Hochschule  Braunschwri«. 
2  Hände  in  4  Teilen.  8.  T.  Band :  Analysis.  Herausgegeben  von  P.  EpsUm 
und  R.  Rothe.  I.  Hälfte :  Algebra,  Differential-  und  Integralrechnung.  fXV 
u.  527SJ  1910.  Ob.M.64.-  [II. Hälfte  u.d.Pr.j  II. Band;  Geometrie.  Hrsg. 
\oTiH.E. Timerding.  I.Hälfte:  Grundlagen  und  ebene  Geometrie.  Mit  54  Fig. 
fXVI  u.  524  S.]  1910.  Geb.  M.  64.—  II.  Hälfte;  Raumgeometrie.  Mi: 
Figuren  im  Text.    [ü.  d.  Pr.  3i.] 

„Nicht  nar  dem  .StucurrndAD  znr  tatamnienfassenden  Or>titjeruac;  MAdam  aack  daoi 
•chaffendoa  Mathrmatiker  koÜ  <ti%  AuKkuntt  und  vrlilAUcho')  ucrkbt  8ber  die  GabiMe  g^baa. 
«ralche  ibm  ferner  iit-gra,  und  »o  drn  Zusamtnenhanic  drt  er^cbtodeaeo  For»rbiiag*gebteta 
aufrecbt  erhalten.  Da«  !ißt  «ich  Dut  erreichen  durch  Mitarbait  v{e]«r  Speaialforscbar,  and 
auf  diesem  Wege  wurvir  in  der  Tat  eiae  In  hohem  Gra.lv  briiucnliar?  Daistallttcg  gewonaoo, 
bei  der  auf  die  Liter&toraogabea  eioe  b<-«oudcre  SorKi'alt  verwAadet  warde." 

fMonatanofte  fOr  Mathematik  und  Physik.) 

Kurzgefaßte  Vorlesungen  über  verschiedene  Gebiete  der  höheren 
Mathematik  mit  BerUcksicbtigur.g  der  Anwendungen.  Von  Geh. 
Hofrat  Dr.  R.  hrickt,  Prof.  an  der  Teclm.  Hochschule  in  Braunschwdp. 
.A.nalytischfunktionen theoretischer  TcÜ.  Mit  102  Fig.  [IX  u.  520  S.)  gr.  8. 
1900.    Geb.  M.  64.— 

IHaeet  aoalytisch-fnokttooeotheoretbcbe  Kotopco^taia  s.dl  fSc  die  StadMraodea  der  Matb«- 
mattk  aar  Einrühruag  in  eine  Reihe  voa  I>isiipli.iea  il>-.f  hdUeren  Analjut  uad  Tuaktioaee* 
theorie  d*encn,  derea  Studium  sich  uomittelbar  -<in  die  grucd^'Keaden  Vorietoegea  Bber  DiCe» 
i«aual>  oad  lutegralrechDun^*  ao%chliefien  kann. 

Einführung  in  die  elementare  und  analytische  Theorie  der  al- 
gebraischen Zahlen  und  der  Ideale.  Von  Dr.  /'.  Landau,  Prof.  a.  d- 
Universität  (iöttingen    MitidTextfi«.  [VII  u.  1438]  gr.8.  IQ18    Gt;b.M.24.— 

.,l>aj  Studium  des  aufierordeo ^li^h  V.ikr  utid  auregend  geacbricben<:ii  Buche«  wirii  A\tv  Mat^e- 
matiltern  ^rotten  GenuS  bereites.  Möge  e«  daaa  bcitragea,  dem  bwht-r  2!e/uli.:h  «tie*n3Ui'.erU.:li 
bebaadet:ea  Gebiet  der  algebraiscbeaJ^lfOQOa^tJübsersugewiaiieu.»  (Math.N«turw.Blitt«r.> 

Vorlesungen  über  algebraische  Geometrie.  Geometrie  auf  einer  Kurve. 
Riemannsche  Flächen.  Abelsche  Integrale.  Von  Dr.  F.  Severi,  Prof.  a. 
d.  Univ.  Padua.  Berechtigte  deutsche  (Jberseizung  von  Dr.  /:'.  Lößer,  Oberreg.- 
Rat  i.  d.  Mi  nisten  alabt.  f.  d.  höh.  Schulen  in  Stuttgart.  Mit  einem  Einfuhnmgs- 
wortv.A.v.Brin.Mit2oFig.fXVIu.4o8S.]gr.8.i':»2i.Geh.M.X4o.  -,geb.M.i53.-~ 

Die  to  möglichst  etafacber  Darttellung  wieoergegebenea  V'orlrsoagen  babaad^  die  wGeo* 
matrie  aof  einer  algebraischen  Kurve"  nach  sa'fi  sich  erganiender.  Ge-..ichtspor»ktea:  eiaauJ 
oach  der  von  Hrill  und  Noether  begründete.!  algebraisch  R«^metri'u-hen  Methode  nad  da<fa 
von  dem  Uorcb  Abel  ond  Kietnaan  begründeten  traoazeadetvten  ^Undpaakt  ao«.  Dadereh 
werden  sehr  wertvolle  Vergleiche  oad  V'ereisfacbcngen  ersielt. 

Lehrbuch  der  modernen  Funktionentheorie.  Von  Dr.  L.  Biebtrhach, 
Prof  an  der  Univ.  Berlin  Bd.  1:  Elemente  der  Funktionentheorie.  Mit  80  Fig 
imText  [  VI  u  314  .S.]  gr.8.  1921.  Geh  M. 95.40,  geb  M.  hj6.7o.  Bd,!!.  [In  Vorb.J 

Das  Werk  gibt  eine  Air  die  Hand  der  Studierenden  iKttimmte  DarnteUanff  der  nodansea 
Kunkttoorntheonc  kompleter  Variabier.  Der  erit«  lUnd  behattdelt  ont«  Veracbm^naff 
KieraannTben  und  W'^ierstraStschen  Geiste*  die  Elemente  der  aUgemataea  aad  dar  tpMieUaa 
FonktioDanthrone.  der  zweite  wird  die  Aoswirknnr  d»r  Uethoden  ia  de«  ■»o.leraea  fank- 
tionentlieoretischeo  Arbeitsgebieten  xiua  (jegeosUnd  habea. 


Verlag  von  B.G.Teubncr  in  Leipzig  und  Berlin 

PreUtndenit^f  vor%«ball«a 


Sammlung 
mathematisch-physikalischer  Lehrbücher 

Herausgegeben  von  Geh.  Bergrat  Prof.  Dr.  E,  Jahnke 

Kooforme  Abbildung.  Von  Or.  Leo  Lewenl,  weil.  Oberlehrer  in  Berlin.  Hrsg,  tob  weil.  Geh. 
Btrutm  Prof.  Dr.  Eugen  Jahnke.  Mit  Beitrag  von  Dr.  Wilh.  Blatchke.  Prot,  an  der 
Univ.  Königsberg.    Mit  40  Abb.    (VI  u.  118  S.)    1912.    Steif  geh.  M.  12.80     .   .      (Bd.  XiV.) 

Ol«  Tbcortt  der  Besselseben  Funktionen.  Von  Dr.  P.Schafhcitlio.  Prof.  am  Sophien-Real- 
gymnasium zn  Berlin.   Mit  1  Fic/urentatet.   (V  a.  129  S.|    1903.  Steif  geh.  M.  12.80  (Bd.  IV.) 

Theorie  der  elllptitchen  Funktionen.  Von  weil.  Qeh.  Hofrai  Prot.  Dr.  Martin  Kraase  anter 
Mitwirkong  von  Dr.  Emil  Naetsch,  Prof.  an  der  Technischen  Hochscboie  Dresden.  Mit 
25  Figuren.    IVIl  o.  186  S.|    1912.    SteU  geh.  M.  16.- (Bd.  Xlli.) 

Die  Determinanten.  Von  Geh.  Hofrat  Dr.  E.  Netto,  weil.  Professor  an  der  UniversitAt  Qieften. 
IVI  0.  130  S.|    1910.    Steif  geh.  M.  14.60 (Bd.  IX.) 

Funktionen« afein  mit  Formeln  und  Kurven.  Von  Qeh.  Bergrat  Or.  E.  J  a  h  n  k  e .  weil.  Prof.  an  der 
Technischen  Hochschule  zu  i^ertin,  und  F.  Em  de.  Prof.  an  der  Technischen  Hochschule 
zu  Slultgart   2.  Aufl.    Mit  Figuren.    (In  Vorb.  1921.)    (Öd.V.) 

Graphische  Metboden.  Von  Geh.  Reg.-Rat  Dr.  C.  Knnge,  Prof.  ander  Universität  üöttingeo. 
2.  Aufl.    Mit 'J4  Fig.  Im  Text.    |1V  u.  130  S.)    1919.    Steif  geh.  M.  22.- .   .   .   .  (Bd.  XVlIf.) 

Leitfaden  xum  graphischen  Reebnen.  Von  Dr.  R.  Mehroke,  Professor  an  der  Technischen 
Hochschu'.e  in  Stuttgart.    jVlil  u.  152  S.|    Steif  geh.  M.  3^1.40 (Bd.  XIX.) 

Theorie  ijer  Krfliteptinc.  Von  Dr.  H.  E. Timerding,  Prof.  an  der  Techo.  Hochschule  Braun- 
schweig.    Mit  46  Figuren.    |VI  u.  99  S.|    1910.    Steif  geh.  M.  12.- (Bd.  VII.) 

Die  Vcktoranalysis  und  Ihre  Anwendung  in  der  theoretischen  Physik.  Von  Or.  W.  v.  Igna> 
iowsky.  In  2  Teilen :  1.  Die  Vektor^tnuiysis.  2.  Auil.  iMit  27  Figuren.  IVIIIa.n2S.)  1921. 
Steif  geh.M.  18.40.  11.  Anwendung  der  VektoranaJysis  in  der  thcoreliscnen  Physik.  2.  Aufl. 
Mit  14  Figuren.    |IV  u.  123  S.|    1921.    Steif  geh.  AI.  17.-- (Bd.  VI.) 

Elnfflbruog  in  die  Theorie  des  Magnotismus.  Von  Dr.  R.  Qans,  Dir.  d.  phys.  institats  d.  Univ. 
La  Plata.    Mit  40  Figuren.    {vTu.  IIOS.I    1908.    SIeif  geh.  M.  11.20 (Bd.  I.) 

Einfahrung  in  dl«  Maxwclisebe  Theorie  der  EIckulzItfit  und  des  Magnetismus.  Von  Or. 
Ct.  Schaefer,  Prof.  an  der  Universität  Breslau.  Mit  Bildnis  J.  C.  Maxwelb  and  32  Fig. 
2.  Aufl.   (in  Vorber.  1921.| (Bd.  111.) 

Grundzlge  der  mathematisch  •physikalischen  Akustik.  Von  Dr.  A.Kalähne.  Professor  an 
der  Technischen  Hochschule  Oanzi«.  2  Teile.  I.:  |VI1  u.  144  S.|  1910.  Stell  geh.  M.  14.40. 
II.TeU;  Mit  57  Fig. im  Text.    IX  u.  225  S.j    1913.    Steif  geh.  M.  24- (Bd.  XI.) 

Elafflhrang  In  die  klnetlsciic  Theorie  der  Gase.  Von  Dr.  A.  Byk,  Professor  an  der  Univerait&t 
and  der  Techn.  Hochschule  Berlin  2  Teile,  i.:  Die  idealen  Oase.  Mit  14  Fittorea. 
]V  u.  102  S.|    1910.    Steif  geh.  M.  12.80.  -  II.  in  Vorbereitung .   .  (Bd.X.) 

Ot^»crsion  und  Absorption  des  Lichts  In  raheadtn  Isotropen  KOrpcra.  Theorie  and  ihre  Polye- 
vungen.  Von  Dr.  D.  A.  Ooldhammer,  Professor  an  der  Universität  Kasan.  Mit  28  Fig. 
jVI  u.  144  S.j    1912.    Slcif  geh.  M.  16.- (Bd.  XVC) 


Die  Theorie  der  Wechselströmt.  Von  (leb.  Reg.-Rat  Dr.  E.Or lieh,  Mitglied  dtr  Ph7S.-Techa. 
Reichsanstalt  Charloltenburg.  Mit  37  Fig.  |fv  a.  94  S.\  1912.  Steil  geh.  M.  11 JO  (Bd.  XII.) 

Eliktromagnetiache  Ausgicictisvorgtnce  Ui  Prelleltangen  u»d  Kaft«lo.  Von  Proless<w  Dr.  K.  W* 
WAKner.  Mitglied  der  Phys.'fechn.  Reichsanstall  ChartoHenbarg.  Mit  23 Fig.  flV  a.  109 S.l 
1908.   Steif  geh.M.  il.20 (Bd.  II.) 

Ott  mathematischen  lostrumenle.  Voa  Oeh.  Reg.-Ral  PMessor  Dr.  A.  Qtllft  in  Potsdam. 
Mit  86  Abbildungen.    |V1  o.  187  S.)    1912.    Steif  gelt.  M.  19.20 (Bd.  XV.) 

Mathematische  Theorie  der  aifronomtsclicn  nnsUrMcse.  Von  Professor  Dr.  P.  Schwaha. 
Direktor  der  üesellschatt  awi  Stemwarte  „Urattia*"  in  BerUn.  Mit  20  Figaren.  (VI  o.  128  S.) 
1910.   Steif  geh.  M.  14.40 (Bd.  VIU.) 

Weitere  Binde  t«  V^rl^reitaag. 

Verla?  von  B.Q.TeubQer  in  Leipzig  und  Berlin 


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UNIVERSITY  OF  TORONTO  UBRARY 


QA  Czuber,   Emanuel 

37  Einführung  in  die  höhere 

C975  Mathematik 

1922 


P&ASci 


in 


k.